Как найти площадь круга по математике

Загрузить PDF

Некоторые учащиеся не понимают, как найти площадь круга по исходным данным. Для начала нужно запомнить формулу, по которой вычисляется площадь круга: $S=pi r^{2}$ . Формула проста: чтобы найти площадь круга, нужно знать только его радиус. Но нужно уметь преобразовывать другие исходные величины, чтобы воспользоваться этой формулой.

1
Найдите радиус круга. Радиус – это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой внешней окружности круга. Радиус можно измерить в любом направлении: он будет одним и тем же. Радиус также равен половине диаметра круга. Диаметр – это отрезок, который проходит через центр круга и соединяет две точки внешней окружности круга.^[1]
- Как правило, значение радиуса дано в условиях задачи. Довольно трудно найти точный центр круга, если только он не обозначен на круге, который нарисован на бумаге.
- Например, радиус круга равен 6 см.
2

Возведите радиус в квадрат. Формула для вычисления площади круга: $S=pi r^{2}$ , где – радиус, который возведен во вторую степень (в квадрат).^[2]
3
Полученный результат умножьте на число Пи. Это число обозначается греческой буквой и представляет собой математическую константу, которая характеризует взаимосвязь радиуса и площади круга. Число Пи приблизительно равно 3,14. Точное значение числа Пи включает бесконечное количество цифр. Иногда ответ (площадь круга) записывается с постоянной .^[3]
- В нашем примере (r = 6 см) площадь вычисляется так:
4
Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. Если радиус дан в сантиметрах, площадь измеряется в квадратных сантиметрах. Если радиус дан в миллиметрах, площадь измеряется в квадратных миллиметрах. Уточните у преподавателя, нужно ли представить ответ с постоянной или в числовой форме, используя приблизительное значение числа Пи. Если требование не ясно, запишите оба варианта ответа.^[4]
- В нашем примере (r = 6 см) S = 36 см² или S = 113,04 см².
Реклама

1
Измерьте или запишите диаметр. В некоторых задачах радиус не дан. Вместо радиуса указывается диаметр. Если диаметр нарисован на бумаге, измерьте его с помощью линейки. Скорее всего, числовое значение диаметра будет задано.
- Например, диаметр круга равен 20 мм.
2
Разделите диаметр пополам. Помните, что диаметр равен удвоенному радиусу. Поэтому разделите любое значение диаметра на 2, чтобы найти радиус.
- Таким образом, если диаметр круга равен 20 мм, то радиус круга равен 20/2 = 10 мм.
3

Воспользуйтесь стандартной формулой для вычисления площади круга. Найдя радиус, воспользуйтесь формулой $S=pi r^{2}$ , чтобы вычислить площадь круга. Подставьте значение радиуса и выполните вычисления следующим образом:
4
Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. В нашем примере диаметр дан в миллиметрах, поэтому радиус тоже измеряется в миллиметрах, а площадь в квадратных миллиметрах. В нашем примере S = мм².
- Также ответ можно представить в численной форме, используя вместо приблизительное значение 3,14. В этом случае S = (100)(3,14) = 314 мм².
Реклама

1
Запишите преобразованную формулу. Если известна длина окружности круга, можно воспользоваться преобразованной формулой для вычисления его площади. Такая формула включает длину окружности, а не радиус, и записывается так:
- $S={frac {C^{2}}{4pi }}$
2
Измерьте или запишите длину окружности. В некоторых ситуациях нельзя точно измерить диаметр или радиус. Если диаметр не нарисован или центр не отмечен, очень сложно найти точный центр круга. Длину окружности некоторых предметов (например, сковороды) довольно легко измерить с помощью рулетки, то есть можно найти более точное значение длины окружности, чем диаметра.^[5]
- Например, длина окружности круга (или круглого предмета) равна 42 см.
3
4

Запишите формулу для вычисления площади круга. Запишите преобразованную формулу на основе соотношения между длиной окружности и радиусом. Подставьте последнее равенство в стандартную формулу для вычисления площади круга:^[7]
5

Воспользуйтесь преобразованной формулой, чтобы решить задачу. Теперь в формуле вместо радиуса присутствует длина окружности, поэтому можно вычислить площадь круга по известной длине окружности. Подставьте значение длины окружности и выполните вычисления следующим образом:^[8]
6

Запишите ответ. Если длина окружности дана в виде числа, а не произведения числа и , ответ можно записать с в знаменателе. Или вместо числа Пи подставьте его приблизительное значение (3,14).^[9]

