Как найти площадь если известен только периметр

Прости, но я в своём репертуаре первым делом беру тетрадь в клеточку и черчу на новом листе условный прямоугольник. Из одного угла в противоположный протягиваем диагональ — это её длина нам известна и равна 13. Пусть у нас всё будет в метрах, чтобы не применять условные единицы.

Теперь, чтобы найти площадь (S), нам необходимо определить стороны геометрической фигуры. Но нам известна их удвоенная сумма — периметр и сумма квадратов — она будет равна квадрату диагонали. Как ни крути, а одним действием вычислить не удаётся. Видимо, потребуется строить систему уравнений, которую и решать в итоге.А выглядит она следующим образом:

• 2 * ( x + y ) = 36
• x² + y² = 13²

В первой строке можно разделить обе стороны равенства на 2, а во второй возведём 13 в квадрат.

• x + y = 18
• x² + y² = 169

Теперь нам не составит большого труда выразить длину одной из сторон через другую. Сделать это позволяет первая из приведённых формул. Мы, например, просто вычтем из каждой половинки значение (y):

• x = 18 — y

После этого не трудно подставить полученное выражение во вторую формулу вместо (a). Это позволит нам остаться в вычислениях один на один с неизвестным значением (b):

• (18 — y)² + y² = 169

И тут меня осенило — мы ведь вплотную приблизились к решению квадратного уравнения. Об этом явно свидетельствуют следующие преобразования формулы:

• (18² — 2*18*y + y²) + y² = 169
• 324 — 36*y + 2*y² = 169
• 2*y² — 36*y + 324 — 169 = 0
• 2*y² — 36*y + 155 = 0

Как решаются такие уравнения? Кто помнит? А что такое «Дискриминант»? Тоже забыли? Давайте вспоминать вместе. И в первую очередь эту саму D, которая равна b²-4ac, где abc — коэффициенты в полученной нами формуле (a = 2, b = -36, c = 155). В итоге:

• D = 36² — 4 * 2 * 155 = 1296 — 1240 = 56

Дискриминант больше нуля и это свидетельствует о том, что нам удастся отыскать два корня этого уравнения.

• y1 = (-b — Корень(D))/2a = 7.1291713066
• y2 = (-b + Корень(D))/2a = 10.8708286934

Я надеюсь, что вы поняли, что за значения мы получили? Это ведь стороны искомого прямоугольника. Одну из них можно оставить «игреком», а вторую обозначить «иксом». Вам остаётся лишь перемножить два дробных числа, чтобы получить значение площади = 77.5 квадратных метров.

Не верите? Что же, давайте перепроверим. И для этого вернёмся к теореме Пифагора, согласно которой:

• 7.1291713066² + 10.8708286934² = 169 = 13²
• 2 * (7.1291713066 + 10.8708286934) = 2 * 18 = 36

Всё сходится.

Наиболее простой способ решить задачку — найти стороны и перемножить их. Поскольку соотношение сторон нам неизвестно, то их необходимо определить (сделаем это с помощью длины гипотенузы и диагонали).

Сумма 2-х сторон треугольника, который составляет половину площади прямоугольника:

• 36 / 2 = 18.

БОльшая сторона равна разности полупериметра (18) и меньшей стороны.

Выразим площадь в формуле через полупериметр (полупериметр² — диагональ² / 2). На двойку делим потому, что именно такое количество равных треугольников в прямоугольнике.

Решение:

• (18² — 13²) / 2 = (324 — 169) / 2 = 155 / 2 = 77.5.

Ответ: площадь равна 77.5.

Самое простое решение — это найти стороны и умножить их одна на другую. Но вот нам не известно соотношение сторон, именно тут нам и пригодится и длина гипотенузы/диагонали прямоугольника из условия.

Сумма двух сторон треугольника, составляющего половину площади прямоугольника равна полупериметру — 36:2=18

Большая сторона a будет равна разности полупериметра 18 и меньшей стороны b, но считать их точное число нам не обязательно, так как можно просто выразить площадь в формуле через полупериметр, который у нас есть.

Площадь S=(полупериметр в квадрате (18Х18) — диагональ в квадрате (d^2), и всё это делим пополам, так как треугольника два и они равны. (324-169):2=77,5

Это и будет наш ответ

Чтобы правильно ответить на вопрос, давайте вспомним, что такое периметр, диагональ и площадь, которую нам необходимо найти.

Итак, мы знаем, что диагональ у нас равна 13 (пусть будет см).

Известен нам и периметр, который равен 36 см.

Нам надо найти площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника можно найти по формуле, где нужны значения диагонали и стороны.

Нам не обойтись без формулы Пифагора, а также формулы периметра.

По второй формуле находим одну из сторон, получая следующую формулу:

Упрощаем все:

Вычисляем дискриминант квадратного уравнения, выглядит эта формула вот так:

А теперь подставляем известные нам данные: D= 8*13² — 36² = 56

Применяя формулы для выявления сторон прямоугольника, у нас получается вот такое уровнение:

Ну и площадь теперь найти не проблематично, для этого 10,87 * 7,13 = 77,5

Здесь надо искать что-то простое, поэтому советую решить таким образом, найти стороны прямоугольника и перемножить их одну за другой. Но пропорцию не знаем, тут пригодится длина гипотенузы/диагонали прямоугольника из условия задачи.

