Как найти площадь фигуры заданной параметрически - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Из настоящей статьи Вы научитесь находить площадь фигуры в пространстве, которая задана параметрическими кривыми.
Для этого Вам нужно знать минимум формул и хорошые знания из интегрирования.
Если имеем x=x(t), y=y(t) — параметрическое уравнение кусково-гладкой простой замкнутой кривой на промежутке [0;T], что проходит против часовой стрелки и ограничивает слева от себя фигурой то ее площадь S находим за формулой
Данный цикл задач в первую очередь облегчит учебу студентам мех-мату Львовского национального университета имени Ивана Франко при прохождении практикума из математического анализа.
Студенты всех Вузов могут набираться практики на подобных интегралах, и изучать методику вычисления площади.
Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. «Практикум из математического анализа» (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича).

Для запоминания основных моментов схема интегрирования и нахождения площадей из примера в пример будет повторяться. По возможности сами решения будут проиллюстрированы подинтегральными кривыми.

Прибор 2.100 (2413) Найти площадь фигуры, которая ограничена кривыми, заданными в параметрической форме x=a(t-sin(t)), y=a(1-cos(t)) на промежутке [0;2*Pi] и y=0.

Вычисление: Циклоида — плоская трансцендентная кривая, которая определяется кинематически как траектория фиксированной точки круга радиуса a, что катится без скольжения по прямой.
Найдем производные по переменной t заданных функций:
x’=a(1-cos(t));
y’=a*sin(t).
Пределы интегрирования известны по условию — [0;2*Pi].
Запишем подинтегральную функцию за формулой x’*y-x*y’ (поскольку кривая (циклоида) проходит за ходом часовой стрелки):
Вычислим площадь фигуры ограниченной одною аркой циклоиды:

Определенные интегралы методом интегрирования частями вычисляются достаточно быстро.
Также не забывайте, что площадь измеряется в единицах квадратных.

Пример 2.101 (2414) Вычислить площадь фигуры, которая ограничена параметрическими кривыми x=2t-t², y=2t²-t³.

Вычисление: Вычислим производные по переменной t функций:
x’=2-2t;
y’=4t-3t².
Найдем пределы интегрирования — точки пересечения кривой, которая ограничивает заданную фигуру:
x=0 при t₁=0, t₂=2 и
y=0 при t₁=0, t₂=2 .
Поэтому имеем период ровный T=2.
Запишем подинтегральную функцию по формуле x’*y-x*y’ (поскольку кривая проходит против часовой стрелки):

Вычислим площадь фигуры, которая ограничена заданной кривой:

Здесь, как видите, интеграл найти вообще просто, подобные примеры на практических из математического анализа Вы возможно вычисляли огромное количество раз.

Пример 2.102 (2417.1) Найти площадь фигуры, которая ограничена параметрическими кривыми

Вычисление: Продифференцируем функции по переменной t:

Запишем пределы интегрирования (нужно предварительно исследовать функцию):
T=[0;2*Pi].
Запишем подинтегральную функцию за формулой x’*y

Вычислим площадь фигуры по формуле для параметрических кривых:

Определенный интеграл достаточно простой в плане вычислений.

Пример 2.103 (2415) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
x=a(cos(t)+t*sin(t)), y=a(sin(t)-t*cos(t)) (развертка круга) и x=a, .

Вычисление: Найдем производные функций по переменной t:

Пределы интегрирования выписываем из начального условия — [0;2*Pi].
Выведем подинтегральную функцию за формулой x’*y-x*y’

Вычислим площадь фигуры, которая ограничена заданной кривой и прямыми:

Следует заметить, что при интегрировании по углу не учитывается площадь треугольника S₁, что заштрихована серым.
Без построения графика функции учесть необходимость находить дополнительную площадь достаточно трудно.

Пример 2.104 (2416) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
x=a(2*cos(t)-cos(2t)), y=a(2*sin(t)-sin(2t)).

Вычисление: Вычислим производные по переменной t функций:

Запишем пределы интегрирования:
Сложим уравнение подинтегральной функции по формуле x’*y-x*y’

Через определенный интеграл вычисляем площадь фигуры, которая ограничена заданной кривой:

Интеграл не сложный, а конечная формула простая для расчетов площади.

