Как найти площадь двадцатиугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Площадь правильного двадцатиугольника — это число, характеризующее двадцатиугольник в единицах измерения площади.

Правильный двадцатиугольник — это двадцатиугольник у которого все стороны и углы равны.

Содержание

1 Обозначения
2 Формулы:
- 2.1 n=20:
- 2.2 α=π/20:
3 Другие многоугольники:
4 Ссылки

Обозначения

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n=20;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/20;

P₂₀ — периметр правильного двадцатиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₂₀ — площадь правильного двадцатиугольника.

Формулы:

n=20:

α=π/20:

где

Другие многоугольники:

Ссылки

Участник:Logic-samara

Источник

Площадь правильного двадцатиугольника — это число, характеризующее правильный двадцатиугольник в единицах измерения площади.

Правильный двадцатиугольник — это двадцатиугольник, у которого все стороны и углы равны.

Содержание

1 Обозначения
2 Формулы
- 2.1 n=20:
3 Другие многоугольники

Обозначения[править]

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n=20;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/20;

P₂₀ — периметр правильного двадцатиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₂₀ — площадь правильного двадцатиугольника.

Формулы[править]

n=20:[править]

${displaystyle S_{20}=5a^{2}ctg{frac {pi }{20}}Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{20}=20S_{triangle }, S_{triangle }={frac {a^{2}}{4}}ctg{frac {pi }{20}}Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{20}={frac {1}{2}}P_{20}r, P_{20}=20a, r={frac {a}{2}}ctg{frac {pi }{20}}Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{20}=20R^{2}sin {frac {pi }{20}}cos {frac {pi }{20}}, R={frac {a}{2sin {frac {pi }{20}}}}Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{20}=20r^{2}tg{frac {pi }{20}}, r=Rcos {frac {pi }{20}}}$

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/20:

${displaystyle S_{20}={frac {5left(4+4{sqrt {5}}+{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}+{sqrt {50+10{sqrt {5}}}}right)}{4}}a^{2}Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{20}=20S_{triangle }, S_{triangle }={frac {4+4{sqrt {5}}+{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}+{sqrt {50+10{sqrt {5}}}}}{16}}a^{2}Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{20}={frac {1}{2}}P_{20}r, P_{20}=20a, r={frac {4+4{sqrt {5}}+{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}+{sqrt {50+10{sqrt {5}}}}}{8}}aLeftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{20}={frac {5left({sqrt {5}}-1right)}{2}}R^{2}, R={frac {{sqrt {40+10{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}}}+{sqrt {8+2{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}}}}{4}}aLeftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{20}=5left(4+4{sqrt {5}}-{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}-{sqrt {50+10{sqrt {5}}}}right)r^{2}, r={frac {sqrt {8+2{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}}}{4}}R,}$

где

${displaystyle sin {frac {pi }{20}}={frac {sqrt {8-2{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}}}{4}}, cos {frac {pi }{20}}={frac {sqrt {8+2{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}}}{4}},}$

${displaystyle tg{frac {pi }{20}}={frac {4+4{sqrt {5}}-{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}-{sqrt {50+10{sqrt {5}}}}}{4}},}$

${displaystyle ctg{frac {pi }{20}}={frac {4+4{sqrt {5}}+{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}+{sqrt {50+10{sqrt {5}}}}}{4}}.}$

Другие многоугольники[править]

Площадь равностороннего треугольника;
Площадь квадрата;
Площадь правильного пятиугольника;
Площадь правильного шестиугольника;
Площадь правильного восьмиугольника;
Площадь правильного десятиугольника;
Площадь правильного двенадцатиугольника;
Площадь правильного шестнадцатиугольника;
Площадь правильного двадцатиугольника;
Площадь правильного n-угольника.

Источник

Двадцатиугольник
Правильный двадцатиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	[math]displaystyle{ 20 }[/math]
Символ Шлефли	[math]displaystyle{ {20}, mathrm{t}{10}, mathrm{tt}{5} }[/math]
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа ([math]displaystyle{ D_{20} }[/math])
Площадь	[math]displaystyle{ 5t^2 (1 + sqrt{5}+sqrt{5 + 2sqrt{5}}) }[/math]
Внутренний угол	[math]displaystyle{ 162^circ }[/math]
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный^[en], изотоксальный

Двадцатиугольник — это многоугольник с двадцатью сторонами и двадцатью углами. Сумма внутренних углов любого двадцатиугольника составляет [math]displaystyle{ 3240^{circ} }[/math].

Правильный двадцатиугольник

Правильный двадцатиугольник имеет символ Шлефли [math]displaystyle{ {20} }[/math], и может быть построен как усечённый десятиугольник, [math]displaystyle{ mathrm{t}{10} }[/math], или дважды усечённый пятиугольник, [math]displaystyle{ mathrm{tt}{5} }[/math].

