Графическое решение систем неравенств
Здесь мы рассмотрим графические решения нескольких систем неравенств. Умение решать такие задачи очень помогает впоследствии, при освоении задач с параметрами.
Задача 1.
Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:
Перепишем иначе:
Рисунок 1
Нас интересует только правая полуплоскость (), область, лежащая выше оси (), но ниже прямой () – проведена серым цветом.
Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область ниже зеленой прямой , но выше синей .
Определим площадь полученной фигуры (залита бежевым) по формуле Пика:
Ответ: 7,5
Задача 2. Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:
Перепишем иначе:
Рисунок 2
Нас интересует только левая полуплоскость (), область, лежащая выше оси (), но ниже прямой () – проведена серым цветом.
Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область выше рыжей прямой , но ниже синей .
Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: две трапеции. У левой трапеции основания 0,5 и 2, высота 2,5, площадь ее равна
У правой основания 2,5 и 1,5 (она на боку лежит), а высота равна 1. Ее площадь
Общая площадь фигуры равна 5, 125.
Ответ: 5, 125.
Задача 3.
Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. Найти площадь замкнутой части получившейся фигуры:
Вместо исходной системы можем записать совокупность из двух:
и
Первая система имеет решения, но область решений не замкнута.
Рисунок 3
Вторая дает нам искомую замкнутую область:
Рисунок 4
Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: два треугольника и трапецию. У трапеции основания 1,5 и 2, высота 1, площадь ее равна
У верхнего малого треугольника основание 1, а высота равна 0,5. Его площадь
У правого треугольника основание 1,5, высота – 1, его площадь
Общая площадь фигуры равна 2, 75.
Ответ: 2,75.
Задача 4. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении площадь получившейся фигуры ?
Первое двойное неравенство задает две окружности и область между ними. Две прямые вырезают сектор, показанный на рисунке фиолетовым цветом. Для рисунка был выбран радиус , на самом деле он может быть любым – собственно, его и нужно определить.
Рисунок 5
Так как прямые перпендикулярны (это понятно по их коэффициентам наклона, их произведение – (-1)), то необходимо определить четверть площади кольца.
По условию, эта площадь равна :
Ответ: .
Задача 5.
Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении площадь получившейся фигуры ?
Снова имеем окружность, центр ее лежит на прямой , поэтому она вписана в первый координатный угол (квадрант). Причем по условию, нас интересует внешняя часть этой окружности.
Рисунок 6
Из этой внешней части мы возьмем в решения область над осью (), а по оси нас интересует полоса от 0 до центра окружности.
Нас интересует маленький, закрашенный зеленым, уголок. Его площадь можно найти как разность площади треугольника и сектора круга. Этот сектор — часть круга. Поэтому
По условию, эта площадь равна .
Определим :
Ответ: .
Уравнением линии на плоскости называют уравнение с двумя переменными 
или 
, которому удовлетворяют координаты 
(абсцисса) и 
(ордината) любой точки данной линии.
Уравнение окружности
Рассмотрим расположение окружности на координатной плоскости:
1) если уравнение окружности имеет вид 
, то ее центр находится в точке 
, а радиус равен 
(рис. 2.51);
2) если уравнение окружности имеет вид 
, то ее центр находится в точке 
, а радиус равен (рис. 2.52).
Заметим, что неравенству 
удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности 
, а неравенству 
удовлетворяют координаты всех точек, лежащих вне этой окружности. Неравенству 
удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности и на ее границе.
Уравнение квадрата
Рассмотрим расположение квадрата на координатной плоскости:
1) если уравнение квадрата имеет вид 
, то точка – точка пересечения диагоналей квадрата, 
– длина диагонали квадрата (рис. 2.53);
2) если уравнение квадрата имеет вид 
, то точка – точка пересечения диагоналей квадрата, – длина диагонали квадрата (рис. 2.54).
Пересечение линий на плоскости
Рассмотрим две линии, заданные уравнениями 
и 
. Чтобы найти точку пересечения этих линий необходимо решить систему уравнений 
Графическое решение уравнений и неравенств
1. Рассмотрим уравнение 
. Это уравнение можно решить графически, если построить в одной системе координат графики функций , 
и найти их точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения .
2. Использование монотонности функций при решении уравнений: если функция 
строго возрастает, а функция 
строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение на этом множестве имеет не более одного решения. Поэтому, чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это удается) число, которое является их корнем. На рисунке 2.55 число 
– корень уравнения . Аналогично решаются уравнения, если функция имеет вид 
(эта прямая параллельна оси абсцисс) (рис. 2.56).
