Как найти площадь карандаша

1) Объём всего карандаша будет равен произведению его длины на площадь поперечного сечения. При этом площади поперечного сечения основной части карандаша и ластика будут одинаковые (это видно по рисунку). V=l*Sсеч., а длина у них разная.

Тогда Vкар.=b*Sсеч., Vл.=а*Sсеч.

Нас просят найти, во сколько раз объём основной части карандаша больше объёма ластика. Представим это в виде формулы, подставим данные и решим.

Vкар./Vл.=bSсеч./аSс­еч.=b/a=18/1,8=10 раз

2) Так как конструкция находится в равновесии, мы можем говорить о моменте силы, который находится по формуле: M=Fl

М=Fкар.*(а+b/2-х)

М=Fл.*(х-а/2)

F=mg

mкар.g/mл.g=(х-а/2)/(а+b/2-х) Подставим данные в полученную формулу.

mкар./mл.=(9-1,8/2)/(1,8+18/2-9)=8,1/1,8=4,5 раза масса основоной части карандаша больше массы ластика.

3) Плотность находим по формуле p=m/V

Найдём сначала отношение плотностей:

ркар./рл.=(mкар./Vка­р.)/(mл./Vл.)=(mкар.­/mл.)/(Vкар./Vл.)

Отношение объёмов и масс мы уже считали, подставим в формулу и вычислим:

ркар./рл.=4,5/10=0,4­5 раз — во столько средняя плотность основной части карандаша больше плотности ластика, плотность ластика нам дана рл.=2 г/см³, найдём ркар.

ркар.=0,45*2=0,9 г/см³

Ответ: 1) в 10 раз; 2) в 4,5 раза; 3) плотность основной части карандаша равна 0,9 г/см³.

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Презентация
  «Площади фигур»
  Для урока математики
  в 5 классе
  Выполнила учитель математики МБОУСОШ № 57 города Тулы

• 

  2 слайд

  Главные вопросы урока
  Что такое площадь фигуры?
  В чём измеряются площади?
  Как найти площадь фигуры?
  Как вычислить площадь прямоугольника и квадрата?

• 

  3 слайд

  Что такое площадь?
  Площадь это число, показывающее из скольких единиц площади составляется фигура.
  Это не определение, а только описание того, что такое площадь.
  Площадь обозначается
  латинской буквой S

  S=8 кв.ед.

• 

  4 слайд

  В чём измеряются площади?
  Единицы измерения площадей:
  Квадратные миллиметры 1 мм²
  Квадратные сантиметры 1 см²
  Квадратные дециметры 1 дм²
  Квадратные метры 1 м²
  Квадратные километры 1 км²

• 

  5 слайд

  В чём измеряются площади?
  В гектарах (один гектар это площадь квадрата со стороной 100 м)
  1 га = 10 000 м²
  В арах (один ар это площадь квадрата со стороной 10 метров)
  1 ар=100 м² (сотка)

• 

  6 слайд

  Соотношение единиц площади
  1 см² =100 мм²
  1 дм² = 100 см²
  1 м² = 100 дм² = 10000 см²
  1 ар = 100 м²
  1 га = 100 ар
  1 км² = 100 га = 1000000 м²

• 

  7 слайд

  — площадь поверхности карандаша

  площадь поверхности монеты

  площадь поверхности спички
  Площади каких фигур можно измерять квадратными миллиметрами?

• 

  8 слайд

  Площадь поверхности спичечного коробка

  Площадь поверхности медали

  Площадь поверхности mp3 плеера
  Площади каких фигур можно измерять квадратными сантиметрами?

• 

  9 слайд

  Площади каких фигур можно измерять квадратными метрами?
  Площадь поверхности стола, шкафа

  Площадь поверхности стен, пола, и
  так далее

  Площади домов, квартир

• 

  10 слайд

  Площади каких фигур можно измерять квадратными километрами?
  Площади полей

  Площади городов

• 

  11 слайд

  Как измерить площадь фигуры?
  Палетка

  1. Наложим палетку на фигуру

• 

  12 слайд

  Как измерить площадь фигуры?
  2. Посчитаем сколько полных
  квадратиков помещается на
  поверхности фигуры
  21
  3. Посчитаем сколько
  неполных квадратиков
  помещается на поверхности фигуры
  14
  4. Вычислим приблизительную
  площадь фигуры
  21+14:2=28 кв.ед.