Пример 2.105 (2417) Найти площадь фигуры, ограниченной параметрическими кривыми (эволюта эллипса)

Вычисление: Эволюта — множество точек центров кривизны кривой.
По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой (інволютою, то есть разверткой этой кривой).
Найдем производные функций по переменной t :

Пределы интегрирования равны:

Запишем подинтегральную функцию по формуле
x’*y-x*y’:

Интегрированием за периодом находим площадь фигуры, которая ограничена заданной кривой:

Пример 2429 Возведя уравнение к параметрическому виду, найти площади фигуры, ограниченной кривой (астроида).
Вычисление: Перепишем уравнение астроиды в виде

Пусть x=a*cos³(t), y=a*sin³(t).
Нетрудно подставить и убедиться, что это именно та подстановка которая будет уравнением астроиды в параметрической форме.
Далее по аналогии с примером 2.105 будем иметь

В следующих публикациях Вы найдете больше примеров на нахождение площади фигуры с помощью определенного интеграла.

Источник

Пусть кривая задана
параметрическими уравнениями
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной этой кривой, прямымиии отрезком [a,b]
оси ОХ, выражается формулой

,
(4.5)

где
,,иопределяются из условий.

Пример 45.
Найти площадь фигуры, ограниченной осью
ОХ и одной аркой циклоиды

Решение.
Воспользуемся формулой (4.5). Предварительно
найдем
:

(кв.ед.)

4.3. Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах

В полярных
координатах положение точки на плоскости
определяется двумя координатами:
полярным радиусоми полярным углом.
Связь между декартовыми координатами
(x,y)
и полярными (,
r)
осуществляется по формулам

Площадь криволинейного
сектора,

ограниченного
кривой
и двумя

полярными радиусами
и

(рис.4.7), выражается
интегралом

.
(4.6)

Пример 46.
Найти площадь фигуры, ограниченной
улиткой Паскаля
.

Решение.
Воспользуемся формулой (4.6). Чтобы найти
пределы интегрирования 
и ,
необходимо построить чертеж кривой
в полярных координатах. Результаты
вычислений занесем в таблицу 1.

Таблица 1


	1		0		1
	3	2,5	2	1,5	1

Так как функция

четная, то график функции
строим симметрично относительно
горизонтальной оси для значений углов
из промежутка.
Для построения графика функции припроводим полярную осьr;
на лучах, составляющих с осью r
углы, значение которых указано в таблице
1, откладываем соответствующее расстояние,
затем точки последовательно соединяем.
Получаем замкнутую кривую, называемую
улиткой Паскаля (рис.4.8).

Площадь искомой
фигуры равна

4.4. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть функция f(x)
непрерывно дифференцируема на [a,b],
тогда длина дуги кривой
на указанном промежутке вычисляется
по формуле:

.
(4.7)

Если кривая гладкая
и задана параметрически, то длина дуги
этой кривой при
вычисляется по формуле:

.
(4.8)

Если гладкая кривая
задана в полярных координатах
и,
то длина ее дуги равна

.
(4.9)

Пример 47.
Вычислить длину дуги развертки окружности

Решение.
В нашем случае кривая задана параметрически.
Воспользуемся формулой (4.8), предварительно
находим производные
и.

(ед.длины).

Пример 48.
Найти длину дуги кривой
,.

Решение.
Кривая
задана в полярных координатах.
Воспользуемся формулой (4.9). Находим

(ед.длины).

4.5. Вычисление объема тел вращения

Предположим, что
площадь сечения тела плоскостью,
перпендикулярной оси ОХ, может быть
выражена функцией от х:
при,
тогда объем тела, заключенный между
перпендикулярными оси ОХ плоскостямии,
находится по формуле

.
(4.10)

Если криволинейную
трапецию (рис.4.10) вращать вокруг оси ОХ,
то объем тела вращения будет равен

.
(4.11)

Если плоская
область, ограниченная кривыми
и прямымии,
вращается вокруг оси ОХ, то

(4.12)

Аналогично можно
записать формулы для вычисления объемов
тел вращения вокруг оси ОY:

(4.13)

(4.14)

Если кривые,
ограничивающие плоскую область заданы
в параметрическом виде, то к формулам
(4.10 — 4.14) следует применить соответствующие
замены переменной.

