Как найти площадь горизонтальной поверхности - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Площадь поверхности – это суммарная площадь всех поверхностей, которые составляют объемную фигуру. Площадь поверхности является числовой характеристикой поверхности.^[1] Вычислить площадь поверхности объемной (трехмерной) фигуры довольно просто, если знать соответствующую формулу. Существует определенная формула для каждой фигуры, поэтому сначала нужно определить, какая фигура дана. Чтобы быстро вычислять площадь поверхности, запомните соответствующие формулы для разных фигур. В данной статье рассматриваются наиболее распространенные фигуры.

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности куба. У куба шесть равных квадратных граней. Так как стороны квадрата равны, площадь квадрата равна a², где а – сторона. Так как у куба шесть равных квадратных граней, чтобы найти площадь поверхности, умножьте площадь одной грани (квадрата) на 6. Формула для вычисления площади поверхности (SA) куба: SA = 6а², где а – ребро куба (сторона квадрата).^[2]
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Измерьте ребро куба. Ребра куба равны, поэтому можно измерить только одно (любое) ребро. Ребро измерьте с помощью линейки (или рулетки). Обратите внимание на используемые единицы измерения.
- Запишите значение, обозначив его через а.
- Например: а = 2 см
3
Значение а возведите в квадрат. То есть возведите в квадрат длину ребра куба. Для этого умножьте значение на себя. Если вы только приступили к изучению формул с квадратами, запишите формулу так: SA = 6*а*а.
- Сейчас вы вычислили значение площади одной из граней куба.
- Например: а = 2 см
- a² = 2 х 2 = 4 см²
4
Вычисленное значение умножьте на шесть. Помните, что у куба шесть равных граней. Вычислив площадь одной из граней, умножьте полученное значение на 6, чтобы включить все грани куба.
- Это последний шаг в процессе вычисления площади поверхности куба.
- Например: а ² = 4 см²
- SA = 6 х а² = 6 х 4 = 24 см²
Реклама

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности прямоугольной призмы. У прямоугольной призмы шесть граней, причем равными являются только противоположные грани.^[3] Поэтому формула для вычисления площади поверхности прямоугольной призмы включает значения трех разных ребер: SA = 2ab + 2bc + 2ac.
- Здесь а – ширина, b – высота, с – длина призмы.
- Если проанализировать формулу, можно понять, что она суммирует площади всех граней.
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Найдите значения высоты, ширины и длины призмы. Три ребра не являются равными, поэтому нужно выполнить три измерения. Измерьте соответствующие ребра с помощью линейки (или рулетки). Ребра измеряйте в одной единице измерения.
- Измерьте длину грани, которая лежит в основании призмы; длину обозначьте через с.
- Например: с = 5 см
- Измерьте ширину грани, которая лежит в основании призмы; ширину обозначьте через а.
- Например: а = 2 см
- Измерьте высоту призмы; высоту обозначьте через b.
- Например: b = 3 см
3
Вычислите площадь одной грани призмы, а затем полученное значение умножьте на два. Помните, что у прямоугольной призмы шесть граней, причем равными являются только противоположные грани. Умножьте длину на высоту (с на а), чтобы найти площадь одной грани. Затем полученное значение умножьте на 2, чтобы включить вторую (противоположную и равную) грань.^[4]
- Например: 2 x (a x c) = 2 x (2 x 5) = 2 x 10 = 20 см²
4
Вычислите площадь другой грани призмы, а затем полученное значение умножьте на два. Умножьте ширину на высоту (а на b), чтобы найти площадь другой грани. Затем полученное значение умножьте на 2, чтобы включить вторую (противоположную и равную) грань.^[5]
- Например: 2 x (a x b) = 2 x (2 x 3) = 2 x 6 = 12 см²
5
Вычислите площадь фронтальной грани, а затем полученное значение умножьте на два. Умножьте длину на ширину (с на b), чтобы найти площадь фронтальной грани. Затем полученное значение умножьте на 2, чтобы включить вторую (противоположную и равную) грань.^[6]
- Например: 2 x (b x c) = 2 x (3 x 5) = 2 x 15 = 30 см²
6
Сложите три значения. Так как площадь поверхности – это суммарная площадь всех граней фигуры, сложите найденные значения площадей отдельных граней. Вы получите площадь поверхности прямоугольной призмы.^[7]
- Например: SA = 2ab + 2bc + 2ac = 12 + 30 + 20 = 62 см²
Реклама