• 

  13 слайд

  Площадь прямоугольника
  Длина прямоугольника a

  Ширина прямоугольника b

  = 

  Формула площади прямоугольника
  S = a b
  S
  площадь
  прямоугольника

• 

  14 слайд

  Площадь квадрата
  Длина квадрата а

  Ширина квадрата b
  S
  площадь
  квадрата
  a=b
  S=a²

• 

  15 слайд

  Как сравнить две фигуры?
  Можно наложить одну фигуру на другую

  Если фигуры полностью совпали, то они равны
  Равные фигуры имеют
  равные площади

• 

  16 слайд

  Вопросы для обдумывания дома
  Какие из утверждений верны:
  Если фигуры равны, то их периметры равны.
  Если площади фигур равны, то сами фигуры равны.
  Если периметры фигур равны, то сами фигуры равны.
  Если утверждения не верны,
  то приведите примеры.

• 

  17 слайд

  Как найти площадь фигуры на рисунке?
  Площадь всей фигуры
  равна сумме площадей
  всех её частей

  + +

  S1
  S2
  S3
  S =

• 

  18 слайд

  Перед вами таблица
  Запишите в соответствующую клетку свой ответ на задание

• 

  19 слайд

  Проверь себя!
  Найти площади фигур 1 клетка = 1 см²
  1) 2)

• 

  20 слайд

  Проверь себя!
  3) Найти площадь фигуры 1 кл. = 1 см²

  4) Найдите площадь
  прямоугольника

  а=2см
  b=3см

• 

  21 слайд

  5) Найти площадь квадрата
  6) Найти площадь фигуры

  а=4см
  Проверь себя!
  5см
  5см
  7см
  3см

• 

  22 слайд

  Проверьте правильность своих ответов.
  5-6 правильных ответов. Молодец!
  3-4 правильных ответа. Неплохо!
  0-2 правильных ответа. Повтори ещё раз и всё получится

• 

  23 слайд

  Урок окончен!!!
  Для тех кто «не знает» и для тех кто «забыл» ещё раз домашнее задание:
  Какие из утверждений верны:
  Если фигуры равны, то их периметры равны.
  Если площади фигур равны, то сами фигуры равны.
  Если периметры фигур равны, то сами фигуры равны.
  Если утверждения не верны, то приведите примеры.

  Всем спасибо, до новых встреч !

Краткое описание документа:

Презентация «Площади фигур» разработана для урока математики в 5 классе и содержит основные моменты теоретического материала, который рассматривается в ходе одного урока. (Составлена с опорой на учебник Н.Я. Виленкина и др. «Математика – 5 класс»).

В начале презентации излагаются основные вопросы, на которые учащиеся должны дать ответ в процессе урока. Затем рассматривается вопрос о том, что означает понятие «Площадь», приводится таблица единиц измерения площадей. К уже известной таблице из начальной школы добавляются такие единицы как ары и гектары, а также приводятся соотношения между различными величинами площадей.

В качестве примера применения различных единиц измерения приводятся различные предметы и единицы измерения, в которых удобнее измерять их площадь. (Можно использовать эти слайды после предварительной беседы с учащимися, в которой попросить их самих привести подобные примеры).

Следующая часть презентации посвящена способам измерения и вычисления площадей. Рассматривается использование такого приспособления как палетка, с помощью анимации демонстрируется принцип её использования. Приводятся формулы, для вычисления площади прямоугольника и квадрата. Далее даётся понятие равных фигур, которое иллюстрируется с помощью анимации.

Также этот блок содержит вопросы, которые предлагаются учащимся для обдумывания дома и могут быть использованы на последующих уроках в качестве проблемной ситуации.