Сумма двух сторон треугольника, равная половине площади прямоугольника, равна половине длины окружности — 36:2=18. Большая сторона А будет равна разнице между половиной периметра18 и меньшей стороной В, но не нужно считать их точное количество, потому что мы можем просто выразить площадь в формуле через имеющуюся у нас половину периметра.

Площадь равна (половина круга в квадрате (18Х18) — диагональ в квадрате (d^2) и делим все это пополам, так как треугольников два и они равны (324-169): 2 = 77,5.

Как найти площадь прямоугольника, если известны периметр и диагональ?

Вроде бы вопрос со школьной программы, но когда прошли годы — тяжело и вспомнить. А лично мне — вообще тяжело давалась геометрия, по этому я обратился с этим вопросом к другу, который просто обожает этот предмет. Лично мне тяжело далось понять, но автору вопроса должна эта информация помочь. Нужно следовать правилу:

периметр Q

диагональ E

найти R

Q = 2(a+b)

E² = a² + b²

R = ab

a² + b² = a² + b² + 2ab — 2ab = (a+b)² — 2ab =E²

2ab = (a+b)² — d²(a+b) = P/2

(a+b)² = Q² / 4

2ab = (Q² / 4) — d²

R = (Q² / — (E² / 2)

Применив формулу к данным, что периметр равен 36, а диагональ 13 — площадь прямоугольника будет ровна 77.5 квадратных метров.

Для того чтобы найти площадь прямоугольника нужно знать несколько исходных данных. В каждом классе школы, в которых есть предмет геометрия, первоначальные данные усложняются с каждым разом. самое простое — это конечно искать площадь, зная величину его сторон, но в вопросе приведено более сложное задание. При его решении мы будем использовать теорему Пифагора. Пусть катеты фигуры будут обозначены латинскими буквами a и b. В результате некоторых математических приёмов мы получим вот такое решение:

Чтобы найти площадь фигуры, в данном случае прямоугольника, нужно знать чему равно произведение

a и b.

Как мы видим, площадь прямоугольника в конечном итоге получилась равно числу 77, 5. Судя, по предыдущим ответам, где в ответе аналогичная цифра, мы решили всё правильно.

P.s. В задаче не указаны единицы измерения, поэтому для примера я возьму сантиметры ( см ).

Для того чтобы найти площадь прямоугольника при известных периметре и диагонали, первым делом нужно найти полупериметр. ​Для его нахождения необходимо периметр прямоугольника поделить по полам:

36 : 2 = 18 см

Рассмотрим один из треугольников полупериметра: катеты нам не известны, гипотенуза равна 13 см.

Назовём две стороны (катеты) как a и b. Тогда по теореме Пифагора следует что:

a² + b² = 169см ( 13² )

Теперь выразим длину одной стороны относительно другой:

x = 18 — y.

Далее приобразовываем формулы:

(18² — 2 * 18 * y + y²) + y² = 169

324 — 36 * y + 2 * y² = 169

2 * y² — 36 * y + 324 — 169 = 0

2 * y² — 36 * y + 155 = 0

Решаем через Дискриминант чисел:

D = 36² — 4 * 2 * 155 = 1296 — 1240 = 56

y1 = (-b — √D)/2a = 7.1291713066

y2 = (-b + √D)/2a = 10.8708286934

7.1291713066 * 10.8708286934 = 75,4 см².

Давайте проверим: 7.1291713066² + 10.8708286934² = 13²

50.8250835188+118.17­4916481 ≈ 169

Ответ: площадь прямоугольника 75,4 см².

Чтобы решить такое задание, воспользуемся теоремой Пифагора.

Т.к. у нас есть диагональ в прямоугольнике, то она образует («делит») из прямоугольника два прямоугольных треугольника, стороны в котором мы и сможем найти по теореме Пифагора.

Пусть a и b — катеты прямоугольного треугольника, диагональ (d) нам известна, она в данном случае является гипотенузой. Тогда:

d^2 = a^2 + b^2 => a^2 + b^2 = 13^2 = 169

P прям. = 2(a+b) = 36 => a + b = P/2 = 36/2 = 18

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S = a*b

Воспользуемся формулой: S = ((P/2)^2 — d^2)/2, подставим

S = (18^2 — 13^2)/2 = (324 — 169)/2 = 155/2 = 77,5

Ответ: 77,5

Обозначим стороны прямоугольника х и у. По теореме Пифагора х^2+y^2=13^2=169.

Р=2*(х+у). отсюда х+у=Р/2 (в данном случае 36/2=18).

Возведём выражение (х+у) в квадрат. x^2+2*x*y+y^2=324. Отсюда получаем: S=х*у(324-169)/2=77,­5.