Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции
- Теорема о площади криволинейной трапеции
- Формула Ньютона-Лейбница
- Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем
- Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми
- Примеры
п.1. Теорема о площади криволинейной трапеции
Фигуру, ограниченную прямыми (x=a, x=b), осью абсцисс (y=0) и графиком функции (y=f(x)) называют криволинейной трапецией.
Теорема
Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции (y=f(x)) на интервале [a;b], равна (F(b)-F(a)), где (F(x)) — первообразная функции (f(x)) на [a;b].
Доказательство:
Выберем на интервале (xin [a;b]). Площадь соответствующей криволинейной трапеции (S(x)) является функцией от (x). Дадим переменной (x) приращение (triangle x).
Площадь криволинейной трапеции на интервале (left[a;x+triangle xright]) равна сумме
(S(x+triangle x)=S(x)+S(triangle x)). Откуда приращение площади: $$ triangle S=S(triangle x)=S(x+triangle x)-S(x) $$ По теореме о среднем (см. ниже в этом параграфе) между (x) и (x+triangle x) всегда найдется такое (t), что приращение площади равно произведению: $$ triangle S=f(t)cdot (x+triangle x-x)=f(t)cdot triangle x $$ Если (triangle xrightarrow 0), то (trightarrow x), и в пределе получаем: begin{gather*} S'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle S}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0} frac{f(t)cdot triangle x}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}f(t)=f(x) end{gather*} Т.е. (S(x)) является первообразной для (f(x)) на [a;b]. В общем виде: $$ S(x)=F(x)+C $$ Найдем C. В точке a: $$ S(a)=0=F(a)+CRightarrow C=-F(a) $$ Тогда вся площадь: $$ S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a) $$ Что и требовалось доказать.
п.2. Формула Ньютона-Лейбница
Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции (y=f(x)) на интервале [a;b] записывают в виде определенного интеграла: $$ S=int_{a}^{b}f(x)dx $$ По формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл равен: $$ int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_a^b=F(a)-F(b) $$
Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $$ y=3-2x-x^2 $$
 |
Построим график (см. §28 справочника для 8 класса). Это парабола. (alt 0) – ветки вниз. Координаты вершины: begin{gather*} x_0=-frac{b}{2a}=-frac{-2}{2cdot (-1)}=-1,\ y_0=3+2-1=4 end{gather*} Точки пересечения с осью OX: begin{gather*} 3-2x-x^2=0Rightarrow x^2+2x-3=0\ (x+3)(x-1)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-3,\ x=1 end{array} right. end{gather*} Точка пересечения с осью OY: $$ x=0, y=3 $$ |
Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция: (f(x)=3-2x-x^2)
Пределы интегрирования: (a=-3, b=1) begin{gather*} S=int_{-3}^{1}(3-2x-x^2)dx=left(3x-2cdotfrac{x^2}{2}-frac{x^3}{3}right)|_{1}^{-3}=left(3x-x^2-frac{x^3}{3}right)|_{1}^{-3}=\ =left(3-cdot 1-1^2-frac{1^3}{3}right)-left(3cdot(-3)-(-3)^2-frac{(-3)^3}{3}right)=2-frac13+9=10frac23 end{gather*} Ответ: (10frac23)
п.3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем
Теорема Лагранжа о среднем
Если функция (F(x)) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует такая точка (muin(a;b)), что $$ F(b)-F(a)=F'(mu)(a-b) $$ Пусть (F'(x)=f(x)), т.е. функция (F(x)) является первообразной для (f(x)). Тогда: $$ F(b)-F(a)=int_{a}^{b}f(x)dx=f(mu)(b-a) $$
Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем в интегральной форме заключается в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (d=b-a) и высотой (h=f(mu)), где (aleqmuleq b).
Теорема о среднем используется при доказательстве многих формул, связанных с использованием определенных интегралов (центра тяжести тела, площади поверхности и т.д.).
п.4. Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми
Площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми (x=a, x=b, alt b) и кривыми (y=f(x), y=g(x)), причем (f(x)geq g(x)) для любого (xin [a;b]), равна: $$ S=int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx $$
Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной двумя параболами (y=x^2) и (y=4x-x^2).
Найдем точки пересечения парабол: $$ x^2=4x-x^2Rightarrow 2x^2-4x=0Rightarrow 2x(x-2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x=2 end{array} right. $$ Строим графики.
Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция сверху: (f(x)=4x-x^2)
Функция снизу: (g(x)=x^2)
Пределы интегрирования: (a=0, b=2) begin{gather*} S=int_{0}^{2}left((4x-x^2)-x^2right)dx=int_{0}^{2}(4x-2x^2)dx=left(4cdotfrac{x^2}{2}-2cdotfrac{x^3}{3}right)|_0^2=\ =left(2x^2-frac23 x^3right)|_0^2=2cdot 2^2-frac23cdot 2^3-0=8-frac{16}{3}=frac83=2frac23 end{gather*} Ответ: (2frac23)
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите определенный интеграл:
a) (int_{-2}^{3}x^2dx) $$ int_{-2}^{3}x^2dx=frac{x^3}{3}|_{-2}^{3}=frac{3^3}{3}-frac{(-2)^3}{3}=9-frac83=frac{19}{3}=6frac13 $$
б) (int_{0}^{fracpi 3}sinxdx) $$ int_{0}^{fracpi 3}sinxdx=(-cosx)|_{0}^{fracpi 3}=-cosfracpi 3+cos0=-frac12+1=frac12 $$
в) (int_{1}^{2}left(e^x+frac 1xright)dx) $$ int_{1}^{2}left(e^x+frac 1xright)dx=(e^x+ln|x|)|_{1}^{2}=e^2+ln 2-e^1-underbrace{ln 1}_{=0}=e(e-1)+ln 2 $$
г) (int_{2}^{3}(2x-1)^2 dx) begin{gather*} int_{2}^{3}(2x-1)^2 dx=frac12cdotfrac{(2x-3)^3}{3}|_{2}^{3}=frac16((2cdot 3-1)^3)-(2cdot 2-1)^3)=frac{5^3-3^3}{6}=\ =frac{125-27}{6}=frac{98}{6}=frac{49}{3}=16frac13 end{gather*}
д) (int_{1}^{3}frac{dx}{3x-2}) begin{gather*} int_{1}^{3}frac{dx}{3x-2}=frac13cdot ln|3x-2| |_{1}^{3}=frac13left(ln 7-underbrace{ln 1}_{=0}right)=frac{ln 7}{3} end{gather*}
e) (int_{-1}^{4}frac{dx}{sqrt{3x+4}}) begin{gather*} int_{-1}^{4}frac{dx}{sqrt{3x+4}}=frac13cdotfrac{(3x+4)^{-frac12+1}}{-frac12+1}|_{-1}^{4}=frac23sqrt{3x+4}|_{-1}^{4}=\ =frac23left(sqrt{3cdot 4+4}-sqrt{3cdot(-1)+4}right)=frac23(4-1)=2 end{gather*}
Пример 2. Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале:
a) (f(x)=x^3+3, xinleft[-1;1right])
$$ S=int_{-1}^{1}(x^3+3)dx=left(frac{x^4}{4}+3xright)|_{-1}^{1}=frac14+3-left(frac14-3right)=6 $$
б) (f(x)=sin2x, xinleft[0;fracpi 2right])
$$ S=int_{0}^{fracpi 2}sin2xdx=-frac12cos2x|_{0}^{fracpi 2}=-frac12left(cosleft(2cdotfracpi 2right)-cos0right)=-frac12(-1-1)=1 $$
в) (f(x)=frac4x+3, xinleft[2;6right])
(f(x)=frac4x+3) — гипербола с асимптотами (x=0, y=3)
Площадь под кривой: begin{gather*} S=int_{2}^{6}left(frac4x+3right)dx=(4cdot ln|x|+3x)|_{2}^{6}=(4ln 6+18)-(4ln 2+6)=\ =4(ln 6-ln 2)+12=4lnfrac62+12=4ln 3+12=4(ln 3+3) end{gather*}
г) (f(x)=frac{1}{sqrt{x}}, xinleft[1;4right])
$$ S=int_{1}^{4}frac{dx}{sqrt{x}}=frac{x^{-frac12+1}}{-frac12+1}|_{1}^{4}=2sqrt{x}|_{1}^{4}=2(sqrt{4}-sqrt{1})=2 $$
Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) (y=x-2, y=x^2-4x+2)
Найдем точки пересечения прямой и параболы: $$ x-2=x^2-4x+2Rightarrow x^2-5x+4=0Rightarrow (x-1)(x-4)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=1,\ x=4 end{array} right. $$ 
Функция сверху: (f(x)=x-2)
Функция снизу: (g(x)=x^2-4x+2)
Пределы интегрирования: (a=1, b=4) begin{gather*} S=int_{1}^{4}left((x-2)-(x^2-4x+2)right)dx=int_{1}^{4}(-x^2+5x-4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3}+frac{5x^2}{2}-4xright)|_{1}^{4}=left(-frac{64}{3}+5cdotfrac{16}{2}-4cdot 4right)-left(-frac13+frac52-4right)=\ =-frac{63}{3}+24+1,5=4,5 end{gather*} Ответ: 4,5
б) (y=e^{frac x2}, y=frac1x, x=2, x=3)
Функция сверху: (f(x)=e^{x/2})
Функция снизу: (g(x)=frac1x)
Пределы интегрирования: (a=2, b=3) begin{gather*} S=int_{2}^{3}left(e^{x/2}-frac1xright)dx=(2e^{x/2}-ln|x|)|_{2}^{3}=left(2e^{frac32}-ln 3right)-(2e-ln 2)=\ =2e^{frac32}-2e-ln 3+ln 2=2e(sqrt{e}-1)+lnfrac23 end{gather*} Ответ: (2e(sqrt{e}-1)+lnfrac23)
в*) (y=3-x^2, y=1+|x|)
