Как найти площадь фигуры ограниченной линиями парабол

Вычисление площади фигуры – это, пожалуй, одна из наиболее сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить площади основных геометрических фигур таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т.п. Однако зачастую приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.

Определение.

Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).

Определенный интеграл ʃ_а^b f(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл  ʃ_а^b f(x)dx.

Таким образом, S(G) = ʃ_а^b f(x)dx.

В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃ_а^b f(x)dx.

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³; у = 1; х = 2.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.

Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.

Используя формулу S = ʃ_а^b f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:

{у = х³,
{у = 1.

Таким образом, имеем х₁ = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.

Итак, S = S_DACE – S_DABE = ʃ₁² x³ dx – 1 = x⁴/4|₁² – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).

Ответ: 11/4 кв. ед.

Пример 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х; у = 2; х = 9.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая ограничена сверху графиком функции

у = √х, а снизу графиком функции у = 2. Полученная фигура показана штриховкой на рис. 3.

Искомая площадь равна S = ʃ_а^b(√x – 2). Найдем пределы интегрирования: b = 9, для нахождения а, решим систему двух уравнений:

{у = √х,
{у = 2.

Таким образом, имеем, что х = 4 = а – это нижний предел.

Итак, S = ∫₄⁹ (√x – 2)dx = ∫₄⁹ √x dx –∫₄⁹ 2dx = 2/3 x√х|₄⁹ – 2х|₄⁹ = (18 – 16/3) – (18 – = 2 2/3 (кв. ед.).

Ответ: S = 2 2/3 кв. ед.

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³ – 4х; у = 0; х ≥ 0.

Решение.

Построим график функции у = х³ – 4х при х ≥ 0. Для этого найдем производную у’:

y’ = 3x² – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критические точки.

Если изобразить критические точки на числовой оси и расставить знаки производной, то получим, что функция убывает от нуля до 2/√3 и возрастает от 2/√3 до плюс бесконечности. Тогда х = 2/√3 – точка минимума, минимальное значение функции у_min = -16/(3√3) ≈ -3.

Определим точки пересечения графика с осями координат:

если х = 0, то у = 0, а значит, А(0; 0) – точка пересечения с осью Оу;

если у = 0, то х³ – 4х = 0 или х(х² – 4) = 0, или х(х – 2)(х + 2) = 0, откуда х₁ = 0, х₂ = 2, х₃ = -2 (не подходит, т.к. х ≥ 0).

Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох.

Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.

Так как функция у = х³ – 4х принимает на (0; 2) отрицательное значение, то

S = |ʃ₀² (x³ – 4x)dx|.

Имеем: ʃ₀² (x³ – 4х)dx =(x⁴/4 – 4х²/2)|₀²= -4, откуда S = 4 кв. ед.

Ответ: S = 4 кв. ед.

Пример 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х² – 2х + 1, прямыми  х = 0, у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х₀ = 2.

Решение.

Сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х² – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.

Так как производная y’ = 4x – 2, то при х₀ = 2 получим k = y’(2) = 6.

Найдем ординату точки касания: у₀ = 2 · 2² – 2 · 2 + 1 = 5.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.

Построим фигуру, ограниченную линиями:

у = 2х² – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.

Г_у =  2х² – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение  2х² – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:

x_b = -b/2a;

x_b = 2/4 = 1/2;

y_b = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).

Итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.

Имеем: S_ОAВD = S_OABC – S_ADBC.

Найдем координаты точки D из условия:

6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Площадь треугольника DBC найдем по формуле S_ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,

S_ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.

Далее:

S_OABC = ʃ₀²(2x² – 2х + 1)dx = (2x³/3 – 2х²/2 + х)|₀² = 10/3 (кв. ед.).

Окончательно получим: S_ОAВD = S_OABC – S_ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).

Ответ: S = 1 1/4 кв. ед.

Мы разобрали примеры нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями. Для успешного решения подобных задач нужно уметь строить на плоскости линии и графики функций, находить точки пересечения линий, применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие умений и навыков вычисления определенных интегралов.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

Находим
точки пересечения заданных линий. Для
этого решаем систему уравнений:

Для
нахождения абсцисс точек пересечения
заданных линий решаем уравнение:

   
или
   .