Реклама

1

Запишите известные величины. В некоторых задачах дана площадь сектора круга, по которой нужно найти площадь всего круга. Внимательно прочитайте такую задачу; ее условие может выглядеть так: «Площадь сектора круга равна 15 см². Найдите площадь всего круга».^[10]
2

Запомните определение сектора. Сектор круга – это часть круга, которая ограничена дугой и двумя радиусами. Пространство между такими радиусами и дугой называется сектором.^[11]
3
Измерьте центральный угол сектора. Воспользуйтесь транспортиром, чтобы измерить угол между двумя радиусами. Линейку (прямолинейную шкалу) совместите с одним из радиусов, причем центр линейки должен совпадать с центром круга. Затем найдите величину угла; для этого посмотрите на точку пересечения второго радиуса с угломерной шкалой.^[12]
- Не перепутайте внутренний и внешний угол между двумя радиусами. В задаче должно быть указано, с каким углом работать. Помните, что сумма внутреннего и внешнего углов равна 360 градусов.
- Во многих задачах центральный угол дан, то есть измерять его не нужно. Например, в задаче может быть сказано: «Центральный угол сектора равен 45 градусов»; если это не так, измерьте центральный угол.
4
Используйте преобразованную формулу для вычисления площади круга. Если известны площадь сектора и его центральный угол, используйте следующую преобразованную формулу, чтобы найти площадь круга: ^[13]
- $S_{{kr}}=S_{{sek}}{frac {360}{C}}$
5

Подставьте известные значения и найдите площадь круга. В нашем примере известно, что центральный угол равен 45 градусов, а площадь сектора равна 15. Подставьте эти значения в формулу:^[14]
6
Запишите ответ. В нашем примере сектор составлял одну восьмую полного круга. Поэтому площадь полного круга равна 120 см². Так как площадь сектора дана с постоянной , скорее всего, ответ тоже можно представить с этой постоянной.^[15]
- Чтобы записать ответ в численной форме, умножьте 120 x 3,14 = 376,8 см².
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 265 570 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Определение окружности

Окружность – это замкнутая линия, причем расстояние от любой точки, находящейся на этой линии, до центра окружности одинаково. Кругом является внутренняя часть окружности.

Онлайн-калькулятор площади круга

Тот самый отрезок, который соединяет выбранную точку на окружности с ее центром, называется радиусом RR.
Длина радиуса, взятая в двойном размере, называется диаметром окружности DD.

То есть D=2RD=2R.

Как найти площадь круга

Площадь круга можно найти двумя способами:

используя радиус круга,
используя диаметр круга.

Остановимся чуть подробнее на каждом способе и рассмотрим несколько примеров.

Формула площади круга через радиус круга

Сначала разберем общий случай.

Пусть нам дана окружность OO произвольного радиуса R.R. Площадь круга через радиус вычисляется при помощи формулы

S=πR2S=pi R^2,

где πpi – число «Пи», выражающее отношение длины окружности к ее диаметру и численно равное около 3,143,14,

RR – радиус нашей окружности.

Теперь, чтобы было более понятно, рассмотрим пару практических примеров.

Пример

Найдите площадь круга, радиус которого равен 6 см.
Ответ дайте, округленный до целого числа.

Решение:

Пользуемся нашей формулой для вычисления площади круга и получаем:

S=πR2=3,14⋅6⋅6=3,14⋅36=113.S=pi R^2=3,14cdot 6 cdot 6=3,14 cdot 36=113.

Ответ: 113 см².

Формула площади круга через диаметр

Рассмотрим сначала обобщенный случай без использования цифр.

Формула вычисления площади круга с помощью диаметра немного отличается от формулы, в которой мы использовали радиус. Но ответ остается, безусловно, таким же.

Итак, наша формула выглядит следующим образом:

S=πD24S=pi frac{D^2}{4}

Давайте разберемся, откуда она вообще взялась.

Для начала выразим радиус через диаметр. Получаем R=D2R=frac{D}{2}, затем подставляем полученное выражение в нашу исходную формулу S=πR2S=pi R^2 и получаем результат: S=πD222S=pi frac{D^2}{2^2}, далее упрощаем и выходим на окончательный ответ S=πD24S=pi frac{D^2}{4}.

Пример

Найти площадь круга, если известно, что четвертая часть диаметра равна 2,5 см.

Решение:

Находим диаметр:

D4=2,5.frac{D}{4} =2,5.

Отсюда,

D=2,5⋅4=10.D=2,5 cdot 4=10.

Подставляем значения в формулу:

S=πD24=3,14⋅1024=3,14⋅1004=3,14⋅25=78,5S=pi frac{D^2}{4} =3,14 cdot frac{10^2}{4} =3,14 cdot frac{100}{4} =3,14 cdot 25=78,5

Ответ: 78,5 см².