Например, число 
является единственным корнем уравнения 
, так как левая часть этого уравнения представлена строго убывающей функцией, а правая – строго возрастающей.
3. Использование монотонности функций при решении неравенств: если функция строго возрастает на некотором отрезке ![LaTeX formula: [a;b]](https://helpy.quali.me/uploads/formulas/490ffdf2e892c9664120bd901b5e45d8f13bfd5d.1.1.png "[a;b]")
, а функция строго убывает на этом отрезке и – корень уравнения , то решением неравенства 
является промежуток 
, а решением неравенства 
является промежуток ![LaTeX formula: (x_{0};b]](https://helpy.quali.me/uploads/formulas/402673c7d0139142c651324cae3880d5bb511595.1.1.png "(x_{0};b]")
(рис. 2.57).
Графики функций на заданном отрезке могут и не пересекаться. Например, на рисунке 2.58 неравенство выполняется на всем отрезке .
Пример 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми 
, 
и 
.
Решение. Построим на координатной плоскости данные прямые (рис. 2.59).
Прямая (1) параллельна оси ординат и проходит через точку 
. Чтобы построить прямую (2), необходимо знать две точки, принадлежащие этой прямой. Например, можно построить точки 
, 
и провести через них прямую (2). Чтобы построить прямую (3), можно построить точки 
и 
, принадлежащие этой прямой, и провести через них прямую (3).
Из рисунка 2.59 видим, что треугольник 
ограничен данными прямыми. Площадь полученного треугольника найдем по формуле 
, а в нашем случае 
.
Найдем координаты точек пересечения прямых.
1. Найдем координаты точки 
, решая систему уравнений 
Получим точку 
.
2. Найдем координаты точки 
, решая систему уравнений 
Получим точку 
.
3. Найдем координаты точки 
, решая систему уравнений 
Получим точку 
.
Найдем длину отрезка 
, вычитая из ординаты точки ординату точки . Получим 
. Найдем длину отрезка 
, вычитая из абсциссы точки абсциссу точки : 
. Найдем площадь треугольника : 
.
Ответ: 
.
Пример 2. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой неравенств 
Решение. Построим гранич-ные прямые, соответствующие неравенствам заданной системы: 
(1), 
(2), 
(3), 
(4) (рис. 2.60). Система неравенств задает на координатной плоскости трапецию 
, площадь которой найдем по формуле 
.
Согласно рисунку 2.60 запишем: 
, 
.
Найдем координаты точки , решая систему уравнений 
Получим 
. Аналогично найдем координаты точки . Получим 
. Тогда 
.
Найдем площадь трапеции: 
.
Ответ: 
.
Пример 3. Найдите все целые значений параметра 
, при которых уравнение 
имеет шесть корней.
Решение. Заменим данное уравнение равносильной системой уравнений 
Построим схематически график функции 
, предварительно построив графики функций 
и 
.
1. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы.
Согласно формулам 
, 
получим: 
, 
. Найдем нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс), решая уравнение 
. Получим 
, 
. Найдем точку пересечения графика с осью ординат: 
. Построим график (1) (рис. 2.61).
2. Рассмотрим функцию 
. Поскольку 
, то запишем 
. Построим график (2) этой функции, выполняя следующее преобразование: часть графика функции 
правее оси 
оставим и ее же отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).
3. Построим график (3) функции 
, выполняя следующее преобразование: часть графика функции , расположенной над осью 
оставим, а ту, что под осью , отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).
Рассмотрим линейную функцию 
. Построим семейство прямых, параллельных оси так, чтобы они пересекали график функции в шести точках. Это возможно при условии, что 
или 
. Очевидно, что промежутку 
принадлежит одно целое значение 
.
Ответ: 
.
Пример 4. Найдите все значения параметра 
, при которых уравнение 
имеет один корень.
Решение. Решим уравнение графически, заменив его равносильной системой уравнений 
1. Построим схематически график функции 
(рис. 2.62). Для этого найдем нули функции под знаком модуля: 
, 
и раскроем модуль на полученных промежутках, учитывая при этом, что – точка разрыва функции.
Рассмотрим два случая:
1) если 
, то 
или 
;
2) если 
, то 
или 
.
2. Построим схематически график функции 
, предварительно построив параболу 
.
