Как найти площадь если неизвестна данные сторон - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Формулы
Примеры вычисления площади треугольника

Формулы

Первый способ. Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними (рис. 1).
То есть если известны длины двух сторон треугольника
$ABC$, которые равны
$a$ и
$b$, а также угол
$alpha$ между этими сторонами, то искомая площадь:

$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a b sin alpha$$

Второй способ. Чтобы найти площадь треугольника, нужно сторону умножить на высоту, проведенную к этой стороне (рис. 2),
и полученное произведение поделить на два. То есть если сторона треугольника
$ABC$ равна
$a$, а длина высоты, проведенной к этой стороне
— $h_{a}$, то имеет место формула:

$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a h_{a}$$

Третий способ. Чтобы найти площадь треугольника
$ABC$, если известны длины всех его трех сторон
$a$,
$b$ и
$c$, нужно воспользоваться формулой Герона:

$$mathrm{S}_{Delta A B C}=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где $p=frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Четвертый способ. Чтобы найти площадь треугольника
$ABC$, нужно радиус
$r$ вписанной в этот треугольник окружности умножить на полупериметр
$p$ треугольника:

$$mathrm{S}_{Delta A B C}=r p$$

Пятый способ. Чтобы найти площадь треугольника со сторонами
$a$,
$b$ и
$c$, нужно произведение этих сторон поделить на четыре радиуса
$R$, описанной около треугольника окружности:

$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{a b c}{4 R}$$

Примеры вычисления площади треугольника

Пример

Задание. Найти площадь треугольника
$ABC$, если известны длины двух его сторон 3 см и 5 см
соответственно, а также угол между этими сторонами, который равен
$30^{circ}$.

Решение. Искомая площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то есть

$begin{aligned} mathrm{S}_{Delta A B C}=& frac{1}{2} a b sin alpha=frac{1}{2} cdot 3 cdot 5 cdot sin 30^{circ}=\ &=frac{15}{2} cdot frac{1}{2}=frac{15}{4}left(mathrm{cm}^{2}right) end{aligned}$

Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{15}{4}$ (см²)

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Чему равна высота треугольника
$ABC$, проведенная к стороне длины 2 см, если площадь
этого треугольника равна 6 см² ?

Решение. Так как площадь треугольника в два раза меньше произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a h_{a}$$

то отсюда получаем, что искомая высота

$h_{a}=frac{2 mathrm{S}_{Delta A B C}}{a}=frac{2 cdot 6}{2}=6$ (см)

Ответ. $h_{a}=6$ (см)

Читать дальше: как найти площадь прямоугольного треугольника.

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Как найти площадь треугольника с прямыми углами при условии, что длина его
катета составляет 5 сантиметров, а гипотенузы – 13 сантиметров?

Длина катета (а) = 5 см.

Длина гипотенузы (с) = 13 см.

Используя теорему Пифагора, определим длину второго катета:

в² = с² -а² = 169 — 25 = 144

в = 12

Рассчитать площадь прямоугольного треугольника можно по формуле:

S = 0,5ав = 0,5*5*12 = 30

Ответ: S прямоугольного треугольника равна 30 кв.см.

Как найти площадь треугольника?

Для того чтобы вычислить площадь (S) треугольника, следует произвести
умножение длины его основания (а) на длину высоты к основанию (h), а затем
разделить полученное число пополам:

S=1/2 (а*h)

Как найти площадь треугольника при условии, что длина каждой его стороны
является известной величиной?

Если длина каждой стороны треугольника известна, то вычислить его площадь
(S) можно, используя формулу Герона:

S= √ (p * (p — a)*(p — b)*(p — c))

a,b,c – длина каждой из трех сторон;

р – полупериметр треугольника, который равен сумме длин всех сторон,
разделенной на 2.

Как найти площадь треугольника, зная 3 точки: А(1;8), В(7;8) и С(6;6)?

По условию задачи известны 3 точки, являющиеся вершинами треугольника АВС,
площадь (S) которого нужно вычислить. Это точки А(1;8), В(7;8) и С(6;6).

Две из трех известных точек расположены на прямой, которая параллельна оси
Х, ввиду того что координаты Ya и Yb одинаковы. Это точки А и В. Это
означает, что высота треугольника (h), которая опущена на сторону АВ из
вершины С (6;6), является числом, полученным в результате вычитания из
координаты Ya или Yb координаты Yc:

8-6=2.

Для того чтобы определить длину стороны АВ, нужно от координаты Xb вычесть
координату Xa:

7-1=6.

Теперь можно вычислить площадь треугольника (S):

(1/2)*AB*h = (1/2)*6*2 =6 ед.

Ответ: S = 6 ед.кв.

Как найти площадь треугольника через синус при условии, что известны две
стороны а = 3 и b = 4, а также угол γ= 30°?

Формула расчета площади треугольника (S) через синус применима в случае,
когда известны длины 2-х его сторон и угол, образованный между ними. При
этом следует воспользоваться таблицей синусов, согласно которой синус угла
в 30° = 0,5.

S = (1/2)*3*4*0,5=3.

Ответ: S треугольника = 3 см.кв.

Как найти площадь треугольника через синус, если известно, что длина одной
его стороны равна 12, другой – 16, а синус угла между ними – ¼?

Зная длины двух сторон треугольника и синус угла между ними, можно
рассчитать его площадь. Она будет равна ½ произведений длин его сторон,
умноженной на значение синуса угла между ними:

12*16*0,5*0,25=24.

Ответ: S треугольника = 24 см.кв.

Как найти площадь треугольника АВС, а также вычислить синус его угла А,
зная, что AC=BC=5;AB=6?

Площадь треугольника АВС можно рассчитать, воспользовавшись формулой
Герона:

S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(8*2*3*3)=√144=12 (ед.²).