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности треугольной призмы. Треугольная призма имеет две равные треугольные грани и три прямоугольные грани. Чтобы вычислить площадь поверхности треугольной призмы, нужно найти площади всех граней и сложить их. Формула для вычисления площади поверхности треугольной призмы: SA = 2S + РH, где S – площадь треугольной грани, Р – периметр треугольной грани, H – высота призмы.^[8]
- Здесь S – это площадь треугольника (треугольной грани), которая вычисляется по формуле S = 1/2bh, где b – основание треугольника, h – высота треугольника (которая опущена на основание).
- Р – периметр треугольника (треугольной грани), который равен сумме всех сторон треугольника.
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Вычислите площадь треугольной грани и умножьте ее на два. Площадь треугольника вычисляется по формуле S = 1/2bh, где b – основание треугольника, h – высота треугольника (которая опущена на основание). Так как треугольная призма имеет две равные треугольные грани, эту формулу можно умножить на два. Поэтому, чтобы вычислить площади двух треугольных граней, просто перемножьте основание и высоту треугольника (b*h).^[9]
- Основание треугольника b – это его нижняя сторона.
- Например: b = 4 см
- Высота треугольника h – это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.
- Например: h = 3 см
- Площадь двух треугольных граней равна: 2(1/2)b*h = b*h = 4*3 =12 см.
3
Измерьте каждую сторону треугольника и высоту призмы. Чтобы вычислить площадь поверхности треугольной призмы, нужно найти значение каждой стороны треугольника и высоты призмы. Высота призмы – это расстояние между треугольными гранями.
- Например: Н = 5 см
- Стороны треугольника – это три ребра одной (любой) из треугольных граней.
- Например: а = 2 см, b = 4 см, с = 6 см
4
Вычислите периметр треугольника. Для этого сложите все стороны треугольника: Р = а + b + с.
- Например: P = а + b + с = 2 + 4 + 6 = 12 см
5
Перемножьте периметр треугольной грани и высоту призмы. Помните, что высота призмы – это расстояние между треугольными гранями. Таким образом, Р умножьте на Н.
- Например: Р х Н = 12 х 5 = 60 см²
6
Сложите полученные значения. Чтобы найти площадь поверхности треугольной призмы, сложите два значения, вычисленные ранее.^[10]
- Например: 2S + PH = 12 + 60 = 72 см²
Реклама

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности шара. Шар имеет изогнутую поверхность, поэтому формула включает математическую константу π (число Пи). Чтобы вычислить площадь поверхности шара, воспользуйтесь формулой SA = 4π*r².^[11]
- Здесь r – радиус шара, π ≈ 3,14.
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Измерьте радиус шара. Радиус шара равен половине его диаметра, то есть половине отрезка, который проходит через центр шара и соединяет две точки, лежащие на его поверхности.^[12]
- Например: r = 3 см
3
Радиус шара возведите в квадрат. Для этого умножьте значение радиуса (r) на себя. Помните, что формулу можно записать так: SA = 4π*r*r.^[13]
- Например: r² = r x r = 3 x 3 = 9 см²
4
Перемножьте квадрат радиуса и приблизительное значение числа Пи. Число Пи является математической константой, которая равна отношению длины окружности к ее диаметру.^[14] Это иррациональное число со множеством цифр после десятичной запятой. Зачастую число Пи округляется до 3,14. Квадрат радиуса умножьте на π (на 3,14), чтобы вычислить площадь круглого сечения шара. ^[15]
- Например: π*r² = 3,14 x 9 = 28,26 см²
5
Полученное значение умножьте на четыре. Чтобы найти значение площади поверхности сферы, площадь круглого сечения умножьте на 4.^[16]
- Например: 4π*r² = 4 x 28,26 = 113,04 см²
Реклама

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности цилиндра. Цилиндрическая поверхность этой фигуры ограничена двумя круглыми параллельными плоскостями, которые называются основаниями. Формула для вычисления площади поверхности цилиндра: SA = 2π*r² + 2π*rh, где r – радиус основания, h – высота цилиндра, π ≈ 3,14.^[17]
- 2π*г² – это площадь двух оснований, а 2πrh – это площадь цилиндрической поверхности.
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Измерьте радиус основания и высоту цилиндра. Радиус окружности равен половине ее диаметра, то есть половине отрезка, который проходит через центр окружности и соединяет две точки, лежащие на ней.^[18] Высота цилиндра – это расстояние между его основаниями. Измерьте и запишите радиус основания и высоту цилиндра.
- Например: r = 3 см
- Например: h = 5 см
3
Вычислите площадь основания и умножьте ее на два. Чтобы найти площадь основания, воспользуйтесь формулой для вычисления площади круга: S = π*г². Сначала радиус возведите в квадрат, а затем полученное значение умножьте на число Пи. Результат умножьте на два, чтобы учесть второе равное основание.^[19]
- Например: площадь основания = π*r² = 3,14 х 3 х 3 = 28,26 см²
- Например: 2π*r² = 2 x 28,26 = 56,52 см²
4
Вычислите площадь цилиндрической поверхности. Для этого воспользуйтесь формулой S = 2π*rh, по которой можно найти площадь поверхности трубы. Здесь труба – это поверхность между двумя основаниями цилиндра. Перемножьте двойку, число Пи, радиус и высоту.^[20]
- Например: 2π*rh = 2 x 3,14 x 3 x 5 = 94,2 см²
5
Сложите полученные значения. Сложите площади двух оснований и площадь цилиндрической поверхности (между двумя основаниями), чтобы вычислить общую площадь поверхности цилиндра. Обратите внимание, что при сложении этих величин получится исходная формула: SA = 2π*r² + 2π*rh.^[21]
- Например: 2π*r² + 2π*rh = 56,52 + 94,2 = 150,72 см²
Реклама

