Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин
Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):
1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;
2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;
3) площади и уравнения граней;
4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;
5) основания и точка пересечения медиан (центроид);
6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;
7) объём пирамиды;
основания, площади и уравнения биссекторов;
9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;
10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;
Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.
Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Площадь грани пирамиды
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj — xi; Y = yj — yi; Z = zj — zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi — координаты точки Аi; xj, yj, zj — координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 — x1; Y = y2 — y1; Z = z2 — z1
X = -1-3; Y = 6-1; Z = 1-4
AB(-4;5;-3), AC(-4;0;2), AD(-3;3;-5), BC(0;-5;5), BD(1;-2;-2), CD(1;3;-7)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой: 
4) Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:
S=½·|a|·|b|·sin γ
Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB и AC:
Площадь грани ABC
Найдем площадь грани ABD
Найдем угол между ребрами AB и AD:
Площадь грани ABD
Найдем площадь грани ACD
Найдем угол между ребрами AC и AD:
Площадь грани ACD
Найдем площадь грани BCD
Найдем угол между ребрами BC и BD:
Площадь грани BCD
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Уравнение прямой AC
Уравнение прямой BC
Уравнение прямой BD
Уравнение прямой CD
Уравнение плоскости
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
Уравнение плоскости ABC
(x-3)(5·2-0·(-3)) — (y-1)((-4)·2-(-4)·(-3)) + (z-4)((-4)·0-(-4)·5) = 10x + 20y + 20z + 130 = 0
Уравнение плоскости ABD
(x-3)(5·(-5)-3·(-3)) — (y-1)((-4)·(-5)-(-3)·(-3)) + (z-4)((-4)·3-(-3)·5) = -16x — 11y + 3z-47 = 0
Уравнение плоскости ACD
(x-3)(0·(-5)-3·2) — (y-1)((-4)·(-5)-(-3)·2) + (z-4)((-4)·3-(-3)·0) = -6x — 26y — 12z-92 = 0
Уравнение плоскости BCD
(x+1)((-5)·(-2)-(-2)·5) — (y-6)(0·(-2)-1·5) + (z-1)(0·(-2)-1·(-5)) = 20x + 5y + 5z + 15 = 0
9) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид:
l(x- x0) + m(y- y0) + n(z- z0) = 0
-4(x — (-1)) + 5(y — 1) + (-3)(z — 6) = 0
-4x + 5y -3z + 9 = 0
10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:
11) Уравнение высоты пирамиды через вершину A
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
12) Угол между прямой AB и плоскостью ABC
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле
13) Угол между плоскостью ABC и плоскостью ABD
Косинус угла между плоскостью A1x + B1y + C1 + D = 0 и плоскостью A2x + B2y + C2 + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N1(A1, B1, C1) и N2(A2, B2, C2):
Вычисление площади правильной треугольной пирамиды
Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) — это многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник со сторонами a и боковыми гранями в виде равнобедренных треугольников с основанием a и сторонами b.
Площадь поверхности такой фигуры складывается из площадей основания многогранника и трех боковых граней. В записи на математический язык это выглядит так:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Нахождение площади основания пирамиды
Поскольку правильный тетраэдр основан на треугольнике, для определения площади основания рассматриваемого многогранника воспользуемся формулой нахождения площади треугольника:
Значение переменных: a — длина стороны равностороннего треугольника, h — его высота.
Далее произведем подстановку формулы вычисления высоты правильного треугольника и получим искомое выражение:
Вычисление площади боковых граней и полной поверхности
Боковые грани правильной треугольной пирамиды представлены тремя равнобедренными треугольниками. Выведем формулу расчета площади каждого из них из классического способа вычисления площади треугольника:
Здесь переменная a обозначает основание треугольника, h — его высоту.
Теперь выполним подстановку выражения, с помощью которого находится высота треугольника с одинаковыми бедрами, и получим уравнение определения площади равнобедренного треугольника:
В этом случае b — это боковые ребра треугольника, равные между собой.
Подставим в выражение (1) формулы (2) и (3) и получим уравнение, с помощью которого рассчитывается площадь полной поверхности правильного тетраэдра:
Примеры задач с решением
Задача
Дано
Правильный тетраэдр MABC с вершиной М. Высота основания AK=3 см.
∠MAB=∠MAC=∠MBA=∠MBC=∠MAB=∠MCA=∠MCB=45°. Необходимо вычислить площадь пирамиды MABC.