Найдем точки пересечения ломаной и параболы: begin{gather*} 3-x^2=1+|x|Rightarrow x^2+|x|-2=0Rightarrow left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ x^2+x-2=0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ x^2-x-2=0 end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ (x+2)(x-1)=0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ (x-2)(x+1)=0 end{cases} end{array} right. Rightarrow \ left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ left[ begin{array}{l} x=-2\ x=1 end{array} right. end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ left[ begin{array}{l} x=2\ x=-1 end{array} right. end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=1\ x=-1 end{array} right. end{gather*} 
Функция сверху: (f(x)=3-x^2)
Функция снизу: (g(x)=1+|x|)
Пределы интегрирования: (a=-1, b=1)
Чтобы не раскрывать модуль под интегралом, заметим, что площади на интервалах [-1;0] и [0;1] равны, т.к. обе функции четные и симметричные относительно оси OY. Поэтому можно рассматривать только положительные (xinleft[0;1right]), найти для них интеграл (площадь) и умножить на 2: begin{gather*} S=2int_{0}^{1}left((3-x^2)-(1+x)right)dx=2int_{0}^{1}(-x^2-x+2)dx=2left(-frac{x^3}{3}-frac{x^2}{2}+2xright)|_{0}^{1}=\ =2left(-frac13-frac12+2right)-0=frac73=2frac13 end{gather*} Ответ: (2frac13)
г*) (y=3sinx, y=cosx, x=-frac{5pi}{4}, x=fracpi 4)
На отрезке (left[-frac{5pi}{4};-frac{3pi}{4}right]) синус над косинусом, далее на (left[-frac{3pi}{4};frac{pi}{4}right]) — косинус над синусом.
Площадь фигуры, закрашенной голубым, в два раза больше площади фигуры, закрашенной сиреневым. Поэтому общая площадь будет равна трем площадям, закрашенным сиреневым: begin{gather*} S=3int_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}(sinx-cosx)dx=3(-cosx-sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}=-3(cosx+sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}} end{gather*} Прибавим полный период, он одинаков для обеих функций:
(-frac{3pi}{4}+2pi=frac{5pi}{4}; -frac{5pi}{4}+2pi=frac{3pi}{4}) begin{gather*} -3(cosx+sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}=-3left(cosleft(frac{5pi}{4}right)+sinleft(frac{5pi}{4}right)-cosleft(frac{3pi}{4}right)-sinleft(frac{3pi}{4}right)right)=\ =-3left(-frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}right)=3sqrt{2} end{gather*} Ответ: (3sqrt{2})
Пример 4*. Пусть (S(k)) — это площадь фигуры, образованной параболой (y=x^2+2x-3) и прямой (y=kx+1). Найдите (S(-1)) и вычислите наименьшее значение (S(k)).
1) Найдем (S(-1)).
(k=-1, y=-x+1 )
 |
Точки пересечения прямой и параболы: begin{gather*} -x+1=x^2+2x-3\ x^2+3x-4=0\ (x+4)(x-1)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-4,\ x=1 end{array} right. end{gather*} Функция сверху: (y=-x+1) Функция снизу: (y=x^2+2x-3) Пределы интегрирования: (a=-4, b=1) |
begin{gather*} S(-1)=int_{-4}^{1}left((-x+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_{-4}^{1}(-x-3x+4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3}-frac{3x^2}{2}+4xright)|_{-4}^{1}=left(-frac13-frac32+4right)-left(frac{64}{3}-24-16right)=-21frac23+42frac12=20frac56 end{gather*}
2) Решаем в общем виде.
Все прямые (y=kx+1) проходят через точку (0;1) и при образовании фигуры находятся над параболой.
Точки пересечения прямой и параболы: begin{gather*} kx+1=x^2+2x-3Rightarrow x^2+(2-k)x-4=0\ D=(2-k)^2-4cdot (-4)=(k-2)^2+16gt 0 end{gather*} Дискриминант (Dgt 0) при всех (k). Точки пересечения (пределы интегрирования): $$ x_{1,2}=frac{-(2-k)pmsqrt{D}}{2}=frac{k-2pmsqrt{D}}{2} $$ Разность корней: $$ x_2-x_1=sqrt{D}=sqrt{(k-2)^2+16} $$ Минимальное значение разности корней будет при (k=2).