Парабола и прямая имеют две общие точки. Так как согласно условию задачи графики функций и должны иметь только одну точку пересечения, то, выполняя параллельный перенос параболы 
на единичных отрезка влево, заметим, что при 
парабола и прямая имеют одну точку пересечения, а при 
уже не имеют общих точек. Следовательно, если принимает значения из промежутка 
, то графики функций и имеют одну общую точку, а уравнение имеет одно решение.
Ответ: .
Построим прямую 
так, чтобы она имела с графиком функции 
бесконечно много общих точек. Очевидно, что это возможно в том случае, если 
, откуда ![LaTeX formula: a=-2sqrt[3]{2}](https://helpy.quali.me/uploads/formulas/1da946b3ee73655d5d103a1df7688b9505e43c78.1.1.png "a=-2sqrt[3]{2}")
.
Ответ: .
Пример 6. Найдите все значения параметра , при которых система уравнений 
имеет четыре решения.
Решение. Имеем уравнение квадрата 
и уравнение окружности 
.
1. Построим квадрат с центром в точке и диагональю 
(рис. 2.64).
Площадь квадрата найдем по формуле 
. Получим: 
. С другой стороны площадь квадрата можно вычислить по формуле 
, где – сторона квадрата. Тогда 
и 
.
2. Построим окружность с центром в точке и радиусом 
(рис. 2.64). Поскольку система уравнений 
имеет четыре решения, то окружность должна быть вписана в квадрат, тогда ее радиус 
или 
, откуда 
или описана около квадрата, тогда радиус окружности 
или 
, откуда 
.
Ответ: 
; 
.
Пример 7. Найдите площадь и периметр фигуры, заданной неравенством 
.
Решение. Данному неравенству удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных внутри квадрата 
и на его границе.
Построим квадрат с центром в точке 
и диагональю 
(рис. 2.65). Найдем площадь квадрата. Согласно формуле получим 
.
С другой стороны площадь квадрата находят по формуле 
, где – сторона квадрата.
Тогда 
, 
. Найдем периметр квадрата: 
.
Ответ: 
, 
.
Решая уравнение или систему уравнений графически, точное решение найти бывает достаточно сложно, а то и вовсе не возможно. Поэтому этот метод чаще всего применяют в случае, когда необходимо определить количество корней уравнения или найти их приближенное значение.
Примеры с решениями
Пример №323.
Изобразить на координатной плоскости 
фигуру 
, заданную системой неравенств, и найти площадь 
этой фигуры.
Решение:
а) Неравенство 
задает множество точек, лежащих внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 2 (рис. 27.1), а неравенство 
— множество точек, расположенных выше прямой 
Эта прямая пересекает окружность в точках 
и
а фигура представляет собой сегмент (рис. 27.1). Искомая площадь равна разности между площадью 
четверти круга и площадью 
треугольника 
Так как 
то 
б) Фигура — это множество точек, лежащих внутри окружности с центром в точке 
и радиусом 2, но вне окружности с центром в точке 
и радиусом 1 (рис. 27.2). Значит, площадь фигуры равна 
Пример №324.
Найти площадь фигуры 
, которая задается на координатной плоскости системой неравенств
Решение:
Неравенство (1) определяет множество точек, лежащих вне и на границе круга с центром в точке и радиусом 
(рис. 27.3).
Решив неравенство (2), получим 
Поэтому неравенство (2) задает вертикальную полосу, лежащую между прямыми 
и 
(включая и точки этих прямых).
Наконец, неравенству (3) удовлетворяют точки множества 
, которое состоит из двух острых вертикальных углов, образованных прямыми 
и 
(включая и точки этих прямых), так как в точке 
принадлежащей множеству , левая часть неравенства (3) положительна. Множество заштриховано на рис. 27.3, а указанные прямые обозначены 
и 
.
Прямая пересекается с прямыми 
и 
в точках 
и 
, а прямая пересекается с теми же прямыми в точках 
Далее, прямая касается окружности 
так как система уравнений
имеет единственное решение 
наконец, прямая проходит через центр этой окружности.
Итак, фигура — это трапеция 
из которой удален полукруг радиуса с центром в точке 
. Искомая площадь
где 
Ответ.
Пример №325.
На координатной плоскости рассматривается фигура , состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств
Изобразить фигуру и найти ее площадь.