Далее разбирается пример, показывающий как можно посчитать площадь фигуры, которая не является ни прямоугольником, ни квадратом. С помощью анимации демонстрируется разбиение фигуры на отдельные части, каждая из которых является прямоугольником.

Последний блок презентации содержит небольшую самостоятельную работу, состоящую из 6 заданий, требующих записи краткого решения, а в конце данной работы помещена таблица для самопроверки.

Данную презентацию можно использовать на уроке как иллюстративный материал к объяснению учителя, так и как материал для самостоятельной работы по изучению новой темы.

Ту часть презентации, где приводятся задания для самостоятельной работы, можно использовать как для самопроверки, так и для работы в парах.

Все этапы воспроизведения презентации можно использовать для осуществления системно-деятельностного подхода как при объяснении новой темы, так и при организации повторения.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 263 283 материала в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»

• Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Почему бы просто не считать клеточки?

Возможно, вы читаете всё это и думаете: зачем все эти сложности? Формулы запоминать. Дорисовывать. Тут ведь сразу видно, сколько клеточек в фигуре.

Вот, например, трапеция:

Посчитаем клеточки: их всего 46, верно?

Но стоп, там же некоторые из них только наполовину внутри фигуры. Отметим их – всего таких 10. Итого, 36 полных (красные точки) и 10 половинчатых, вместе ( 36+frac{10}{2} = 41)

Вроде бы всё верно. Но, если присмотреться, можно заметить ещё маленькие треугольнички, которые попали внутрь. А также, что «синие» клеточки слева на самом деле разрезаны не ровно пополам – какие-то чуть больше, какие-то меньше…

Как всё это учитывать?

Попробуем рассуждать так: заметно, что тот маленький розовый треугольник дополняет серый кусок клетки.

А жёлтые сколько занимают? Постарайтесь ответить сами.

Если всё сделать правильно, то увидите, что жёлтые кусочки можно сложить вместе в одну целую клетку.

Итак, 2 жёлтых куска = 1 клетка.

Розовый треугольник + серый кусок = 1 клетка. Всего у нас две таких пары (розовый+серый) – это 2 полных клетки. 

Всё остальное как было: 36 полных клеток и 6 половинок у правой стороны – это ( 36+frac{6}{2}=39) клетки.

Итого клеток: ( 1 + 2 + 39 = 42).

Проверим результат по формуле площади трапеции: нижнее основание 11, верхнее основание 3, высота 6. Полусумма оснований равна 7, умножаем на высоту – получилось 42. Всё совпало.

Но! Настолько ли проще был наш способ подсчёта клеточек? Не сказал бы. А если там будет несколько косых линий, то вообще можно замучиться собирать этот паззл (искать, какие кусочки друг друга дополняют).

Вычислите площадь простых фигур тремя способами

Стороны клеток равны 1. Вычислите самостоятельно площадь фигуры всеми тремя способами. Сравните результаты.

Вычислите площадь произвольных фигур по формуле Пика

Вычислите самостоятельно площади фигур с помощью формулы Пика:

Посчитайте площадь корабля и котика по формуле Пика

Посчитайте самостоятельно для тренировки и чтобы запомнить формулу Пика!

Фигуры с отверстиями — посчитайте площади двумя способами

Ну и напоследок фигуры с «дырками». Как думаешь, здесь придётся вычислять сначала площадь целой фигуры, а потом площадь дырки?

Или достаточно просто посчитать точки внутри закрашенной области и на её границах (в том числе, на границе с дыркой)?

Проверим на простом примере: это квадрат ( 4times 4), и в нём вырезан прямоугольник ( 1times 2), значит, его площадь ( 16-2=14).

А теперь по точкам. На границах (включая внутренние) ( Г = 22). Внутри ( В = 3). Тогда площадь по формуле Пика

Сосчитай сам и проверь.

Что получилось?

У меня снова на 1 меньше.

Так может быть просто формулу немного «подкрутить»? Нет!

Очень и очень не рекомендую вам запоминать несколько похожих формул для похожих случаев, потому что придёт время, и вы обязательно перепутаете формулу.

