Содержание материала
- Длина дуги
- Видео
- Площадь сегмента круга по хорде и высоте
- Задача
- Площадь круга подробнее
- Площадь сектора круга через радиус и угол сектора
- Задача
- Сектор круга. Площадь сектора
- Формулы площади кругового сектора
- Формула площади сектора круга по радиусу и длине дуги
- Формулы нахождения площади сектора круга
- Через длину дуги и радиус круга
- Через угол сектора (в градусах) и радиус круга
- Через угол сектора (в радианах) и радиус круга
- Площадь других частей круга
- Площадь сектора
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Рис.3
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Видео
Площадь сегмента круга по хорде и высоте
Пусть градусная мера ограничивающей дуги мала, длина хорды равна a, h — высота сегмента (перпендикуляр, опущенный из точки на окружности к середине хорды). Примечание: часто высота сегмента называется «стрелкой».
Тогда можно приближённо считать, что
Погрешность такого вычисления уменьшается вместе с отношением .
В частности, когда дуга содержит угол, меньший 50º, то есть,
погрешность оказывается менее 1%.
Более точной является формула для любого сегмента меньшего полукруга:
Точный расчёт производится, исходя из свойства нахождения сложной фигуры, являющейся суммой или разностью двух и более объектов.
Сегмент является частью сектора, к которому либо добавлен треугольник, содержащий центральный угол (для дуг больших 180º), либо убран (соответствующий центральный угол меньше 180º).
Отсюда следует, что
Задача
Вычислить стрелку и площадь сегмента, если центральный угол содержит 60º, а
.
Решение.
Для нахождения стрелки достаточно из радиуса вычесть высоту треугольника AOB. Поскольку угол AOB по условию равен 60º, то треугольник AOB равносторонний. Поэтому его высота в √3/2 раз отличается от стороны (от радиуса).
Отсюда следует, что:
Площадь по первой формуле будет приблизительно равна
По второй:
Применяя точную формулу и учитывая, что
находим:
Ответ: Sсегм = 1,26 см2.
Площадь круга подробнее
( displaystyle S=pi {{R}^{2}}),
( displaystyle R) — радиус,( displaystyle pi ) – число ( displaystyle approx 3,1415)
Производит впечатление? Представляешь, сколько времени математики думали, пока не додумались, что…
…площадь круга радиуса ( displaystyle R) ровно (!) в ( displaystyle pi ) раз больше площади квадрата со стороной ( displaystyle R).
Ну вот, а теперь – площадь части круга.
Площадь сектора круга через радиус и угол сектора
Если известна градусная мера центрального угла (n°), то, находя отношение её к полному кругу (к 360º), также умножают результат на площадь круга:
Задача
Решение.
Центральный угол изображённого сектора равен
360° — 90° = 270°
Подставляя в формулу величины, несложно получить искомый результат:
Ответ: Sсект = 27 см2.
Также аналогичным образом решаются обратные задачи.
Сектор круга. Площадь сектора
Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:
Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.
Формула площади сектора:
| S = | πr2 | · n = | πr2n | , |
| 360 | 360 |
где S — площадь сектора. Выражение
можно представить в виде произведения
| πr2n | = n · | πr | · | r | , |
| 360 | 180 | 2 |
| где | nπr | — это длина дуги сектора. |
| 180 |
Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:
где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.
Формулы площади кругового сектора
Площадь кругового сектора выражается через центральный угол дуги. Как известно, угол может быть задан в радианной мере или в градусной.
Обозначим:
- центральный угол, выраженный в угловых градусах — α;
- длину дуги —L;
- радиус — R.
Тогда выражение для вычисления площади кругового сектора через радиус и длину дуги будет иметь вид:
S=R·L2
Из курса геометрии (8-9 классы) известно следующее выражение для нахождения длины дуги сектора круга:
L=αрад·R
где αрад — центральный угол, Рад.
Узнаем, как найти площадь сектора через центральный угол, заданный в радианах. Для этого подставим в выражение для L в формулу площади.