Находим: x₁ =
-2, x₂ =
4.

Итак,
данные линии, представляющие собой
параболу и прямую, пересекаются в
точках A(-2;
0), B(4;
6).

Эти
линии образуют замкнутую фигуру, площадь
которой вычисляем по указанной выше
формуле:

По
формуле Ньютона-Лейбница находим:

Найти
площадь области, ограниченной эллипсом .

Решение.

Из
уравнения эллипса для I
квадранта имеем .
Отсюда
по формуле  получаем

Применим
подстановку x = a sin t, dx = a cos t
dt.
Новые пределы интегрирования t = α и t = β определяются
из уравнений 0 = a sin t, a = a sin t.
Можно положить α =
0 и β = π/2.

Находим
одну четвертую искомой площади

Отсюда S = πab.

Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями y =
—x² + x +
4 и y =
—x +
1.

Решение.

Найдем
точки пересечения линий y =
—x² + x +
4, y =
—x +
1, приравнивая ординаты линий: —x² + x +
4 = —x +
1 или x² —
2x —
3 = 0. Находим корни x₁ =
-1, x₂ =
3 и соответствующие им ординаты y₁ =
2, y₂ =
-2.

По
формуле площади фигуры получаем

Определить
площадь, ограниченную параболой y = x² +
1 и прямой x + y =
3.

Решение.

Решая
систему уравнений

находим
абсциссы точек пересечения x₁ =
-2 и x₂ =
1.

Полагая y₂ =
3 — x и y₁ = x² +
1, на основании формулы  получаем

Вычислить
площадь, заключенную внутри лемнискаты
Бернулли r² = a²cos
2φ.

Решение.

В
полярной системе координат площадь
фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(φ)
и двумя полярными радиусами φ₁ = ʅ и φ₂ = ʆ,
выразится интегралом

В
силу симметрии кривой определяем сначала
одну четвертую искомой площади

Следовательно,
вся площадь равна S = a².

Вычислить
длину дуги астроиды x^2/3 + y^2/3 = a^2/3.

Решение.

Запишем
уравнение астроиды в виде

(x^1/3)² +
(y^1/3)² =
(a^1/3)².

Положим x^1/3 = a^1/3cos t, y^1/3 = a^1/3sin t.

Отсюда
получаем параметрические уравнения
астроиды

x = a cos³t,     y = a sin³t,     (*)

где
0 ≤ t ≤
2π.

Ввиду
симметрии кривой (*) достаточно найти
одну четвертую часть длины дуги L,
соответствующую изменению параметра t от
0 до π/2.

Получаем

dx =
-3a cos²t sin t
dt,     dy =
3a sin²t cos t
dt.

Отсюда
находим

Интегрируя
полученное выражение в пределах от 0
до π/2,
получаем

Отсюда L =
6a.

Найти
площадь, ограниченную спиралью
Архимеда r = aφ и
двумя радиусами-векторами, которые
соответствуют полярным углам φ₁и φ₂ (φ₁ < φ₂).

Решение.

Площадь,
ограниченная кривой r = f(φ)
вычисляется по формуле ,
где α и β —
пределы изменения полярного угла.

Таким
образом, получаем

     (*)

Из
(*) следует, что площадь, ограниченная
полярной осью и первым витком спирали
Архимеда (φ₁ =
0; φ₂ =
2π):

Аналогичным
образом находим площадь, ограниченную
полярной осью и вторым витком спирали
Архимеда (φ₁ =
2π; φ₂ =
4π):

Искомая
площадь равна разности этих площадей

Вычислить
объем тела, полученного вращением вокруг
оси Ox фигуры,
ограниченной параболами y = x² и x = y².

Решение.