Даже если вы уверены, что не перепутаете, оно всё равно того не стоит. В общем, наилучший вариант – это запомнить одну формулу. А если попалась фигура с дыркой, вычислить всю фигуру, а потом дырку. И вычесть.

Площадь поверхности пирамиды

Для пирамиды тоже действует общее правило:

Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей всех граней.( displaystyle {{S}_{полн. пов. }}={{S}_{боков.пов. }}+{{S}_{основания }})

Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle {{S}_{осн}}) и ( displaystyle {{S}_{ASB}}).

И тогда

( displaystyle {{S}_{осн}}) — это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).

И еще вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

( displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sin gamma ).

У нас «( displaystyle a)» — это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» — это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).

Значит, ( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}frac{sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}).

Теперь найдем ( displaystyle {{S}_{Delta ASB}}).

Пользуясь основной формулой площади и теоремой Пифагора, находим

( displaystyle S={{a}^{2}}sqrt{3}).



При подготовке к основному государственному экзамену я встретился с заданиями, в которых требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на клетчатом листе бумаги. Как правило, эти задания не вызывают больших затруднений, если фигура представляет собой трапецию, параллелограмм или треугольник. Достаточно хорошо знать формулы вычисления площадей этих фигур, посчитать количество клеточек и вычислить площадь. Если фигура представляет собой некоторый произвольный многоугольник, то здесь необходимо использовать особые приемы. Меня заинтересовала данная тема. И естественно возникли вопросы: где в повседневной жизни могут возникнуть задачи на вычисление площадей на клетчатой бумаге? В чем особенность таких задач? Существуют ли другие методы или же универсальная формула для вычисления площадей геометрических фигур, изображенных на клетчатой бумаге?

Изучение специальной литературы и интернет источников, показало, что существует универсальная формула, позволяющая вычислить площадь фигуры, изображенной на клетке. Эта формула называется формулой Пика. Однако, в рамках школьной программы данная формула не рассматривается, несмотря на свою простоту в применении и получении результата. Более того, мною проведен опрос друзей и одноклассников (в двух формах: при личной беседе и в социальных сетях), в котором приняли участие 43 учащихся школ города Тобольска. Данный опрос показал, что всего один человек (учащийся 11 класса) знаком с формулой Пика для вычисления площадей.

Пусть задана прямоугольная система координат. В этой системе рассмотрим многоугольник, который имеет целочисленные координаты. В учебной литературе точки с целочисленными координатами называются узлами. Причем многоугольник не обязательно должен быть выпуклым. И пусть требуется определить его площадь.

Возможны следующие случаи.

1. Фигура представляет собой треугольник, параллелограмм, трапецию:

1) подсчитывая клеточки нужно найти высоту, диагонали или стороны, которые требуются для вычисления площади;

2) подставить найденные величины в формулу площади.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 1 с размером клетки 1см на 1 см.

Рис. 1. Треугольник

Решение. Подсчитываем клеточки и находим: . По формуле получаем: .

2 Фигура представляет собой многоугольник

Если фигура представляет собой многоугольник то возможно использовать следующие методы.

Метод разбиения:

1) разбить многоугольник на треугольники, прямоугольники;

2) вычислить площади полученных фигур;

3) найти сумму всех площадей полученных фигур.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см методом разбиения.

Рис. 2. Многоугольник

Решение. Способов разбиения существует множество. Мы разобьем фигуру на прямоугольные треугольники и прямоугольник как показано на рисунке 3.

Рис. 3. Многоугольник. Метод разбиения

Площади треугольников равны: , , , площадь прямоугольника — . Складывая площади всех фигур получим:

Метод дополнительного построения

1) достроить фигуру до прямоугольника

2) найти площади полученных дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника

3) из площади прямоугольника вычесть площади всех «лишних» фигур.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см методом дополнительного построения.

Решение. Достроим нашу фигуру до прямоугольника как показано на рисунке 4.

Рис. 4. Многоугольник. Метод дополнения

Площадь большого прямоугольника равна , прямоугольника, расположенного внутри — , площади «лишних» треугольников — , , тогда площадь искомой фигуры .