S=R·L2=R·αрад·R2=αрад·R22
Теперь переведем угол в радианах в градусы и приведем соответствующую формулу для расчета площади.
S=αрад·R22=R2·α·π2·180°=παR2360°
Формула площади сектора круга по радиусу и длине дуги
S=12⋅r⋅lS=frac{1}{2}cdot rcdot lS=21⋅r⋅l
rrr — радиус круга; lll — длина дуги.
Рассмотрим решение задачи.
Найдите площадь кругового сектора, если известно, что длина дуги равна 20 (см.), а радиус круга равен 5 (см.).
Решение
r=5r=5r=5 l=20l=20l=2
В данной задаче сразу можно подставить наши числа в исходную формулу и вычислить площадь: S=12⋅r⋅l=12⋅5⋅20=50S=frac{1}{2}cdot rcdot l=frac{1}{2}cdot 5cdot 20=50S=21⋅r⋅l=21⋅5⋅2=5 (см. кв.)
Ответ: 50 см. кв.
Формулы нахождения площади сектора круга
Через длину дуги и радиус круга
Площадь (S) сектора круга равняется одной второй произведения длины дуги сектора (L) и радиуса круга (r).
Через угол сектора (в градусах) и радиус круга
Площадь (S) сектора круга равняется площади круга, умноженной на угол сектора в градусах (α°) и деленной на 360°.
Через угол сектора (в радианах) и радиус круга
Площадь (S) сектора круга равняется половине произведения угла сектора в радианах (aрад) и квадрата радиуса круга.
Площадь других частей круга
Иногда бывает, что нужно посчитать площадь какой-нибудь странной части круга. Эта часть может не быть ни сектором, ни сегментом.
Как тогда быть?
Давай рассмотрим два примера.
Площадь сектора
Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Рис.4
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Теги
Здесь вы можете рассчитать площадь сектора круга с помощью удобного онлайн калькулятора по двум формулам. Для этого необходимо ввести известные вам параметры фигуры:
- радиус круга и угол,
- длину дуги и радиус.
Сектор круга или окружности — это его(её) часть, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга (окружности).
Содержание:
- калькулятор площади сектора круга
- формула площади сектора круга через радиус и угол
- формула площади сектора круга через радиус и длину дуги
- примеры задач
Формула площади сектора круга через радиус и угол
S = pi R^2 dfrac{alpha °}{360°}
S = dfrac{alpha}{2} R^2
R — радиус сектора
α° — угол сектора (в градусах)
α — угол сектора (в радианах)
Формула площади сектора круга через радиус и длину дуги
S = dfrac{1}{2}LR
L — длина дуги сектора
R — радиус сектора
Примеры задач на нахождение площади сектора круга
Задача 1
Найдите площадь сектора круга радиуса 1 длина дуги которого равна 2.
Решение
Для решения задачи нам подойдет вторая формула.
S = dfrac{1}{2}LR = dfrac{1}{2} cdot 2 cdot 1 = dfrac{1}{2} cdot 2 = 1 : см^2
Ответ: 1 : см^2
Давайте проверим ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь сектора круга радиуса 24 длина дуги которого равна 3.
Решение
Задача аналогична предыдущей.
S = dfrac{1}{2}LR = dfrac{1}{2} cdot 3 cdot 24 = dfrac{1}{2} cdot 72 = 36 : см^2
Ответ: 36 : см^2
Проверка .
Задача 3
Найдите площадь кругового сектора если радиус круга равен 3, а угол сектора равен 120°.
Решение
Для решения этой задачи нам потребуется первая формула, в которой угол указывается в градусах.
S = pi R^2 dfrac{alpha °}{360°} = pi cdot 3^2 cdot dfrac{120°}{360°} = pi cdot 9 cdot dfrac{1}{3} = 3 pi : см^2 approx 9.42478 : см^2
Ответ: 3 pi : см^2 approx 9.42478 : см^2
Проверка .