Решение:
Неравенство (5), равносильное неравенству
является верным в тех и только в тех точках плоскости , которые лежат вне круга радиуса 12 с центром 
и внутри круга радиуса 25 с центром в точке (рис. 27.4). Неравенство (4) имеет смысл, если
т. е. для точек I и III квадрантов. Считая условие (6) выполненным, рассмотрим два возможных случая:
1) Если
то неравенство (4) является верным. Система неравенств (7) задает множество точек I и III квадрантов, лежащих ниже прямой 
2) Если
то неравенство (4) равносильно каждому из неравенств
Условиями (8), (9) определяется множество тех точек I квадранта, которые заключены между прямыми 
и
и точек III квадранта, которые заключены между прямыми 
и 
Заметим, что прямая 
имеет единственную общую точку с окружностью 
и, следовательно, касается этой окружности. Площадь фигуры равна 
где 
—сумма площадей двух секторов (им соответствуют центральные углы 
и 
), a 
— площадь полукруга радиуса 12.
Ответ.
Пример №326.
Найти площадь фигуры , которая задается на координатной плоскости системой неравенств
Решение:
Область определения неравенства (10), а значит, и системы (10), (11) задается условием 
т. е.
Неравенство (12) определяет область, внешнюю по отношению к кругу с центром в начале координат и радиусом 1 (включая границу круга, рис. 27.5).
Возможны два случая: 
1) Если 
т. е.
то неравенство (10) является верным на множестве 
2) Если 
т. е.
то неравенство (10) равносильно каждому из неравенств
Прямые 
и 
заданные соответственно уравнениями
проходят через точку 
Прямая касается окружности 
в точке 
так как система уравнений
имеет единственное решение 
Прямая I2, симметричная прямой относительно оси 
, касается этой же окружности в точке 
В точке 
левая часть неравенства (15) положительна и поэтому указанное неравенство справедливо в двух вертикальных углах с вершиной в точке 
, содержащих ось 
.
Рассмотрим неравенство (11). Уравнение
задает два луча, выходящие из точки 
и пересекающиеся прямые и в точках 
и 
Неравенству (11) удовлетворяют точки, находящиеся внутри и на границе угла 
Итак, множеством точек, удовлетворяющих системе неравенств (10), (11) является фигура 
, выделенная штриховкой на рис. 27.5. Ее граница состоит из отрезков 
и дуги 
окружности 
Площадь фигуры равна
где —площадь треугольника 
— площадь треугольника
— площадь сектора 
Здесь
(так как 
),
Ответ. 
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Решение задач по математике
Возможно вам будут полезны эти страницы:
- Авторы
- Научный руководитель
- Файлы
- Литература
Дерябина А.А.
1
1 г. Череповец, МБОУ «Женская гуманитарная гимназия», 11 класс
Гущина Г.И. (Череповец, МБОУ «Женская гуманитарная гимназия»)
1. Блох А.Ш., Трухан Т.Л. Неравенства. – Мн. : Народная асвета, 1972.
2. Шахмейстер А.Х. Дробно-рациональные неравенства. – М. : МЦНМО ; СПб. : Петроглиф : Виктория плюс, 2008.
3. Жафяров А.Ж. Математика. ЕГЭ. Решение задач уровня С1. – Новосибирск : Сиб. унив. изд-во, 2010.
4. Иванов М.А. Математика без репетитора. – М. : Вентана-Граф, 2002.
5. Ермолин Е.В., Лукина М.А., Цыпленкова Н.А. Уравнения и неравенства, содержащие модуль.
6. Самарова С.С. Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами : учебно-методическое пособия для подготовки к ЕГЭ по математике.
7. Конспект урока и подготовка к ЕГЭ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: compendium.su.
8. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: diffur.kemsu.ru.
9. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: ppt4web.ru.
Данная статья является сокращением основной работы. С дополнительными приложениями и фотографиями можно ознакомиться на сайте II Международного конкурса научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке» по ссылке: https://www.school-science.ru/2017/7/26525
Цель работы – изучить способы решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля.
Поставленная цель обусловила решение ряда задач:
1) изучить теоретический материал о неравенствах и модуле числа, на котором будет основываться исследование;
2) проанализировать практическое применение данного материала посредством решения типовых заданий;
3) рассмотреть различные способы решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля;
4) провести анализ сходств и различий данных способов;
5) систематизировать материал и вывести алгоритм решения данных неравенств различными способами;
6) рассмотреть практическое применение данных способов при решении неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля.