Пример решения задачи посложнее.

Пример

Имеется два круга. Площадь первого 153,86153,86 см². Найдите площадь второго круга, радиус которого в 22 раза больше радиуса первого круга.

Решение:
Для решения задачи нам в первую очередь нужно найти радиус первого круга. Из формулы S=πR2S=pi R^2 находим, что R=SπR=sqrt{frac{S}{pi}}.

R=153.863.14=49=7.R=sqrt{frac{153.86}{3.14}}=sqrt{49} = 7.

Радиус второго круга равен 7⋅2=14.7 cdot 2=14.

Наконец, найдем площадь этого круга: S=πR2=3.14⋅142=3,14⋅196=615,44.S=pi R^2=3.14cdot14^2=3,14 cdot 196=615,44.

Ответ: 615,44615,44 см².

Ищете специалиста, который сможет написать контрольную работу на заказ для вас? Наши эксперты подбирают индивидуальный подход к каждому клиенту!

Тест по теме “Площадь круга”

Источник

Прежде чем определится, как рассчитать площадь круга,
необходимо хорошо
усвоить и понять в чём разница между окружностью и кругом. Что
называется окружностью, а что подразумевают под словом круг.

Важно!

Замкнутая кривая (линия),
чьи точки лежат на
одинаковом расстоянии от одной точки её центра, называется
окружностью.

Окружность разбивает плоскость на две области:
внутреннюю и внешнюю.

Важно!

Та часть плоскости, которая лежит
внутри окружности (вместе с самой окружностью)
называется кругом.

Другими словами, для простоты понимания, следует запомнить:

окружность — это замкнутая линия (
граница круга).
круг — это внутренняя область окружности.
У окружности нельзя посчитать площадь!
А у круга найти площадь,
зная формулу,
достаточно легко.

Как найти площадь круга

Запомните!

Для расчета площади круга используется формула:

S = πR²,
где R — радиус круга,
S = π
()² =
π
=

π

, где
D — диаметр круга, т.к.

R =

Как решать задачи на площадь круга

Теперь, зная, по какой формуле считается площадь круга,
решим задачи на
площадь круга.

Зубарева 6 класс. Номер 675(г)

Условие задачи:

Найдите площадь круга, радиус которого равен 1,2 см.

Воспользуемся формулой площади круга:
S = πR² =
3,14 · 1,2² = 3,14 · 1,44 = 4,5216 см²

Обратите внимание, что площадь измеряется в квадратных единицах.
Всегда проверяйте свои ответы, правильно ли вы указали единицы
измерения.

Зубарева 6 класс. Номер 677(б)

Условие задачи:

Определите радиус круга, площадь которого равна 1,1304 см².

Выразим из формулы радиус:

S = πR²

R = √
S /
π

= √ 1,1304 /
3,14 = √ 0,36 =
0,6 см

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Источник

Нужно найти площадь круга – как можно решить задачу и какие методы для этого использовать? Подробно рассмотрим эту тему и научимся без труда решать типовые задания по математике.

Определения и основные понятия

Перед тем, как приступить к разбору формул и решению задач, нужно запомнить основные определения:

Круг – плоская геометрическая фигура, представляющая собой скопление точек в пределах окружности.
Окружность – замкнутая линия определенной длины (L), каждая из точек которой равномерно отдалена от центра (О).
Радиус (r) – расстояние от центра до окружности.
Диаметр (d) – линия, соединяющая две точки, расположенные на окружности, и пересекающая центр. При этом, d = 2*r.
π – константа, округленное значение которой равно 3,14.

Площадь круга через диаметр

Для нахождения площади круга можно использовать несколько методов в зависимости от того, о чем говорится в задании. Если мы знаем величину диаметра, то площадь можно найти по формуле S = d²:4*π. То есть диаметр нам нужно возвести в квадрат, а затем разделить получившееся значение на четыре и умножить на 3,14.

Также этим методом можно воспользоваться, если известен радиус. Для этого требуется умножить его на два, в результате чего удастся узнать диаметр. После этого площадь можно будет найти по указанной ранее формуле.

Площадь круга через радиус и длину окружности

Найти площадь такой фигуры, как круг, можно и через радиус, если воспользоваться формулой S = π*r², то есть квадрат радиуса нужно умножить на число Пи. В этом случае диаметр искать не придется, а значит задачу можно будет решить более простым путем.

Еще один способ доступен, если известна длина окружности. Ее требуется возвести в квадрат и разделить на произведение четырех и числа Пи: S = L²:(4*π).