Решим
систему уравнений

и
получим x₁ =
0, x₂ =
1, y₁ =
0, y₂ =
1, откуда точки пересечения кривых O(0;
0), B(1;
1). Как видно на рисунке, искомый объем
тела вращения равен разности двух
объемов, образованных вращением вокруг
оси Ox криволинейных
трапеций OCBA и ODBA:

Вычислить
площадь, ограниченную осью Ox и
синусоидой y =
sin x на
отрезках: а) [0, π];
б) [0, 2π].

Решение.

а)
На отрезке [0, π]
функция sin x сохраняет
знак, и поэтому по формуле ,
полагая y =
sin x,
находим

б)
На отрезке [0, 2π],
функция sin x меняет
знак. Для корректного решения задачи,
необходимо отрезок [0, 2π]
разделить на два [0, π]
и [π,
2π],
в каждом из которых функция сохраняет
знак.

По
правилу знаков, на отрезке [π,
2π]
площадь берется со знаком минус.

В
итоге, искомая площадь равна

Определить
объем тела, ограниченного поверхностью,
полученной от вращения эллипса  вокруг
большой оси a.

Решение.

Учитывая,
что эллипс симметричен относительно
осей координат, то достаточно найти
объем, образованный вращением вокруг
оси Oxплощади OAB,
равной одной четверти площади эллипса,
и полученный результат удвоить.

Обозначим
объем тела вращения через V_x;
тогда на основании формулы  имеем ,
где 0 и a —
абсциссы точек B и A.
Из уравнения эллипса находим .
Отсюда

Таким
образом, искомый объем равен .
(При вращении эллипса вокруг малой
оси b,
объем тела равен )

Найти
площадь, ограниченную параболами y² =
2px и x² =
2py.

Решение.

Сначала
найдем координаты точек пересечения
парабол, чтобы определить отрезок
интегрирования. Преобразуя исходные
уравнения, получаем  и .
Приравнивая эти значения, получим  или x⁴ —
8p³x =
0.

Отсюда

x⁴ —
8p³x = x(x³ —
8p³)
= x(x —
2p)(x² +
2px +
4p²)
= 0.

Находим
корни уравнений:

Учитывая
то факт, что точка A пересечения
парабол находится в первой четверти,
то пределы интегрирования x =
0 и x =
2p.

Искомую
площадь находим по формуле

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #



Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая  определяет ось , прямые  параллельны оси  и парабола  симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке   график функции  расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,  и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ:  – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы  и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования.  Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой  всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
 – именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке  некоторая непрерывная функция  больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке  парабола располагается выше прямой, а поэтому из  нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось  задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу  либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую  можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке  над осью  расположен график прямой ;
2) на отрезке  над осью  расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс  зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой  и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:

и находим его корни:
 – нижний предел интегрирования,  – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция  (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

1.9. Объём тела вращения

1.7. Геометрический смысл определённого интеграла

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Как найти площадь параболы ограниченной прямой

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

S ( G ) = ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неотрицательной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] ,

S ( G ) = — ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неположительной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] .

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y = f ( x ) или x = g ( y ) .

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Пусть функции y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) определены и непрерывны на отрезке [ a ; b ] , причем f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) для любого значения x из [ a ; b ] . Тогда формула для вычисления площади фигуры G , ограниченной линиями x = a , x = b , y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) будет иметь вид S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x .

Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y = c , y = d , x = g 1 ( y ) и x = g 2 ( y ) : S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) — g 1 ( y ) d y .

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G 1 равна площади фигуры G 2 . Это значит, что

Поэтому, S ( G ) = S ( G 2 ) — S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x .

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Во втором случае справедливо равенство: S ( G ) = S ( G 2 ) + S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x + — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Если обе функции неположительные, получаем: S ( G ) = S ( G 2 ) — S ( G 1 ) = — ∫ a b f 2 ( x ) d x — — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) пересекают ось O x .

Точки пересечения мы обозначим как x i , i = 1 , 2 , . . . , n — 1 . Эти точки разбивают отрезок [ a ; b ] на n частей x i — 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , где α = x 0 x 1 x 2 . . . x n — 1 x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S ( G i ) = ∫ x i — 1 x i ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

S ( G ) = ∑ i = 1 n S ( G i ) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x = = ∫ x 0 x n ( f 2 ( x ) — f ( x ) ) d x = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Формулу S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x можно считать доказанной.