Если криволинейный
сектор вращать вокруг полярной оси
(см.рис.5.7), то

.
(4.15)

Пример 49.
Вычислить объем тела, полученного при
вращении дуги кривой
,вокруг оси ОХ.

Решение.
Данная кривая
называется цепной линией. График ее
изображен на рис.4.9. Объем тела вращения
(рис.4.10) вычислим по формуле (4.11)

Пример 50.
Найти объем параболоида вращения, радиус
основания которого равен R,
а высота 
Н.

Решение.
Искомый параболоид вращения с указанными
параметрами получится, если будем
вращать вокруг оси ОY
параболу
,(рис.4.11; 4.12), где параметрk
легко вычислить исходя из данного
условия.

Если
,
то,
поэтому

Далее воспользуемся
формулой (4.13)

Если
то

(ед³).

Пример 51.
Найти объем тела вращения кривой
,вокруг
оси ОХ.

Решение.
Данная кривая задана в параметрическом
виде 

это
эллипс (рис.4.13). Искомой фигурой вращения

является эллипсоид.
Найдем
по формуле (4.11)

Если
,
то,.

(куб.ед.).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
17.12.2018552.96 Кб35KA.doc
#

Источник

Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Напомним, что мы назвали криволинейной трапецией фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком функции y=f(x) . В этом пункте выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Теорема 3. Если функция y=f(x) неотрицательна на отрезке [a;b] и непрерывна на нем, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причем ее площадь выражается формулой

${ S= intlimits_{a}^{b} f(x),dx,.}$

(4)

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции y=f(x) . Как было показано в пункте 2 такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для нее внешние и внутренние ступенчатые фигуры (см. рис. 26).

Тогда, с одной стороны, имеем:

$sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_kleqslant Sleqslant sum_{k=0}^{n-1} M_kDelta x_k,,$

где $sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_k$ — площадь внутренней ступенчатой фигуры, $sum_{k=0}^{n-1}M_kDelta x_k$ —площадь внешней ступенчатой фигуры, $m_k=min_{xin [x_k;x_{k+1}]}f(x)$ и $M_k=max_{xin[x_k;x_{k+1}]}f(x)$ . С другой стороны, по определению интеграла можно записать:

$sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_kleqslant intlimits_{a}^{b} f(x),dxleqslant sum_{k=0}^{n-1}M_kDelta x_k,.$

Таким образом, числа и $intlimits_{a}^{b} f(x),dx$ разделяют одни и те же числовые множества: $Biggl{,sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_k,Biggr},$ $Biggl{,sum_{k=0}^{n-1}M_kDelta x_k,Biggr}$ . Но, как было показано при изучении определенного интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому $S=intlimits_{a}^{b} f(x),dx$ . Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции y=f_1(x) , сверху графиком функции y=f_2(x) , а слева и справа прямыми x=a,~x=b (рис. 30), то ее площадь выражается формулой

$S= intlimits_{a}^{b}bigl[f_2(x)-f_1(x)bigr]dx,.$

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями и высотами f(x) .

Площадь фигуры между двумя графиками функций

Пусть теперь функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на нем только неположительные значения. Выразим с помощью определенного интеграла площадь соответствующей криволинейной трапеции .

Рассмотрим фигуру Phi , симметричную фигуре относительно оси . Эта фигура (рис. 31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x) , которая на [a;b] принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше

Интегрирование знакопеременной функции

$S(Phi)= intlimits_{a}^{b} bigl(-f(x)bigr)dx$ . Но S(Phi)=S(F).