Площадь: begin{gather*} S(k)=int_{x_1}^{x_2}left((kx+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_{x_1}^{x_2}(-x^2+(k-2)x+4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3}+frac{(k-2)x^2}{2}+4xright)|_{x_1}^{x_2}=-frac13(x_2^3-x_1^3)+frac{k-2}{2}(x_2^2-x_1^2)+4(x_2-x_1) end{gather*}
 |
begin{gather*} S(k)_{min}=S(2)\ x_{1,2}=pm 2\ S(2)=-frac13cdot(2^3+2^3)+0+4sqrt{16}=\ =-frac{16}{3}+16=frac{32}{3}=10frac23 end{gather*} |
Ответ: 1) (S(-1)=20frac56); 2) (S(k)_{min}=S(2)=10frac23)
Пример 5*. Фигура ограничена линиями (y=(x+3)^2, y=0, x=0). Под каким углом к оси OX надо провести прямые через точку (0;9), чтобы они разбивали фигуру на три равновеликие части?
|
Площадь криволинейной трапеции AOB: begin{gather*} S_0=int_{-3}^{0}(x+3)^2dx=frac{(x+3)^3}{3}|_{-3}^{0}=\ =9-0=9 end{gather*} Площадь каждой части: (S_i=frac13 S_0=3) Точки (C(x_1; 0)) и (D(x_2; 0)) c (-3lt x_1lt x_2lt 0) такие, что прямые AC и AD отсекают по 1/3 от фигуры. Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOD): begin{gather*} S_3=frac12|x_2|cdot 9=3Rightarrow |x_2|=frac69=frac23Rightarrow\ x_2=-frac23 end{gather*} Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOC): begin{gather*} S_2+S_3=frac12|x_1|cdot 9=6Rightarrow |x_1|=frac{12}{9}=frac43Rightarrow\ x_1=-frac43 end{gather*} |
Находим углы соответствующих прямых.
Для (x_1: tgalpha=frac{9}{|x_1|}=frac{9}{4/3}=frac{27}{4}, alpha=arctgfrac{27}{4})
Для (x_x: tgbeta=frac{9}{|x_2|}=frac{9}{2/3}=frac{27}{2}, beta=arctgfrac{27}{2})
Ответ: (arctgfrac{27}{4}) и (arctgfrac{27}{2})
План урока:
Криволинейная трапеция и понятие определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
Задачи, связанные с определенным интегралом
Криволинейная трапеция и понятие определенного интеграла
Построим на плоскости график произвольной функции у(х), который полностью располагается выше горизонтальной оси Ох. Далее проведем две вертикальные линии, пересекающие ось Ох в некоторых точках a и b. В результате мы получим интересную фигуру, которая на рисунке показана штриховкой:
Особенностью этой фигуры является то, что одна из ее сторон (верхняя) – это не прямая линия, а какая-то произвольная кривая. Условно будем считать эту фигуру четырехугольником, ведь у нее действительно четыре угла и четыре стороны. Две из них (вертикальные красные линии), очевидно, параллельны друг другу. Две другие стороны (кривую линию и участок оси Ох) параллельными назвать никак нельзя.
Напомним, что в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу, а две другие не параллельны, называют трапецией. Поэтому полученную нами фигуру мы также назовем трапецией. Но так как одна из ее сторон кривая, то мы будем использовать термин «криволинейная трапеция», чтобы отличать ее от трапеции «настоящей».
У каждой плоской фигуры есть площадь, и криволинейная трапеция – не исключение. Но как ее подсчитать? Есть приближенный способ подсчета. Разобьем отрезок [a; b] на несколько более мелких отрезков, и построим на каждом из них прямоугольник:
Обозначим площадь первого прямоугольника как S1, площадь второго прямоугольника – как S2 и т. д. Мы строим прямоугольники таким образом, что их левая сторона в точности равна значению функции в соответствующей точке. Обозначим те точки, на которых стоят стороны прямоугольника, как х1, х2, х3 и т. д. Тогда значения функции в этих точках будут соответственно равны у(х1), у(х2) и т. д.:
Площадь каждого полученного прямоугольника подсчитать несложно – она равна произведению его высоты на ширину. Мы организовали разбиение на прямоугольники таким образом, что ширина у них одинакова. Обозначим ее как ∆х. Тогда площадь каждого отдельного прямоугольника равна
Тогда общая площадь криволинейной трапеции приближенно будет равна сумме площадей всех треугольников:
где n – это количество прямоугольников (на рисунках мы выбрали n = 10).
Ясно, что чем больше число n, тем более точное приближение мы получим. Например, если разбить трапецию уже не на 10, а на 20 прямоугольников, то получим такую картинку:
Обратите внимание, что ширина каждого прямоугольника, то есть величина ∆х, уменьшилась.