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y = f ( x ) и x = g ( y ) .

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y = — x 2 + 6 x — 5 и прямыми линиями y = — 1 3 x — 1 2 , x = 1 , x = 4 .

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

На отрезке [ 1 ; 4 ] график параболы y = — x 2 + 6 x — 5 расположен выше прямой y = — 1 3 x — 1 2 . В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

S ( G ) = ∫ 1 4 — x 2 + 6 x — 5 — — 1 3 x — 1 2 d x = = ∫ 1 4 — x 2 + 19 3 x — 9 2 d x = — 1 3 x 3 + 19 6 x 2 — 9 2 x 1 4 = = — 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 — 9 2 · 4 — — 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 — 9 2 · 1 = = — 64 3 + 152 3 — 18 + 1 3 — 19 6 + 9 2 = 13

Ответ: S ( G ) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x = 7 . Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы y = x + 2 . Для нахождения абсциссы используем равенства:

y = x + 2 О Д З : x ≥ — 2 x 2 = x + 2 2 x 2 — x — 2 = 0 D = ( — 1 ) 2 — 4 · 1 · ( — 2 ) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 — 9 2 = — 1 ∉ О Д З

Получается, что абсциссой точки пересечения является x = 2 .

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y = x + 2 , y = x пересекаются в точке ( 2 ; 2 ) , поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале [ 2 ; 7 ] график функции y = x расположен выше графика функции y = x + 2 . Применим формулу для вычисления площади:

S ( G ) = ∫ 2 7 ( x — x + 2 ) d x = x 2 2 — 2 3 · ( x + 2 ) 3 2 2 7 = = 7 2 2 — 2 3 · ( 7 + 2 ) 3 2 — 2 2 2 — 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 — 18 — 2 + 16 3 = 59 6

Ответ: S ( G ) = 59 6

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y = 1 x и y = — x 2 + 4 x — 2 .

Решение

Нанесем линии на график.

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1 x и — x 2 + 4 x — 2 . При условии, что x не равно нулю, равенство 1 x = — x 2 + 4 x — 2 становится эквивалентным уравнению третьей степени — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 = 0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Корнем этого уравнения является х = 1 : — 1 3 + 4 · 1 2 — 2 · 1 — 1 = 0 .

Разделив выражение — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 на двучлен x — 1 , получаем: — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 ⇔ — ( x — 1 ) ( x 2 — 3 x — 1 ) = 0

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x 2 — 3 x — 1 = 0 :

x 2 — 3 x — 1 = 0 D = ( — 3 ) 2 — 4 · 1 · ( — 1 ) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; x 2 = 3 — 13 2 ≈ — 0 . 3

Мы нашли интервал x ∈ 1 ; 3 + 13 2 , на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

S ( G ) = ∫ 1 3 + 13 2 — x 2 + 4 x — 2 — 1 x d x = — x 3 3 + 2 x 2 — 2 x — ln x 1 3 + 13 2 = = — 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 — 2 · 3 + 13 2 — ln 3 + 13 2 — — — 1 3 3 + 2 · 1 2 — 2 · 1 — ln 1 = 7 + 13 3 — ln 3 + 13 2

Ответ: S ( G ) = 7 + 13 3 — ln 3 + 13 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y = x 3 , y = — log 2 x + 1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y = — log 2 x + 1 из графика y = log 2 x , если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у = 0 .

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y = x 3 и y = 0 пересекаются в точке ( 0 ; 0 ) . Так получается потому, что х = 0 является единственным действительным корнем уравнения x 3 = 0 .

x = 2 является единственным корнем уравнения — log 2 x + 1 = 0 , поэтому графики функций y = — log 2 x + 1 и y = 0 пересекаются в точке ( 2 ; 0 ) .

x = 1 является единственным корнем уравнения x 3 = — log 2 x + 1 . В связи с этим графики функций y = x 3 и y = — log 2 x + 1 пересекаются в точке ( 1 ; 1 ) . Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x 3 = — log 2 x + 1 не может иметь более одного корня, так как функция y = x 3 является строго возрастающей, а функция y = — log 2 x + 1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x ∈ 0 ; 1 , а вторая ниже красной линии на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это значит, что площадь будет равна S ( G ) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 ( — log 2 x + 1 ) d x .

