Как найти площадь грани пирамиды по векторам - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Площадь грани пирамиды вектора

Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут

Неправильный логин или пароль.

Укажите электронный адрес и пароль.

Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.

Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.

Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль

Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.

Как рассчитать объем пирамиды по координатам вершин? Методика и пример задачи

Часто в задачах школьного курса геометрии приходится решать задания, которые требуют использования комплексного подхода. Одной из таких задач является вычисление объема пирамиды по координатам вершин. Как решить эту геометрическую задачу — ответит приведенная ниже статья.

Что представляет собой пирамида?

Говоря простыми словами, под этой фигурой понимают пространственный объект, ограниченный треугольными сторонами и одной многоугольной гранью, которая называется основанием. Многоугольное основание может быть произвольным n-угольником на плоскости, например, правильным треугольником, параллелограммом и так далее.

Вам будет интересно: Какую роль играет репродуктивная клетка животных и растений?

Любая пирамида имеет n + 1 грань, 2 * n ребер и n + 1 вершину. Вершины фигуры не являются равноправными. Так, существует единственная вершина, которая не принадлежит основанию. Она называется главной. Расстояние от нее до плоскости основания — это высота фигуры.

Пирамиды могут быть наклонными, если высота пересекает основание не в его центре, или прямыми, когда высота с основанием пересекается в геометрическом центре последнего. Также фигуры могут быть неправильными и правильными. Пирамиды правильные состоят из равноугольного и равностороннего основания и нескольких равнобедренных треугольников, которые друг другу равны.

Как рассчитывается объем пирамиды?

Прежде чем приводить методику вычисления по координатам вершин объема пирамиды, следует привести формулу, при помощи которой можно рассчитать эту величину для фигуры любого типа из рассматриваемого класса. Итак, объем пирамиды рассчитывается так:

Здесь So — это основания площадь, h — расстояние от главной вершины до основания, то есть высота пирамиды.

Таким образом, любая геометрическая задача на нахождение объема пирамиды сводится к расчету величин So и h.

Как найти объем пирамиды по координатам вершин: методика

Пирамида может быть представлена произвольным n-угольным основанием. Чтобы рассчитать его площадь, следует внимательно изучить условие задачи, в котором должно быть сказано, о каком типе n-угольника идет речь. Если это треугольник или параллелограмм, то расчет его площади по известным координатам очень прост: необходимо лишь найти векторное произведение соответствующих векторов сторон.

Вычислить высоту пирамиды также не представляет особого труда. Для этого следует из любых трех точек основания получить уравнение плоскости в общем виде, а затем нужно воспользоваться формулой расстояния между плоскостью и точкой (вершиной пирамиды). Формула имеет вид:

d = |(A * x1 + B * y1 + C * z1 + D)| / √(A2 + B2 + C2).

Здесь (x1; y1; z1) — координаты точки.

Уравнение плоскости имеет вид:

A * x + B * y + C * z + D = 0.

Задача с треугольной пирамидой

Решим задачу на примере самой простой пирамиды — треугольной. Условие простое: ниже даны координаты вершин пирамиды, объем найти нужно для фигуры, которая на этих координатах построена:

Положим, что основание пирамиды является треугольником ABC. Найдем длины векторов AB¯ и AC¯:

Векторное произведение AB¯ и AC¯ даст нам, с одной стороны, двойную площадь треугольника, то есть 2 * So, а с другой стороны, мы получим координаты нормального к плоскости вектора n¯, имеем:

n¯ = [AB¯ * AC¯] = (8; -10; -7).

Площадь треугольного основания равна полудлине вектора n¯, то есть:

So = √(82 + 102 + 72) / 2 = 7,3.

Прежде чем рассчитывать расстояние от D до плоскости ABC, необходимо записать уравнение плоскости. Три его коэффициента (A, B, C) мы уже знаем, они соответствуют координатам нормали n¯. Свободный член можно получить, подставив в уравнение координаты любой точки плоскости, например точки A, имеем:

D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1) = -1 * (8 * 1 + (-10) * 0 + (-7) * 3) = 13.

Тогда уравнение плоскости основания пирамиды принимает форму:

8 * x — 10 * y — 7 * z + 13 = 0.

Теперь применяем приведенную выше формулу для расчета расстояния от точки D(4; 3; 4) до найденной плоскости, получаем:

d = |(8 * 4 — 10 * 3 — 7 * 4 + 13)| / √(82 + 102 + 72) = 0,89.

Поскольку найденное значение расстояния d соответствует высоте пирамиды треугольной h, то можно воспользоваться формулой для объема фигуры:

V = 1 / 3 * So * h = 1 / 3 * 7,3 * 0,89 ≈ 2,166.

Полученное значение объема выражено в кубических единицах выбранной координатной системы.