При росте числа n ошибка при оценке площади трапеции будет уменьшаться и стремится к нулю. Поэтому в предельном случае, когда n стремится к бесконечности, в формуле (1) вместо знака приближенного равенства «≈» можно поставить знак «=». При этом величина ∆х также будет стремится к нулю, то есть становится бесконечно малой. В математике для таких величин вместо символа ∆ принято использовать букву d, то есть вместо ∆х мы напишем dx. С учетом всего этого формула (1) примет вид:
В правой части стоит сумма бесконечного числа слагаемых. У нее есть специальное название – определенный интеграл. Ясно, что величина этой суммы, то есть площадь трапеции, зависят от чисел а и b (боковых границ трапеции). Поэтому обозначение интеграла выглядит так:
Обозначение очень похоже на неопределенный интеграл. Единственное отличие – это появление чисел а и b, которые определяют боковые границы трапеции. Число b называют верхним пределом интегрирования, а число a– нижним пределом интегрирования. Дадим более строгое определение понятию определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у(х) и вертикальными прямыми, проходящими через точки а и b.
Формула Ньютона-Лейбница
Изначально мы хотели научиться вычислять площадь криволинейной трапеции, однако пока что мы лишь придумали, как ее обозначать – через определенный интеграл. Но как вычислить значение его значение? Оказывается, определенный интеграл очень тесно связан с неопределенным интегралом, и эта связь описывается формулой Ньютона-Лейбница.
Ещё раз построим криволинейную трапецию, а ее площадь обозначим как S. Пусть ее левая граница совпадает с осью Оу, а правая будет равна некоторому значению х0. Дело в том, что нас будет интересовать зависимость площади трапеции от значения ее правой границы, то есть некоторая функция S(x). Обозначим площадь получившейся трапеции как S(x0):
Теперь сдвинем правую границу вправо на величину ∆х. В итоге получим новую трапецию, площадь которой можно записать как S(x0 + ∆x). При этом ее площадь увеличилась на некоторую величину ∆S:
Получается, что мы дали некоторое приращение аргумента ∆х, и получили приращение функции ∆S. Мы уже выполняли похожие действия в рамках предыдущих уроков, изучая понятие производной.
Итак, мы можем записать, что
Оценим величину ∆S. Если заменить соответствующую площадь прямоугольником, то его площадь окажется равной произведению ширины прямоугольника (она равна ∆x) на высоту, которая равна у(х0):
Поделим обе части равенства (2) на величину ∆х и получим:
А теперь устремим величину ∆х к нулю. В результате в равенство (2), а значит, и (3) будет становиться все более точным. В итоге мы можем написать, что
Хорошо подумайте, что мы получили. Вспомните определение производной. Оказывается, в левой части равенства (4) стоит не что иное, как производная функции S! То есть мы можем написать, что
Получается, что производная функции S на равна значению функции у(х). А это значит, что она является ее первообразной:
Здесь F(x) – первообразная функции у(х), а F(x0) – конкретное значение этой первообразной в точке х0.
Теперь рассмотрим более привычную криволинейную трапецию, у которой правой и левой границей являются числа а и b:
Как найти ее площадь? С помощью формулы (5) мы можем найти две площади:
Из рисунков очевидно, что площадь интересующей нас трапеции равна разности величин S(b) и S(a):
Эту площадь мы и обозначаем определенным интегралом. То есть можно записать, что
Таким образом, чтобы найти площадь криволинейной трапеции, необходимо проинтегрировать функцию у(х), а потом в полученную первообразную подставить числа а и b вычесть один результат из другого.
Для примера вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией у = х2 и вертикальными прямыми х = 1 и х = 3.
Сначала находим первообразную функции у = х2, взяв от нее интеграл (неопределенный):
Отметим, что в обоих случаях речь идет об одной и той же первообразной, поэтому значения констант С у них одинаковы. Теперь вычитаем из F(3) величину F(1):
Константы интегрирования сократились. Для простоты решение записывают в несколько более короткой форме. Сначала сразу после определенного интеграла пишут первообразную (то есть находят неопределенный интеграл), причем без константы интегрирования
Далее ставят вертикальную черту и пишут пределы интегрирования, которые надо подставить в первообразную:
Потом ставят знак равно и подставляют в первообразную верхнее и нижнее число, после чего выполняют оставшиеся арифметические действия:
Задание. Вычислите
Задание. Найдите площадь фигуры, ограниченной полуволной синусоиды и осью Ох.