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности квадратной пирамиды. Квадратная пирамида имеет одно квадратное основание и четыре треугольные грани. Помните, что площадь квадрата равна квадрату его стороны. Площадь треугольника равна 1/2sl (половина основания треугольника, умноженная на его высоту). Так как пирамида имеет четыре треугольные грани, нужно площадь треугольника умножить на 4. Таким образом, площадь поверхности квадратной пирамиды вычисляется по формуле: SA = s² + 2sl.^[22]
- В этой формуле s – ребро квадратной грани (сторона квадрата), l – апофема пирамиды.
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Найдите значения апофемы и ребра квадратной грани. Апофема (l) – это высота треугольной грани, то есть расстояние между основанием треугольника и его вершиной. Ребро квадратной грани (s) – это сторона квадрата. Помните, что у квадрата все стороны равны, поэтому измерьте любое ребро квадратной грани, а также измерьте апофему пирамиды.^[23]
- Например: l = 3 см
- Например: s = 1 см
3
Найдите площадь квадратной грани. Для этого возведите в квадрат ребро этой грани (сторону квадрата), то есть умножьте значение s на себя.^[24]
- Например: s² = s х s = 1 х 1 = 1 см²
4
Вычислите общую площадь четырех треугольных граней. Вторая часть формулы включает суммарную площадь четырех треугольных граней. Согласно формуле 2ls, перемножьте 2, s и l. Так вы найдете суммарную площадь 4-х треугольных граней.^[25]
- Например: 2 х s х l = 2 х 1 х 3 = 6 см²
5
Сложите полученные значения. Сложите площадь квадратной грани и общую площадь четырех треугольных граней, чтобы вычислить площадь поверхности пирамиды.^[26]
- Например: s² + 2sl = 1 + 6 = 7 см²
Реклама

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности конуса. Конус имеет круглое основание и закругленную боковую поверхность, которая сужается в вершине этой фигуры. Чтобы найти площадь поверхности конуса, нужно вычислить значения площади круглого основания и площади боковой поверхности, а затем сложить эти значения. Формула для вычисления площади поверхности конуса: SA = π*r² + π*rl, где r – радиус круглого основания, l – образующая (расстояние между вершиной конуса и точкой, которая лежит на окружности круга), π ≈ 3,14.^[27]
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Измерьте радиус основания и высоту конуса. Радиус – это отрезок, соединяющий центр круга и точку, которая лежит на его окружности. Высота – это расстояние между центром круга и высотой конуса.^[28]
- Например: r = 2 см
- Например: h = 4 см
3
Найдите значение образующей конуса (l). Образующая конуса является гипотенузой треугольника, поэтому воспользуйтесь теоремой Пифагора, чтобы вычислить образующую: l = √(r² + h²), где r – радиус круглого основания, h – высота конуса.^[29]
- Например: l = √(r² + h²) = √(2 х 2 + 4 х 4) = √(4 + 16) = √(20) = 4,47 см
4
Вычислите площадь круглого основания. Площадь круга вычисляется по формуле S = π*r². Измерив радиус, возведите его в квадрат (умножьте r на себя), а затем квадрат радиуса умножьте на число Пи.^[30]
- Например: π*r² = 3,14 x 2 x 2 = 12,56 см²
5
Вычислите площадь боковой поверхности конуса. Сделайте это по формуле S = π*rl, где r – радиус круга, l – образующая, которая найдена ранее.^[31]
- Например: π*rl = 3,14 x 2 x 4,47 = 28,07 см
6
Сложите полученные значения, чтобы найти площадь поверхности конуса. Площадь поверхности конуса равна сумме площади круглого основания и площади боковой поверхности конуса.^[32]
- Например: π*r² + π*rl = 12,56 + 28,07 = 40,63 см²
Реклама

Что вам понадобится

Линейка
Ручка или карандаш
Бумага

Об этой статье

Эту страницу просматривали 70 137 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Все формулы для площадей полной и боковой поверхности тел

1. Площадь полной поверхности куба

a — сторона куба

Формула площади поверхности куба,(S):

2. Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

a, b, c — стороны параллелепипеда

Формула площади поверхности параллелепипеда, (S):

3. Найти площадь поверхности шара, сферы

R — радиус сферы

π ≈ 3.14

Формула площади поверхности шара (S):

4. Найти площадь боковой и полной поверхности цилиндра

r — радиус основания

h — высота цилиндра

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности цилиндра, (S_бок):

Формула площади всей поверхности цилиндра, (S):

5. Площадь поверхности прямого, кругового конуса

R — радиус основания конуса

H — высота

L — образующая конуса

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S_бок):

Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S_бок):

Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S):

Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S):