Актуальность данной темы обусловлена тем, что задания на неравенства с двумя переменными, содержащими знак модуля, встречаются в заданиях С части ЕГЭ, но не изучаются глубоко в школьном курсе математики (без углубленного изучения).
Объектом исследования являются неравенства с двумя переменными, содержащих знак модуля.
Предметом исследования являются способы решения данных неравенств.
Гипотеза: не все способы решения являются универсальными, поэтому в зависимости от общего вида неравенства и места расположения модуля будем выбирать тот или иной способ решения данных неравенств.
Типовые тестовые задания, содержащие переменную под знаком модуля
Задание № 1. Найти площадь фигуры, заданной неравенством 
.
Решение: Множество точек – ромб, полученный из ромба 
путем параллельного переноса точки пересечения диагоналей (0;0) в точку (3;2).
Диагонали ромба: d1 = 6, d2 = 4S = 0,5d1d2 = 0,5 * 4 * 6 = 12.
Ответ: S = 12
Задание № 2. Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством 
и вычислить ее площадь.
Решение: 
;
;
Это два симметричных относительно оси OY круга с центрами в точках (–2;0) и (2;0) и радиусом r =2.
Ответ: 
.
Задание № 3. Изобразите фигуру, заданную неравенством 
и найдите площадь данной фигуры.
Решение: данная фигура состоит из двух равных треугольников OCB и OAB, вершины которых имеют координаты:
A = (1;2), B = (0;1), C = (–1;2).
Рассмотрим треугольник OAB: основание OB равно 1; высота, опущенная из вершины А к основанию равно 1.
SOAB = 0,5·h·OB = 0,5·1·1 = 0,5 Так как треугольника равные, то S = 2SOAB = 1.
Ответ: S = 1.
Задание № 4. Найдите S фигуры, заданной неравенством 
.
Решение: фигура, заданная неравенством – прямоугольник ABCD с вершинами
, 
, 
, 
.
Для нахождения площади необходимы значения сторон AB и AD:
Ответ: S = 1,5.
Задание № 5.
Изобразите фигуру, заданную системой неравенств 
. Найдите площадь данной фигуры.
Решение. Первое неравенство системы задает круг с радиусом 2 и центром в начале координат. Второе неравенство задает прямые x = –2 и x = 2, множество точек располагается между этими прямыми. Третьим неравенством задаются прямые y = –2 и y = x, множество точек располагается выше прямой y = –2 и ниже прямой y = x
Фигура является общей частью внутренности прямоугольного треугольника ABC и внешности круга радиусом 2 с центром в начале координат.
Вершины треугольник АBC имеют координаты:
А(–2;–2), В(2;2), С(2;–2)
Найдем площадь прямоугольного треугольника:
.
Для того, чтобы вычислить площадь фигуры нужно из площади треугольника ABC вычесть площадь полукруга с радиусом 2:
.
Ответ: 
.
Задание № 6. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством 
.
Решение: Фигура состоит их двух равных треугольников OCB и OAB, вершины которых имеют координаты A = (1;2), B = (0;3), C = (–1;2)
Основание треугольника OAB равно 3, а высота, опущенная к основанию из вершины А равна 1.
SOAB = 0,5·h·OB = 0,5·3·1 = 1,5
Треугольники равны, поэтому S = 2SOAB = 3.
Ответ: S = 3.
Задание № 7. Решите систему неравенств:
.
Решение.
Предположим, что данная система неравенств имеет решение x, y, z, t.
Тогда, в частности, 
, т.е. 
.
Аналогично получаем:
;
;
.
Перемножим все полученные неравенства: с одной стороны, произведение четырех положительных чисел положительно, с другой стороны, это произведение равно:
.
Приходим к противоречию.
Ответ: система не имеет решений.
Задание № 8. Существуют ли действительные числа a, b и с такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство:
.
Решение: предположим, такие числа a, b, с существуют. Выберем x > 0 и y > 0 такие, что
;
;
.
Тогда разность между левой и правой частями равна a + b + с.
Если взять x < 0 и y < 0 такие, что 
;
;
,
тогда разность будет равна –a – b – с.
Таким образом, с одной стороны a + + b + с > 0, с другой стороны a + b + с < 0, что является противоречием.
Ответ: нет, такие числа не существуют.
Задание № 9. Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство 
?