Решение. Сначала построим схематичный график у = sinx, чтобы понять, что именно нам надо вычислить:
Теперь ясно, что надо произвести вычисление определенного интеграла синуса на отрезке [0; π]:
Итак, мы теперь знаем и про определенный, и про неопределенный интеграл. Хотя они и очень похожи, между ними есть большая разница, и ее важно понимать. Определенный интеграл – это число, а именно величина площади криволинейной трапеции. Неопределенный интеграл – это функция (точнее, семейство функций), которая является первообразной для интегрируемой функции. Формула Ньютона-Лейбница как раз и показывает ту связь, которая есть между двумя этими различными понятиями.
Может ли определенный интеграл быть отрицательным числом? Кажется, что нет, ведь площадь фигур не бывает отрицательной. Но не всё так просто. Рассмотрим случай, когда график функции является не верхней, а нижней границей трапеции. Например, пусть трапеция образована функцией
Просто надо найти определенный интеграл:
Получили отрицательное значение. Дело в том, что фигура располагается под осью Ох. Из-за этого ее площадь получается со знаком минус.
Рассмотрим ещё один пример. Найдем интеграл косинуса на промежутке от 0 до 2π:
Получился ноль. Посмотрим на графике, какую же площадь мы посчитали:
Оказывается, график на отрезке дважды пересекает ось Ох. В результате получается сразу три криволинейных трапеции. Две из них расположены выше оси Ох, а потому из площади считаются со знаком «+». Третья трапеция лежит ниже оси Ох, а потому ее площадь считается со знаком «–». То, что интеграл оказался равным нулю, означает, что площадь нижней трапеции в точности равна сумме площадей двух верхних фигур, поэтому в сумме они и дали ноль.
Отметим важное свойство определенного интеграла:
Проиллюстрируем это правило графически. Каждый из этих интегралов равен площади соответствующих криволинейных трапеций:
Задачи, связанные с определенным интегралом
Определенный интеграл помогает находить и площади более сложных фигур, которые получаются при пересечении нескольких различных графиков.
Рассмотрим задачу на интеграл. Пусть требуется найти площадь фигуры, полученной при пересечении параболы
Сначала найдем точки пересечения графиков. Для этого приравняем функции:
Корнями этого квадратного уравнения являются числа 1 и 4. Именно в этих точках и пересекаются графики (это и так видно из графика). Площадь интересующей нас фигуры можно получить вычитанием из одной криволинейной трапеции другой:
Величины S1и S2 можно вычислить через определенный интеграл. Обратите внимание, что найденные нами корни являются пределами интегрирования:
Тогда искомая нами площадь составит
Ошибочно думать, что определенные интегралы нужны только для расчета площадей. С их помощью можно и решать ряд физических задач. Пусть известен закон изменения скорости тела v(t). Можно доказать, что путь, пройденный этим телом за период времени с t1по t2, будет равен интегралу
Задание. Самолет разгоняется, однако из-за сопротивления воздуха он набирает скорость не равномерно. Скорость самолета в момент времени t может быть вычислена по формуле
Определите, какое расстояние пролетит самолет в период времени между 16-ой и 25-ой секундой разгона.
Решение. Задача сводится к простому вычислению интеграла:
Ответ: 610 метров.
Этот пример показывает важную зависимость между скоростью тела и путем, который она преодолевает. Если есть график изменения скорости тела, то площадь под этим графиком равна тому пути, которое проходит тело:
Действительно, если тело двигается равномерно (то есть с постоянной скоростью), то путь, пройденный им, может быть вычислен по известной формуле
Но если построить для такого случая график v(t), то он будет выглядеть как горизонтальная прямая линия. Тогдафигура под графиком окажется прямоугольником, чья площадь равна произведению длины и ширины:
Заметим, что зависимость между путем, скоростью временем носит линейный характер, и именно поэтому здесь может быть использован неопределенный интеграл. Но ведь в физике очень много линейных зависимостей! И во всех этих случаях интегралы играют огромную роль!
Рассмотрим задачу. Есть пружина, которая изначально находится в нерастянутом состоянии. Потом человек начинает медленно и с постоянной скоростью, растягивать пружину, увеличивая ее длину на 0,5 метра. Жесткость пружины (ее коэффициент упругости) равна 100 Н/м. Какую работу совершил человек при растягивании пружины?