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x ∈ 0 ; 2 , а вторая между красной и синей линиями на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S ( G ) = ∫ 0 2 x 3 d x — ∫ 1 2 x 3 — ( — log 2 x + 1 ) d x

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) — g 1 ( y ) ) d y . Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y .

Разрешим уравнения y = x 3 и — log 2 x + 1 относительно x :

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = — log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 — y ⇒ x = 2 1 — y

Получим искомую площадь:

S ( G ) = ∫ 0 1 ( 2 1 — y — y 3 ) d y = — 2 1 — y ln 2 — y 4 4 0 1 = = — 2 1 — 1 ln 2 — 1 4 4 — — 2 1 — 0 ln 2 — 0 4 4 = — 1 ln 2 — 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 — 1 4

Ответ: S ( G ) = 1 ln 2 — 1 4

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x , y = 2 3 x — 3 , y = — 1 2 x + 4 .

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y = x . Синим цветом нанесем линию y = — 1 2 x + 4 , черным цветом обозначим линию y = 2 3 x — 3 .

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций y = x и y = — 1 2 x + 4 :

x = — 1 2 x + 4 О Д З : x ≥ 0 x = — 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 — 4 x + 16 ⇔ x 2 — 20 x + 64 = 0 D = ( — 20 ) 2 — 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 — 144 2 = 4 П р о в е р к а : x 1 = 16 = 4 , — 1 2 x 1 + 4 = — 1 2 · 16 + 4 = — 4 ⇒ x 1 = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я x 2 = 4 = 2 , — 1 2 x 2 + 4 = — 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я ⇒ ( 4 ; 2 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = x и y = — 1 2 x + 4

Найдем точку пересечения графиков функций y = x и y = 2 3 x — 3 :

x = 2 3 x — 3 О Д З : x ≥ 0 x = 2 3 x — 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 — 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 — 45 x + 81 = 0 D = ( — 45 ) 2 — 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 — 729 8 = 9 4 П р о в е р к а : x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 — 3 = 2 3 · 9 — 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я ⇒ ( 9 ; 3 ) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = x и y = 2 3 x — 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 — 3 = 2 3 · 9 4 — 3 = — 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я

Найдем точку пересечения линий y = — 1 2 x + 4 и y = 2 3 x — 3 :

— 1 2 x + 4 = 2 3 x — 3 ⇔ — 3 x + 24 = 4 x — 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 — 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 — 3 = 1 ⇒ ( 6 ; 1 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = — 1 2 x + 4 и y = 2 3 x — 3

Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

S ( G ) = ∫ 4 6 x — — 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x — 2 3 x — 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 — 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 — x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 — 4 · 6 — 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 — 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 — 9 2 3 + 3 · 9 — 2 3 · 6 3 2 — 6 2 3 + 3 · 6 = = — 25 3 + 4 6 + — 4 6 + 12 = 11 3

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Тогда решим уравнение линии относительно x , а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

y = x ⇒ x = y 2 к р а с н а я л и н и я y = 2 3 x — 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л и н и я y = — 1 2 x + 4 ⇒ x = — 2 y + 8 с и н я я л и н и я

Таким образом, площадь равна:

S ( G ) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 — — 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 — y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y — 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 — y 2 d y = = 7 4 y 2 — 7 4 y 1 2 + — y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 — 7 4 · 2 — 7 4 · 1 2 — 7 4 · 1 + + — 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 — — 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S ( G ) = 11 3

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

или .

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Найти площадь области, ограниченной эллипсом .

Из уравнения эллипса для I квадранта имеем . Отсюда по формуле получаем

Применим подстановку x = a sin t, dx = a cos t dt. Новые пределы интегрирования t = α и t = β определяются из уравнений 0 = a sin t, a = a sin t. Можно положить α = 0 и β = π/2.

Находим одну четвертую искомой площади

Найдем точки пересечения линий y = —x 2 + x + 4, y = —x + 1, приравнивая ординаты линий: —x 2 + x + 4 = —x + 1 или x 2 — 2x — 3 = 0. Находим корни x₁ = -1, x₂ = 3 и соответствующие им ординаты y₁ = 2, y₂ = -2.

По формуле площади фигуры получаем

Решая систему уравнений

находим абсциссы точек пересечения x₁ = -2 и x₂ = 1.

Полагая y₂ = 3 — x и y₁ = x 2 + 1, на основании формулы получаем

В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(φ) и двумя полярными радиусами φ₁ = ʅ и φ₂ = ʆ, выразится интегралом

В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади

Следовательно, вся площадь равна S = a 2 .

Запишем уравнение астроиды в виде

Отсюда получаем параметрические уравнения астроиды

Ввиду симметрии кривой (*) достаточно найти одну четвертую часть длины дуги L, соответствующую изменению параметра t от 0 до π/2.

Интегрируя полученное выражение в пределах от 0 до π/2, получаем

Решим систему уравнений

и получим x₁ = 0, x₂ = 1, y₁ = 0, y₂ = 1, откуда точки пересечения кривых O(0; 0), B(1; 1). Как видно на рисунке, искомый объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций OCBA и ODBA:

а) На отрезке [0, π] функция sin x сохраняет знак, и поэтому по формуле , полагая y = sin x, находим

б) На отрезке [0, 2π], функция sin x меняет знак. Для корректного решения задачи, необходимо отрезок [0, 2π] разделить на два [0, π] и [π, 2π], в каждом из которых функция сохраняет знак.

По правилу знаков, на отрезке [π, 2π] площадь берется со знаком минус.

В итоге, искомая площадь равна

Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса вокруг большой оси a.

Учитывая, что эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси Oxплощади OAB, равной одной четверти площади эллипса, и полученный результат удвоить.

Обозначим объем тела вращения через V_x; тогда на основании формулы имеем , где 0 и a — абсциссы точек B и A. Из уравнения эллипса находим . Отсюда

Таким образом, искомый объем равен . (При вращении эллипса вокруг малой оси b, объем тела равен )

Сначала найдем координаты точек пересечения парабол, чтобы определить отрезок интегрирования. Преобразуя исходные уравнения, получаем и . Приравнивая эти значения, получим или x 4 — 8p 3 x = 0.

Находим корни уравнений:

Учитывая то факт, что точка A пересечения парабол находится в первой четверти, то пределы интегрирования x = 0 и x = 2p.

Ключевые слова: найти площадь фигуры на рисунке, заштрихованной, закрашенной, плоской, сложной фигуры, вычислить площадь фигуры.

Предлагаем Вашему вниманию калькулятор для нахождения площади фигуры ограниченной кривыми линиями. Калькулятор в автоматическом режиме составляет интеграл, находит границы интегрирования, а также рисует саму фигуру на координатной плоскости. Как частный случай, калькулятор находит площадь криволинейной трапеции.

Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x₁=(-4+2)/2=-1
x₂=(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x₁=2
x₂=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Парабола свойства и график квадратичной функции

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

1. Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
2. Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

Пример.

Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

• х = -16 / (2 * 4) = -2,
• y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

• D ˃ 0, то х1, 2 = (-b ± D0,5) / (2 * a),
• D = 0, то х1, 2 = -b / (2 * a),
• D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

• определить направление ветвей,
• найти координаты вершины,
• найти пересечение с осью ординат,
• найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх,
2. координаты экстремума: х = (-5) / 2 = 5/2, y = (5/2)2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4,
3. с осью ординат пересекается в значении у = 4,
4. найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9,
5. ищем корни:

• Х1 = (5 + 3) / 2 = 4, (4, 0),
• Х2 = (5 — 3) / 2 = 1, (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх,
2. координаты экстремума: х = (-2) / 2 * 3 = 1/3, y = 3 * (1/3)2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3,
3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1,
4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

• Х1 = (2 + 4) / 6 = 1, (1,0),
• Х2 = (2 — 4) / 6 = -1/3, (-1/3, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Формула для вычисления

Предположим, что функции y = f₁(x) и y = f₂(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b]. При этом f₁(x) ≤ f₂(x) для любого значения x из [a;b].

Тогда площадь фигуры G, ограниченной линиями x = a, x = b, y = f₁(x) и y = f₂(x) рассчитывают по формуле: 

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(S(G)=int_a^b(f_2(x)-f_1(x))dx)

Тот же алгоритм расчета проводим, если фигура ограничена линиями y = c, y = d, x = g₁(y) и g₂(y): 

(x = {-b pm sqrt{b^2-4ac} over 2a}S(G)=int_c^d(g_2(y)-g_1(y))dy)

Доказательство

Для этого рассмотрим три случая расположения фигуры.

Первый случай

(left{begin{array}{l}f_1left(xright)leq f_2left(xright),\f_1left(xright)geq0,\f_2left(xright)geq0.end{array}right.)

Здесь обе функции положительны. Если сложить площадь изначально данной фигуры G и площадь криволинейной трапеции G₁, то общая S будет равна G₂. Чтобы найти G, надо из G₂ отнять G₁.

Вследствие этого (Sleft(Gright)=int_a^bf_2left(xright)dx-int_a^bf_1left(xright)dx=int_a^bleft(f_2left(xright)-f_1left(xright)right)dx)

Второй случай

(left{begin{array}{l}f_1left(xright)leq f_2left(xright),\f_1left(xright)leq0,\f_2left(xright)geq0.end{array}right.)

Здесь следует применить уравнение: 

(Sleft(Gright)=Sleft(G_2right)+Sleft(G_1right)=int_a^bf_2left(xright)dx+left(-int_a^bf_1left(xright)dxright)=int_a^bleft(f_2left(xright)-f_1left(xright)right)dx)

Третий случай

(left{begin{array}{l}f_1left(xright)leq f_2left(xright),\f_1left(xright)leq0,\f_2left(xright)leq0.end{array}right.)

В данной ситуации формула приобретает следующее значение: 

(Sleft(Gright)=Sleft(G_1right)+Sleft(G_2right)=int_a^bf_1left(xright)dx-left(-int_a^bf_2left(xright)dxright)=int_a^bleft(f_2left(xright)-f_1left(xright)right)dx)

Общий случай

Предположим, что функции y = f₁(x) и f2(x) пересекают ось Ox. Обозначим точки пересечения x_i, i = 1, 2, …, n — 1. Они разбивают отрезок [a; b] на n частей [x_{i — 1}; x_i], i = 1, 2, …, n, где a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_{n — 1} < x_n = b. Фигуру G можно представить объединением фигур G_i, i = 1, 2, …, n. G_i попадает под один из представленных выше случаев.

Вследствие этого S можно вычислить так: 

(Sleft(G_iright)=int_{xi-1}^{xi}left(f_2left(xright)-f_1left(xright)right)dx,;i=1,;2,;…,;n)

Из этого следует, что 

(Sleft(Gright)=sum_{i=1}^nSleft(G_iright)=sum_{i=1}^nint_{xi-1}^{xi}left(f_2left(xright)-f_1left(xright)right)dx=int_{x0}^{xn}left(f_2left(xright)-f_1left(xright)right)dx=int_a^bleft(f_2left(xright)-f_1left(xright)right)dx)

Что и следовало доказать.

Примеры решения задач

Задача №1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой (y=-x^2+6x-5), и прямыми (y=-frac13x-frac12,;x=1,;x=4.)

Решение: На отрезке [1;4] график параболы выше заданной прямой. Для нахождения площади возьмем формулу Ньютона-Лейбница:

 (Sleft(Gright)=int_1^4left(-x^2+6x-5-left(-frac13x-frac12right)right)dx=int_1^4left(-x^2+frac{19}3x-frac92right)dx=left(-frac13x^3+frac{19}6x^2-frac92xright)_1^4=-frac13times4^3+frac{16}9times4^2-frac92times4-left(-frac13times1^3+frac{19}6times1^2-frac92times1right)=-frac{63}3+frac{152}3-18+frac13-frac{19}6+frac92=13)

Ответ: 13 см².

Задача №2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (y=sqrt{x+2},;y=x,;x=7).

Решение: Абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы (y=sqrt{x+2}) ограничивает заданную фигуру.

Найдем S с помощью формулы:

(x=sqrt{x+2})

ОДЗ: (x ≥ -2. x^2=left(sqrt{x+2}right)^2).

Получаем квадратное уравнение: (x^2-x-2=0).

Решим его через дискриминант: 

(D=left(-1right)^2-4times1timesleft(-2right)=9)

Вычислим корни: (x_1=frac{1+sqrt9}2=2in ОДЗ, x_1=frac{1-sqrt9}2=-1notin) (ОДЗ). Тогда абсцисса точки пересечения – x=2.

Ответ: x=2.

Важность правильного построения графика

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, нужно, в первую очередь, построить правильный чертеж. От него зависит решение задачи. Начинать построение следует с прямых, а затем изображать графики прочих функций. 

Для того, чтобы построить координатную плоскость, можно использовать декартовую систему.

Объясним это на примере. Если мы играем в шахматы, то знаем, что конь ходит на 3 клетки вверх и на 1 вправо. Слон же ходит на одну клетку вверх и на одну вправо или влево. Это зависит от того, какого из двух слонов мы выберем. То же самое в координатной плоскости. Мы имеем оси ОХ и OY, которые пересекаются в точке О. Это и есть начало координат. За единицу длины можно взять, к примеру, одну клетку в тетради или 1 см. Не стоит забывать, что оси в декартовой системе прямые. Придумал данный метод французский математик Рене Декарт.

Предположим, что мы хотим изобразить линию. Тогда нам нужны координаты двух точек. Например, точка А с параметрами [1;1] и точка B [-0,5;-2]. Мы отмечаем эти точки на КП и соединяем их. Получается прямая.

Если фигура ограничена параболой и линией

Рассмотрим пример, в котором фигура ограничена параболой и линией. 

Задача:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций (y=frac1x) и (y=-x^2+4x-2.)

Решение:

Для начала определим пределы интегрирования. Для этого вычислим абсциссы точек пересечения линий. Уравним выражения (frac1x) и (-x^2+4x-2.) При отличных от нуля значениях x уравнение (frac1x=-x^2+4x-2) соответствует уравнению третьей степени (-x^3+4x^2-2х-1=0) с целыми коэффициентами.

Корень уравнения: х = 1. Подставим его в равенство для проверки: (-1^3+4times1^2-2times1-1=0). Разделим выражение (-х^3+4х^2-2х-1) на двучлен x-1.

Получим (x = {-b pm sqrt{b^2-4ac} over 2a}-х^3+4х^2-2х-1=0;Leftrightarrow-left(х-1right)left(х^2-3х-1right)=0.)

Из уравнения (х^2-3х-1=0) вычисляем корни через дискриминант. 

(D=left(-3right)^2-4times1timesleft(-1right)=13)

Корни: (х_1=frac{3+sqrt{13}}2approx3,3 и х_2=frac{3-sqrt{13}}2approx-0,3.)

Фигура G находится на интервале (хinleft[1;frac{3+sqrt{13}}2right].)

Тогда площадь равна:

(int_1^frac{3+sqrt{13}}2left(-х^2+4х-2-frac1хright)dx=left(-frac{x^3}3+2x^2-2x-ln;xright)_1^frac{3+sqrt{13}}2=-frac{left(frac{3+sqrt{13}}2right)^3}3+2timesleft(frac{3+sqrt{13}}2right)^2-2timesleft(frac{3+sqrt{13}}2right)-ln;frac{3+sqrt{13}}2-left(-frac{1^3}3+2times1^2-2times1-ln;1right)=frac{7+sqrt{13}}3-ln;frac{3+sqrt{13}}2)

Ответ: (frac{7+sqrt{13}}3-ln;frac{3+sqrt{13}}2).