Как найти площадь фигуры через функцию



Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая  определяет ось , прямые  параллельны оси  и парабола  симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке   график функции  расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,  и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ:  – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы  и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования.  Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой  всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
 – именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке  некоторая непрерывная функция  больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке  парабола располагается выше прямой, а поэтому из  нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось  задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу  либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую  можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке  над осью  расположен график прямой ;
2) на отрезке  над осью  расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс  зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой  и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:

и находим его корни:
 – нижний предел интегрирования,  – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция  (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

1.9. Объём тела вращения

1.7. Геометрический смысл определённого интеграла

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

На этой странице вы узнаете:

• Как связаны Ньютон и Лейбниц?
• Почему площадь криволинейной трапеции считается через интеграл?

Интеграл

В топ-5 страшилок по математике неизменно входит интеграл. Так ли он ужасен на самом деле? 

Если объяснять простыми словами, интеграл — это площадь фигуры под графиком функции. Например, в геометрии есть формулы, чтобы посчитать площадь прямоугольника или треугольника, а если нужно посчитать площадь фигуры с кривой стороной, заданной функцией, поможет интеграл.

Если у функции y = f(x) есть первообразная y = F(x), тогда множество значений первообразных у = F(x) + С называют неопределенным интегралом функции y = f(x)

Записывается это следующим образом:

(int f(x)dx = F(x) + C)

Какие бывают интегралы?

Интегралы бывают неопределенные и определенные.

Рассмотрим определенный интеграл. У такого интеграла в отличие от неопределенного есть предел интегрирования, то есть определённый отрезок.

Определенный интеграл функции на отрезке [a; b] – это приращение первообразных

Записывается это следующим образом:

(intlimits_a^b f(x)dx = F(b) — F(a))

Для данного интеграла пределом является отрезок от a до b

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b], то 

где F(x) – первообразная для функции f(x),
a – нижний предел интегрирования, 
b – верхний предел интегрирования

Данная формула применяется для вычисления определенного интеграла

Пример вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница:

Интеграл для нахождения площади фигуры

Представим, что нам нужно посчитать расстояние, пройденное автомобилем с непостоянной скоростью в промежуток времени [a; b]. 

Нарисуем график.

Скорость автомобиля V изменяется с течением времени, как f(t). Тогда, чтобы её найти, нам нужно посчитать площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(t) на отрезке [a; b]. Такой фигурой будет являться криволинейная трапеция, а посчитать площадь можно с помощью интеграла. Далее мы подробно разберем, как это сделать.

Криволинейная трапеция – это фигура на плоскости, ограниченная графиком непрерывной функции на определенном отрезке, прямыми линиями и осью абсцисс.

На данном рисунке фигура ограничена y = f(x), x = a, x = b, y = 0

Как найти площадь фигуры, используя интеграл?

Площадь такой фигуры, расположенной над осью абсцисс, можно посчитать, вычислив определённый интеграл по уже известной формуле Ньютона-Лейбница.

(S = intlimits_a^b f(x)dx)

А если фигура расположена под осью абсцисс, для вычисления площади фигуры нужно добавить минус к изначальной формуле.

(S = -intlimits_a^b f(x)dx)

Если нужно найти площадь фигуры, ограниченной двумя функциями f(x) и g(x), то сначала данные функции приравниваются, так находится предел, а далее определяется функция, которая находится выше, и записывается формула

(S = intlimits_a^b (f(x) — g(x))dx)

где f(x) – функция находящаяся выше
g(x) – функция находящаяся ниже
a и b – границы предела

Пример:

Найти площадь фигуры ограниченной функциями y=x² — 2 и y = -x

Фактчек

• Интеграл — это площадь фигуры, находящейся под графиком функции.
• Неопределённый интеграл функции fx : (int f(x)dx = F(x) + C)
• Определенный интеграл функции fx на отрезке [a; b] : (intlimits_a^b f(x)dx = F(b) — F(a))
• Формула Ньютона-Лейбница (intlimits_a^b f(x)dx = F(x) |_a^b = F(b) — F(a))
• Формула для нахождения криволинейной трапеции над осью х 
  (S = intlimits_a^b f(x)dx)
• Формула для нахождения криволинейной трапеции под осью х
  (S = -intlimits_a^b f(x)dx)
• Формула для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя функциями
  (S = intlimits_a^b (f(x) — g(x))dx), где 
  f(x) – функция находящаяся выше
  g(x) – функция находящаяся ниже

Проверь себя

Задание 1.
Найдите значение интеграла (intlimits_1^5 3dx)

