Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Данный калькулятор поможет найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, применяется одно из свойств интеграла. Это свойство аддитивности площадей, интегрируемых на одном и том же отрезке функции.
Аддитивность означает, что площадь замкнутой области, составленных из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур. Интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций. Вычисление интеграла производится по закону Ньютона-Лейбница, согласно которому результат равен разности первообразной функции от граничных значений интервала.
Калькулятор поможет вычислить площадь фигуры ограниченной линиями онлайн.
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Площадь фигуры ограниченной линиями
Что умеет?
- Находит точки пересечения указанных кривых линий
- Умный робот определяет области, где лежат фигуры, чтобы вычислить их площади. Он делает это, находя точки, где графики пересекаются.
- Помогает находить площади под графиками, вычисляя интегралы.
Примеры кривых
- С осями ординат x и y
-
y = x^2 + 1 y = 0 x = -1 x = 2
- Графики, заданные неявным образом
-
y = 3 xy = 2 y^2 - x^2 = 3
- Две окружности
-
x^2 + y^2 = 4 x^2 + y^2 = 9
- В полярных координатах
-
r = 2(1 - cos(p)) r = 2
- Парабола и прямая линия
-
y = (x + 2)^2 y = 4
-
y = (x + 2)^2 y = 1 - x
-
y = x^2 x + y = 2
- Корень квадратный
-
y = x^2 y = sqrt(x)
- С экспонентой и численным решением
-
y = (2x+3)*e^(-x) x^2 = y
- Параметрически-заданная функция
-
x = 2(t - sint) y = 3(1 - cost)
Указанные выше примеры содержат также:
- модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
-
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) -
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
-
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x) -
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) -
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) -
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) -
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x) -
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x) -
знак числа:
sign(x) -
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x) -
Факториал от x:
x! или factorial(x) - Гамма-функция gamma(x)
- Функция Ламберта LambertW(x)
-
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)
Правила ввода
Можно делать следующие операции
- 2*x
- — умножение
- 3/x
- — деление
- x^2
- — возведение в квадрат
- x^3
- — возведение в куб
- x^5
- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
Постоянные
- pi
- — число Пи
- e
- — основание натурального логарифма
- i
- — комплексное число
- oo
- — символ бесконечности
|
22:16 Как найти площадь фигуры ограниченной линиями онлайн |
|
Предлагаем Вашему вниманию калькулятор для нахождения площади фигуры ограниченной кривыми линиями. Калькулятор в автоматическом режиме составляет интеграл, находит границы интегрирования, а также рисует саму фигуру на координатной плоскости. Как частный случай, калькулятор находит площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x)≥0], прямыми x=a, x=b и отрезком [a,b] оси Ox находим по формуле $$S=int_{a}^{b}fleft ( x right )dx$$ Пример. Найти площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой y=2x^2+1 и прямыми x=1,x=2. Решение. Вставляем в калькулятор функции в виде y=2x^2+1,x=1,x=2, нажимаем «Ok», получаем ответ. II. Как найти площадь фигуры ограниченной линиями $$S=int_{a}^{b}left [f_2left ( x right )-f_1left ( x right ) right ]dx$$ Пример. Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=4x-x^2, y=4-x Решение. Вставляем функции y=4x-x^2, y=4-x в калькулятор, нажимаем «Ok», получаем ответ. Готовые примеры: Найдите площадь области, ограниченной кривыми. Следующая тема: Объем тела вращения. |
Категория: Площадь фигуры ограниченной кривыми | Просмотров: 544263 | | Теги: площадь фигуры ограниченной линиями, приложение интегралов | Рейтинг: 3.3/67 |
| Всего комментариев: 7 | 1 2 » |
|
Порядок вывода комментариев: |
|
| 1-3 4-6 | |
| bold{mathrm{Basic}} | bold{alphabetagamma} | bold{mathrm{ABGamma}} | bold{sincos} | bold{gedivrightarrow} | bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} | bold{sumspaceintspaceproduct} | bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} | bold{H_{2}O} | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ
Подписаться
Войдите, чтобы сохранять заметки
Войти
Показать Этапы
Номер Строки
Примеры
-
площадь:x,:x^{2},:0,:2
-
площадь:sin(x),:-sin(x),:[0,:2pi]
-
площадь:x^{2},:1
-
площадь:-1,:1,:-1,:1
- Показать больше
Описание
Шаг за шагом найти область между функциями
area-between-curves-calculator
ru
Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab
My Notebook, the Symbolab way
Math notebooks have been around for hundreds of years. You write down problems, solutions and notes to go back…
Read More
Введите Задачу
Сохранить в блокнот!