Найти синус угла А можно по следующей формуле:

S=12 * АВ * АС * sin∠A

12 * 6 * 5 * sin∠A = 1215 * sin∠A = 12

sin∠A = 1215 = 0,8

Ответ: sin∠A = 0,8.

Как найти площадь треугольника через синус, если длина одной стороны равна 5
см, другой – 12 см, а синус угла, образованного между ними равен 0,2?

Для того чтобы вычислить площадь треугольника (S), зная параметры,
указанные в задаче, следует воспользоваться нижеприведенной формулой:

S= (a b sinα)/2 = (5·12·0,2)/2 =6

Ответ: S треугольника = 6 см.кв.

Как найти синус угла С в треугольнике АВС, если известно, что АВ=ВС=1 и
АС=2?

Для начала нужно убедиться в том, что заданная фигура с параметрами
АВ=ВС=1, АС=2 действительно представляет собой треугольник.

Длины двух сторон треугольника в сумме не могут быть равны или меньше
длине его третьей стороны. В данном случае:

1+1=2, то есть АВ+ВС=АС

Следует помнить, что говорить о фигуре как о треугольнике можно только в
том случае, когда сумма длин двух любых его сторон больше длины третьей
стороны.

Ответ: при заданных параметрах треугольника нет, и вычислить синус угла в
данном случае невозможно.

Как найти синус наибольшего внутреннего угла треугольника АВС, если
известно, что AB=13, BC=14, AC=15?

Сторона треугольника, которая имеет наибольшую длину, является
противоположной его наибольшему углу. В данном случае сторона АС имеет
наибольшую длину (15 см), это значит, что наибольшим углом является угол
В.

Перейдем к построению треугольника.

Нужно провести к стороне ВС высоту АН. Синусом наибольшего угла В является
отношение АН:АВ. Теперь можно вычислить высоту из площади треугольника,
рассчитанной по формуле Герона и равной 84 см:

S=ah:2

h=2S:a

h=ВН=2*84:14= 12

sin B=12:13=0,923

Ответ: sin B = 0,923.

Чему равна площадь треугольника, если две сходственные стороны подобного ему
треугольника, площадь которого 32 см.кв., равны 5 см и 10 см?

В условии говорится о том, что треугольники являются подобными. Также
приведены длины двух сходственных сторон. Эти данные можно использовать,
для того чтобы вычислить коэффициент подобия:

К = 10/5 = 2

Известно, что квадрат коэффициента подобия равен отношению площадей двух
треугольников, являющихся подобными. Это означает, что в заданном случае
площадь второго треугольника в четыре раза превышает площадь первого из
них. Зная это, можно найти площадь первого треугольника следующим образом:

32:4 = 8 см.кв.

Ответ: Площадь первого треугольника – 8 см.кв.

Чему равна площадь треугольника АВС, если он является прямоугольным, и
известно, что катеты равны 2,5 см и 4 см?

Произведение катетов прямоугольного треугольника, разделенное на два,
равно его площади. Для того чтобы дать ответ на поставленный вопрос, нужно
перемножить катеты (2,5*4=10) и разделить полученное число на 2 (10/2=5).

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 5 см.кв.

Чему равна площадь треугольника, образовавшегося в результате разделения на
два треугольника квадрата, сторона которого равна 4 см?

Для начала нужно рассчитать площадь квадрата:

4*4 = 16 см.кв.

Теперь можно вычислить площадь одного из получившихся в результате
треугольников:

16/2 = 8 см.кв.

Ответ: Площадь треугольника равна 8 см.кв.

Дано: два подобных треугольника, длины двух сходственных сторон которых
равны 3 см и 9 см Площадь одного из треугольников – 9 см.кв. Чему равна
площадь другого треугольника?

Квадраты сходственных сторон двух подобных треугольников относятся как их
площади. Это значит, что:

(9/3)²=х/9,

где х – это площадь треугольника, которую нужно вычислить.

9=х/9,

откуда х=81см.кв.

Ответ: Площадь треугольника – 81 см.кв.

Известна площадь треугольника (208 см), основание которого было разбито
высотой на два отрезка длиной 22 см и 10 см. Чему равна площадь
треугольника, являющегося меньшим из двух образовавшихся?

Сначала нужно найти длину всего основания:

10+22 = 32 см.

Теперь можно вычислить площадь меньшего из двух треугольников:

208 / 32 * 10 = 65 см.кв.

Ответ: Площадь меньшего треугольника составляет 65 см.кв.

Чему равна площадь треугольника через синус, если две его стороны имеют
длины 3 см и 8 см, а угол между ними равен 120?

Для того чтобы рассчитать площадь треугольника, нужно найти
полупроизведение двух его сторон на синус угла, образованного между ними:

S=1/2 * 3*8*sin120=1/2*3*8*cos30=12*√3/2=6√3.

Какова формула расчета площади треугольника?

Площадь треугольника можно найти, если разделить на два число, полученное
в результате умножения высоты (h), опущенной на его основание, на длину
самого основания (а):

S=1/2*(h*a).

Как вычислить площадь треугольника по формуле 3-го класса?

В случае треугольника с прямыми углами, его площадь вычисляется по
формуле:

S=a*b/2,

где а и b – это стороны, которые прилегают к прямому углу.

Во всех остальных случаях рассчитать площадь треугольника можно следующим
образом:

S=a*h/2,

где а – сторона,

h – высота.

Какую формулу нужно использовать, чтобы вычислить площадь треугольника, зная
2 его стороны и угол, образованный между ними?

Для вычисления площади треугольника по длинам двух его сторон и
находящемуся между ними углу, нужно пользоваться формулой:

S = 1a*b*sin γ2.

Возможно ли доказать, что по формуле S= 1/2 Pr можно вычислить площадь
треугольника?

Имеется:

— треугольник АВС;

— О – центр вписанной окружности, точка пересечения биссектрис;

— Н – точка касания окружности на АВ;

— К – точка на ВС;

М – точка на АС.