1. 3
2. 5
3. 12
4. 14

Задание 2.
Вычислите площадь фигуры ограниченной (y = sin x, x = 0,  x = frac{pi}{2})

1. 1
2. 0
3. 1,5
4. 2

Задание 3.
Вычислите площадь фигуры ограниченной y = 2x² — 5, x = -1,  x = 1

1. 9
2. (8frac{2}{3})
3. (frac{20}{3})
4. 8

Задание 4.
Вычислите площадь фигуры ограниченной y = x² — 3 и y = -2x² + 9

1. 32
2. 18
3. 24
4. 2

Ответы:  1. – 3; 2. – 1; 3. – 2; 4. – 1

Вычисление площади фигуры – это, пожалуй, одна из наиболее сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить площади основных геометрических фигур таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т.п. Однако зачастую приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.

Определение.

Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).

Определенный интеграл ʃ_а^b f(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл  ʃ_а^b f(x)dx.

Таким образом, S(G) = ʃ_а^b f(x)dx.

В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃ_а^b f(x)dx.

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³; у = 1; х = 2.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.

Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.

Используя формулу S = ʃ_а^b f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:

{у = х³,
{у = 1.

Таким образом, имеем х₁ = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.

Итак, S = S_DACE – S_DABE = ʃ₁² x³ dx – 1 = x⁴/4|₁² – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).

Ответ: 11/4 кв. ед.

Пример 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х; у = 2; х = 9.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая ограничена сверху графиком функции

у = √х, а снизу графиком функции у = 2. Полученная фигура показана штриховкой на рис. 3.

Искомая площадь равна S = ʃ_а^b(√x – 2). Найдем пределы интегрирования: b = 9, для нахождения а, решим систему двух уравнений:

{у = √х,
{у = 2.

Таким образом, имеем, что х = 4 = а – это нижний предел.

Итак, S = ∫₄⁹ (√x – 2)dx = ∫₄⁹ √x dx –∫₄⁹ 2dx = 2/3 x√х|₄⁹ – 2х|₄⁹ = (18 – 16/3) – (18 – = 2 2/3 (кв. ед.).

Ответ: S = 2 2/3 кв. ед.

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³ – 4х; у = 0; х ≥ 0.

Решение.

Построим график функции у = х³ – 4х при х ≥ 0. Для этого найдем производную у’:

y’ = 3x² – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критические точки.

Если изобразить критические точки на числовой оси и расставить знаки производной, то получим, что функция убывает от нуля до 2/√3 и возрастает от 2/√3 до плюс бесконечности. Тогда х = 2/√3 – точка минимума, минимальное значение функции у_min = -16/(3√3) ≈ -3.

Определим точки пересечения графика с осями координат:

если х = 0, то у = 0, а значит, А(0; 0) – точка пересечения с осью Оу;

если у = 0, то х³ – 4х = 0 или х(х² – 4) = 0, или х(х – 2)(х + 2) = 0, откуда х₁ = 0, х₂ = 2, х₃ = -2 (не подходит, т.к. х ≥ 0).

Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох.

Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.

Так как функция у = х³ – 4х принимает на (0; 2) отрицательное значение, то

S = |ʃ₀² (x³ – 4x)dx|.

Имеем: ʃ₀² (x³ – 4х)dx =(x⁴/4 – 4х²/2)|₀²= -4, откуда S = 4 кв. ед.

Ответ: S = 4 кв. ед.

Пример 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х² – 2х + 1, прямыми  х = 0, у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х₀ = 2.

Решение.

Сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х² – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.

Так как производная y’ = 4x – 2, то при х₀ = 2 получим k = y’(2) = 6.

Найдем ординату точки касания: у₀ = 2 · 2² – 2 · 2 + 1 = 5.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.

Построим фигуру, ограниченную линиями:

у = 2х² – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.

Г_у =  2х² – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение  2х² – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:

x_b = -b/2a;

x_b = 2/4 = 1/2;

y_b = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).

Итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.

Имеем: S_ОAВD = S_OABC – S_ADBC.

Найдем координаты точки D из условия:

6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Площадь треугольника DBC найдем по формуле S_ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,

S_ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.

Далее:

S_OABC = ʃ₀²(2x² – 2х + 1)dx = (2x³/3 – 2х²/2 + х)|₀² = 10/3 (кв. ед.).

Окончательно получим: S_ОAВD = S_OABC – S_ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).

Ответ: S = 1 1/4 кв. ед.

Мы разобрали примеры нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями. Для успешного решения подобных задач нужно уметь строить на плоскости линии и графики функций, находить точки пересечения линий, применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие умений и навыков вычисления определенных интегралов.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.