Решение
В основании правильного тетраэдра лежит равносторонний треугольник с известной длиной высоты. Применим свойство правильного треугольника, состоящее в следующем:
Преобразуем данное выражение так, чтобы вывести формулу стороны a:
Теперь найдем a:
Подставим полученное выражение в формулу нахождения площади основания правильного многогранника с тремя боковыми гранями:
Далее необходимо найти площадь боковых граней тетраэдра. Для этого произведем вычисление высоты MK. Так как угол между гранью и основанием пирамиды равен 45°, то ∠OKM=45°, следовательно:
По свойству правильного треугольника, отрезок OK равен радиусу вписанной в ΔABC окружности.
Найдем ее по соответствующей формуле:
Подставим найденную величину в отношение ОК к МК:
Из данной пропорции выведем выражение, по которому можно определить длину высоты MK:
Теперь, когда известны основание и высота равнобедренного треугольника, составляющего боковую грань пирамиды MABC, подставим значения в классическую формулу нахождения площади треугольника:
Как найти площадь грани в пирамиде
Площадь боковой поверхности и основания, периметр основания пирамиды и ее объем связывают между собой определенные формулы. Это порой дает возможность вычислить значения недостающих данных, необходимых для определения площади грани в пирамиде.
Объем любой не усеченной пирамиды равен трети от произведения высоты пирамиды и площади основания. Для правильной пирамиды справедливо: площадь боковой поверхности равна половине периметра основания умноженного на высоту одной из граней. При расчете объема усеченной пирамиды, вместо площади основания подставляется величина, равная сумме площадей верхнего, нижнего основания и квадратного корня из их произведения.
- Стереометрия
- как найти боковую грань пирамиды
- Как найти площадь боковой поверхности пирамиды
- Как найти площадь оснований пирамиды
- Как найти площадь тетраэдра
chioriet
Вопрос по геометрии:
В тетраэдре DABC уголDAB=90 уголСBD=60 AD=4 AB=4 корень2 BC=7 найдите площадь грани BCD
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
Ответы и объяснения 1
kedoveanghun411
Решение в скане……………
Знаете ответ? Поделитесь им!
Гость ?
Как написать хороший ответ?
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете
правильный ответ; - Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не
побуждал на дополнительные вопросы к нему; - Писать без грамматических, орфографических и
пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся
уникальные и личные объяснения; - Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не
знаю» и так далее; - Использовать мат — это неуважительно по отношению к
пользователям; - Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует?
Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие
вопросы в разделе Геометрия.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи —
смело задавайте вопросы!
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Размещено 3 года назад по предмету
Геометрия
от nikita123456781
-
Ответ на вопрос
Ответ на вопрос дан
ужнеужелирешение в скане……………
Не тот ответ на вопрос, который вам нужен?
Найди верный ответ
Самые новые вопросы
Математика — 3 года назад
Сколько здесь прямоугольников
История — 3 года назад
Какое управление было в древнейшем риме? как звали первого и последнего из царей рима?
Литература — 3 года назад
Уроки французского ответе на вопрос : расскажите о герое по следующему примерному плану: 1.почему мальчик оказался в райцентре ? 2.как он чувствовал себя на новом месте? 3.почему он не убежал в деревню? 4.какие отношения сложились у него с товарищами? 5.почему он ввязался в игру за деньги? 6.как характеризуют его отношения с учительницей ? ответе на эти вопросы пожалуйста ! сочините сочинение пожалуйста
Русский язык — 3 года назад
Помогите решить тест по русскому языку тест по русскому языку «местоимение. разряды местоимений» для 6 класса
1. укажите личное местоимение:
1) некто
2) вас
3) ни с кем
4) собой
2. укажите относительное местоимение:
1) кто-либо
2) некоторый
3) кто
4) нам
3. укажите вопросительное местоимение:
1) кем-нибудь
2) кем
3) себе
4) никакой
4. укажите определительное местоимение:
1) наш
2) который
3) некий
4) каждый
5. укажите возвратное местоимение:
1) свой
2) чей
3) сам
4) себя
6. найдите указательное местоимение:
1) твой
2) какой
3) тот
4) их
7. найдите притяжательное местоимение:
1) самый
2) моего
3) иной
4) ничей
8. укажите неопределённое местоимение:
1) весь
2) какой-нибудь
3) любой
4) этот
9. укажите вопросительное местоимение:
1) сколько
2) кое-что
3) она
4) нами
10. в каком варианте ответа выделенное слово является притяжательным местоимением?
