Как найти площадь фигуры ограниченную двумя функциями

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями



1.3. Как найти площадь плоской фигуры
с помощью двойного интеграла?

Двойной интеграл  численно

равен площади плоской фигуры  (области интегрирования). Сначала рассмотрим задачу в общем

виде.

А именно вычислим площадь фигуры , ограниченной линиями . Для определённости считаем, что  на отрезке .

Площадь заштрихованной фигуры численно равна , и сейчас мы «раскрутим» тему.

Выберем первый способ обхода области:

Таким образом:
И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний

интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую «чайникам», да и не только им. Потому что это

удобно.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь

разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную

функцию) верхний предел, затем – нижний предел

2) Результат первого пункта нужно подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула  – это в

точности рабочая формула для вычисления площади плоской

фигуры с помощью обычного определённого интеграла!

То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с

помощью определённого интеграла!

Пример 9

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: изобразим область  на чертеже:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Выберем следующий порядок  обхода области (1-й способ):

Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход, т.к. выше были приведены очень подробные

разъяснения.
Таким образом:

Как уже отмечалось, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду

придерживаться и я:

1) Сначала разбираемся с внутренним интегралом:

Здесь мы ВМЕСТО «игрек» сначала подставили верхний предел интегрирования , а затем – нижний: . Если вы запамятовали формулу  Ньютона-Лейбница, обязательно

найдите её в приложениях! На всякий случай я приложил к данному курсу Справку по интегралам и

Справку по производным.

2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:

Пункт 2 – это фактически нахождение площади плоской фигуры с

помощью определённого интеграла. Обо всех тонкостях решения этой задачи (а их немало) можно ознакомиться по ссылке

выше либо в курсе Определённые и несобственные интегралы.

Это китайское напоминание.

Ответ:

Несмотря на то, что эту задачу мы неоднократно решали ранее, здесь ещё есть о чём поговорить.

Любопытное задание для самостоятельного решения:

Пример 10

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,

Примерный образец чистового оформления задачи в конце книги.

В двух предыдущих примерах значительно выгоднее использовать первый способ

обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если

не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.

Но в ряде случаев более эффективен второй способ обхода области, и в

заключение курса молодого «ботана» рассмотрим ещё пару примеров на эту тему:

Пример 11

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: нас с нетерпением ждут две параболы, которые «лежат на боку». Улыбаться не нужно, похожие вещи в

кратных интегралах встречаются частенько.

Представим параболу  в

виде двух функций:
 – верхняя ветвь и  – нижняя ветвь.
Аналогично, представим параболу  в виде верхней  и нижней  ветвей.

Графики строим поточечно, причём, по причине симметрии, вычислений у нас в два раза меньше. В результате получается вот

такая причудливая фигура:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Что будет, если мы выберем первый способ обхода области? Во-первых,

данную область придётся разделить на две части. А во-вторых, мы будем наблюдать сию печальную картину:  (следим по чертежу!!!).  Интегралы, конечно,

не «убийственные», но… есть старая математическая присказка: кто с корнями дружен, тому зачёт не нужен.

Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции:

Обратные функции в данном примере обладают тем преимуществом, что задают сразу всю параболу целиком без

всяких там веток, корней и прочего дерева.

И, согласно второму способу, обход области будет следующим:

Таким образом:

Как говорится, ощутите разницу.

1) Расправляемся с внутренним интегралом:

Результат подставляем во внешний интеграл:

2)

Интегрирование по переменной «игрек» не должно смущать, была бы буква «зю» – замечательно бы проинтегрировалось и по ней.

Также обратите внимание на первый шаг: подынтегральная функция  является чётной, а отрезок интегрирования симметричен относительно

нуля. Поэтому отрезок можно споловинить, а результат – удвоить. Что добавить…. Всё!

Ответ:

Для проверки своей техники интегрирования можете попробовать вычислить . Ответ должен получиться точно таким же.

Пример 12

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода

области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных

интегралов. Бывает и такое.

Итак, начальный мастер-класс подошёл к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень. Обязательно с хорошим

настроением! – оранжевым настроением – прямо как сейчас у меня, а почему оно такое, я объясню чуть позже:

1.4. Как вычислить произвольный двойной интеграл?

1.2.1. Как изменить порядок обхода области?

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Как вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Графики двух функций на общем интервале образуют определенную фигуру. Чтобы вычислить ее площадь, необходимо проинтегрировать разность функций. Границы общего интервала могут быть заданы изначально или являться точками пересечений двух графиков.

Инструкция

При построении графиков двух заданных функций в области их пересечения образуется замкнутая фигура, ограниченная этими кривыми и двумя прямыми линиями х=а и х=b, где а и b – концы рассматриваемого интервала. Эту фигуру визуально отображают штрихом. Ее площадь можно вычислить, проинтегрировав разность функций.

Функция, расположенная выше на графике, является большей величиной, следовательно, в формуле ее выражение будет стоять первым: S = ∫f1 – ∫f2, где f1 > f2 на промежутке [а, b]. Впрочем, приняв во внимание, что количественная характеристика любого геометрического объекта является величиной положительной, можно вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, по модулю:
S = |∫f1 – ∫f2|.

Такой вариант тем более удобен, если нет возможности или времени на построение графика. При вычислении определенного интеграла пользуются правилом Ньютона-Лейбница, которое предполагает подстановку в конечный результат предельных значений интервала. Тогда площадь фигуры равна разности двух значений первообразной, найденной на этапе интегрирования, из большего F(b) и меньшего F(а).

Иногда замкнутая фигура на заданном интервале образуется путем полного пересечения графиков функций, т.е. концы интервала являются точками, принадлежащими обеим кривым. Например: найдите точки пересечения линий у = х/2 + 5 и у = 3•х – х²/4 + 3 и вычислите площадь.

Решение.
Чтобы найти точки пересечения, составьте уравнение:
х/2 + 5 = 3•х – х²/4 + 3 → х² – 10•х + 8 = 0
D = 100 — 64 = 36 → х1,2 = (10 ± 6)/2.

Итак, вы нашли концы интервала интегрирования [2; 8]:
S = |∫ (3•х – х²/4 + 3 – х/2 — 5)dх| = |(5•х²/4 – х³/12 — 2•х)| ≈ 59.

Рассмотрите другой пример: у1 = √(4•х + 5); у2 = х и дано уравнение прямой х = 3.
В этой задаче дан только один конец интервала х=3. Это значит, что второе значение требуется найти из графика. Постройте линии, заданные функциями у1 и у2. Очевидно, что значение х=3 является верхним ограничением, следовательно, нужно определить нижний предел. Для этого приравняйте выражения:
√(4•х + 5) = х ↑²
4•х + 5 = х² → х² – 4•х – 5 = 0

Найдите корни уравнения:
D = 16 + 20 = 36 → х1 = 5; х2 = -1.
Посмотрите на график, нижним значением интервала является -1. Поскольку у1 расположено выше у2, то:
S = ∫(√(4•х + 5) — х)dх на промежутке [-1; 3].
S = (1/3•√((4•х + 5)³) – х²/2) = 19.

Источники:

• найти площадь фигуры ограниченную графиком функции

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

На этой странице вы узнаете:

• Как связаны Ньютон и Лейбниц?
• Почему площадь криволинейной трапеции считается через интеграл?

Интеграл

В топ-5 страшилок по математике неизменно входит интеграл. Так ли он ужасен на самом деле? 

Если объяснять простыми словами, интеграл — это площадь фигуры под графиком функции. Например, в геометрии есть формулы, чтобы посчитать площадь прямоугольника или треугольника, а если нужно посчитать площадь фигуры с кривой стороной, заданной функцией, поможет интеграл.

Если у функции y = f(x) есть первообразная y = F(x), тогда множество значений первообразных у = F(x) + С называют неопределенным интегралом функции y = f(x)

Записывается это следующим образом:

(int f(x)dx = F(x) + C)

Какие бывают интегралы?

Интегралы бывают неопределенные и определенные.

Рассмотрим определенный интеграл. У такого интеграла в отличие от неопределенного есть предел интегрирования, то есть определённый отрезок.

Определенный интеграл функции на отрезке [a; b] – это приращение первообразных

Записывается это следующим образом:

(intlimits_a^b f(x)dx = F(b) — F(a))

Для данного интеграла пределом является отрезок от a до b

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b], то 

где F(x) – первообразная для функции f(x),
a – нижний предел интегрирования, 
b – верхний предел интегрирования

Данная формула применяется для вычисления определенного интеграла

Пример вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница:

Интеграл для нахождения площади фигуры

Представим, что нам нужно посчитать расстояние, пройденное автомобилем с непостоянной скоростью в промежуток времени [a; b]. 

Нарисуем график.

Скорость автомобиля V изменяется с течением времени, как f(t). Тогда, чтобы её найти, нам нужно посчитать площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(t) на отрезке [a; b]. Такой фигурой будет являться криволинейная трапеция, а посчитать площадь можно с помощью интеграла. Далее мы подробно разберем, как это сделать.

Криволинейная трапеция – это фигура на плоскости, ограниченная графиком непрерывной функции на определенном отрезке, прямыми линиями и осью абсцисс.

На данном рисунке фигура ограничена y = f(x), x = a, x = b, y = 0

Как найти площадь фигуры, используя интеграл?

Площадь такой фигуры, расположенной над осью абсцисс, можно посчитать, вычислив определённый интеграл по уже известной формуле Ньютона-Лейбница.

(S = intlimits_a^b f(x)dx)

А если фигура расположена под осью абсцисс, для вычисления площади фигуры нужно добавить минус к изначальной формуле.

(S = -intlimits_a^b f(x)dx)

Если нужно найти площадь фигуры, ограниченной двумя функциями f(x) и g(x), то сначала данные функции приравниваются, так находится предел, а далее определяется функция, которая находится выше, и записывается формула

(S = intlimits_a^b (f(x) — g(x))dx)

где f(x) – функция находящаяся выше
g(x) – функция находящаяся ниже
a и b – границы предела

Пример:

Найти площадь фигуры ограниченной функциями y=x² — 2 и y = -x

Фактчек

• Интеграл — это площадь фигуры, находящейся под графиком функции.
• Неопределённый интеграл функции fx : (int f(x)dx = F(x) + C)
• Определенный интеграл функции fx на отрезке [a; b] : (intlimits_a^b f(x)dx = F(b) — F(a))
• Формула Ньютона-Лейбница (intlimits_a^b f(x)dx = F(x) |_a^b = F(b) — F(a))
• Формула для нахождения криволинейной трапеции над осью х 
  (S = intlimits_a^b f(x)dx)
• Формула для нахождения криволинейной трапеции под осью х
  (S = -intlimits_a^b f(x)dx)
• Формула для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя функциями
  (S = intlimits_a^b (f(x) — g(x))dx), где 
  f(x) – функция находящаяся выше
  g(x) – функция находящаяся ниже

Проверь себя

Задание 1.
Найдите значение интеграла (intlimits_1^5 3dx)

1. 3
2. 5
3. 12
4. 14

Задание 2.
Вычислите площадь фигуры ограниченной (y = sin x, x = 0,  x = frac{pi}{2})

1. 1
2. 0
3. 1,5
4. 2

Задание 3.
Вычислите площадь фигуры ограниченной y = 2x² — 5, x = -1,  x = 1

1. 9
2. (8frac{2}{3})
3. (frac{20}{3})
4. 8

Задание 4.
Вычислите площадь фигуры ограниченной y = x² — 3 и y = -2x² + 9

1. 32
2. 18
3. 24
4. 2

Ответы:  1. – 3; 2. – 1; 3. – 2; 4. – 1

Площадь фигуры ограниченной линиями

Что умеет?

• Находит точки пересечения указанных кривых линий
• Умный робот определяет области, где лежат фигуры, чтобы вычислить их площади. Он делает это, находя точки, где графики пересекаются.
• Помогает находить площади под графиками, вычисляя интегралы.

Примеры кривых

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
  арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
  гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
  гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
  арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
  гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
  гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
  функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x),
  Ci(x),
  Shi(x),
  Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^2

— возведение в квадрат

x^3

— возведение в куб

x^5

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi

— число Пи

e

— основание натурального логарифма

i

— комплексное число

oo

— символ бесконечности