6. Формулы площади поверхности усеченного конуса

R — радиус нижнего основания

r — радиус верхнего основания

L — образующая усеченного конуса

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса, (S_бок):

Формула площади полной поверхности усеченного конуса, (S):

7. Площадь поверхности правильной пирамиды через апофему

L — апофема (опущенный перпендикуляр OC из вершины С, на ребро основания АВ)

P — периметр основания

S_осн — площадь основания

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (S_бок):

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды (S):

8. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

m — апофема пирамиды, отрезок OK

P — периметр нижнего основания, ABCDE

p — периметр верхнего основания, abcde

Формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды, (S):

9. Площадь поверхности шарового сегмента

R — радиус самого шара

h — высота сегмента

π ≈ 3.14

Формула площади поверхности шарового сегмента, (S):

10. Площадь поверхности шарового слоя

h — высота шарового слоя, отрезок KN

R — радиус самого шара

O — центр шара

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности шарового слоя, (S):

11. Площадь поверхности шарового сектора

R — радиус шара

r — радиус основания конуса = радиус сегмента

π ≈ 3.14

Формула площади поверхности шарового сектора, (S):

Источник

Стереометрия на Профильном ЕГЭ по математике, 1 часть, основные типы

Стереометрия на ЕГЭ. Вычисление объемов и площадей поверхности

Стереометрия на ЕГЭ по математике присутствует и в 1 части, и во второй. Чтобы решать задачи, для начала надо выучить формулы. Все они есть в наших таблицах:

Куб, параллелепипед, призма, пирамида. Объем и площадь поверхности
Цилиндр, конус, шар. Объем и площадь поверхности

Часто в задачах ЕГЭ, посвященных стереометрии, требуется посчитать объем тела или площадь его поверхности. Или как-то использовать эти данные. Поэтому заглянем в толковый словарь русского языка и уточним понятия.

Объем — величина чего-нибудь в длину, ширину и высоту, измеряемая в кубических единицах.
Другими словами, чем больше объем, тем больше места тело занимает в трехмерном пространстве.

Площадь — величина чего-нибудь в длину и ширину, измеряемая в квадратных единицах.
Представьте себе, что вам нужно оклеить всю поверхность объемного тела. Сколько квадратных сантиметров (или метров) вы бы обклеили? Это и есть его площадь поверхности.

Объемные тела — это многогранники (куб, параллелепипед, призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар).
Если в задаче по стереометрии речь идет о многограннике, вам встретятся термины «вершины», «грани» и «ребра». Вот они, на картинке.

Чтобы найти площадь поверхности многогранника, сложите площади всех его граней.

Вам могут также встретиться понятия «прямая призма», правильная призма», «правильная пирамида».

Прямой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию.
Если призма — прямая и в ее основании лежит правильный многоугольник, призма будет называться правильной.
А правильная пирамида — такая, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Перейдем к практике.

1. Одна из распространенных задач в части 1 — такая, где надо посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана. Например, такого:

Что тут нарисовано? Очевидно, это большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка». Если вы увидели на рисунке что-то другое — обратите внимание на сплошные и штриховые линии. Сплошные линии — видимы. Штриховыми линиями показываются те ребра, которые мы не видим, потому что они находятся сзади.

Объем найти просто. Из объема большого «кирпича» вычитаем объем маленького. Получаем:

А как быть с площадью поверхности? Почему-то многие школьники пытаются посчитать ее по аналогии с объемом, как разность площадей большого и малого «кирпичей». В ответ на такое «решение» я обычно предлагаю детскую задачу — если у четырехугольного стола отпилить один угол, сколько углов у него останется?

На самом деле нам нужно посчитать сумму площадей всех граней — верхней, нижней, передней, задней, правой, левой, а также сумму площадей трех маленьких прямоугольников, которые образуют «полочку». Можно сделать это «в лоб», напрямую. Но есть и способ попроще.

Прежде всего, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна 110 . А как повлияет на него вырезанная «полочка»?

Давайте посчитаем сначала площадь всех горизонтальных участков, то есть «дна», «крыши» и нижней поверхности «полочки». С дном — все понятно, оно прямоугольное, его площадь равна .

А вот сумма площадей «крыши» и горизонтальной грани «полочки» тоже равна ! Посмотрите на них сверху.
…В этот момент и наступает понимание. Кому-то проще нарисовать вид сверху. Кому-то — представить, что мы передвигаем дно и стенки полочки и получаем целый большой параллелепипед, площадь поверхности которого равна 110 . Каким бы способом вы ни решали, результат один — площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали.

Ответ: 110 .

2. Следующую задачу, попроще, вы теперь решите без труда. Здесь тоже надо найти площадь поверхности многогранника:

. Из площади поверхности «целого кирпича» вычитаем площади двух квадратиков со стороной — на верхней и нижней гранях.

Ответ: 92.

3. А здесь нарисована прямоугольная плитка с «окошком». Задание то же самое — надо найти площадь поверхности.