1) увидел их
2) её нет дома
3) её тетрадь
4) их не спросили
Русский язык — 3 года назад
Переделай союзное предложение в предложение с бессоюзной связью.
1. океан с гулом ходил за стеной чёрными горами, и вьюга крепко свистала в отяжелевших снастях, а пароход весь дрожал.
2. множество темноватых тучек, с неясно обрисованными краями, расползались по бледно-голубому небу, а довольно крепкий ветер мчался сухой непрерывной струёй, не разгоняя зноя
3. поезд ушёл быстро, и его огни скоро исчезли, а через минуту уже не было слышно шума
Русский язык — 3 года назад
помогите прошу!перепиши предложения, расставляя недостающие знаки препинания. объясни, что соединяет союз и. если в предложении один союз и, то во втором выпадающем списке отметь «прочерк».пример:«я шёл пешком и,/поражённый прелестью природы/, часто останавливался».союз и соединяет однородные члены.ночь уже ложилась на горы (1) и туман сырой (2) и холодный начал бродить по ущельям.союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2) однородные членычасти сложного предложения—.поэт — трубач зовущий войско в битву (1) и прежде всех идущий в битву сам (ю. янонис).союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2)
Физика — 3 года назад
Вокруг прямого проводника с током (смотри рисунок) существует магнитное поле. определи направление линий этого магнитного поля в точках a и b.обрати внимание, что точки a и b находятся с разных сторон от проводника (точка a — снизу, а точка b — сверху). рисунок ниже выбери и отметь правильный ответ среди предложенных.1. в точке a — «от нас», в точке b — «к нам» 2. в точке a — «к нам», в точке b — «от нас» 3. в обеих точках «от нас»4. в обеих точках «к нам»контрольная работа по физике.прошу,не наугад важно
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Что ты хочешь узнать?
Задай вопрос
Все науки
Русский яз.
Литература
Математика
Алгебра
Геометрия
Английский яз.
Немецкий яз.
Українська мова
Українська література
Беларуская мова
Қазақ тiлi
Французский яз.
Кыргыз тили
Оʻzbek tili
Биология
Химия
Физика
История
Окружающий мир
Обществознание
ОБЖ
География
Информатика
Экономика
Музыка
Право
МХК
Психология
Астрономия
Физкультура и спорт
Другие предметы
Сайт znanija.org не имеет отношения к другим сайтам и не является официальным сайтом компании.
- Сайт
- Главная страница
- Напиши свой вопрос
- Кабинет
- Вход в личный кабинет
- Регистрация на сайте
Заданы точки A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4), D(1; 7; 4). Найти:
5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими
плоскостями;
6) площадь треугольника BCD;
7) расстояние от точки B до плоскости ACD;
канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекцию точки A на эту плоскость;
9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC.
5) Для составления уравнения плоскости по трём точкам используем формулу:
x — xA y — yA z — zA
xB — xA yB — yA zB — zA
xC — xA yC — yA zC — zA = 0
Подставим данные для плоскости АВС и упростим выражение:
A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4).
x — 8 y – 1 z — 7
9 — 8 7 – 1 4 — 7
6 — 8 16 – 1 4 — 7 = 0
x — 8 y – 1 z — 7
1 6 -3
-2 15 -3 = 0
(x – 8)(6·(-3)-(-3)·15) – (y – 1)(1·(-3)-(-3)·(-2)) + (z – 7)(1·15-6·(-2)) = 0
27(x – + 9(y – 1) + 27(z – 7) = 0
27x + 9y + 27z — 414 = 0, сократив на 9, получаем:
3x + y + 3z — 46 = 0
Ответ: уравнение плоскости АВС 3x + y + 3z — 46 = 0.
Аналогично подставляем данные для плоскости ABD.
A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), D(1; 7; 4).
x — 8 y – 1 z — 7
9 — 8 7 – 1 4 — 7
1 — 8 7 – 1 4 — 7 = 0
x — 8 y – 1 z — 7
1 6 -3
-7 6 -3 = 0
(x – 8)(6·(-3)-(-3)·6) – (y – 1)(1·(-3)-(-3)·(-7)) + (z – 7)(1·6-6·(-7)) = 0
0(x – + 24(y – 1) + 48(z – 7) = 0
0x + 24y + 48z — 360 = 0, сократив на 12, получаем
2y + 4z — 30 = 0.