Из средней школы известна следующая формула для вычисления работы:
где F– сама сила, а S– путь, пройденный телом под действием этой силы. Легко заметить, что эта формула похожа на ранее рассмотренную зависимость пути от скорости и времени (они обе являются линейными). Сначала рассмотрим простой случай, когда сила остается неизменной. Тогда можно построить график F(S). Окажется, что площадь под графиком как раз равна работе, совершенной силой:
Случай с пружиной сложнее, ведь сила при растяжении пружины не остается неизменной. Чем сильнее растянута пружина, с тем большей силой ее приходится тянуть. Известен закон Гука, связывающий удлинение пружины с силой ее натяжения:
где k – коэффициент жесткости пружины, а x– ее удлинение. По смыслу задачи максимальное удлинение известно и равно 0,5 м. Можно нарисовать такой график зависимости силы натяжения пружины от ее удлинения (он будет выглядеть как прямая линия, так как эта зависимость является прямой пропорциональностью):
И в данном случае работа также будет равна площади под графиком функции, то есть ее можно посчитать с помощью определенного интеграла! В качестве пределов интегрирования надо взять крайние значения удлинения пружины (это 0 и 0,5 м), а качестве интегрируемой функции – F(t), которая равна
Существует и много других примеров приложений определенного интеграла. С его помощью можно находить объемы сложных фигур (конуса, пирамиды, тел вращения), определять центр масс тел сложной формы. Следует отметить и использование интегралов в механике при решении задач, в которых сила действует не на конкретную точку, а на площадь (задачи на распределенную нагрузку). В качестве примера можно привести расчет прочности крыши, на которой лежит слой снега.Но для их рассмотрения необходим более высокий уровень математических и физических знаний, который можно получить уже в рамках не среднего, а высшего образования.
На чтение 2 мин. Просмотров 43.9k.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f (x), снизу — осью Ох, слева и справа прямыми х=a, x=b, находят по формуле Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л):
Пример 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=4x-x²; y=0; x=0; x=4.
Решение. Строим графики данных линий. (рис. 1).
1) y=4x-x² — парабола (вида y=ax²+bx+c). Запишем данное уравнение в общем виде: y=-x²+4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1<0.
Вершина параболы находится
в точке O′(m; n), где
О′(2; 4). Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения:
4х-х²=0.
Выносим х за скобки, получаем: х(4-х)=0. Отсюда, х=0 или х=4. Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки: (0; 0) и (4; 0).
2) y=0 — это ось Ох; 3) х=0 — это ось Оy; 4) х=4 — прямая, параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.
Площадь построенной криволинейной трапеции находим по (ф. Н-Л). У нас f (x)=4x-x², a=0, b=4.
Кстати, если Вы подсчитаете все целые заштрихованные клетки и добавите к ним половину всех остальных клеток заштрихованной фигуры, то получите приближенное значение искомой площади. Действительно, если единичный отрезок равен одной клетке, то площадь квадратика со стороной, равной 1 клетке, равна 1·1=1 (кв. ед.). Сколько квадратиков — столько квадратных единиц и составляет площадь фигуры.
Пример 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
Решение. Строим графики данных линий. (рис. 2).
Площадь данной криволинейной трапеции:
( 11 оценок, среднее 3.55 из 5 )
1. Основная формула для вычисления площади плоских фигур с помощью определенного интеграла
Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции.
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 1).
.
Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции
Как мы пытались ее решить:
Первый способ.
Разбили отрезок 
на 
одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчастой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили 
в пределе 
и
получили искомую площадь S. Ввели обозначение 
.
Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу. Мы знаем теперь, как приближенно ее решить, знаем обозначения для точного решения, но точного решения еще не знаем.
Затем мы получили точное решение задачи следующим образом: рис. 2:
Рис. 2. Функция S (x)
Ввели функцию 
. Каждому 
площадь под соответствующей частью кривой 
. Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно:
Каждому 
соответствует единственное значение .
Мы доказали, что производная этой же функции 
и доказали, что точная площадь вычисляется следующим образом. Надо найти любую первообразную от функции
и взять приращение этих первообразных. То есть взять первообразную в точке 
и отнять первообразную в точке 
И в результате мы получили формулу, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.
.
2. Методика нахождения площади на примере
Методику нахождения площади рассмотрим сначала на относительно простом примере.
Пример 1.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение.
Вот искомая площадь:
Рис. 3. Площадь
Вот формула:
Это общая формула. Конкретно к нашему случаю она применима так:
Пределы интегрирования 
.
=
.
Вычислили площадь криволинейной фигуры.
Ответ:
В следующей задаче площадь искомой фигуры образовывается с помощью 
А именно:
3. Пример 2
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение.
Посмотрим, как выглядит фигура (рис. 4).
Рис. 4. Фигура, ограниченная линиями 
Формула та же самая:
В нашем случае 
. Итак, надо найти определенный интеграл
=-(-1)+1=1+1=2.
Искомая площадь найдена, и ответ получен.
Ответ: 2
4. Пример 3
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение.
Рис. 5. Площадь фигуры, ограниченной линиями
Формула для площади та же самая:
В нашем случае 
.
Ответ: 
В следующем примере ищется площадь под параболой.
5. Пример 4
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение.
Схематически изобразим параболу 
Корни 
Рис. 6. Парабола 
Применим известную формулу
И применим ее для данной функции 
и пределов интегрирования
Искомая площадь найдена. 