Каждый из внутренних углов в правильном двадцатиугольнике равен [math]displaystyle{ 162^{circ} }[/math], а это значит, что каждый из внешних углов равен [math]displaystyle{ 18^{circ} }[/math].

Площадь правильного двадцатиугольника с длиной стороны [math]displaystyle{ t }[/math] равна

[math]displaystyle{ A={5}t^2(1+sqrt{5}+sqrt{5+2sqrt{5}}) simeq 31.5687cdot t^2. }[/math]

Площадь многоугольника, выраженная через радиус [math]displaystyle{ R }[/math] его описанной окружности равна

[math]displaystyle{ A=frac{5R^2}{2}(sqrt{5}-1); }[/math]

Поскольку площадь круга равна [math]displaystyle{ pi R^2, }[/math] правильный двадцатиугольник заполняет примерно [math]displaystyle{ 98,36~% }[/math] своей описанной окружности.

Построение

Так как [math]displaystyle{ 20 = 2^2cdot5 }[/math], правильный двадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, или при помощи разбиения сторон правильного десятиугольника, или двойного разбиения сторон правильного пятиугольника.

Золотое сечение в правильном двадцатиугольнике

Построение правильного двадцатиугольника с заданной длиной стороны

При построении с заданной длиной стороны, дуга окружности с центром [math]displaystyle{ C }[/math] и радиусом [math]displaystyle{ overline{CD} }[/math], разделяет сегмент [math]displaystyle{ overline{E_{20}F} }[/math] в отношении, равном золотому сечению.

[math]displaystyle{ frac{overline{ E_{20}E_1}}{overline{E_1 F}} = frac{overline{E_{20} F}}{overline{ E_{20}E_1}} = frac{1+ sqrt{5}}{2} = Phi approx 1.618 }[/math]

Симметрия

Группы симметрий правильного двадцатиугольника. Симметричные вершины окрашены в одинаковые цвета. Голубые зеркала проведены через вершины, фиолетовые — через стороны. Порядки групп вращений даны в центре.

Симметрии правильного двадцатиугольника образуют диэдральную группу [math]displaystyle{ mathrm{D}_{20} }[/math]. В ней можно выделить пять подгрупп диэдральных симметрий ([math]displaystyle{ mathrm{D}_{10}, mathrm{D}_5, mathrm{D}_4, mathrm{D}_2 }[/math] и [math]displaystyle{ mathrm{D}_1 }[/math]), и шесть циклических подгрупп ([math]displaystyle{ mathrm{Z}_{20}, mathrm{Z}_{10}, mathrm{Z}_5, mathrm{Z}_4, mathrm{Z}_2 }[/math] и [math]displaystyle{ mathrm{Z}_1 }[/math]). Все различные подгруппы симметрий правильного двадцатиугольника могут быть графически отображены диаграммой из [math]displaystyle{ 16 }[/math] элементов.

В данной диаграмме, предложенной Джоном Конвеем, каждая подгруппа симметрии обозначена буквой и собственным порядком.^[1] Вся группа симметрий названа [math]displaystyle{ mathrm{r}40 }[/math], а тривиальная подгруппа, соответствующая полному отсутствию симметрии, обозначена как [math]displaystyle{ mathrm{a}1 }[/math]. Диэдрические группы симметрии делятся на те, оси симметрий которых проходят только через вершины ([math]displaystyle{ mathrm{d} }[/math] — diagonal), только через рёбра ([math]displaystyle{ mathrm{p} }[/math] — perpendicular) или через и то, и другое (такая подгруппа обозначена буквой [math]displaystyle{ mathrm{i} }[/math]). Циклические симметрии обозначены буквой [math]displaystyle{ mathrm{g} }[/math] (англ. gyration) и своим порядком.

Группа симметрий любого неправильного двадцатиугольника образует подгруппу [math]displaystyle{ mathrm{D}_{20} }[/math]. Среди них наиболее симметричными являются фигуры, соответствующие симметриям [math]displaystyle{ mathrm{d}20 }[/math] (изогональный двадцатиугольник, построенный при помощи десяти зеркал с чередованием длинных и коротких рёбер) и [math]displaystyle{ mathrm{p}20 }[/math] (изотоксальный двадцатиугольник, в котором все стороны равны между собой, но внутренние углы при вершинах чередуются). Эти две формы двойственны^[en] друг другу и каждая из них обладает половиной симметрий правильного двадцатиугольника.