Ответ: уравнение плоскости АВD 2y + 4z — 30 = 0.
Вычислим угол между плоскостями
3x + y + 3z — 46 = 0 и
2y + 4z — 30 = 0.
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²))
cos α = |3·0 + 1·2 + 3·4|/(√(3² + 1² + 3²)*√(0² + 2² + 4²)) =
= |0 + 2 + 12|/(√(9 + 1 + 9)*√(0 + 4 + 16)) =
= 14/(√19*√20) = 14/√380 = 7√95/95 ≈ 0,71819.
α = 44,09518°.
6) Найдем площадь грани ВСD с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S=1/2*□((BC) ⃗*(BD) ⃗ ).
Находим вектор ВC.
ВC = C(6; 16; 4) — В(9; 7; 4) = (-3; 9; 0).
Находим вектор ВD.
ВD = D(1; 7; 4) — В(9; 7; 4) = (-8; 0; 0).
Векторное произведение:
i j k
-3 9 0
-8 0 0 = i(9·0-0·0) — j((-3)·0-0·(-8)) + k((-3)·0-9·(-8)) =
=0i + 0j + 72k.
Получен нормальный вектор плоскости BCD, равный (0; 0; 72).
Площадь грани BCD равна половине модуля векторного произведения.
S(BCD) = (1/2)√(0² + 0² + 72²) = (1/2)√(0 + 0 + 5184) = (1/2)*72 = 36 кв. ед.
7) ) Чтобы найти расстояние от точки B до плоскости ACD, сначала определяем уравнение плоскости ACD.
Подставим данные для плоскости АCD и упростим выражение:
A(8; 1; 7), C(6; 16; 4), D(1; 7; 4).
x — 8 y – 1 z — 7
6 — 8 16 – 1 4 — 7
1 — 8 7 – 1 4 — 7 = 0
x — 8 y – 1 z — 7
-2 15 -3
-7 6 -3 = 0
(x – 8)(15·(-3)-(-3)·6) – (y – 1)((-2)·(-3)-(-3)·(-7)) + (z – 7)((-2)·6-15·(-7)) = 0
(-27)(x – + 15(y – 1) + 93(z – 7) = 0
(-27)x + 15y + 93z — 450 = 0, сократив на (-3), получаем:
уравнение плоскости ACD 9x — 5y — 31z + 150 = 0.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²).
Подставим в формулу данные:
d = |9·9 + (-5)·7 + (-31)·4 + 150|/√(9² + (-5)² + (-31)²) =
= |81 — 35 — 124 + 150|/√(81 + 25 + 961) =
= 72/√1067 = 72√1067/1067 ≈ 2,2042.
канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекцию точки A на эту плоскость.
Точка E — это проекция точки A на плоскость BCD.
Уравнение плоскости BCD определим по ранее найденному нормальному вектору плоскости BCD (0; 0; 72) и точке В(9; 7; 4).
Нормальный вектор этой плоскости является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Сначала по этим данным определяем уравнение плоскости BCD.
(x – 9)*0 + (y – 7)*0 + (z – 4)*72 = 0,
72z – 288 = 0, сократив на 72, получаем:
уравнение плоскости BCD z – 4 = 0
Из этих же данных получаем уравнение перпендикуляра из точки А(8; 1; 7).
((x — 8)/0 = (y — 1)/0 = ((z – 7)/72.
Так как плоскость BCD имеет все точки с равными значениями аппликат (z = 4), то и проекция точки А на эту плоскость тоже будет иметь эту же координату по оси Оz.
Получаем проекцию E точки А на плоскость BCD:
E(8; 1; 4).
9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения
медиан треугольника ABC.
Находим координаты точки М как среднее арифметическое координат вершин треугольника АВС.
Точки A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4).
М = ((8+9+6)/3; (1+7+16)/3; (7+4+4)/3) = (23/3; 8; 5).
Находим вектор DM.
DM = M((23/3); 8; 5) — D(1; 7; 4) = (20/3; 1; 1).
По этому направляющему вектору и точке D(1; 7; 4) сотавляем каноническое уравнение прямой DM.
(x – 1)/(20/3) = (y – 7)/8 = (z – 4)/5.
Приравняем эти равенства параметру t и получаем параметрические уравнения прямой DM.
(x – 1)/(20/3) = t, x = (20/3)t + 1.
(y – 7)/8 = t, y = 8t + 7.
(z – 4)/5 = t, z = 5t + 4.