Нужно провести ОА, ОВ, ОС, а также перпендикулярные радиусы в точки
касания — ОН, ОК, ОМ, ОН=ОК=ОМ=радиус=r. Площадь треугольника АВО будет
равна:

S = 1/2АВ*ОН.

Площадь ВОС рассчитывается так:

S = 1/2ВС*ОК.

Площадь АОС:

S = 1/2АС*ОМ

Площадь заданного треугольника АВС можно найти следующим образом:

S АВС = S АОВ + S ВОС + S АОС = 1/2АВ*ОН+1/2ВС*ОК+1/2АС*ОМ.

Однако ОН=ОК=ОМ=r.

Тогда S АВС = 1/2*r*(АВ+ВС+АС).

Но АВ+ВС+АС= периметр Р, что означает, что

S АВС = 1/2*Р*r.

Как вычислить площадь треугольника при помощи формулы Герона, если дано, что
его стороны равны 6 см, 8 см и 10 см?

Сначала следует произвести расчет полупериметра (р):

р=(6+8+10):2=12 см.

Далее, используя формулу Герона, можно найти площадь треугольника (S):

S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(12*6*4*2)=√576=24 см.кв.

Каким образом можно доказать тот факт, что радиус окружности, которая
описана вокруг треугольника, вычисляется по формуле R=a*b*c/4S, где а,b, с –
это стороны треугольника, S — его площадь?

Высота к стороне треугольника находится по формуле b*sin(C). Отсюда можно
найти его площадь S = a*b*sin(C)/2. При этом следует принимать во внимание
теорему синусов, согласно которой c = 2*R*sin(C); или sin(C) = c/(2*R).
Тогда площадь S = a*b*c/4R. Именно это требовалось доказать.

Что представляет собой формула расчета площади треугольника ROF, в случае
если R(0;5),О(0;0),F(2;0)?

Полагаясь на координаты, можно утверждать, что точка R лежит на оси Y и
находится на расстоянии в пять единиц от начала отсчета. При этом точка F
находится на оси X, на расстоянии двух единиц от начала отсчета. Заданный
треугольник является прямоугольным. RO равна 5 единицам длины, FO – двум
единицам длины. В этом случае площадь треугольника ROF равна:

S =RO*FO/2=5*2/2=5(единиц длины)².

Как вычислить площадь треугольника, использовав формулу Герона?

Формула Герона, предназначенная для вычисления площади треугольника,
выгладит так:

S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c) ),

где а,b, с – это стороны треугольника,

р – полупериметр, рассчитываемый как Р/2.

Какова формула, по которой можно вычислить площадь треугольника, зная три
стороны и радиус описанной окружности?

Если известны длины трех сторон треугольника (а,b, с), а также радиус
описанной окружности (R), то можно рассчитать площадь треугольника (S) по
следующей формуле:

S = a*b*с/4R.

Как можно найти длину одной стороны треугольника b, используя формулу
расчета его площади S=abc/4R?

В случае необходимости выразить длину одной из сторон треугольника b из
формулы расчета его площади S=abc/4R, нужно произвести умножение всего
выражения на 4R:

S4R=abc.

После этого нужно произвести деление всего на ac:

S4R/ac=b.

Можно ли привести доказательство того, что радиус вписанной в треугольник
окружности (r), рассчитывается по формуле r =2S/a+b+c, в которой а,b, с –
это стороны треугольника, S – его площадь?

В случае соединения вершин треугольника с центром окружности, вписанной в
него, в результате произойдет его деление на 3 треугольника. Радиус в
точке касания будет выступать в роли высоты в каждом из них. Из этого
вытекает формула:

S = pr,

где р – полупериметр.

Возможно ли из формулы S=aha/2, используемой для вычисления площади
треугольника, выразить и вычислить одну из его сторон а, при условии, что
площадь равна 21 см, а высота ha – 7 см?

Ответ на поставленный вопрос выглядит следующим образом:

S=aha/2

a=2S/ha

a=2*21/7=6 см.

Ответ: Длина стороны а равна 6 см.

Какую формулу нахождения площади треугольника следует применять, когда
известно, что три катета равны 3 см, 5 см и 4 см?

Формула S=12 bа для прямоугольного треугольника с двумя катетами (а и b)
и гипотенузой с. В представленной задаче а=3 см, b=4 см, с=5 см. Согласно
таблице Пифагора с²=а²+в². В нашем случае 5²=3²+4², 25=9+16) и S=12*3*4=6
cм. кв.

Какова формула нахождения площади треугольника, длины трех сторон которого
равны 16 см, 24 см и 32 см?

Площадь треугольника можно рассчитать, применяя формулу Герона:

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),

в которой р обозначает полупериметр, вычисляемый как сумма длин всех
сторон треугольника, разделенная на 2: р=(16+24+32)/2=36.

В формуле стороны треугольника обозначены как a, b, c.

S=√36*20*12*4 = 48√15 cм.кв.

S = a*b*c/(4R) – это формула нахождения площади треугольника. В ней a, b и
с – это его стороны, а R – это радиус окружности, которая описана вокруг
данного треугольника. Каким образом можно использовать данную формулу,
чтобы найти площадь треугольника, если а = 11, b = 13, с = 20 и R = 65/6?

Сначала нужно перемножить длины всех сторон треугольника:

a*b*с = 11*13*20 = 2860.

Четыре радиуса окружности равны:

4/(65/6) = 130/3.

Из этого следует, что площадь треугольника будет равна:

S = 2860/(130/3) = 8580/130 = 66 см. кв.

Каковы формулы нахождения площади треугольника?