Войти
Калькулятор онлайн.
Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции).
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции).
Программа для вычисления определенного интеграла (площади криволинейной трапеции) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Вы можете посмотреть теорию о определенном интеграле.
Примеры подробного решения >>
Введите подинтегральную функцию и пределы интегрирования
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).
В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a < b)
и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции y = f(x); назовем эту фигуру криволинейной трапецией. Требуется
вычислить площадь криволинейной трапеции.
Решение. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга (сектора, сегмента). Используя
геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.
Разобьем отрезок [а; b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек x1,
x2, … xk, … xn-1. Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Тогда заданная
криволинейная трапеция разобьется на n частей, на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.
Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [xk; xk+1].
Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(xk) (см. рисунок). Площадь прямоугольника равна
( f(x_k) cdot Delta x_k ), где ( Delta x_k ) — длина отрезка [xk; xk+1]; естественно
считать составленное произведение приближенным значением площади k-го столбика.
Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной криволинейной
трапеции приближенно равна площади Sn ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (см. рисунок):
( S_n = f(x_0)Delta x_0 + dots + f(x_k)Delta x_k + dots + f(x_{n-1})Delta x_{n-1} )
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х0, b = xn;
( Delta x_0 ) — длина отрезка [x0; x1],
( Delta x_1 ) — длина отрезка [x1; x2], и т.д;
при этом, как мы условились выше, ( Delta x_0 = dots = Delta x_{n-1} )
Итак, ( S approx S_n ), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (Sn):
$$ S = lim_{n to infty} S_n $$
Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки
за промежуток времени [а; b].
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения
приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени [tk; tk+1] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была
постоянной, такой, как в момент времени tk. Итак, мы считаем, что v = v(tk).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [tk; tk+1], это приближенное
значение обозначим sk
( s_k = v(t_k) Delta t_k )
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
( s approx S_n ) где
( S_n = s_0 + dots + s_{n-1} = v(t_0)Delta t_0 + dots + v(t_{n-1}) Delta t_{n-1} )
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (Sn):
$$ s = lim_{n to infty} S_n $$
Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей
науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.
Понятие определенного интеграла
Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x),
непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)Delta x_0 + f(x_1)Delta x_1 + dots + f(x_{n-1})Delta x_{n-1} $$
3) вычисляем $$ lim_{n to infty} S_n $$
В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует.
Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
( intlimits_a^b f(x) dx )
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).
Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
( S = intlimits_a^b f(x) dx )
здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное
в задаче 2, можно переписать так:
( S = intlimits_a^b v(t) dt )
Формула Ньютона — Лейбница
Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?
Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток
времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b v(t) dt )
С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s
выражается формулой s = s(b) — s(a). В итоге получаем:
( S = intlimits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) )
где s(t) — первообразная для v(t).
В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
( S = intlimits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) )
где F(x) — первообразная для f(x).
Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727)
и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.
На практике вместо записи F(b) — F(a) используют запись ( left. F(x)right|_a^b )
(ее называют иногда двойной подстановкой) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде:
( S = intlimits_a^b f(x) dx = left. F(x)right|_a^b )
Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.
Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.
Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
( intlimits_a^b (f(x) + g(x))dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_a^b g(x)dx )
Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
( intlimits_a^b kf(x)dx = k intlimits_a^b f(x)dx )
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских
фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками
непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ). Чтобы вычислить
площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
( S = S_{ABCD} = S_{aDCb} — S_{aABb} = intlimits_a^b f(x) dx — intlimits_a^b g(x) dx = )
( = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )
Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b]
и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ), вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )
Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций
$$ int 0 cdot dx = C $$
$$ int 1 cdot dx = x+C $$
$$ int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} +C ;; (n neq -1) $$
$$ int frac{1}{x} dx = ln |x| +C $$
$$ int e^x dx = e^x +C $$
$$ int a^x dx = frac{a^x}{ln a} +C ;; (a>0, ;; a neq 1) $$
$$ int cos x dx = sin x +C $$
$$ int sin x dx = -cos x +C $$
$$ int frac{dx}{cos^2 x} = text{tg} x +C $$
$$ int frac{dx}{sin^2 x} = -text{ctg} x +C $$
$$ int frac{dx}{sqrt{1-x^2}} = text{arcsin} x +C $$
$$ int frac{dx}{1+x^2} = text{arctg} x +C $$
$$ int text{ch} x dx = text{sh} x +C $$
$$ int text{sh} x dx = text{ch} x +C $$