Значит,

$S(F)= intlimits_{a}^{b} bigl(-f(x)bigr)dx= -intlimits_{a}^{b} f(x),dx,.$

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл $intlimits_{a}^{b} f(x),dx$ дает значение площади криволинейной трапеции с точностью до знака. Если же функция меняет знак на отрезке [a;b] в конечном числе точек, то значение интеграла $intlimits_{a}^{b} f(x),dx$ дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции y=f(x) , отрезками оси и, быть может, отрезками, параллельными оси (рис. 32).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=e^x , осью абсцисс и прямыми x=1,~x=2 (рис. 33).

Решение. Имеем: $S= intlimits_{1}^{2} e^x,dx= Bigl.{e^x}Bigr|_{1}^{2}= e^2-e= e(e-1)$ (кв. ед.).

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы y^2=4x и отрезком прямой x=2 (рис. 34).

Решение. Из рисунка видно, что трапеция, площадь которой нужно найти, расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно, искомая площадь равна

$S= 2int_{0}^{2}2sqrt{x},dx= left.{frac{4x^{3/2}}{3/2}}right|_{0}^{2}= frac{8}{3}cdot 2^{3/2}= frac{16}{3}sqrt{2},.$

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y^2=9x,~ y=3x (рис. 35).

Решение. Искомая площадь равна разности площадей криволинейного треугольника OAB и прямоугольного треугольника OAB:

$S= intlimits_{0}^{1} sqrt{9x},dx- intlimits_{0}^{1} 3x,dx= left.{3cdot frac{x^{3/2}}{3/2}}right|_{0}^{1}- left.{3cdot frac{x^2}{2} }right|_{0}^{1}= 2-frac{3}{2}= frac{1}{2},.$

Площадь фигуры, ограниченной кривой, осью абсцисс и двумя прямыми

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой a(y^2-x^2)+x^3=0 .

Решение. Из уравнения кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси . Следовательно, можно сначала вычислить половину искомой площади (рис. 36). Рекомендуем читателю подробно исследовать и построить данную кривую.

Площадь фигуры, ограниченной петлёй кривой

Записав уравнение кривой в виде $y^2=frac{x^2}{a}(a-x)$ , найдем точки пересечения ее с осью , положив y=0colon, x_1=0,~ x_2=a . Учитывая сказанное, найдем площадь половины петли:

$frac{1}{2}S= frac{1}{sqrt{a}} intlimits_{0}^{a} xsqrt{a-x},dx,.$

Воспользовавшись формулой из таблицы при a=-1,~ b=a , получим:

$intlimits_{0}^{a} xsqrt{a-x},dx= left.{frac{2(-3x-2a)sqrt{(a-x)^3}}{15}}right|_{0}^{a}= frac{4}{15},a^{5/2},.$

Значит, окончательно имеем:

$frac{1}{2}S= frac{1}{sqrt{a}}cdot frac{4}{15},a^{5/2}= frac{4}{15},a^2quad Leftrightarrowquad S=frac{8}{15},a^2,.$

Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически

Пусть кривая y=f(x),~ f(x)geqslant0,~ aleqslant xleqslant b задана в параметрической форме

$begin{cases}x=varphi(t),\ y=psi(t),end{cases} alpha leqslant tleqslant b,,$

где функция x=varphi(t) монотонна на отрезке [alpha;beta] , причем varphi(alpha)=a, varphi(beta)=b , и имеет на этом отрезке непрерывную производную. Так как y=f(x)= fbigl(varphi(t)bigr)= psi(t) , то по формуле замены переменной под знаком определенного интеграла получаем:

$S= intlimits_{a}^{b} f(x),dx= intlimits_{alpha}^{beta} fbigl(varphi(t)bigr) varphi'(t),dt= intlimits_{alpha}^{beta} psi(t) varphi'(t),dt,.$

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

$S= intlimits_{alpha}^{beta} psi(t)varphi'(t),dt,.$

(5)

Пример 5. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрически $begin{cases} x=acos{t},,\ y=bsin{t},,end{cases} 0leqslant tleqslant 2pi,.$

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение. Выберем ту часть эллипса (рис. 37), которая расположена в первом квадранте. Точке A(a;0) соответствует значение t=0 , а точке B(0;b) — значение $t=frac{pi}{2}$ . Поэтому