Существует несколько формул, которыми можно пользоваться для вычисления
площади треугольника:

1. S = 1/2*bh, в которой b – это основание фигуры, а h – проведенная к
нему высота.

2. S = 1/2*ahₐ, где а обозначает длину стороны треугольника, а hₐ —
проведенная к этой стороне высота.

3. Формула Герона: S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c) ), в которой стороны
треугольника обозначены как а,b, с. Полупериметр (Р/2) обозначен как р.

4. S=р*r, или полупериметр*радиус вписанной окружности.

5. S= 1/2*ab*sinα, где a и b – это стороны треугольника, α – угол,
образованный между ними.

6. S = (a*b*c) / 4R, в которой радиус описанной окружности обозначен R, а
стороны треугольника — а,b,с.

Прямоугольник, периметр которого равен 40 см, вписан в треугольник со
сторонами 20 см, 34 см и 42 см таким образом, что одна из его сторон лежит
на стороне треугольника, являющейся наибольшей. Чему равны стороны
треугольника?

Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:

S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c)) = √ (48*(48-20)*(48-34)*(48-42)) = 336 см. кв.

Отсюда следует, что высота, проведенная к стороне 42 рассчитывается так:

Н = 2*336/48 = 16.

Верхняя сторона прямоугольника отсекает подобный треугольник (x — сторона
II основанию 42, y — сторона II высоте H = 16), из чего следует очевидная
пропорция (16 — y)/16 = x/42, согласно которой отношение высот равно
отношению оснований. По условию x + y = 20. Решив данную систему двумя
уравнениями с двумя неизвестными, получаем следующее:

х = 84/13; y = 176/13.

Длина большей стороны треугольника равна 16 см. Число 0,4 является
разностью длин двух других его сторон. Чему равны стороны треугольника при
условии, что его периметр равен 0,38 м?

Схема решения задачи:

а (большая сторона треугольника) = 16 см.

b-с = 0,4 см., b = 0,4+с.

Периметр (Р) = 38 см.

16+0,4+с+с = 38 см.

2с = 21,6 см.

с = 21,6/2 = 10,8 см.

b = 10,8+0,4 = 11,2 см.

Каким способом можно доказать то, что два треугольника с равными сторонами
равны между собой при условии, что стороны одного из них равны стороне
другого?

Для равносторонних треугольников характерно равенство длин всех трех
сторон. Если одна его сторона равна а, то и обе другие тоже будут равны а.
Если же все стороны треугольников равны, то это равенство соблюдается по 3
признаку.

Длины двух сторон треугольника с периметром 19 см равны 6 см и 4 см. Чему
равна третья сторона данного треугольника?

Известно, что периметр треугольника является суммой длин всех его сторон и
рассчитывается по формуле:

Р = а+ b+с.

В данном случае:

19 = 6+4+с

19 = 10+с

с = 19-10 = 9 см.

Ответ: Длина третьей стороны треугольника – 9 см.

Наименьшая сторона треугольника имеет длину 5 см. Чему равны другие стороны
этого треугольника при условии, что стороны треугольника, являющегося
подобным ему, равны 8 см, 2 см и 9 см?

Сначала необходимо вычислить коэффициент подобия двух этих треугольников.
Он равен отношению сходственных сторон:

к = 5/2.

Теперь нужно рассчитать длины других сторон первого из треугольников. Одна
из них, которая является сходственной стороне второго из треугольников
длиной 8 см, рассчитывается следующим образом:

8*к = 9*5/2 = 20 см.

Еще одна сторона первого треугольника, сходственная стороне другого из
них, которая имеет длину 9 см, вычисляется так:

9*к = 9*5/2 = 22,5 см.

Три стороны треугольника имеют длины 8 см, 24 см и 22 см. Произведение длин
всех трех сторон подобного треугольника равно 66. Чему равны стороны
подобного треугольника?

Следует найти отношение этих сторон:

4/12/11.

Отношение всех сторон подобного треугольника будет таким же.

Одну из сторон подобного треугольника обозначим 4х, вторую сторону – 12х,
а третью – 11х. В результате получается следующее уравнение:

4х*12х*11х = 66

528х^3 = 66

x^3 = 66:528

x^3 = 0,125

x = корень 3-ей степени из 0,125 = 0,5.

Первая сторона треугольника = 4х = 4*0,5 = 2 см.

Вторая сторона треугольника = 12х = 12*0,5 = 6 см.

Третья сторона треугольника = 11х = 11*0,5 = 5,5 см.

Проверка: 2*6*5,5 = 66 см.

Две стороны треугольника имеют длины 6 см и 8 см. Его медиана, которая
проведена к третьей из сторон, равна √46 см. Чему равна третья сторона
треугольника?

Имеется треугольник АВС, в котором АВ = 6 см, ВС = 8 см, ВD – медиана на
АС = √46 см (2*АВ в квадрате+2*ВС в квадрате-АС в квадрате). √46 см. =
½*√(2*36+2*64-АС в квадрате), каждую часть возводим в квадрат,
4*46=72+128-АС в квадрате, АС в квадрате=16, АС=4.

Ответ: Длина третьей стороны треугольника равна 4 см.

Две из трех сторон треугольника равны 1 см и 3 см. Чему равна третья сторона
этого же треугольника?

Если предположить, что третья сторона треугольника равна 1 см, то в этом
случае не получится соблюсти неравенство 1 см+1 см = 2 см. В этом случае 3
см больше 2 см, а должно быть меньше. Если длина неизвестной стороны равна
2 см, то неравенство снова не соблюдается: 2 см+1 см = 3, тогда 3 см =3
см, чего тоже не может быть ввиду того, что одна из сторон треугольника
обязательно должна быть меньше суммы двух других его сторон. Если принять
длину третьей стороны равной 3 см, то получается 1 см+3 см = 4 см, 3<4. В этом случае неравенство выполняется. 3 см +3 см=6 см, 3<6. Неравенство снова соблюдено. Возьмем за длину третьей стороны 4 см: 3 см+1 см=4 см, 4=4. Неравенство не соблюдено. Это значит, что и последующими числами оно не будет соблюдено.

Ответ: Третья сторона треугольника равна 3 см.

Как узнать площадь треугольника, являющегося прямоугольным?

Для того чтобы рассчитать площадь треугольника (S) с прямыми углами,
следует воспользоваться приведенной ниже формулой:

S = ½* ab,

где a и b – катеты.

Как узнать площадь треугольника с прямыми углами, катеты которого равны 5 см
и 4 см?

Площадь треугольника с прямыми углами равна ½ от произведения его катетов:

S = (5*4)/2=20/2=10 см. кв.

Как узнать площадь треугольника, используя измерения и вычисления?

Для того чтобы получить возможность вычислить площадь треугольника,
необходимо произвести замеры его основания (а) и высоты (h). Тогда площадь
может быть рассчитана по следующей формуле:

S=ah/2.

Источник

Выбирайте формулу, ориентируясь на известные величины.

1. Если известны две соседние стороны

Просто перемножьте две стороны прямоугольника.

S — искомая площадь прямоугольника;
a и b — соседние стороны.

2. Если известны любая сторона и диагональ

Найдите квадраты диагонали и любой стороны прямоугольника.

От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.

Умножьте длину известной стороны на полученное число.

S — искомая площадь прямоугольника;
a — известная сторона;
d — любая диагональ (напомним: обе диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину).

3. Если известны любая сторона и диаметр описанной окружности

Найдите квадраты диаметра и любой стороны прямоугольника.

От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.

Умножьте известную сторону на полученное число.

S — искомая площадь прямоугольника;
a — известная сторона;
D — диаметр описанной окружности.

4. Если известны любая сторона и радиус описанной окружности

Найдите квадрат радиуса и умножьте результат на 4.

Отнимите от полученного числа квадрат известной стороны.

Найдите корень из результата и умножьте на него длину известной стороны.

S — искомая площадь прямоугольника;
a — известная сторона;
R — радиус описанной окружности.

5. Если известны любая сторона и периметр

Умножьте периметр на длину известной стороны.

Найдите квадрат известной стороны и умножьте полученное число на 2.

От первого произведения отнимите второе и разделите результат на 2.

S — искомая площадь прямоугольника;
a — известная сторона;
P — периметр прямоугольника (равен сумме всех сторон).

6. Если известны диагональ и угол между диагоналями

Найдите квадрат диагонали.

Разделите полученное число на 2.

Умножьте результат на синус угла между диагоналями.

S — искомая площадь прямоугольника;
d — любая диагональ прямоугольника;
α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

7. Если известны радиус описанной окружности и угол между диагоналями

Найдите квадрат радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Умножьте полученное число на 2, а потом на синус угла между диагоналями.

S — искомая площадь прямоугольника;
R — радиус описанной окружности;
α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

Как найти площадь прямоугольника – 9 способов с формулами и примерами

Самый простой способ – перемножить две стороны. Но иногда эти две стороны неизвестны.

Умножьте его ширину на высоту. Это самый простой способ найти площадь прямоугольника. Например, если ширина прямоугольника равна 4 см, а высота – 2 см, то площадь будет равна 4*2 = 8 см.

По диагонали и стороне

Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия:

Найти квадрат диагонали, то есть умножить ее на саму себя.
Найти квадрат известной стороны.
Из квадрата диагонали вычесть квадрат стороны.
Найти квадратный корень получившейся разности.
Умножить его на известную сторону.

Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь.

Квадрат стороны = 3*3 = 9 см.
Квадрат диагонали = 5*5 = 25 см.
Вычитаю из квадрата диагонали квадрат стороны: 25-9 = 16 см.
Нахожу квадратный корень получившейся разности. Корень из 16 = 4 см.
Умножаю корень разности на известную сторону: 16*9 = 144 см.

Диагональ в прямоугольнике – это гипотенуза, потому что она всегда находится напротив угла в 90 градусов. Найти диагональ можно по формуле нахождения гипотенузы, например, поделив катет угла A на синус угла A.

По стороне и диаметру описанной окружности

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Вам надо знать диаметр этой окружности и любую из сторон прямоугольника.

Найдите квадрат диаметра – умножьте диаметр на диаметр.
Найдите квадрат известной стороны.
Отнимите от квадрата диаметра квадрат стороны.
Найдите квадратный корень разности.
Умножьте квадратный корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр описанной окружности равен 10 см, а одна из сторон равна 8 см.

Квадрат диаметра: 10*10 = 100 см.
Квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
Отнимаю от квадрата диаметра квадрат стороны: 100-64 = 36 см.
Квадратный корень из 36 равен 6 см (потому что 6*6 = 36).
Умножаю сторону на корень из разности: 8*6 = 48 см.

Диаметр описанной окружности всегда равен диагонали прямоугольника. Смотрите:

А найти диагональ можно по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника.

Диаметр равен двум радиусам, потому что радиус – это половина диаметра.

По радиусу описанной окружности и стороне

Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше.

Найти квадрат радиуса (умножьте радиус на радиус).
Умножить квадрат радиуса на 4.
Найти квадрат известной стороны.
Отнять от четырех радиусов в квадрате квадрат известной стороны (из второго отнять третье).
Найти квадратный корень разности.
Умножить корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см, а одна из сторон равна 6 см.

Квадрат радиуса: 5*5=25 см.
Четыре квадрата радиуса: 4*25 = 100 см.
Квадрат стороны: 6*6 = 36 см.
Отнимаю от четырех радиусов в квадрате квадрат стороны: 100-36 = 64 см.
Нахожу квадратный корень разности. Корень из 64 равен 8 см.
Умножаю корень на сторону: 8*6 = 48 см.

Радиус = половине диаметра.

Радиус = половине гипотенузы прямоугольного треугольника, вокруг которого описана окружность. Потому что эта гипотенуза = диагонали прямоугольника = диаметру.

По стороне и периметру – 1 способ

Периметр – это сумма всех сторон прямоугольника. P=a+b+a+b. Другая формула периметра: P=2(a+b).

Если известен периметр и одна сторона, надо найти вторую сторону и перемножить их.

Пример. Периметр прямоугольника равен 14 см, а одна из сторон равна 3 см. Найдите площадь.

Нахожу вторую сторону прямоугольника:
1. P=2(a+b).
2. P=2a+2b.
3. 14= 2*3+2b.
4. 14 = 6+2b.
5. 2b = 14-6 = 8.
6. b = 8/2.
7. b = 4.
Нахожу площадь по основной формуле. S = 3*4 = 12 см.

По стороне и периметру – 2 способ

Умножьте периметр на сторону.
Найдите квадрат стороны.
Умножьте квадрат стороны на 2.
Отнимите от произведения периметра и стороны два квадрата стороны (от первого отнимите третье).
Поделите на 2.

Пример. Сторона прямоугольника равна 8, а периметр равен 28. Найдите площадь.

Умножаю периметр на сторону: 8*28 = 224 см.
Нахожу квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
Умножаю квадрат стороны на два: 64*2 = 84 см.
Отнимаю из первого третье: 224-84 = 140 см.
Делю разность на два: 140/2 = 70 см.

По диагонали и углу между диагоналями

Диагонали прямоугольника всегда равны.

Найти квадрат диагонали (умножить диагональ на саму себя).
Найти половину этого квадрата – умножить его на 0,5.
Найти синус угла между диагоналями.
Умножить половину квадрата диагонали на синус угла между диагоналями.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

Квадрат диагонали: 10*10 = 100 см.
Половина этого квадрата: 0,5*100 = 50 см.
Синус угла между диагоналями: sin 30 градусов = 0,5.
Перемножаю половину квадрата и синус угла, чтобы найти площадь: 50*0,5 = 25 см.

Вот еще вам таблица основных значений из тригонометрии. Там как раз отмечено, что синус 30 градусов всегда равен 0,5 (1/2).

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ

Радиус описанной окружности равен половине ее диаметра, а диаметр равен диагонали прямоугольника. Надо найти диаметр и посчитать площадь по формуле выше.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

Находим длину диагонали: 6*2 =12 см.
Квадрат диагонали равен 144 см.
Половина квадрата: 72 см.
Синус 30 градусов равен 0,5.
Умножаем половину квадрата на синус: 72*0,5 = 36 см.

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ

Найти квадрат радиуса (умножить радиус на радиус).
Умножить квадрат радиуса на два.
Найти синус угла между диагоналями.
Умножить синус угла на два радиуса в квадрате.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6, а угол между диагоналями – 30 градусов.

Квадрат радиуса: 6*6 = 36.
Два радиуса в квадрате: 36*2 = 72.
Синус 30 градусов равен 0,5.
Произведение синуса и двух радиусов в квадрате: 72*0,5 = 36 см.

Покритикуйте статью и стиль подачи материала в комментариях, я внесу правки. Это моя вторая статья по математике, я хочу, чтобы они все были образцовыми.

Источник

Площадь прямоугольника

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Сегодня мы расскажем, как вычислять площадь прямоугольника.

Различные формулы вычисления площади (а их действительно немало), изучают в 8 классе школы.

Что такое площадь прямоугольника

Но для начала давайте все-таки дадим основные определения:

Прямоугольник – это геометрическая фигура, относящаяся к категории четырехугольников. Ее отличительная особенность в том, что противоположные стороны лежат на параллельных прямых (то есть параллельны друг другу) и равны.

А частным случаем прямоугольника, если у него все стороны равны между собой, является квадрат.

Площадь любой геометрической фигуры, формально говоря, это ее размер. Другими словами, размер того пространства, которое находится внутри границ фигуры.

В отношении четырехугольников применимо еще понятие «квадратура». С его помощью показывали, сколько квадратов вместится внутрь фигуры.

Собственно, отсюда и пошло современное обозначение площадей, когда речь идет о габаритах помещения или какой-то территории. Мы часто слышим «столько-то квадратных метров (миллиметров, сантиметров, километров)» или просто «столько-то квадратов».

Для площади геометрических фигур действуют определенные правила:

Она не может быть отрицательной.
У равных фигур всегда равные площади.
Если две фигуры не пересекаются друг с другом, то их общая площадь равна сумме площадей фигур по отдельности.
Если одна фигура вписана в другую, то ее площадь всегда меньше, чем у второй.

» alt=»»>

Обычно фигуры, которые имеют равные площади, называют « равновеликими».

Как найти площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника вычисляется по очень простой формуле – надо лишь перемножить его стороны.

Возьмем, к примеру, такой прямоугольник:

Площадь геометрической фигуры обычно обозначается латинской буквой «S». И тогда формула для конкретного примера будет:

Например, если мы имеем прямоугольник со сторонами 2 и 3 сантиметра, то его площадь составит 2 * 3 = 6 сантиметров.

Но бывают случаи, когда неизвестны размеры сторон прямоугольника, а площадь вычислить все равно надо. Для этого существуют более сложные формулы.

Формула площади прямоугольника через периметр

Если известна длина только одной стороны, но известен еще и периметр прямоугольника.

В этом случае есть два варианта.

периметр

считается по формуле

И тогда обратные расчеты выглядят вот так:

Площадь прямоугольника через диагональ

Известна одна сторона и длина диагонали.

Тут опять же есть два варианта. В первом случае вычисляем длину второй стороны, используя теорему Пифагора.

Второй вариант – опять же сразу прибегнуть к готовой формуле:

Если известны длина диагоналей и угол между ними.

В этом случае стоит воспользоваться вот такой формулой:

Вот и все, что нужно знать о вычислении площади прямоугольников.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (1)

Смех смехом, но я встречал довольно много людей, которые не могли высчитать площадь прямоугольника! Причем люди эти были с высшим образованием, выпускники технического ВУЗа. Вот так люди замечательно учатся!

Источник

Как найти площадь прямоугольника 3 класс

Названия геометрических фигур происходят от количества их сторон. Например, треугольник, четырехугольник, пятиугольник. Но есть фигуры, которые названы по другим признакам, например, прямоугольник, квадрат, ромб, трапеция. Все эти фигуры — четырехугольники, но отличаются друг от друга величиной углов и сторон.

Прямоугольник — четырехугольник с разными сторонами у которого все углы по 90 о .

Квадрат — прямоугольник, у которого все углы по 90 градусов и стороны равные.

Такие отличия есть и у других фигур, например, треугольники подразделяются на прямоугольные, равносторонние, равнобедренные и разносторонние. Свойства фигуры зависят как от количества сторон, так и от других характеристик — величины углов и сторон. Только измерив все параметры, можно точно описать фигуру и определить, какими формулами и правилами пользоваться при вычислениях.

Под этим термином понимают часть плоскости, ограниченной несколькими замкнутыми (соединенными) линиями. В результате соединения линий образуется отрезки, которые называются сторонами фигуры и точки соприкосновения, которые носят название вершин. У треугольника три стороны и три вершины, у четырехугольника — четыре стороны и четыре вершины.

В геометрии есть фигуры, которые выпадают из этого ряда. Это точка, прямая линия, отрезок, луч. Отличаются они от остальных фигур, тем, что не занимают никакой площади, это просто части линии.

Что такое площадь

Теперь рассмотрим еще одно понятие геометрии — площадь. Это часть плоскости, которая находится внутри многоугольника. Другими словами, все, что находится между сторонами фигуры и является ее площадью. Геометрия — часть математики, то есть, наука точная, которая стремится все измерить и описать цифрами. Не стала исключением и площадь. Часть плоскости, которая находится внутри фигуры, разбили на маленькие части с равными сторонами, идущими под прямым углом друг к другу. Такая фигура называется квадрат.

Квадрат — геометрическая фигура из четырех равных сторон и четырех прямых углов.

За единицу площади взяли квадрат, сторона которого равна единице длины (1 миллиметр, 1 метр, 1 сантиметр). Площадь, которую занимает квадрат со стороной 1 сантиметр назвали квадратный сантиметр (обозначает см 2 ). Если квадрат построен из сторон в 1 м, то его площадь 1 м 2 . Найти площадь фигуры — значит определить, сколько таких квадратиков можно поместить внутри фигуры.

Расчет площади прямоугольника

Разберем простую задачу — как высчитать площадь прямоугольника? Можно решить ее двумя способами. Самый простой, но самый длинный и трудоемкий — нарисовать прямоугольник и с помощью карандаша и линейки разбить его на маленькие квадратики. Затем посчитать количество квадратиков и узнать, сколько их поместилось внутри.

Такой способ простой и доступный, если длина сторон прямоугольника — целое количество сантиметров или метров. А вот при их нецелом количестве, например стороны три с половиной и четыре с половиной сантиметра (3,5 см и 4,5 см), посчитать сложнее. Еще сложнее, если стороны, например 3см и 2 мм и 4 см и 7 мм. Рисовать придется миллиметровые квадратики, что довольно сложно и долго.

Ученые древности, идя таким путем заметили интересную особенность, если посчитать квадраты внутри фигуры и сравнить их с результатом умножения длин сторон прямоугольника, то они окажутся одинаковыми. Проверив это на многих прямоугольниках и квадратах составили правило:

Площадь прямоугольника равна длине умноженной на ширину.

В учебниках можно найти и другую формулировку — площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон, или еще иначе — площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту. Суть этих утверждений одна и та же. Выражается она в формуле:

S=AB ∙BC.

Как уже говорилось, площадь измеряется в квадратных единицах — метрах, сантиметрах, дециметрах. Результат может быть как целым, так и дробным, например, 4 см 2 , 6 см 2 , или 4,6 см 2 (4см 2 и 6мм 2 ).

Использование этой формулы — самый простой способ, как вычислить площадь прямоугольника с разными сторонами. Подходит он и для решения задачи вычисления квадрата (прямоугольника с равными сторонами). Для квадрата формула может выглядеть несколько иначе.

S=АВ 2

Как она получалась? Начнем с основной формулы S=AB ∙BC. У квадрата АВ=ВС, отсюда S= АВ ∙ АВ = АВ 2 .

Периметр

Еще одна важная характеристика прямоугольника — периметр. Это сумма длин всех сторон. Периметр легко найти, измерив все стороны и сложив результаты. Но, как и в случае с площадью, лучше воспользоваться формулой. Сначала найдем периметр квадрата:

Р = АВ+ВС+СD+AD.

Но у квадрата все стороны одинаковые, значит, выражение можно записать иначе:

Р= АВ+АВ=АВ=АВ = 4 ∙ АВ, или 4АВ.

Для прямоугольника с разными сторонами периметр находится по такой же формуле:

Р = АВ+ВС+СD+AD.

Но здесь равны не все стороны, а только противоположные:

АВ= СD и ВС= AD

Перепишем начальную формулу по-другому:

Р= (АВ +СD) и (ВС + AD). Из равенства сторон получим Р=2АВ+2ВС + 2(АВ+ВС). Словами это будет звучать так:

Периметр прямоугольника равен сумме соседних сторон умноженной на два.

Как видно из приведенных утверждений, площадь и периметр прямоугольника можно вычислить двумя способами — непосредственным измерением и вычислением. Второй способ намного удобнее, особенно, если приходится находить площади и периметры реальных участков, например, площадки под строительство, дачного участка, комнаты.

Смотрите также другие геометрические фигуры:

Источник

Площадь прямоугольника

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Сегодня мы расскажем, как вычислять площадь прямоугольника.

Различные формулы вычисления площади (а их действительно немало), изучают в 8 классе школы.

Что такое площадь прямоугольника

Но для начала давайте все-таки дадим основные определения:

Прямоугольник является параллелограммом (что это такое?) и выглядит вот так:

А частным случаем прямоугольника, если у него все стороны равны между собой, является квадрат.

Для площади геометрических фигур действуют определенные правила:

Она не может быть отрицательной.
У равных фигур всегда равные площади.
Если две фигуры не пересекаются друг с другом, то их общая площадь равна сумме площадей фигур по отдельности.
Если одна фигура вписана в другую, то ее площадь всегда меньше, чем у второй.

Обычно фигуры, которые имеют равные площади, называют «равновеликими».

Как найти площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника вычисляется по очень простой формуле – надо лишь перемножить его стороны.

Возьмем, к примеру, такой прямоугольник:

Формула площади прямоугольника через периметр

Если известна длина только одной стороны, но известен еще и периметр прямоугольника.

В этом случае есть два варианта.

Первый — вычислить длину второй стороны. Для этого надо вспомнить, что периметр (обозначается буквой «Р») считается по формуле:

И тогда обратные расчеты выглядят вот так:

Ну а после того, как станет известна длина второй стороны прямоугольника, можно прибегнуть к классической формуле.
Ну и второй вариант – воспользоваться сразу готовой формулой:

Площадь прямоугольника через диагональ

Известна одна сторона и длина диагонали.

Тут опять же есть два варианта. В первом случае вычисляем длину второй стороны, используя теорему Пифагора.

Второй вариант – опять же сразу прибегнуть к готовой формуле:
Если известны длина диагоналей и угол между ними.

В этом случае стоит воспользоваться вот такой формулой:

Вот и все, что нужно знать о вычислении площади прямоугольников.

Источник

Самый простой способ – перемножить две стороны. Но иногда эти две стороны неизвестны.

11 489

По диагонали и стороне

Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия:

Найти квадрат диагонали, то есть умножить ее на саму себя.
Найти квадрат известной стороны.
Из квадрата диагонали вычесть квадрат стороны.
Найти квадратный корень получившейся разности.
Умножить его на известную сторону.

Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь.

Квадрат стороны = 3*3 = 9 см.
Квадрат диагонали = 5*5 = 25 см.
Вычитаю из квадрата диагонали квадрат стороны: 25-9 = 16 см.
Нахожу квадратный корень получившейся разности. Корень из 16 = 4 см.
Умножаю корень разности на известную сторону: 16*9 = 144 см.

Ответ: 144 см.

Обратите внимание

Диагональ в прямоугольнике – это гипотенуза, потому что она всегда находится напротив угла в 90 градусов. Найти диагональ можно по формуле нахождения гипотенузы, например, поделив катет угла A на синус угла A.

По стороне и диаметру описанной окружности

Действия:

Найдите квадрат диаметра – умножьте диаметр на диаметр.
Найдите квадрат известной стороны.
Отнимите от квадрата диаметра квадрат стороны.
Найдите квадратный корень разности.
Умножьте квадратный корень на известную сторону.

Квадрат диаметра: 10*10 = 100 см.
Квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
Отнимаю от квадрата диаметра квадрат стороны: 100-64 = 36 см.
Квадратный корень из 36 равен 6 см (потому что 6*6 = 36).
Умножаю сторону на корень из разности: 8*6 = 48 см.

Ответ: 48 см.

Лайфхак

Диаметр описанной окружности всегда равен диагонали прямоугольника. Смотрите:

А найти диагональ можно по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника.

Диаметр равен двум радиусам, потому что радиус – это половина диаметра.

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

По радиусу описанной окружности и стороне

Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше.

Другой способ:

Найти квадрат радиуса (умножьте радиус на радиус).
Умножить квадрат радиуса на 4.
Найти квадрат известной стороны.
Отнять от четырех радиусов в квадрате квадрат известной стороны (из второго отнять третье).
Найти квадратный корень разности.
Умножить корень на известную сторону.

Квадрат радиуса: 5*5=25 см.
Четыре квадрата радиуса: 4*25 = 100 см.
Квадрат стороны: 6*6 = 36 см.
Отнимаю от четырех радиусов в квадрате квадрат стороны: 100-36 = 64 см.
Нахожу квадратный корень разности. Корень из 64 равен 8 см.
Умножаю корень на сторону: 8*6 = 48 см.

Ответ: 48 см.

Помните

Радиус = половине диаметра.

Радиус = половине гипотенузы прямоугольного треугольника, вокруг которого описана окружность. Потому что эта гипотенуза = диагонали прямоугольника = диаметру.

По стороне и периметру – 1 способ

Периметр – это сумма всех сторон прямоугольника. P=a+b+a+b. Другая формула периметра: P=2(a+b).

Если известен периметр и одна сторона, надо найти вторую сторону и перемножить их.

Пример. Периметр прямоугольника равен 14 см, а одна из сторон равна 3 см. Найдите площадь.

Нахожу вторую сторону прямоугольника:
1. P=2(a+b).
2. P=2a+2b.
3. 14= 2*3+2b.
4. 14 = 6+2b.
5. 2b = 14-6 = 8.
6. b = 8/2.
7. b = 4.
Нахожу площадь по основной формуле. S = 3*4 = 12 см.

Ответ: 12 см.

По стороне и периметру – 2 способ

Действия такие:

Умножьте периметр на сторону.
Найдите квадрат стороны.
Умножьте квадрат стороны на 2.
Отнимите от произведения периметра и стороны два квадрата стороны (от первого отнимите третье).
Поделите на 2.