При натуральных n уравнение 
имеет ровно 4n целочисленных решений, а при n = 0 решение единственно. Таким образом, количество решений исходного неравенства равно: 1 + 4(1 + + 2 + 3 + … + 99) = 19 801.
Ответ: 19 801.
Способы решение неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля
Рассмотрим решение неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля, тремя способами:
1. Использование свойств неравенств, путем равносильных преобразований, и правил решения дробных неравенств.
2. Умножение обеих частей неравенства на неотрицательное число и дальнейшее решение полученного неравенства.
3. Возведение обеих частей в квадрат и решение полученного дробно-рационального неравенства.
Для того, чтобы рассмотреть все три способа, берем одно и тоже неравенство:
.
Способ № 1. Использование свойств неравенств, путем равносильных преобразований.
Равносильные переходы при решении неравенств.
Если 
, то при а > 0 – множество решений совпадает с областью определения функции f(x), а при 
равносильно
,
.
При решении воспользуемся теоремой:
.
Таким образом данное неравенство равносильно совокупности неравенств:
Перенесем 2 и –2 в левую часть и приведем к общему знаменателю. (1)
(1)
Имеем:
Воспользуемся тем, что
- произведение двух множителей < 0, если каждый множитель > 0 (или каждый < 0);
- произведение двух множителей < 0, если один из множителей < 0, а другой > 0,
и запишем данную совокупность в виде совокупности систем, применив данное чередование к каждому из неравенств. Решим данные совокупности систем неравенств:
Геометрическим решением данного неравенства являются все точки, лежащие в углах АОВ и А1ОВ1, исключая точки, расположенные на лучах ОА, ОD, ОВ и ОА1, ОС, ОВ1.
Способ №1 является наиболее универсальным при решении неравенств. Если неравенство удовлетворяет одному из равносильных переходов, то оно может быть решено данным способом.
Способ № 2. Умножение обеих частей на неотрицательное число
Так как модуль частного равен частному модулей, то:
.
есть число неотрицательное и от умножения на него данного неравенства равносильность не нарушается, если 
, поэтому:
Далее для решения будем использовать метод равносильных преобразований.
Воспользуемся методом одновременного раскрытия модуля и его определением:
Решим данные неравенства:
Геометрическим решением данного неравенства являются все точки, лежащие в углах АОВ и А1ОВ1, исключая точки, расположенные на лучах ОА, ОD, ОВ и ОА1, ОС, ОВ1.
Данный способ наиболее удобен при решении дробно-рациональных неравенств.
Способ №3. Возведение обеих частей в квадрат.
Так как модуль частного равен частному модулей, то:
Так как обе части неравенства – числа неотрицательные, то равносильность не нарушается при возведении в квадрат обеих частей неравенства.
Перенесем 4 в левую сторону и приведем к общему знаменателю.
Таким образом данное неравенство равносильно системе:
Неравенство разложим на множители способом группировки.
Переходим к совокупности систем и решаем с учетом чередования знаков, как при способе равносильных преобразований.
Геометрическим решением данного неравенства являются все точки, лежащие в углах АОВ и А1ОВ1, исключая точки, расположенные на лучах ОА, ОD, ОВ и ОА1, ОС, ОВ1.
Данный способ можно использовать, если обе части неравенства есть числа неотрицательные, а возведение в квадрат не ведет к усложнению решения.
Вывод
Научная новизна исследования:
– рассмотрено три способа решения одного неравенства с двумя переменными, содержащими знак модуля;
– выведен алгоритм для каждого из трех способов решения неравенств;
– даны рекомендации по выбору способа решения;
– представлено приложение с решением неравенств различными способами.
Нужно заметить, что каждый из способов имеет свои преимущества, поэтому для успешного решения данных неравенств необходимо знать все способы. А какой из них наиболее удобный, зависит от вашего решения.
Практическая значимость исследования:
– может быть использовано учителями математики при подготовке к урокам, при изучении тем: «Координаты и графики» и «Решение неравенств», и факультативным занятиям.
– может быть использовано при проведении факультативных занятий и элективных курсов.
– для самостоятельной подготовки учащимися к ЕГЭ и вступительным экзаменам.
Рис. 1. Алгоритм решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля
Библиографическая ссылка
Дерябина А.А. НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ // Международный школьный научный вестник. – 2017. – № 2.
;
URL: https://school-herald.ru/ru/article/view?id=179 (дата обращения: 26.05.2023).
Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)