По координатам вершин пирамиды найти

Дата добавления: 2015-01-16 ; просмотров: 15131 ; Нарушение авторских прав

Даны координаты пирамиды: A(4,2,5), B(-3,5,6), C(2,-3,-2), D(9,4,18)
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = x_j — x_i; Y = y_j — y_i; Z = z_j — z_i
здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i — координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j — координаты точки А_j;
Например, для вектора AB
X = x₂ — x₁; Y = y₂ — y₁; Z = z₂ — z₁
X = -3-4; Y = 5-2; Z = 6-5
AB(-7;3;1)
AC(-2;-5;-7)
AD(5;2;13)
BC(5;-8;-8)
BD(12;-1;12)
CD(7;7;20)

2) Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между ребрами.
Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂
Найдем угол между ребрами AB(-7;3;1) и AC(-2;-5;-7):

γ = arccos(0.118) = 96.775 0

4) Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB(-7;3;1) и AC(-2;-5;-7):

Площадь грани ABC

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Площадь грани пирамиды вектора

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

= i(3 • (-7)-(-5) • 1) — j((-7) • (-7)-(-2) • 1) + k((-7) • (-5)-(-2) • 3) = -16i — 51j + 41k

X₁	Y₁	Z₁
X₂	Y₂	Z₂
X₃	Y₃	Z₃

Находим определитель матрицы
∆ = (-7) • ((-5) • 13-2 • (-7))-(-2) • (3 • 13-2 • 1)+5 • (3 • (-7)-(-5) • 1) = 351
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁; z₁) и A₂(x₂; y₂; z₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AD(5,2,13)

Уравнение плоскости.
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x₁	y-y₁	z-z₁
x₂-x₁	y₂-y₁	z₂-z₁
x₃-x₁	y₃-y₁	z₃-z₁

= 0

Уравнение плоскости ABC

(x-4)(3 • (-7)-(-5) • 1) — (y-2)((-7) • (-7)-(-2) • 1) + (z-5)((-7) • (-5)-(-2) • 3) = -16x — 51y + 41z-39 = 0

10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины D(9,4,18)
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁;z₁) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

Уравнение плоскости ABC: -16x — 51y + 41z-39 = 0

11) Уравнение высоты пирамиды через вершину D(9,4,18)
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости ABC: -16x — 51y + 41z-39 = 0

источники:

http://b4.cooksy.ru/articles/ploschad-grani-piramidy-vektora

http://life-prog.ru/2_11093_po-koordinatam-vershin-piramidi-nayti.html

Источник

Аналитическая геометрия — задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория

Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное — разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты
вершин пирамиды
. Найти:

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра

найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

найдем как угол
между направляющими векторами

Косинус угла между
векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между
ребром

и гранью

Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости

–им будет
векторное произведение векторов

Найдем векторное произведение. Для этого

вычислим определитель:

Нормальный вектор
плоскости:

Синус угла:

Площадь грани

Вычислим площадь
грани

. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов

Искомая площадь:

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем
пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение
прямой

. Направляющим
вектором искомой прямой является вектор

. Кроме того, прямая проходит через точку

Уравнение искомой
прямой:

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение
плоскости

. Нормальный вектор плоскости

. кроме того, плоскость проходит через точку

-уравнение
грани

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение
высоты, опущенной на грань

из вершины

Нормальный вектор

является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

Искомое уравнение
высоты:

Сделаем схематический чертеж:

Источник

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Площадь грани пирамиды

1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = x_j — x_i; Y = y_j — y_i; Z = z_j — z_i
здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i — координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j — координаты точки А_j;
Например, для вектора AB
X = x₂ — x₁; Y = y₂ — y₁; Z = z₂ — z₁
X = -1-3; Y = 6-1; Z = 1-4
AB(-4;5;-3), AC(-4;0;2), AD(-3;3;-5), BC(0;-5;5), BD(1;-2;-2), CD(1;3;-7)

2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

4) Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:
S=½·|a|·|b|·sin γ

Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB и AC:

Площадь грани ABC

Найдем площадь грани ABD
Найдем угол между ребрами AB и AD:

Площадь грани ABD

Найдем площадь грани ACD
Найдем угол между ребрами AC и AD:

Площадь грани ACD

Найдем площадь грани BCD
Найдем угол между ребрами BC и BD:

Площадь грани BCD

7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁; z₁) и A₂(x₂; y₂; z₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

Уравнение прямой AC

Уравнение прямой BC

Уравнение прямой BD

Уравнение прямой CD

Уравнение плоскости
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости ABC

(x-3)(5·2-0·(-3)) — (y-1)((-4)·2-(-4)·(-3)) + (z-4)((-4)·0-(-4)·5) = 10x + 20y + 20z + 130 = 0
Уравнение плоскости ABD

(x-3)(5·(-5)-3·(-3)) — (y-1)((-4)·(-5)-(-3)·(-3)) + (z-4)((-4)·3-(-3)·5) = -16x — 11y + 3z-47 = 0
Уравнение плоскости ACD

(x-3)(0·(-5)-3·2) — (y-1)((-4)·(-5)-(-3)·2) + (z-4)((-4)·3-(-3)·0) = -6x — 26y — 12z-92 = 0
Уравнение плоскости BCD

