Как найти площадь фигуры через радиус - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данной статье речь пойдёт о том, как выразить площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, через радиус этой окружности. Сразу стоит отметить, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Однако, если это возможно, то формула, по которой вычисляется площадь такого многоугольника, становится очень простой. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите прилагающийся видеоурок, и вы узнаете, как же выразить площадь многоугольника через радиус вписанной в него окружности.

Формула площади многоугольника через радиус вписанной окружности

Нарисуем многоугольник A₁A₂A₃A₄A₅, не обязательно правильный, но такой, в который можно вписать окружность. Напомню, что вписанной называется окружность, которая касается всех сторон многоугольника. На рисунке это зелёная окружность с центром в точке O:

Мы взяли здесь для примера 5-угольник. Но на самом деле это не имеет существенного значения, поскольку дальнейшее доказательство справедливо и для 6-угольника и для 8-угольника и вообще для любого сколь угодно «угольника».

Если соединить центр вписанной окружности со всеми вершинами многоугольника, то он разобьётся на столько треугольников, сколько вершин в данном многоугольнике. В нашем случае: на 5 треугольников. Если же соединить точку O со всеми точками касания вписанной окружности со сторонами многоугольника, то получится 5 отрезков (на рисунке снизу это отрезки OH₁, OH₂, OH₃, OH₄ и OH₅), которые равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам многоугольника, к которым они проведены. Последнее справедливо, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной:

Как же найти площадь нашего описанного многоугольника? Ответ прост. Нужно сложить площади всех полученных в результате разбиения треугольников:

$[ S = S_{OA_1A_2}+S_{OA_2A_3}+S_{OA_3A_4}+S_{OA_4A_5}+S_{OA_5A_1}. ]$

Рассмотрим, чему равна площадь треугольника $S_{OA_1A_2}$ . На рисунке снизу он выделен жёлтым цветом:

Она равна половине произведения основания A₁A₂ на высоту OH₁, проведённую к этому основанию. Но, как мы уже выяснили, эта высота равна радиусу вписанной окружности. То есть формула площади треугольника принимает вид: $S=frac{1}{2}rcdot A_1A_2$ , где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находятся площади всех оставшихся треугольников. В результате искомая площадь многоугольника оказывается равна:

$[ S = frac{1}{2}rcdot A_1A_2 + frac{1}{2}rcdot A_2A_3+ ]$

$[ +frac{1}{2}rcdot A_3A_4+frac{1}{2}rcdot A_4A_5+frac{1}{2}rcdot A_5A_1. ]$

Видно, что во всех слагаемых этой суммы ест общий множитель $frac{1}{2}r$ , который можно вынести за скобки. В результате получится вот такое выражение:

$[ S = frac{1}{2}rleft(A_1A_2 +A_2A_3 +A_3A_4 +A_4A_5 +A_5A_1right). ]$

То есть в скобках осталась просто сумма всех сторон многоугольника, то есть его периметр P. Чаще всего в этой формуле выражение $frac{1}{2}P$ заменяют просто на p и называют эту букву «полупериметром». В результате, окончательная формула принимает вид:

То есть площадь многоугольника, в который вписана окружность известного радиуса, равна произведению этого радиуса на полупериметр многоугольника. Это и есть тот результат, в которому мы стремились.

Отметит напоследок, что в треугольник, который является частным случаем многоугольника, всегда можно вписать окружность. Поэтому для треугольника эту формулу можно применять всегда. Для остальных многоугольников, с количеством сторон большим 3, сперва нужно убедиться, что в них можно вписать окружность. Если это так, можно смело использовать эту простую формулу и находить по ней площадь этого многоугольника.

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич

Источник

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

b — верхнее основание

a — нижнее основание

c — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

O — центр вписанной окружности

H — высота трапеции

α, β — углы трапеции

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d — диагональ трапеции

α, β — углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

m — средняя линия трапеции

c — боковая сторона

α, β — углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

b — верхнее основание

a — нижнее основание

h — высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

Источник

На странице собраны калькуляторы и формулы, которые помогут найти и рассчитать площадь правильного многоугольника по стороне и количеству сторон, а также зная радиус вписанной и описанной окружностей.

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны.

Содержание:

калькулятор площади правильного многоугольника
формула площади правильного многоугольника через длину стороны
формула площади правильного многоугольника радиус вписанной окружности
формула площади правильного многоугольника радиус описанной окружности
пример задачи

Формула площади правильного многоугольника через длину стороны и число сторон

S = dfrac{na^2}{4} cdot ctg dfrac{180°}{n}

a — длина стороны многоугольника

n — число сторон многоугольника

Формула площади правильного многоугольника через радиус вписанной окружности

S = nr^2 tg dfrac{180°}{n}

r — радиус вписанной в многоугольник окружности

n — число сторон многоугольника

Формула площади правильного многоугольника через радиус описанной окружности

S = dfrac{nR^2}{2} cdot sin dfrac{360°}{n}

R — радиус описанной в многоугольник окружности

n — число сторон многоугольника

Пример задачи на нахождение площади правильного многоугольника

Задача 1

Найдите площадь правильного n-угольника, если n = 6, r = 9 см, где r — радиус вписанной окружности.

Решение

Чтобы решить эту задачу мы используем вторую формулу.