Сначала посчитайте сумму площадей всех граней. Представьте, что вы дизайнер, а эта штучка — украшение. И вам надо оклеить эту штуку чем-то ценным, например, бриллиантами Сваровски. И вы их покупаете на свои деньги. (Я не знаю почему, но эта фраза мгновенно повышает вероятность правильного ответа!) Оклеивайте все грани плитки. Но только из площадей передней и задней граней вычтите площадь «окошка». А затем — само «окошко». Оклеивайте всю его «раму».
Ответ: .

Следующий тип задач — когда одно объемное тело вписано в другое.

4. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны . Найдите объем параллелепипеда.

Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник — на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности. Итак, площадь основания параллелепипеда равна , высота равна , объем равен .

Ответ: 4.

5. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами и . Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите .

Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть . Осталось найти радиус его основания.
Рисуем вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Где будет находиться радиус этой окружности? Правильно, посередине гипотенузы. Гипотенузу находим по теореме Пифагора, она равна . Тогда радиус основания цилиндра равен пяти. Находим объем цилиндра по формуле и записываем ответ: 100 .

Ответ: 100.

6. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса . Найдите объем параллелепипеда.

Эта задача тоже проста. Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же — круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.

Ответ: .

Следующий тип задач — такие, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. А узнать нужно, как изменится объем или площадь поверхности.

7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании — правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого. Мы уже говорили о том, что площадь этого треугольника будет больше в раза. Объем воды остался неизменным. Следовательно, в раза уменьшится высота.
Ответ: .

8. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Давайте вспомним, как мы решали стандартные задачи, на движение и работу. Мы рисовали таблицу, верно? И здесь тоже нарисуем таблицу. Мы помним, что объем цилиндра равен pi R^2h .

	Высота	Радиус	Объем
Первая кружка
Вторая кружка	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}h$		$picdot left( 2R right)^2cdot genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}h$

Считаем объем второй кружки. Он равен $picdot left( 2R right)^2cdot genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}h=2 pi R^2h$ . Получается, что он в два раза больше, чем объем первой.

Следующая задача тоже решается сразу и без формул.

9. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен , проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Высота меньшей призмы такая же, как и у большой. А какой же будет ее площадь основания? Очевидно, в раза меньше. Вспомните свойство средней линии треугольника — она равна половине основания. Значит, объем отсеченной призмы равен .

И еще одна классическая задача. Никаких формул!

10. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в раза?

Только не надо обмирать от ужаса при слове «октаэдр». Тем более — он здесь нарисован и представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. А мы уже говорили — если все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в раз, поскольку 3^2=9 .
Ответ: .

Следующий тип задач — такие, в которых надо найти объем части конуса, или части пирамиды. Они тоже решаются элементарно.

11. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. Радиус цилиндра равен 15, высота равна 5. В ответе укажите .

Изображен не целый цилиндр, а его часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося «сыра».
Какая же часть цилиндра изображена? Вырезан кусок с углом градусов, а $60^{circ}$ — это одна шестая часть полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых. Находим объем всего цилиндра, умножаем на пять шестых, делим на , записываем ответ: 937,5 .

Продолжение: другие типы задач по стереометрии. Удачи вам в подготовке к ЕГЭ!

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Стереометрия на Профильном ЕГЭ по математике, 1 часть, основные типы» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

Download Article

Surface area is the total amount of space that all of the surfaces of an object take up. It is the sum of the area of all the surfaces of that object.^[1] Finding the surface area of a three-dimensional shape is moderately easy as long as you know the correct formula. Each shape has its own separate formula, so you’ll first need to identify the shape you’re working with. Memorizing the surface area formula for various objects can make calculations easier in the future. Here are a few of the most common shapes you might encounter.

1
Define the formula for surface area of a cube. A cube has six identical square sides. Because both the length and width of a square are equal, the area of a square is a², where a is the length of a side. Since there are 6 identical sides of a cube, to find the surface area, simply multiply the area of one side times 6. The formula for surface area (SA) of a cube is SA = 6a², where a is the length of one side.^[2]
- The units of surface area will be some unit of length squared: in², cm², m², etc.
2
Measure the length of one side. Each side or edge of a cube should, by definition, be equal in length to the others, so you only need to measure one side. Using a ruler, measure the length of the side. Pay attention to the units you are using.
- Mark this measurement down as a.
- Example: a = 2 cm
Advertisement
3
Square your measurement for a. Square the measurement taken for the length of the edge. To square a measurement means to multiply it by itself. When you are first learning these formulas, it might be helpful to write it as SA= 6*a*a.
- Note that this step calculates the area of one side of the cube.
- Example: a = 2 cm
- a² = 2 x 2 = 4 cm²
4
Multiply this product by six. Remember, a cube has six identical sides. Now that you have the area of one side, you need to multiply it by six to account for all six sides.
- This step completes the calculation for the cube’s surface area.
- Example: a² = 4 cm²
- Surface Area = 6 x a² = 6 x 4 = 24 cm²