(x+1)((-5)·(-2)-(-2)·5) — (y-6)(0·(-2)-1·5) + (z-1)(0·(-2)-1·(-5)) = 20x + 5y + 5z + 15 = 0

9) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид:
l(x- x₀) + m(y- y₀) + n(z- z₀) = 0
-4(x — (-1)) + 5(y — 1) + (-3)(z — 6) = 0
-4x + 5y -3z + 9 = 0

10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁;z₁) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

11) Уравнение высоты пирамиды через вершину A
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

12) Угол между прямой AB и плоскостью ABC
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле

13) Угол между плоскостью ABC и плоскостью ABD
Косинус угла между плоскостью A₁x + B₁y + C₁ + D = 0 и плоскостью A₂x + B₂y + C₂ + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N₁(A₁, B₁, C₁) и N₂(A₂, B₂, C₂):

Вычисление площади правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) — это многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник со сторонами a и боковыми гранями в виде равнобедренных треугольников с основанием a и сторонами b.

Площадь поверхности такой фигуры складывается из площадей основания многогранника и трех боковых граней. В записи на математический язык это выглядит так:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Нахождение площади основания пирамиды

Поскольку правильный тетраэдр основан на треугольнике, для определения площади основания рассматриваемого многогранника воспользуемся формулой нахождения площади треугольника:

Значение переменных: a — длина стороны равностороннего треугольника, h — его высота.

Далее произведем подстановку формулы вычисления высоты правильного треугольника и получим искомое выражение:

Вычисление площади боковых граней и полной поверхности

Боковые грани правильной треугольной пирамиды представлены тремя равнобедренными треугольниками. Выведем формулу расчета площади каждого из них из классического способа вычисления площади треугольника:

Здесь переменная a обозначает основание треугольника, h — его высоту.

Теперь выполним подстановку выражения, с помощью которого находится высота треугольника с одинаковыми бедрами, и получим уравнение определения площади равнобедренного треугольника:

В этом случае b — это боковые ребра треугольника, равные между собой.

Подставим в выражение (1) формулы (2) и (3) и получим уравнение, с помощью которого рассчитывается площадь полной поверхности правильного тетраэдра:

Примеры задач с решением

Задача

Дано

Правильный тетраэдр MABC с вершиной М. Высота основания AK=3 см.

∠MAB=∠MAC=∠MBA=∠MBC=∠MAB=∠MCA=∠MCB=45°. Необходимо вычислить площадь пирамиды MABC.

Решение

В основании правильного тетраэдра лежит равносторонний треугольник с известной длиной высоты. Применим свойство правильного треугольника, состоящее в следующем:

Преобразуем данное выражение так, чтобы вывести формулу стороны a:

Теперь найдем a:

Подставим полученное выражение в формулу нахождения площади основания правильного многогранника с тремя боковыми гранями:

Далее необходимо найти площадь боковых граней тетраэдра. Для этого произведем вычисление высоты MK. Так как угол между гранью и основанием пирамиды равен 45°, то ∠OKM=45°, следовательно:

По свойству правильного треугольника, отрезок OK равен радиусу вписанной в ΔABC окружности.

Найдем ее по соответствующей формуле:

Подставим найденную величину в отношение ОК к МК:

Из данной пропорции выведем выражение, по которому можно определить длину высоты MK:

Теперь, когда известны основание и высота равнобедренного треугольника, составляющего боковую грань пирамиды MABC, подставим значения в классическую формулу нахождения площади треугольника:

Как найти площадь грани в пирамиде

Площадь боковой поверхности и основания, периметр основания пирамиды и ее объем связывают между собой определенные формулы. Это порой дает возможность вычислить значения недостающих данных, необходимых для определения площади грани в пирамиде.

Объем любой не усеченной пирамиды равен трети от произведения высоты пирамиды и площади основания. Для правильной пирамиды справедливо: площадь боковой поверхности равна половине периметра основания умноженного на высоту одной из граней. При расчете объема усеченной пирамиды, вместо площади основания подставляется величина, равная сумме площадей верхнего, нижнего основания и квадратного корня из их произведения.

Стереометрия
как найти боковую грань пирамиды

Как найти площадь боковой поверхности пирамиды
Как найти площадь оснований пирамиды
Как найти площадь тетраэдра

Источник

Геометрия 10-11 класс

50 баллов

Даны координаты вершин пирамиды ABCD :
A(5;−1;− 4), B(9;3;− 6), C(7;10;−14), D(5;1;− 3).
Необходимо:
1. Записать векторы_____
AB,
_____
AC ,
_____
AD в ортонормальной системе {i j k}    , ,
и найти модули этих векторов.
2. Найти угол между векторами AB и AC .
3. Найти проекцию вектора AD на вектор AB.
4. Вычислить площадь грани ABC .
5. Найти объем пирамиды ABCD .

Ирина Каминкова

18.11.2020 16:44:34

Ответ эксперта

Ирина Каминкова

18.11.2020 16:45:04

Ответ эксперта

Все предметы

Рейтинг пользователей

Источник