Разбиения

Двадцатиугольник, разбитый на 180 ромбов

Правильное разбиение

Isotoxal 20-gon rhombic dissection-size2.svg

Изотоксальное разбиение

По Коксетеру, любой зоногон ([math]displaystyle{ 2m }[/math]-угольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу) может быть разбит на [math]displaystyle{ m(m-1)/2 }[/math] параллелограммов^[2]. В частности, это так для всех правильных многоугольников с чётным числом сторон — в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для двадцатиугольника [math]displaystyle{ m=10 }[/math], а значит, его можно разбить на [math]displaystyle{ 45 }[/math] параллелограммов: [math]displaystyle{ 5 }[/math] квадратов и [math]displaystyle{ 4 }[/math] набора ромбов — по [math]displaystyle{ 10 }[/math] в каждом. Это разбиение основано на проекции Декеракта в виде многоугольника Петри с [math]displaystyle{ 45 }[/math] гранями из [math]displaystyle{ 11520 }[/math]. Согласно данным из последовательности A006245, количество всевозможных описанных разбиений [math]displaystyle{ 20 }[/math]-угольника равно [math]displaystyle{ 18410581880 }[/math], если зеркальные и повёрнутые копии разбиения считать различными.

Изображение декеракта и примеры разбиения 20-угольника на 45 ромбов

Декеракт

Связанные многоугольники

Икосаграмма — звёздчатый многоугольник с двадцатью сторонами, имеющий символ Шлефли [math]displaystyle{ {20/n} }[/math]. Есть три правильных икосаграммы с символами Шлефли [math]displaystyle{ {20/3} }[/math], [math]displaystyle{ {20/7} }[/math] и [math]displaystyle{ {20/9} }[/math]. Есть также ещё 5 звёздчатых многоугольников с тем же относительным расположением вершин: [math]displaystyle{ 2{10} }[/math], [math]displaystyle{ 4{5} }[/math], [math]displaystyle{ 5{4} }[/math], [math]displaystyle{ 2{10/3} }[/math], [math]displaystyle{ 4{5/2} }[/math] и [math]displaystyle{ 10{2} }[/math].

n	1	2	3	4	5
Форма	Выпуклый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Фото	[math]displaystyle{ {20/1} = {20} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/2} = 2{10} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/3} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/4} = 4{5} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/5} = 5{4} }[/math]
Внутренний угол	[math]displaystyle{ 162^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 144^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 126^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 108^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 90^circ }[/math]
n	6	7	8	9	10
Форма	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Фото	[math]displaystyle{ {20/6} = 2{10/3} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/7} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/8} = 4{5/2} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/9} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/10} = 10{2} }[/math]
Внутренний угол	[math]displaystyle{ 72^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 54^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 36^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 18^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 0^circ }[/math]

Более глубокие усечения правильного десятиугольника и декаграммы могут привести к изогональным (вершинно-транзитивным) промежуточным формам икосаграмм с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер.^[3]

Примечания

↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)
↑ Коксетер, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141
↑ The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons, Branko Grünbaum

Источник

Не уверен в ответе?

Найди верный ответ на вопрос ✅ «Как найти площадь у 20 угольника …» по предмету 📙 Математика, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.

Искать другие ответы

Источник

Двадцатиугольник — это многоугольник с двадцатью сторонами и двадцатью углами. Сумма внутренних углов любого двадцатиугольника составляет 3240 градусов.

Правильный двадцатиугольник

Правильный двадцатиугольник имеет символ Шлефли , и может быть построен как усечённый десятиугольник, , или дважды усечённый пятиугольник, .

Каждый из внутренних углов в правильном двадцатиугольнике равен ${displaystyle 162^{circ }}$ , а это значит, что каждый из внешних углов равен ${displaystyle 18^{circ }}$ .

Площадь правильного двадцатиугольника с длиной стороны равна

${displaystyle A={5}t^{2}(1+{sqrt {5}}+{sqrt {5+2{sqrt {5}}}})simeq 31.5687cdot t^{2}.}$

Площадь многоугольника, выраженная через радиус его описанной окружности равна

${displaystyle A={frac {5R^{2}}{2}}({sqrt {5}}-1);}$

Поскольку площадь круга равна ${displaystyle pi R^{2},}$ правильный двадцатиугольник заполняет примерно своей описанной окружности.

Построение

Так как ${displaystyle 20=2^{2}cdot 5}$ , правильный двадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, или при помощи разбиения сторон правильного десятиугольника, или двойного разбиения сторон правильного пятиугольника.