1
Define the formula for surface are of a rectangular prism. Like a cube, a rectangular prism has six sides, but unlike a cube, the sides are not identical. In a rectangular prism, only opposite sides are equal.^[3] Because of this, the surface of a rectangular prism must take into account the various side lengths making the formula SA = 2ab + 2bc + 2ac.
- For this formula, a equals the width of the prism, b equals the height, and c equals the length.
- Breaking down the formula, you can see that you are simply adding up all of the areas of each face of the object.
- The units of surface area will be some unit of length squared: in², cm², m², etc.
2
Measure the length, height, and width of each side. All three measurements can vary, so all three need to be taken separately. Using a ruler, measure each side and write it down. Use the same units for each measurement.
- Measure the length of the base to determine the length of the prism, and assign this to c.
- Example: c = 5 cm
- Measure the width of the base to determine the width of the prism, and assign this to a.
- Example: a = 2 cm
- Measure the height of the side to determine the height of the prism, and assign this to b.
- Example: b = 3 cm
3
Calculate the area of one of the sides of the prism, then multiply by two. Remember, there are 6 faces of a rectangular prism, but opposite sides are identical. Multiply the length and height, or c and a to find the area of one face. Take this measurement and multiply it by two to account for the opposite identical side.^[4]
- Example: 2 x (a x c) = 2 x (2 x 5) = 2 x 10 = 20 cm²
4
Find the area of the other side of the prism and multiply by two. Like with the first pair of faces, multiply the width and height, or a and b to find the area of another face of the prism. Multiply this measurement by two to account for the opposite identical sides.^[5]
- Example: 2 x (a x b) = 2 x (2 x 3) = 2 x 6 = 12 cm²
5
Calculate the area of the ends of the prism and multiply by two. The final two faces of the prism will be the ends. Multiply the length and width, or c and b to find their area. Multiply this measurement by two to account for both sides.^[6]
- Example: 2 x (b x c) = 2 x (3 x 5) = 2 x 15 = 30 cm²
6
Add the three separate measurements together. Because surface area is the total area of all of the faces of an object, the final step is to add all of the individually calculated areas together. Add the area measurements for all the sides together to find the total surface area.^[7]
- Example: Surface Area = 2ab + 2bc + 2ac = 12 + 30 + 20 = 62 cm².

1
Define the surface area formula for a triangular prism. A triangular prism has two identical triangular sides and three rectangular faces. To find the surface area, you must calculate the area of all of the sides and add them together. The surface area of a triangular prism is SA = 2A + PH, where A is the area of the triangular base, P is the perimeter of the triangular base, and h is the height of the prism.
- For this formula, A is the area of a triangle which is A = 1/2bh where b is the base of the triangle and h is the height.
- P is simply the perimeter of the triangle which is calculated by adding all three sides of the triangle together.
- The units of surface area will be some unit of length squared: in², cm², m², etc.
2
Calculate the area of the triangular face and multiply by two. The area of a triangle is ¹/₂b*h where b is the base of the triangle and h is the height. Because there are two identical triangle faces we can multiply the formula by two. This makes the calculation for both faces simply, b*h.
- The base, b, equals the length of the bottom of the triangle.
- Example: b = 4 cm
- The height, h, of the triangular base equals the distance between the bottom edge and the top peak.
- Example: h = 3 cm
- Area of the one triangle multiplied by 2= 2(1/2)b*h = b*h = 4*3 =12 cm
3
Measure each side of the triangle and the height of the prism. To finish the surface area calculation, you need to know the length of each side of the triangle and the height of the prism. The height is the distance between the two triangular faces.
- Example: H = 5 cm
- The three sides refer to the three sides of the triangular base.
- Example: S1 = 2 cm, S2 = 4 cm, S3 = 6 cm
4
Determine the perimeter of the triangle. The perimeter of the triangle can be calculated simply by adding up all of the measured sides: S1 + S2 + S3.
- Example: P = S1 + S2 + S3 = 2 + 4 + 6 = 12 cm
5
Multiply the perimeter of the base by the height of the prism. Remember, the height of the prism is distance between the two triangular bases. In other words, multiply P by H.
- Example: P x H = 12 x 5 = 60 cm²
6
Add the two separate measurements together. You will need to add the two measurements from the previous two steps together to calculate the triangular prism’s surface area.
- Example: 2A + PH = 12 + 60 = 72 cm².