Ответ:
В предыдущих задачах площадь образовывалась с помощью разных кривых, но эта площадь находилась над осью . В следующей задаче наоборот.
6. Пример 5. Случай, если фигура находится под осью
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.
Решение.
Посмотрим, что это за фигура. График 
в пределах от Π до 2Π расположен под осью Ox (рис. 7).
Рис. 7. График в пределах от Π до 2Π
Ясно, что если возьмем определенный интеграл, то мы получим отрицательное число.
Вычисляем.
1. Сначала вычисляем определенный интеграл от π до 2π от подынтегральной функции 
Надо найти первообразную.
По таблице первообразных: 
.
=-1-1=-2.
2. Для того чтобы найти площадь, надо взять модуль 
=2.
Ответ: 2.
7. Пример. Общий случай для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми. Выводы
Следующее усложнение – искомая площадь расположена между двумя кривыми.
А именно:
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 
Рис. 8. Площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение.
Итак, площадь образуют 2 кривые, одна из них может находиться под осью .
Каким образом мы будем решать эту задачу?
Во-первых, мы можем сдвинуть фигуру на такое положительное 
, что площадь находится над осью . Рис. 9.
Рис. 9. Сдвиг фигуры
Затем мы возьмем соответствующий определенный интеграл и найдем площадь. Искомая площадь равна разности двух площадей.
Площадь под верхней кривой 
минус площадь под нижней кривой 
.
Каждую из площадей мы умеем находить.
Таким образом, в общем виде была поставлена задача, в общем виде получен ответ.
Ответ:
Обсудим и постановку задачи, и полученный важный результат.
Нам надо было найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.
Мы использовали известный прием: эту площадь подняли на некоторое , и это 
Так вот, эту площадь теперь можно считать без введения . Правило следующее:
Площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями 
непрерывных на отрезке 
и таких, что для всех из отрезка
вычисляется по формуле, которую мы вывели:
Рассмотрим первый конкретный пример на нахождение площади между двумя линиями.
8. Пример 6
Найти площадь фигуры, ограниченную линиями
.
Решение. Для начала построим графики этих линий и поймем, где та площадь, которую нам надо искать.
График квадратичной функции – парабола. Корни – 0, 4, ветви вниз. График 
– биссектриса первого координатного угла. Вот площадь, которую надо найти:
Рис. 10. Искомая площадь
Но для этого сначала надо найти точки пересечения и решить стандартную задачу.
1. Находим точки пересечения. Для этого решаем систему: 
.
Отсюда получаем квадратное уравнение относительно :
Мы нашли , то есть, пределы интегрирования. Это первое важное действие.
Теперь стандартное действие:
2. 
= 
=(
)
Искомая площадь равна 4,5
Ответ: 4,5
9. Пример 7. Случай, когда часть площади плоской фигуры лежит под осью
Во втором примере часть площади находится под осью , но на методику это не влияет.
Пример 6.
Итак, требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение.
Сначала построим графики, посмотрим, какую площадь нам нужно найти. Рис. 11.
Первая функция – парабола, ветви вниз. График второй функции – прямая линия.
Есть две точки пересечения, их придется найти, а именно взять пределы интегрирования, и тогда будем решать задачу по знакомому нам плану.
Рис. 11. Площадь фигуры, ограниченной линиями
Первое действие – найти пределы интегрирования и второе – найти площадь.
Пределы интегрирования найдем из системы
.
То есть, пределы интегрирования найдены.
= (
)
Ответ: 
Итак, мы показали, каким образом можно вычислять площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Ru.scribd.com (Источник).
- Math4you.ru (Источник).
- Dok.opredelim.com (Источник).
Домашнее задание
- Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
, 
, 
,
- Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
- Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1030, 1033, 1037, 1038.
, 
, 
,
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №23.Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Нахождение определенного интеграла
2) Нахождение площади криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона – Лейбница
3) Решение задач, с помощью формулы Ньютона – Лейбница
Формула Ньютона – Лейбница
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
ОрловаЕ. А., СеврюковП. Ф., СидельниковВ. И., СмоляковА.Н.Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].
Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции
формула Ньютона – Лейбница
Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым(зависит от расположения криволинейной трапеции).
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1.Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке
Решение
Для вычисления площади криволинейной трапеции воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница.
Ответ: 
№2. Вычислить определенный интеграл:
Решение: Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.
Сначала находим первообразную функцию F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .
Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).
Рассчитываем разность F(b) — F(а), это и будет ответ.
№3. Найти площадь криволинейной трапеции (х-1)2, ограниченной линиями х=2 и х=1, осью 0х
Решение:
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.
Сначала находим первообразную функцию F(x). Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .
Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).
Рассчитываем разность F(b) — F(а), это и будет ответ.