Круговой сектор — часть круга, которая ограничена дугой этого самого круга и двумя радиусами.
Онлайн-калькулятор площади сектора круга
Возьмем две произвольные точки, лежащие на границе круге. Они делят ее на две разные части, которые могут быть как одинаковыми по длине, так и разными. Эти части называются дугами круга.
Дуги равны по длине, когда равны углы, с помощью которых они образованы.
Рассмотрим задачу о нахождении площади сектора круга.
Формула площади сектора круга по радиусу и длине дуги
S=12⋅r⋅lS=frac{1}{2}cdot rcdot l
rr — радиус круга;
ll — длина дуги.
Рассмотрим решение задачи.
Найдите площадь кругового сектора, если известно, что длина дуги равна 20 (см.), а радиус круга равен 5 (см.).
Решение
r=5r=5
l=20l=20
В данной задаче сразу можно подставить наши числа в исходную формулу и вычислить площадь:
S=12⋅r⋅l=12⋅5⋅20=50S=frac{1}{2}cdot rcdot l=frac{1}{2}cdot 5cdot 20=50 (см. кв.)
Ответ: 50 см. кв.
Формула площади сектора круга по радиусу и угла в радианах
S=12⋅r2⋅αS=frac{1}{2}cdot r^2cdot alpha
rr — радиус круга;
αalpha — центральный угол, измеряемый в радианах.
Пример решения задачи.
Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 8 (см.), а центральный угол кругового сектора равен π2frac{pi}{2} радиан.
Решение
r=8r=8
α=π2alpha=frac{pi}{2} рад.
По формуле получаем:
S=12⋅r2⋅α=12⋅82⋅π2≈50.2S=frac{1}{2}cdot r^2cdot alpha=frac{1}{2}cdot 8^2cdotfrac{pi}{2}approx50.2 (см. кв.)
Ответ: 50.2 см.кв.
Формула площади сектора круга по радиусу и углу в градусах
S=π360⋅r2⋅αS=frac{pi}{360}cdot r^2cdot alpha
rr — радиус круга;
αalpha — центральный угол, измеряемый в градусах.
Эту формулу можно получить используя связь между радианами и градусами:
2π рад.=360∘2pitext{ рад.}=360^{circ}
Найти площадь кругового сектора, если дан радиус круга равный 10 (см.), а центральный угол сектора равен 180180 градусов.
Решение
r=10r=10
α=180∘alpha=180^{circ}
Площадь данного сектора:
S=π360⋅r2⋅α=π360⋅102⋅180∘≈157S=frac{pi}{360}cdot r^2cdot alpha=frac{pi}{360}cdot 10^2cdot 180^{circ}approx157 (см. кв.)
Ответ: 157 см. кв.
Решение задач по геометрии онлайн от экспертов сайта Студворк!
Тест по теме “Площадь сектора круга”
Как рассчитать площадь круга
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь круга онлайн. Для расчета задайте радиус, диаметр или длину окружности.
Круг – множество точек плоскости, удаленных от заданной точки этой плоскости (центр круг) на расстояние, не превышающее заданное (радиус круга).
Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.
Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Основные определения и свойства
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Часть круга, ограниченная хордой
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
| Фигура | Рисунок | Определения и свойства |
| Окружность |  |
|
| Дуга |  |
|
| Круг |  |
|
| Сектор |  |
|
| Сегмент |  |
|
| Правильный многоугольник |  |
|
 |
| Окружность |
|
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Дуга
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент
Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.
Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.
Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Формулы для площади круга и его частей
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
| Числовая характеристика | Рисунок | Формула |
| Площадь круга |  |
|
| Площадь сектора |  |
|
| Площадь сегмента |  |
| Площадь круга |
|
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Площадь сектора
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь сегмента
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Формулы для длины окружности и её дуг
где R – радиус круга, D – диаметр круга
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
| Длина окружности |
 |
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Длина дуги
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь круга
Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).
Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .
Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .
Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна
Длина окружности
то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :
Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сектора
Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем
В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем
Площадь круга: как найти, формулы
О чем эта статья:
площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Определение основных понятий
Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.
Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.
Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.
Формула вычисления площади круга
Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!
Площадь круга через радиус
S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.
Площадь круга через диаметр
S = d 2 : 4 × π, где d — это диаметр.
Площадь круга через длину окружности
S = L 2 : (4 × π), где L — это длина окружности.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм 2 );
- квадратный сантиметр (см 2 );
- квадратный дециметр (дм 2 );
- квадратный метр (м 2 );
- квадратный километр (км 2 );
- гектар (га).
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Задачи. Определить площадь круга
Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!
Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.
Диаметр окружности равен двум радиусам.
Используем формулу: S = π × d 2 : 4.
Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.
Ответ: 113,04 см 2 .
Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.
Используем формулу: S = π × d 2 : 4.
Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.
Ответ: 6358,5 мм 2 .
Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.
Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.
Получается: L = d × π.
Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.
Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.
Ответ: 18,84 см 2 .
http://www.resolventa.ru/demo/diaggia6.htm
http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-kruga
Загрузить PDF
Загрузить PDF
В некоторых задачах требуется вычислить площадь сектора. Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой (сектор похож на кусок пиццы или пирога). Чтобы найти площадь сектора, нужно знать радиус круга. Также необходимо знать либо величину центрального угла, либо длину дуги. Если нужные значения даны, просто подставьте их в одну из формул, чтобы вычислить площадь сектора.
-
1
Запишите формулу:
. В формуле r — радиус, θ — центральный угол (в градусах) сектора.[1]
- Помните, что площадь круга равна . Чтобы вычислить площадь сектора, нужно вычислить площадь круга, а затем найденное значение умножить на долю круга, которая является сектором.
- Окружность равна 360°, поэтому, когда в расчетах учитывает центральный угол, меньший 360°, вы получите долю всего круга.[2]
- Помните, что площадь круга равна
-
2
Подставьте значение центрального угла сектора в формулу. Разделите центральный угол на 360. Так вы найдете, какую долю или процент от всего круга представляет сектор.[3]
- Например, если центральный угол равен 100°, разделите 100 на 360, чтобы получить 0,28 (то есть площадь сектора составляет около 28% от площади всего круга).
- Если значение центрального угла не дано, но известно, какую долю круга составляет сектор, найдите значение угла, умножив долю на 360. Например, если дано, что сектор равен одной четвертой круга, умножьте 360 на 1/4 (0,25) и получите 90°.
-
3
Подставьте значение радиуса в формулу. Возведите радиус в квадрат, а затем полученное значение умножьте на 𝝅 (3,14). Так вы вычислите площадь всего круга.[4]
- Например, если радиус равен 5 см, возведите 5 в квадрат; получится 25. Теперь умножите 25 на 3,14; получится 78,5.
- Если радиус не дан, но известен диаметр, разделите диаметр на 2, чтобы найти радиус.
-
4
Перемножьте два полученных значения. То есть умножьте проценты (в виде десятичной дроби) на площадь всего круга. Вы найдете площадь сектора.
- В нашем примере: 0,28 x 78,5 = 21,89.
- Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах (в нашем примере это квадратные сантиметры).
Реклама
-
1
Запишите формулу:
. В формуле r — радиус, l — длина дуги.
-
2
Подставьте в формулу длину дуги и радиус. Перемножьте эти два значения, чтобы получить новый числитель.[6]
- Например, если длина дуги равна 5 см, а радиус равен 8 см, новым числителем будет 40.
-
3
Разделите новый числитель на 2. То есть разделите пополам число, найденное на предыдущем шаге. Вы найдете площадь сектора.
- В нашем примере: .
- Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах (в нашем примере это квадратные сантиметры).
Реклама
- В нашем примере:
Об этой статье
Эту страницу просматривали 2658 раз.