S = nr^2 tg dfrac{180°}{n} = 6 cdot 9^2 cdot tg dfrac{180°}{6} = 6 cdot 81 cdot tg 30° = 486 cdot tg 30° = 486 cdot 0.57735027 approx 280.59223 : см^2

Ответ: 486 cdot tg 30° approx 280.59223 : см^2

Чтобы проверить ответ воспользуемся калькулятором .

Источник

Формулы площади геометрических фигур

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона

S = √p(p — a)(p — b)(p — c)
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
a, b, c — длины сторон треугольника,
h — высота треугольника,
γ — угол между сторонами a и b,
r — радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,

p = a + b + c — полупериметр треугольника.

2

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

S = a²
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

S = a · b

где S — Площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

S = a · b · sin α
Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

где S — Площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
h — длина высоты параллелограмма,
d₁, d₂ — длины диагоналей параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма,
γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

S = a² · sin α
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — Площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба,
α — угол между сторонами ромба,
d₁, d₂ — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

Формула Герона для трапеции

S = a + b √(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d)

|a — b|
Формула площади трапеции по длине основ и высоте

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,

p = a + b + c + d — полупериметр трапеции.

2

Формулы площади выпуклого четырехугольника

Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:

где S — площадь четырехугольника,
d₁, d₂ — длины диагоналей четырехугольника,
α — угол между диагоналями четырехугольника.
Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)

Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

S = p · r
Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos²θ

где S — площадь четырехугольника,

a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,

p = a + b + c + d2 — полупериметр четырехугольника,

θ = α + β2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

Формулы площади круга

Формула площади круга через радиус
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

S = π r²
Формула площади круга через диаметр
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

где S — Площадь круга,
r — длина радиуса круга,
d — длина диаметра круга.

Формулы площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

S = π · a · b

где S — Площадь эллипса,

a — длина большей полуоси эллипса,

b — длина меньшей полуоси эллипса.

Источник

Нужно найти площадь круга – как можно решить задачу и какие методы для этого использовать? Подробно рассмотрим эту тему и научимся без труда решать типовые задания по математике.

Определения и основные понятия

Перед тем, как приступить к разбору формул и решению задач, нужно запомнить основные определения:

Круг – плоская геометрическая фигура, представляющая собой скопление точек в пределах окружности.
Окружность – замкнутая линия определенной длины (L), каждая из точек которой равномерно отдалена от центра (О).
Радиус (r) – расстояние от центра до окружности.
Диаметр (d) – линия, соединяющая две точки, расположенные на окружности, и пересекающая центр. При этом, d = 2*r.
π – константа, округленное значение которой равно 3,14.

Площадь круга через диаметр

Для нахождения площади круга можно использовать несколько методов в зависимости от того, о чем говорится в задании. Если мы знаем величину диаметра, то площадь можно найти по формуле S = d²:4*π. То есть диаметр нам нужно возвести в квадрат, а затем разделить получившееся значение на четыре и умножить на 3,14.

Также этим методом можно воспользоваться, если известен радиус. Для этого требуется умножить его на два, в результате чего удастся узнать диаметр. После этого площадь можно будет найти по указанной ранее формуле.

Площадь круга через радиус и длину окружности

Найти площадь такой фигуры, как круг, можно и через радиус, если воспользоваться формулой S = π*r², то есть квадрат радиуса нужно умножить на число Пи. В этом случае диаметр искать не придется, а значит задачу можно будет решить более простым путем.

Еще один способ доступен, если известна длина окружности. Ее требуется возвести в квадрат и разделить на произведение четырех и числа Пи: S = L²:(4*π).

Задачи для тренировки

Теперь, когда основные формулы уже рассмотрены, стоит закрепить свои знания на примере задач из школьной программы. Допустим, нам нужно найти S круга, если известно, что:

радиус равен 8 дм. В этом случае S = 3.14*8² = 200,96 дм².
диаметр равен 12 см. Вычисляем S = 12²:4*3,14 = 113,04 см².
длина окружности равна 16 м. То есть: S = 16²:(4*3,14) = 20,38 м².

Тема, которую мы рассмотрели, не является сложной, особенно если тщательно ее разобрать. Это же касается и других тем по математике – важно своевременно закреплять свои знания, и тогда удастся преуспеть в изучении этого предмета.

Уделять внимание математике нужно с первых лет обучения в школе, ведь именно в начальных классах ребенку прививаются важнейшие базовые знания и навыки. Развитие математических способностей в младшем возрасте создаст надежную основу для дальнейшего обучения.

Источник

p =	a + b + c	— полупериметр треугольника.
2

p =	a + b + c + d	— полупериметр трапеции.
2

S =	a + b	√(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d)
\|a — b\|

Формула площади многоугольника через радиус вписанной окружности

Содержание:

Формула площади правильного многоугольника через длину стороны и число сторон

Формула площади правильного многоугольника через радиус вписанной окружности

Формула площади правильного многоугольника через радиус описанной окружности

Пример задачи на нахождение площади правильного многоугольника

Формулы площади геометрических фигур

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Формулы площади квадрата

Формула площади прямоугольника

Формулы площади параллелограмма

Формулы площади ромба

Формулы площади трапеции

Формулы площади выпуклого четырехугольника

Формулы площади круга

Формулы площади эллипса

Определения и основные понятия

Площадь круга через диаметр

Площадь круга через радиус и длину окружности

Задачи для тренировки