При вычислении площадей многоугольников на клетчатой бумаге возможно использовать еще один метод, который носит название формула Пика по фамилии ученого ее открывшего.

Формула Пика

Пусть у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге только целочисленные вершины. Точки у которых обе координаты целые называются узлами решетки. Причем, многоугольник может быть как выпуклым, так и невыпуклым.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна , где B — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Например, для многоугольника, изображенного на рисунке 5.

Рис. 5. Узлы в формуле Пика

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см по формуле Пика.

Рис. 6. Многоугольник. Формула Пика

Решение. По рисунку 6: В=9, Г=10, тогда по формуле Пика имеем:

Ниже приведены примеры некоторых задач, разработанных автором на вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

1. В детском саду дети сделали аппликации родителям в подарок (рис.7). Найдите площадь аппликации. Размер каждой клетки равен 1см 1см.

Рис. 7. Условие задачи 1

2. Один гектар еловых насаждений может задерживать в год до 32 т пыли, сосновых — до 35 т, вяза — до 43 т, дуба — до 50 т. бука — до 68 т. Посчитайте, сколько тонн пыли задержит ельник за 5 лет. План ельника изображен на рисунке 8 (масштаб 1 см. — 200 м.).

Рис. 8. Условие задачи 2

3. В орнаментах хантов и манси, преобладают геометрические мотивы. Часто встречаются стилизованные изображения животных. На рисунке 9 изображен фрагмент мансийского орнамента «Заячьи ушки». Вычислите площадь закрашенной части орнамента.

Рис. 9. Условие задачи 3

4. Требуется покрасить стену заводского здания (рис. 10). Рассчитайте требуемое количество водоэмульсионной краски (в литрах). Расход краски: 1 литр на 7 кв. метров Масштаб 1см — 5м.

Рис. 10. Условие задачи 4

5. Звездчатый многоугольник — плоская геометрическая фигура, составленная из треугольных лучей, исходящих из общего центра, сливающихся в точке схождения. Особого внимания заслуживает пятиконечная звезда — пентаграмма. Пентаграмма — это символ совершенства, ума, мудрости и красоты. Это простейшая форма звезды, которую можно изобразить одним росчерком пера, ни разу не оторвав его от бумаги и при этом ни разу же не пройдя дважды по одной и той же линии. Нарисуйте пятиконечную звездочку не отрывая карандаша от листа клетчатой бумаги, так, чтобы все углы получившегося многоугольника находились в узлах клетки. Вычислите площадь полученной фигуры.

Проанализировав математическую литературу и разобрав большое количество примеров по теме исследования, я пришел к выводу, что выбор метода вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге зависит от формы фигуры. Если фигура представляет собой треугольник, прямоугольник, параллелограмм или трапецию, то удобно воспользоваться всем известными формулами для вычисления площадей. Если фигура представляет собой выпуклый многоугольник, то возможно использовать как метод разбиения, так и дополнения (в большинстве случаях удобнее — метод дополнения). Если фигура представляет собой невыпуклый или звездчатый многоугольник, то удобнее применить формулу Пика.

Поскольку формула Пика является универсальной формулой для вычисления площадей (если вершины многоугольника находятся в узлах решетки), то ее можно использовать для любой фигуры. Однако, если многоугольник занимает достаточно большую площадь (или клетки мелкие), то велика вероятность допустить ошибку в подсчетах узлов решетки. Вообще, в ходе исследования, я пришел к выводу, что при решении подобных задач в ОГЭ лучше воспользоваться традиционными методами (разбиения или дополнения), а результат проверить по формуле Пика.

Литература:

1. Вавилов В. В., Устинов А. В. Многоугольники на решетках. — М.: МЦНМО, 2006. — 72 с.
2. Васильев И. Н. Вокруг формулы Пика// Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». — 1974. — № 12. Режим доступа: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
3. Жарковская Н., Рисс Е. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. // Первое сентября. Математика. — 2009. -№ 23. — с.24,25.