$begin{aligned} S&= 4intlimits_{0}^{a}y,dx= -4intlimits_{0}^{pi/2}bsin{t}cdot(-asin{t}),dt= 4abintlimits_{0}^{pi/2} sin^2t,dt=\ &= 2abintlimits_{0}^{pi/2} bigl(1-cos2tbigr),dt= left.{2ab!left(t- frac{1}{2}sin2t right)}right|_{0}^{pi/2}= pi,ab,. end{aligned}$

Площадь фигуры, заданной в полярных координатах

Вычислить площадь сектора, ограниченного лучами ell и , выходящими из точки , и непрерывной кривой Gamma (рис. 38). Выберем полярную систему координат, полюсом которой является точка . Пусть rho=rho(varphi) — полярное уравнение кривой Gamma , а varphi_0 и Phi — углы между полярной осью и лучами ell и соответственно. При этом пусть функция непрерывна на [varphi_0;Phi] .

Разобьем данный сектор на частей лучами

$varphi_0< varphi_1< varphi_2< ldots< varphi_k< varphi_{k+1}< ldots< varphi_n= Phi$

и рассмотрим k-й частичный сектор $[varphi_k; varphi_{k+1}]$ (рис. 39). Пусть r_k — наименьшее значение функции rho(varphi) в $[varphi_k; varphi_{k+1}]$ , a R_k — наибольшее значение функции в этом отрезке.

Площадь в полярных координатах и разбиение сектора на n частей

Построим два круговых сектора с радиусами r_k и R_k . Обозначим через Deltavarphi_k величину угла рассматриваемого частичного сектора. Тогда площадь частичного криволинейного сектора будет заключена между площадями вписанного и описанного частичных круговых секторов

$frac{1}{2}cdot r_k^2cdot Deltavarphi_k leqslant S_kleqslant frac{1}{2}cdot R_k^2cdot Deltavarphi_k,.$

Построим аналогичным образом внутренние и внешние круговые секторы для всех частичных криволинейных секторов. Объединяя их, получим внутреннюю и внешнюю фигуры.

Площадь внутренней фигуры, состоящей из круговых секторов, равна $frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 Deltavarphi_k$ , а площадь внешней фигуры равна — $frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 Deltavarphi_k$ . Эти выражения являются нижней и верхней суммами Дарбу s_P и S_P для интеграла $frac{1}{2} intlimits_{varphi_0}^{Phi} rho^2(varphi),dvarphi$ . Так как функция rho(varphi) непрерывна, то непрерывна, а потому и интегрируема функция . Поэтому для любого varepsilon найдется такое разбиение отрезка [varphi_0,Phi] , что S_P-s_P<varepsilon . Из теоремы 2 пункта 2 следует, что заданный криволинейный сектор квадрируем. При этом для его площади выполняются неравенства

Площадь, ограниченная одним лепестком полярной розы

$frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 Deltavarphi_kleqslant Sleqslant frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 Deltavarphi_k,.$

(6)

В то же время по определению определенного интеграла

$frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 Deltavarphi_kleqslant frac{1}{2} intlimits_{varphi_0}^{Phi} rho^2(varphi),dvarphi leqslant frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 Deltavarphi_k,.$

(7)

В силу единственности разделяющего числа из неравенств (6) и (7) следует, что

$S= frac{1}{2} intlimits_{varphi_0}^{Phi} rho^2(varphi),dvarphi,.$

(8)

Пример 6. Вычислить площадь, ограниченную одним лепестком розы rho=asin2varphi (рис. 40).

Решение. Значениям varphi=0 и $varphi=frac{pi}{2}$ соответствует rho=0 Поэтому

$S= frac{1}{2} intlimits_{0}^{pi/2} a^2sin^22varphi,dvarphi= frac{a^2}{2} intlimits_{0}^{pi/2} frac{1-cos4varphi}{2},dvarphi= left.{frac{a^2}{4}! left(varphi- frac{1}{4}sin4varphiright)}right|_{0}^{pi/2}= frac{a^2}{4}cdot frac{pi}{2}= frac{pi}{2},a^2,.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник