16.
Способы определения площадей контуров,
их точность.
1.
Аналитический способ
— когда площадь вычисляется по
результатам
измерений линий на местности или по их
функциям
(координатам
вершин участка);
2.
Графический способ
— когда площадь вычисляется по результатам
измерений
линий на плане (карте);
3.
Механический способ
— когда площадь определяется по плану
при помощи специальных приборов
(планиметров).
Иногда
эти способы применяются комбинированно.
-
Аналитический
способ определения площадей
Вычисление
площади этим способом производится по
формулам
геометрии,
тригонометрии и аналитической геометрии.
Исходными
данными
для вычисления служат измеренные в
натуре углы или их
функции
– координаты. Если участок представляет
собой простейшую геометрическую фигуру
(треугольник, трапецию и др.), то площадь
его вычисляют по общеизвестным формулам
геометрии или тригонометрии .Площади
многоугольников вычисляют обычно по
координатам вершин.
Точность
аналитического способа 1/1000. При
определении площади этим способом на
точность влияют только погрешности
измерений на местности.
-
Графический
способ определения площадей
Площади
участков, имеющих форму геометрических
фигур
треугольника,
прямоугольника или трапеции, вычисляют
по известным формулам геометрии.
Если
участок представляет многоугольник,
то его делят на элементарные геометрические
фигуры – треугольники и трапеции.
Точность
определения площади графическим методом
зависит от графической ошибки измерений
линий плана. Известно, что линия плана
определяется циркулем – измерителем
с ошибкой 0,1 мм, которая не зависит от
длины линии. Из этого следует, что
относительная ошибка короткой линии
больше, чем длинной. Поэтому при построении
элементарных
фигур надо стремиться к фигурам больших
размеров и по возможности с одинаковыми
длинами оснований и высот
Определение
площади способом палетки
Квадратная
палетка представляет собой прозрачный
лист, на котором нанесена сеть квадратов
со сторонами 2 – 10 мм. Зная длину стороны
одного квадрата и масштаб плана, можно
вычислить площадь квадрата. Например,
масштаб карты (плана) 1:10 000 следовательно,
площадь одного квадрата со стороной
1см будет равна 10 000 м2 или 1га.
Для
определения площади палетку накладывают
на замкнутый
контур
(рис.3). Площадь подсчитывается как сумма
полных и неполных
квадратов.
Недостаток графического способа
заключается в том, что
количество
неполных квадратов приходится оценивать
на глаз. На рисунке
3
число полных квадратов 15, а неполных
примерно равно 8,5 для каждого неполного
квадрата глазомерно определяют, какую
часть он составляет от полного.
Следовательно, отсюда относительная
ошибка определения площади палеткой
составляет 1/100.
Механический
способ определения площадей
1.
Перед измерением площади участка план
или карта закрепляются
на
гладкой горизонтальной плоскости.
2.
Планиметр устанавливается так, чтобы
его полюс располагался вне
измеряемого
участка, а полюсный и обводной рычаги
образовывали
примерно
прямой угол.
3.
Совместив обводную точку планиметра с
исходной точкой контура,
снимают
по счетному механизму начальный отсчет
n1 и плавно
обводят
весь контур по ходу часовой стрелки.
4.
Вернувшись в исходную точку, берут
конечный отсчет n2.
5.
Разность отсчетов (n2 – n1) выражает
величину площади фигуры в
делениях
планиметра.
6.
Итоговая площадь контура рассчитывается
по формуле:
Измерение
площади полярным планиметром
S
= O·
(n2
– n1),
где
О – цена деления планиметра
Определение
цены деления полярного планиметра
1.
Для определения цены деления планиметра
измеряют фигуру,
площадь
которой Sо заранее известна (например,
квадрат
координатной
сетки, Sо = 1км· 1км = 1км2).
2.
Вычисляют цену деления планиметра по
формуле:
3.
Цена деления зависит от масштаба карты
и от длины
обводного
рычага (расстояние от обводной точки
до полюсного
рычага).
где
(m2 – m1) – разность отсчетов, полученных
при измерении
контура
с известной площадью.
(m2
– m1)
S
O
= о
Определение
площади электронным планиметром
Объект,
на котором определяют
площадь
контура, должен быть
расположен
на горизонтальной
поверхности;
• Установить
планиметр необходимо
так,
чтобы роликовый механизм и
рамка
трассера располагались под
прямым
углом друг к другу, а линза
трассера
при этом находилась
примерно
на середине контура
снимаемого
объекта.
Распространенной проблемой геометрии начала является вычисление площади стандартных фигур, таких как квадраты и круги. Промежуточным шагом в этом процессе обучения является объединение двух форм. Например, если вы нарисуете квадрат, а затем нарисуете круг внутри квадрата, чтобы круг касался всех четырех сторон квадрата, вы можете определить общую площадь за пределами круга внутри квадрата.
-
Распространенной ошибкой в этой задаче является использование диаметра круга в уравнении площади, а не радиуса. Будьте осторожны, чтобы убедиться, что у вас есть вся правильная информация, прежде чем начать работу.
Сначала вычислите площадь квадрата, умножив его длину стороны s:
площадь = с 2
Например, предположим, что сторона вашего квадрата равна 10 см. Умножьте 10 см х 10 см, чтобы получить 100 квадратных сантиметров.
Рассчитайте радиус круга, который равен половине диаметра:
радиус = 1/2 диаметра
Поскольку круг полностью помещается внутри квадрата, его диаметр составляет 10 см. Радиус составляет половину диаметра, который составляет 5 см.
Рассчитаем площадь круга, используя уравнение:
площадь = πr 2
Значение pi (π) составляет 3, 14, поэтому уравнение становится 3, 14 x 5 см 2. Итак, у вас квадрат 3, 14 х 25 см, что равно 78, 5 квадратных сантиметров.
Вычтите площадь круга (78, 5 см в квадрате) из площади квадрата (100 см в квадрате), чтобы определить площадь за пределами круга, но все еще внутри квадрата. Это становится 100 см 2 — 78, 5 см 2, что равно 21, 5 см в квадрате.
Предупреждения
Площадь и периметр квадрата
- Квадрат – это правильный четырехугольник, стороны которого равны, соседние из них образуют прямой угол, а противоположные стороны параллельны.
- Диагонали также равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам.
квадрат
квадрат
R
K
r
k
d
d
45°
A
B
C
D
a
a
a
a
O
a
сторона
d
диагональ
K
окружность описанная
k
окружность вписанная
R
радиус (окружность описанная)
r
радиус (окружность вписанная)
O
центр
Калькулятор
Формулы
квадрат
Если у Вас имеются какие-либо предложения или замечания, мы будем рады узнать о них.
info@calculat.org
На других языках
© 2014 – 2023 Ing. Adam Kašpárek, Jihlava, Czech Republic, IN: 02394260
При предоставлении услуг веб-сайт «Calculat.org» использует файлы куки.
Квадрат. Формулы и свойства квадрата
Определение.
Квадрат — это четырехугольник у которого все четыре стороны и углы одинаковы.
Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.
Основные свойства квадрата
Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.
1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = BC = CD = AD
2. Противоположные стороны квадрата параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Все четыре угла квадрата прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:
AC = BD
6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры
7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:
| AC┴BD | AO = BO = CO = DO = | d | |
| 2 |
8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности
9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°
10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
Диагональ квадрата
Определение.
Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.
Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√2 раз.
Формулы определения длины диагонали квадрата
1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
d = a·√2
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:
d = √2S
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:
4. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:
d = Dо
6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:
d = 2r√2
7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:
d = Dв√2
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:
Периметр квадрата
Определение.
Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата.
Формулы определения длины периметра квадрата
1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:
P = 4a
2. Формула периметра квадрата через площадь квадрата:
P = 4√S
3. Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:
P = 2d√2
4. Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:
P = 4R√2
5. Формула периметра квадрата через диаметр описанной окружности:
P = 2Dо√2
6. Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:
P = 8r
7. Формула периметра квадрата через диаметр вписанной окружности:
P = 4Dв
8. Формула периметра квадрата через длину отрезка l:
Площадь квадрата
Определение.
Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.
Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.
Формулы определения площади квадрата
1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:
S = a2
2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:
3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:
4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:
S = 2R2
5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:
S = 4r2
7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:
S = Dв2
8. Формула площади квадрата через длину отрезка l:
Окружность описанная вокруг квадрата
Определение.
Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√2 раз.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.
Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через периметр квадрата:
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через площадь квадрата:
4. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через радиус вписанной окружности:
R = r √2
7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через длину отрезка l:
Окружность вписанная в квадрата
Определение.
Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.
Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в 4/π раза.
Формулы определения радиуса круга вписанного в квадрат
1. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через сторону квадрата:
2. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диагональ квадрата:
3. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через периметр квадрата:
4. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через площадь квадрата:
5. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через радиус описанной окружности:
6. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр, описанной окружности:
7 Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр вписанной окружности:
8. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через длину отрезка l:
Задача: окружность вписана в квадрат , определить площадь закрашенной области
Условие задачи:
Окружность вписана в квадрат. Найти площадь закрашенной области, если сторона квадрата равна 2 м.
Дано:
Сторона квадрата, a = 2 м
Пояснение к рисунку:
O — центр окружности
R — радиус окружности
D — диаметр окружности
Найти площадь закрашенной области: S
Площадь искомой области можно выразить как разницу между площадью квадрата и площадью круга
Неизвестен радиус окружности. Из рисунка видно, что сторона квадрата равна диаметру окружности и соответственно удвоенному радиусу
Выразим радиус окружности через сторону квадрата и подставив значение, получим радиус окружности.
Формула площади искомой области на основании выкладок выше, будет выглядеть следующим образом.
Подставив уже известные значения стороны квадрата и радиуса окружности, получаем.
Ответ:
Результат получился приблизительным, потому что число π нельзя выразить точно, оно имеет бесконечное количество знаков после запятой. В данном случаи, мы взяли π ≈ 3.14
Если в уже полученное выражение подставить формулу площади круга выраженную через сторону квадрата и преобразовав, получим следующую формулу, в которой площадь закрашенной области, будет сразу выражена через сторону квадрата.
Как определить площадь квадрата
О чем эта статья:
3 класс, 8 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Формула нахождения площади квадрата
Квадрат — это фигура, которая является частным случаем прямоугольника, из-за чего можно заметить схожесть некоторых алгоритмов. Способ вычисления всегда зависит от исходных данных. Чтобы узнать площадь квадрата, необходимо знать специальные формулы, рассмотрим пять из них.
Если известна длина стороны
Умножаем ее на то же число или возводим в квадрат.
S = a × a = a 2 , где S — площадь, a — сторона.
Эту формулу проходят в 3 классе. Остальные формулы третьеклассникам знать пока не нужно, но они пригодятся ученикам 8 класса.
Если нам дана диагональ
Возводим ее в квадрат и делим на два.
S = d 2 : 2, где d — диагональ.
Если известен радиус вписанной окружности
Умножаем его квадрат на четыре.
S = 4 × r 2 , где r — это радиус вписанной окружности.
Если у нас есть радиус описанной окружности
Возведем его в квадрат и умножим на два.
S = 2 × R 2 , где R — это радиус описанной окружности.
У нас есть курсы обучения математике для учеников с 1 по 11 классы — записывайтесь!
Если есть периметр
Мы должны возвести его в квадрат и разделить на 16.
S = Р 2 : 16, где Р — это периметр.
Периметр любого четырехугольника равен сумме длин всех его сторон.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм 2 );
- квадратный сантиметр (см 2 );
- квадратный дециметр (дм 2 );
- квадратный метр (м 2 );
- квадратный километр (км 2 );
- гектар (га).
S квадрата. Решение задач
Мы разобрали пять формул для вычисления площади квадрата. А теперь давайте потренируемся!
Задание 1. Как найти площадь квадрата, диагональ которого равна 90 мм.
Воспользуемся формулой: S = d 2 : 2.
Подставим в формулу значение диагонали: S = 90 2 : 2 = 4050 мм 2 .
Ответ: 4050 мм 2 .
Задание 2. Окружность вписана в квадрат. Найдите площадь квадрата, если радиус окружности равен 24 см.
Если окружность вписана в квадрат, то сторона квадрата равна диаметру:
a = d
Диаметр окружности равен двум радиусам:
d = 2r
Получается, что сторона равна двум радиусам:
a = 2r
Используем формулу нахождения площади квадрата через сторону:
S = a 2
Так как из пункта 3 мы получили, что сторона равна двум радиусам, то формула площади квадрата примет вид:
S = (2r) 2
S = 4r 2
Теперь подставим значение радиуса в формулу площади:
S = 4 × 24 2 = 2304 см 2
Онлайн калькулятор площади вписанного в круг квадрата. Как узнать площадь вписанного в круг квадрата.
Вычислить площадь вписанного квадрата через:
Радиус круга R:
Для того что бы найти площадь вписанного в круг квадрата, нам необходимо узнать длину ребра этого квадрата. Для этого нам необходимо разделить квадрат по диагонали на два равнобедренных треугольника, при этом основание у этих треугольников будет равно диаметру круга.
Следующим действиям мы должны определиться с известной нам величиной круга в которую вписан квадрат, а именно нам должна быть известна:
- либо площадь круга, обозначаемая буквой S,
- либо периметр круга, обозначаемый буквой P,
- либо радиус круга, обозначаемый буквой R,
- либо диаметр круга, обозначаемый буквой D.
Начнем по порядку, мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник и для того, что бы узнать длину его ребер нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора исходя из которой
Теперь для того что бы найти длину ребра треугольника (которое равно стороне нашего квадрата) нам необходимо узнать длину основания треугольника, которое равно диаметру круга
1. Если нам известна площадь круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:
2. Если нам известна длина круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:
3. Если нам известен радиус круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:
Соответственно если мы знаем диаметр круга который равен основанию треугольника полученного путем разделения квадрата на две части по диагонали,
мы можем узнать длину сторон квадрата используя теорему Пифагора
после того как мы получили значение длины стороны вписанного квадрата равную a, для получения его площади нам необходимо полученное значение возвести в квадрат.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-kvadrata
http://tamali.net/calculator/inscribed/square/area/