Как найти площадь четырехугольника с одинаковыми сторонами

Была ли эта статья полезной?

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Калькулятор расчета площади четырехугольника

В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета площади выпуклого четырехугольника по разным исходным данным: через диагонали и угол между ними, по всем сторонам (если вокруг можно описать окружность), по полупериметру и радиусу вписанной окружности.

Расчет площади

Инструкция по использованию: введите известные значения, затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена площадь фигуры с учетом указанных данных.

1. Через диагонали и угол между ними

Формула расчета

2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)

Примечание: Если вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Формула расчета

p – полупериметр четырехугольника, равняется:

Площади четырехугольников

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab
Параллелограмм
Квадрат		S = a 2
	S = 4r 2
Ромб
Трапеция
	S = m h
Дельтоид		S = ab sin φ
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Параллелограмм
Квадрат
	S = a 2 где a – сторона квадрата
	S = 4r 2
Ромб
Трапеция
Дельтоид
	где a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a , φ2 – угол между сторонами, равными b .
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

Прямоугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Area of a quadrilateral is the space inside the boundary of a quadrilateral or in other words, the space enclosed by the edges of a quadrilateral. A quadrilateral can be defined as a closed two-dimensional shape that has four sides or edges, and also four corners or vertices. In mensuration, the shape of objects is classified based on the number of sides of the polygon. For example, a shape with three edges is a triangle, a shape with four edges is a quadrilateral, a shape with five edges is a pentagon, and so on. Quadrilaterals or any polygons can be classified into two categories, regular quadrilaterals/polygons i.e., all sides are of equal length, and irregular quadrilaterals i.e., all sides are not equal.

What is a Quadrilateral?

A quadrilateral is a polygon with four sides. A closed two-dimensional figure, formed by joining the four non-collinear points is called a quadrilateral. A quadrilateral has four sides, four angles, and four vertices. The sides of the quadrilateral may or may not be equal. Various types of quadrilaterals can be defined based on the properties of their angles, sides, and diagonals, some of which are as follows:

• Rectangle
• Square
• Rhombus
• Parallelogram
• Trapezium
• Kite

Properties of Quadrilateral

All quadrilaterals have some common properties that are as follows:

• A closed figure has four sides.
• The summation of the Interior angles of a quadrilateral is 360 degrees.
• The four sides can vary in length or maybe equal depending upon the type of quadrilateral.

What is the Area of Quadrilateral?

Area of a quadrilateral is the space enclosed by all the boundaries of a quadrilateral. Area of a quadrilateral is measured in square units such as m², in², cm², etc. Area of a regular quadrilateral is calculated by using different formulas. For calculating the area of irregular quadrilateral various formulas are used which are discussed below in this article.

Area of Quadrilateral Formula by Dividing it into Two Triangles

In a quadrilateral ABCD, the length of the diagonal BD is ‘d’. ABCD can be divided into two triangles Δ ABD, and Δ BCD by the diagonal BD. For calculating the area of the quadrilateral ABCD we calculate the area of individual triangles and add them accordingly. But for calculating area of a triangle, its height must be known. Let us assume that the heights of the triangles ABD and BCD be h₁ and h₂ respectively. 

Area of the triangle ABD = (1/2) × d × h₁.

Area of the triangle BCD = (1/2) × d × h₂.

From the figure, the area of the quadrilateral ABCD = area of ΔABD + area of ΔBCD.

Area of the quadrilateral ABCD = (1/2) × d × h₁+ (1/2) × d × h₂ = (1/2) × d ×( h₁+h₂ ).

Thus, the formula used to find the area of a quadrilateral is,

Area of Quadrilateral = (1/2) × Diagonal × (Sum of heights) = (1/2) × d ×( h₁+h₂ )

Area of Quadrilateral with Vertices

If vertices of a quadrilateral are given then its area is calculated by the given formula. Suppose  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), and D(x₄, y₄) be the vertices of a quadrilateral ABCD.

Then its area is calculated by using two different methods which are discussed below:

Area of Quadrilateral Using Coordinates

Follow the directions of the arrow, and add the diagonal products, i.e., x₁y₂, x₂y₃, x₃y₄, and x₄y₁.

(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁)….(i)

Now, follow the dotted arrows and add the diagonal products, i.e., x₂y₁, x₃y₂, x₄y₃, and x₁y₄.

(x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)….(ii)

Now, subtract equation (ii) from (i) and multiply the result by 1/2.

(1/2) × [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) – (x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)]

Thus, the formula for the area of the quadrilateral when vertices are given:

Area of Quadrilateral Using Area of Triangle

For this method, we divide the given quadrilateral into two triangles and then find the area of each triangle separately. At last, both the area of triangles are added to find the final area of the quadrilateral.

Area of quadrilateral ABCD = Area of triangle ABD + Area of triangle BCD

Area of a triangle with vertices P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), and R(x₃, y₃) is given by

Area of Quadrilateral Using Bretschneider′s Formula

When two opposite angles and all the sides of a quadrilateral are given, we can calculate its area using Bretschneider’s Formula which is the extension of heron’s formula for quadrilaterals and is given as follows:

How to find the Area of a Quadrilateral?

Area of a quadrilateral is found by using the steps discussed below:

Step 1: Mark the length of the diagonal and the length of the perpendicular to it from both vertices.

Step 2: Put these values in the given formula Area = (1/2) × d ×( h₁+h₂ ), where d is the length of the diagonal and h_1, h₂ are lengths of the perpendicular from diagonal to opposite vertices.

Step 3: Answer obtained from the above step is the required area and is measured in unit²

Area of Some Quadrilaterals

Some specific quadrilaterals are very common and are used in our daily life and their formula for areas are explained in the article given below:

Area of a Square

A square is a special case of a rectangle in which the four sides are equal and all the sides are parallel to each other. In a square diagonal bisect perpendicularly to each other.

Read More on Area of Square

Area of a Rectangle

A rectangle is a closed figure having four sides in which opposite sides are equal and parallel to each other and the diagonals of the rectangles bisect at 90 degrees.

Read More on Area of Rectangle

Area of Rhombus 

A Rhombus is a special case of the square in which all the four sides and opposite angles are the same in measure and the opposite sides are parallel and the sum of the adjacent angles of a rhombus is equal to 180 degrees.

Read More on Area of Rhombus

Area of Parallelogram

The quadrilateral in which opposite sides are equal and parallel to each other is known as a parallelogram. In this, diagonals bisect each other and the opposite angles are of equal measure in which the sum of two adjacent angles of a parallelogram is equal to 180 degrees.

Read More on Area of Parallelogram

Area of Trapezium

This quadrilateral is somewhat different from the others as there is only one pair of the opposite side of a trapezium parallel to each other and the adjacent sides are supplementary to each other and the diagonals bisect each other in the same ratio.

Read More on Area of Trapezium

Area of Kite

Kite is a special quadrilateral in which each pair of consecutive sides is congruent, but the opposite sides are not congruent. In this, the largest diagonal of a kite bisects the smallest diagonal.

Read More on Area of Kite

Solved Example on Area of Quadrilateral

Example 1: Find the area of the quadrilateral ABCD when its vertices are (1, 2), (5, 6), (4, −6), and (−5, 2).

Solution:

Let A(1, 2), B(5, 6), C(4, -6), and D(-5, 2) be the vertices of a quadrilateral ABCD.

A(1, 2) = (x₁, y₁), B(5, 6) = (x₂, y₂), C(4, -6) = (x₃, y₃), D(-5, 2) = (x₄, y₄)

We know that,

Area of Quadrilateral = (1/2) × [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) – (x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)]

⇒ Area of Quadrilateral = (½). {[1(6) + 5(-6) + 4(2) + (-5)2] – {[5(2) + 4(6) + (-5)(-6) + 1(2)]}

⇒ Area of Quadrilateral = (½).[(6 – 30 + 8 – 10) – (10 + 24 + 30 + 2)]

⇒ Area of Quadrilateral  = (½) [-26 – 66]

⇒ Area of Quadrilateral = 92/2 (area is never negative)

⇒ Area of Quadrilateral = 46 unit²

Example 2: Find the area of the trapezium if height is 5 cm and AB and CD are given as 10 and 6 cm respectively.

Solution: 

Given, AB = 10cm, CD = 6cm, height = 5cm

According to the formulae,

Area of Trapezium = (1/2) h (AB+CD)

⇒ Area of Trapezium = 1/2 x 5 x (10 + 6)

⇒ Area of Trapezium = 40 cm²

Example 3: Find the area of a kite whose longest and shortest diagonals are 20cm and 10cm respectively.

Solution: 

Length of longest diagonal, D₁= 20 cm

Length of shortest diagonal, D₂= 10 cm

So, Area of kite =1/2 x D₁ x D₂

⇒ Area of kite = 1/2 x 20 x 10

⇒ Area of kite  = 100 cm²

Example 4: Calculate the area of a parallelogram, if the base and height are 10 m and 15 m respectively.

Solution: 

Given, base = 10 m and height = 15 m

Area of Parallelogram = Base x Height

⇒ Area of Parallelogram = 10 x 15

⇒ Area of Parallelogram = 150 m²

Example 5: Given the area of the rhombus is 120-meter square then find the length of one of the diagonals if the other diagonal is of length 12 m.

Solution: 

Since we know that,

Area of Rhombus = (1/2) x Diagonal₁ x Diagonal₂ 

Putting all the known values, we get

120 = (1/2) x Diagonal 1 x Diagonal 2

Diagonal 2 = 20 m

FAQs on Area of Quadrilateral

Question 1: What is the area of a quadrilateral?

Answer:

Area of the quadrilateral is the region inside the boundary of a quadrilateral. It is the total space occupied by a quadrilateral in 2-D plane. It is measured in square units.

Question 2: How to find the area of a quadrilateral?

Answer:

Area of quadrilateral is found using formula given below:

Area of Quadrilateral = (1/2) × [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) – (x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)]

where (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), and (x₄, y₄) are the vertices of a quadrilateral.

Question 3: What are the different types of quadrilaterals?

Answer:

Different types of quadrilateral are:

• Square
• Rectangle
• Rhombus
• Kite
• Parallelogram
• Trapezium

Question 4: Write the uses of quadrilaterals.

Answer:

Area of quadrilateral is used in the field of architecture, agriculture, design, and navigation also it helps to find distance between two points. It is required to find the area of buildings, park and other complexes.

Question 5: How to calculate the area of a quadrilateral if one of its diagonals and both perpendiculars from the vertices are given?

Answer:

When the diagonal(d) and the length of both perpendiculars (h, H) from the vertices are given, then the area of the quadrilateral is calculated by the formula:

Area of quadrilateral = (½) × d × (h + H)

Question 6: What are the two main types of quadrilaterals?

Answer:

The two main types of a quadrilateral are

• Regular Quadrilateral
• Irregular Quadrilateral

Question 7: How to find the Area of a Quadrilateral using Heron’s Formula?

Answer:

To find area of triangle using Heron’s Formula use the following steps:

Step 1: Divide the quadrilateral in two triangles by joining its diagonal.

Step 2: Find the area of both triangles using Heron’s formula.

Step 3: Add both the areas to get the final answer.

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1=5 см;d2=4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:

На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет площади параллелограмма.

Площадь четырехугольника по сторонам

Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:

используем найденное значение для расчета площади:

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.