1
Define the surface area formula for a sphere. A sphere has a curved surface and therefore the surface area must use the mathematical constant, pi. The surface area of a sphere is given by the equation SA = 4π*r².^[8]
- For this formula, r equals the radius of the sphere. Pi, or π, should be approximated to 3.14.
- The units of surface area will be some unit of length squared: in², cm², m², etc.
2
Measure the radius of the sphere. The radius of the sphere is half the diameter, or half the distance from one side of the center of the sphere to the other.^[9]
- Example: r = 3 cm
3
Square the radius. To square a number, simply multiply it by itself. Multiply the measurement for r by itself. Remember, this formula can be rewritten as SA = 4π*r*r.^[10]
- Example: r² = r x r = 3 x 3 = 9 cm²
4
Multiply the squared radius by an approximation of pi. Pi is a constant that represents the ratio of a circle’s circumference to its diameter.^[11] It is an irrational number that has many decimal digits. It is frequently approximated as 3.14. Multiply the squared radius by π, or 3.14, to find the area of one circular section of the sphere.^[12]
- Example: π*r² = 3.14 x 9 = 28.26 cm²
5
Multiply this product by four. To complete the calculation, multiply by 4. Find the surface area of the sphere by multiplying the flat circular area by four.^[13]
- Example: 4π*r² = 4 x 28.26 = 113.04 cm²

1
Define the surface area formula for a cylinder. A cylinder has two circular ends enclosing a rounded surface. The formula for surface area of a cylinder is SA = 2π*r² + 2π*rh, where r equals the radius of the circular base and h equals the height of the cylinder. Round pi or π off to 3.14.^[14]
- 2π*r² represents the surface area of the two circular ends while 2πrh is the surface area of the column connecting the two ends.
- The units of surface area will be some unit of length squared: in², cm², m², etc.
2
Measure the radius and height of the cylinder. The radius of a circle is half of the diameter, or half the distance from one side of the center of the circle to the other.^[15] The height is the total distance of the cylinder from end to end. Using a ruler, take these measurements and write them down.
- Example: r = 3 cm
- Example: h = 5 cm
3
Find the area of the base and multiply by two. To find the area of the base, you simply use the formula for area of circle, or π*r². To complete the calculation, square the radius and multiply by pi. Multiply by two to take into account the second identical circle on the other end of the cylinder.^[16]
- Example: Area of base = π*r² = 3.14 x 3 x 3 = 28.26 cm²
- Example: 2π*r² = 2 x 28.26 = 56.52 cm²
4
Calculate the surface area of the cylinder itself, using 2π*rh. This is the formula to calculate the surface area of a tube. The tube is the space between the two circular ends of the cylinder. Multiply the radius by two, pi, and the height.^[17]
- Example: 2π*rh = 2 x 3.14 x 3 x 5 = 94.2 cm²
5
Add the two separate measurements together. Add the surface area of the two circles to the surface area of the space between the two circles to calculate the total surface area of the cylinder. Note, adding these two pieces together allows you to recognize the original formula: SA =2π*r² + 2π*rh.^[18]
- Example: 2π*r² + 2π*rh = 56.52 + 94.2 = 150.72 cm²

1
Define the surface area formula for a square pyramid. A square pyramid has a square base and four triangular sides. It is defined as the total lateral area of the base. Remember, the area of the square is the length of one side squared. The area of a triangle is 1/2sl (side of the triangle times the length or height of the triangle). Because there are four triangles, to find the total surface area, you must multiply by four. Adding all of these faces together yields the equation of surface area for a square pyramid: SA = s² + 2sl.^[19]
- For this equation, s refers to the length of each side of the square base and l refers to the slant height of each triangular side.
- The units of surface area will be some unit of length squared: in², cm², m², etc.
2
Measure the slant height and base side. The slant height, l, is the height of one of the triangular sides. It is the distance between the base to the peak of the pyramid as measured along one flat side. The base side, s, is the length of one side of the square base. Because the base is square, this measurement is the same for all sides. Use a ruler to make each measurement.^[20]
- Example: l = 3 cm
- Example: s = 1 cm
3
Find the area of the square base. The area of a square base can be calculated by squaring the length of one side, or multiplying s by itself.^[21]
- Example: s² = s x s = 1 x 1 = 1 cm²
4
Calculate the total area of the four triangular faces. The second part of the equation involves the surface area of the remaining four triangular sides. Using the formula 2ls, multiply s by l and two. Doing so will allow you to find the area of each side.^[22]
- Example: 2 x s x l = 2 x 1 x 3 = 6 cm²
5
Add the two separate areas together. Add the total area of the sides to the area of the base to calculate the total surface area.^[23]
- Example: s² + 2sl = 1 + 6 = 7 cm²

1
Define the surface area formula for a cone. A cone has a circular base and a rounded surface that tapers into a point. To find the surface area, you need to calculate the area of the circular base and the surface of the cone and add these two together. The formula for surface area of a cone is: SA = π*r² + π*rl, where r is the radius of the circular base, l is the slant height of the cone, and π is the mathematical constant pi (3.14).^[24]
- The units of surface area will be some unit of length squared: in², cm², m², etc.
2
Measure the radius and height of the cone. The radius is the distance from the center of the circular base to the side of the base. The height is the distance from the center of the base to the top peak of the cone, as measured through the center of the cone.^[25]
- Example: r = 2 cm
- Example: h = 4 cm
3
Calculate the slant height (l) of the cone. Because the slant height is actually the hypotenuse of a triangle, you must use the Pythagorean Theorem to calculate it. Use the rearranged form, l = √ (r² + h²), where r is the radius and h is the height of the cone. ^[26]
- Example: l = √ (r² + h²) = √ (2 x 2 + 4 x 4) = √ (4 + 16) = √ (20) = 4.47 cm
4
Determine the area of the circular base. The area of the base is calculated with the formula π*r². After measuring the radius, square it (multiply it by itself) and then multiply that product by pi.^[27]
- Example: π*r² = 3.14 x 2 x 2 = 12.56 cm²
5
Calculate the surface area of the top of the cone. Using the formula π*rl, where r is the radius of the circle and l is the slant height previously calculated, you can find the surface area of the top part of the cone.^[28]
- Example: π*rl = 3.14 x 2 x 4.47 = 28.07 cm
6
Add two areas together to find total surface area. Calculate the final surface area of your cone by adding the area of the circular base to the calculation from the previous step.^[29]
- Example: π*r² + π*rl = 12.56 + 28.07 = 40.63 cm²