Золотое сечение в правильном двадцатиугольнике

Построение правильного двадцатиугольника с заданной длиной стороны

${displaystyle {frac {overline {E_{20}E_{1}}}{overline {E_{1}F}}}={frac {overline {E_{20}F}}{overline {E_{20}E_{1}}}}={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=Phi approx 1.618}$

Симметрия

Симметрии правильного двадцатиугольника образуют диэдральную группу ${displaystyle mathrm {D} _{20}}$ . В ней можно выделить пять подгрупп диэдральных симметрий ( ${displaystyle mathrm {D} _{10},mathrm {D} _{5},mathrm {D} _{4},mathrm {D} _{2}}$ и ${displaystyle mathrm {D} _{1}}$ ), и шесть циклических подгрупп ( ${displaystyle mathrm {Z} _{20},mathrm {Z} _{10},mathrm {Z} _{5},mathrm {Z} _{4},mathrm {Z} _{2}}$ и ${displaystyle mathrm {Z} _{1}}$ ). Все различные подгруппы симметрий правильного двадцатиугольника могут быть графически отображены диаграммой из элементов.

В данной диаграмме, предложенной Джоном Конвеем, каждая подгруппа симметрии обозначена буквой и собственным порядком.^[1] Вся группа симметрий названа , а тривиальная подгруппа, соответствующая полному отсутствию симметрии, обозначена как . Диэдрические группы симметрии делятся на те, оси симметрий которых проходят только через вершины ( — diagonal), только через рёбра ( — perpendicular) или через и то, и другое (такая подгруппа обозначена буквой ). Циклические симметрии обозначены буквой (англ. gyration) и своим порядком.

Группа симметрий любого неправильного двадцатиугольника образует подгруппу ${displaystyle mathrm {D} _{20}}$ . Среди них наиболее симметричными являются фигуры, соответствующие симметриям (изогональный двадцатиугольник, построенный при помощи десяти зеркал с чередованием длинных и коротких рёбер) и (изотоксальный двадцатиугольник, в котором все стороны равны между собой, но внутренние углы при вершинах чередуются). Эти две формы двойственны^[en] друг другу и каждая из них обладает половиной симметрий правильного двадцатиугольника.

Разбиения

Двадцатиугольник, разбитый на 180 ромбов

Правильное разбиение

Изотоксальное разбиение

По Коксетеру, любой зоногон (-угольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу) может быть разбит на параллелограммов^[2]. В частности, это так для всех правильных многоугольников с чётным числом сторон — в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для двадцатиугольника , а значит, его можно разбить на параллелограммов: квадратов и набора ромбов — по в каждом. Это разбиение основано на проекции Декеракта в виде многоугольника Петри с гранями из . Согласно данным из последовательности A006245, количество всевозможных описанных разбиений -угольника равно , если зеркальные и повёрнутые копии разбиения считать различными.

Изображение декеракта и примеры разбиения 20-угольника на 45 ромбов

Декеракт

Связанные многоугольники

Икосаграмма — звёздчатый многоугольник с двадцатью сторонами, имеющий символ Шлефли . Есть три правильных икосаграммы с символами Шлефли , и . Есть также ещё 5 звёздчатых многоугольников с тем же относительным расположением вершин: , , , , и .

n	1	2	3	4	5
Форма	Выпуклый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Фото
Внутренний угол	${displaystyle 162^{circ }}$	${displaystyle 144^{circ }}$	${displaystyle 126^{circ }}$	${displaystyle 108^{circ }}$	$90^{circ }$
n	6	7	8	9	10
Форма	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Фото
Внутренний угол	${displaystyle 72^{circ }}$	${displaystyle 54^{circ }}$	${displaystyle 36^{circ }}$	${displaystyle 18^{circ }}$	$0^{circ }$

Правильную икосаграмму {20/9} можно рассматривать как квазиусеченный десятиугольник, t{10/9}={20/9}. Аналогично декаграмма {10/3} имеет квазиусечение t{10/7}={20/7}, и, наконец, простое усечение декаграммы дает t{10/3}={20/3}.

Икосаграммы, как усечения правильных десятиугольников и декаграмм, {10}, {10/3}.

Квазирегулярный	Квазирегулярный
t{10}={20}		t{10/9}={20/9}
t{10/3}={20/3}		t{10/7}={20/7}

Многоугольники Петри

Правильный двадцатиугольник является многоугольником Петри для ряда политопов, что показано в ортогональных проекциях на плоскость Коксетера^[en]:

A₁₉	B₁₀	D₁₁	E₈	H₄	½2H₂	2H₂
19-симплекс	10-ортоплекс^[en]	Декеракт	11-полукуб	(4₂₁)	Шестисотячейник	Великая антипризма^[en]	10-10 дуопирамида^[en]	10-10 дуопризма

Он также является многоугольником Петри для икосаэдрального 120-ячейника^[en], малого звездчатого 120-ячейника^[en], великого икосаэдрического 120-ячейника^[en] и большого великого 120-ячейника^[en].

Примечания

↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)
↑ Коксетер, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141
↑ The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons, Branko Grünbaum

Эта страница в последний раз была отредактирована 12 февраля 2023 в 15:26.

Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.

Источник