Add New Question

Question

How do I find the surface area for something that is «L»-shaped? Is there a formula?

Let’s assume we’re considering a three-dimensional, rectilinear object in the shape of an «L» and that we know the dimensions of all ten sides. There is no formula other than to add together the areas of all the sides. All sides are rectangles or squares, so in each case the area of a side is simply length multiplied by width.
Question

How do I solve problems involving capacity?

Volume («capacity») always involves three dimensions, typically length, width, and height (or depth). To calculate volume, multiply the three dimensions together.
Question

How do I find it as an irregular shape?

In general, it is not possible to calculate the surface area of an irregular shape unless all of its surface dimensions are known.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Things You’ll Need

Ruler
Writing utensil
Paper

References

About This Article

Article SummaryX

To find surface area for a rectangular prism, use the formula SA = 2ab + 2bc + 2ac, where a is the width, b is the height, and c is the length. If you’re trying to find the surface area of a triangular prism, use the formula SA = 2a + ph, where a is the area of the triangle, p is the perimeter, and h is the height. To find the surface area of a cube, use the formula SA = 6a^2, where a is the length. If you need to learn how to find the surface area of a sphere or pyramid, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 307,205 times.

Reader Success Stories

Christine Meleg

Jul 3, 2017

«I am sewing a Quilt of Valor for my great nephew, an active member of the U.S. Marine Corps. I need to calculate…» more

Did this article help you?

Источник

Формулы площади геометрических фигур

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона

S = √p(p — a)(p — b)(p — c)
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
a, b, c — длины сторон треугольника,
h — высота треугольника,
γ — угол между сторонами a и b,
r — радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,

p = a + b + c — полупериметр треугольника.

2

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

S = a²
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

S = a · b

где S — Площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

S = a · b · sin α
Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

где S — Площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
h — длина высоты параллелограмма,
d₁, d₂ — длины диагоналей параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма,
γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

S = a² · sin α
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — Площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба,
α — угол между сторонами ромба,
d₁, d₂ — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

Формула Герона для трапеции

S = a + b √(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d)

|a — b|
Формула площади трапеции по длине основ и высоте

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,

p = a + b + c + d — полупериметр трапеции.

2

Формулы площади выпуклого четырехугольника

Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:

где S — площадь четырехугольника,
d₁, d₂ — длины диагоналей четырехугольника,
α — угол между диагоналями четырехугольника.
Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)

Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

S = p · r
Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos²θ

где S — площадь четырехугольника,

a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,

p = a + b + c + d2 — полупериметр четырехугольника,

θ = α + β2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

Формулы площади круга

Формула площади круга через радиус
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

S = π r²
Формула площади круга через диаметр
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

где S — Площадь круга,
r — длина радиуса круга,
d — длина диаметра круга.

Формулы площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

S = π · a · b

где S — Площадь эллипса,

a — длина большей полуоси эллипса,

b — длина меньшей полуоси эллипса.

Источник

p =	a + b + c	— полупериметр треугольника.
2

p =	a + b + c + d	— полупериметр трапеции.
2

S =	a + b	√(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d)
\|a — b\|

Что вам понадобится

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Все формулы для площадей полной и боковой поверхности тел

1. Площадь полной поверхности куба

2. Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

3. Найти площадь поверхности шара, сферы

4. Найти площадь боковой и полной поверхности цилиндра

5. Площадь поверхности прямого, кругового конуса

6. Формулы площади поверхности усеченного конуса

7. Площадь поверхности правильной пирамиды через апофему

8. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

9. Площадь поверхности шарового сегмента

10. Площадь поверхности шарового слоя

11. Площадь поверхности шарового сектора

Стереометрия на Профильном ЕГЭ по математике, 1 часть, основные типы

Стереометрия на ЕГЭ. Вычисление объемов и площадей поверхности

Things You’ll Need

References

About This Article

Reader Success Stories

Did this article help you?

Формулы площади геометрических фигур

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Формулы площади квадрата

Формула площади прямоугольника

Формулы площади параллелограмма

Формулы площади ромба

Формулы площади трапеции

Формулы площади выпуклого четырехугольника

Формулы площади круга

Формулы площади эллипса