Задачи для тренировки

Теперь, когда основные формулы уже рассмотрены, стоит закрепить свои знания на примере задач из школьной программы. Допустим, нам нужно найти S круга, если известно, что:

радиус равен 8 дм. В этом случае S = 3.14*8² = 200,96 дм².
диаметр равен 12 см. Вычисляем S = 12²:4*3,14 = 113,04 см².
длина окружности равна 16 м. То есть: S = 16²:(4*3,14) = 20,38 м².

Тема, которую мы рассмотрели, не является сложной, особенно если тщательно ее разобрать. Это же касается и других тем по математике – важно своевременно закреплять свои знания, и тогда удастся преуспеть в изучении этого предмета.

Уделять внимание математике нужно с первых лет обучения в школе, ведь именно в начальных классах ребенку прививаются важнейшие базовые знания и навыки. Развитие математических способностей в младшем возрасте создаст надежную основу для дальнейшего обучения.

Источник

Оглавление:

📝 Как это работает?
🤔 Частые вопросы и ответы
📋 Похожие материалы
📢 Поделиться и комментировать

Формула (формулы) площади круга

Найти площадь круга можно разными способами, в зависимости от известных данных.

По радиусу

Если дан только радиус, то площадь составит произведение константы Пи на квадрат радиуса. Расчёт будет по формуле (где r – радиус, а π – константа, равная 3,1415…):

Например, если радиус равен 2 метра, то площадь круг можно вычислить так S = 3,14 × 2² = 3,14 × 4 = 12,56 м² (квадратных метров).

Через диаметр

Если известен диаметр, то площадь круга будет равняться одной четвёртой произведения Пи и квадрата диаметра. Формула площади круга будет такой (где d — диаметр, а π – константа, равная 3,1415…):

К примеру, если диаметр круга (площадь поверхности пиццы) составляет 35 сантиметров, то площадь такого круга будет равна S = ¼ × 3,14 × 35²= ¼ × 3,14 × 1225 = 962 см² (квадратных сантиметра).

Через длину окружности

Если мы знаем только длину окружности (периметр круга), то рассчитать площадь фигуры можно по формуле (где L — длина окружности, а π – константа, равная 3,1415…):

Например, если длинна окружности составляет 120 мм, тогда площадь круга будет равна S = 120² / (4 × 3,14) = 14 400 / (4 × 3,14) = 1146,5 мм² (квадратных миллиметров).

Какие термины используются для поиска площади круга?

Для вычисления площади круга, в формулах были использованы следующие термины, значение которых нужно знать, чтобы точно понимать принципы расчета.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.

Диаметр — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней.

Число π (пи) — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру. Пи равняется примерно 3,14.

Площадь круга и размеры пицц

Люди не всегда верно сопоставляют площадь круга и диаметры. К примеру, сможете ли вы ответить:

Что больше: 2 пиццы диаметром 25 см или 1 пицца диаметром 40 см?

Интуитивно кажется, что 2 пиццы, так как в сумме их радиусы дают 50 сантиметров, что больше, чем 40. Однако это неправильный вывод, так как сравнивать нужно не сумму диаметров, а сумму квадратов диаметров. То есть:

25² + 25² = 625 + 625 = 1250
40² = 1600

Так как ¼π является константой, то можно сравнивать только квадраты диаметров. Получается, что пицца 40 см больше, чем даже 2 пиццы размером 25 см. А вот если диаметр пиццы составляет 35 см, то 35² = 1225, и в этом случае 2 пиццы по 25 см будут иметь бОльшую площадь.

Площади усеченных частей круга

А также полезно знать следующие геометрические элементы, связанные с кругами и окружностями:

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сектор является частью круга, а его площадь относится к площади круга так же, как и длина окружности сектора к длине всей окружности. Поэтому площадь сектора равна площади круга, умноженной на отношение длинны окружности сектора к длине окружности всего круга.

Но площадь сектора можно вычислить и по более простой формуле. Она равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

S = sr/2

где S — площадь сектора, r — радиус круга.

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.

Площадь сегмента можно найти по формулам:

S = r²sinα/ 2

где S — площадь сегмента, sinα — синус угла двух между радиусов до концов хорды, r — радиус круга.

Часто задаваемые вопросы о площади круга?

И конечно, стоит ответить на некоторые вопросы, которые возникают во время расчетов.

Входит ли окружность (периметр) в площадь круга?

Да, входит, ведь кругом являются все точки, удаленные от центра круга на расстояние, которое не превышает радиус.

Какие есть ещё калькуляторы для круга у вас на сайте?

У нас есть разнообразные калькуляторы, в частности калькуляторы: длины окружности, диаметра и площади круга. Для последней калькулятор находится на данной странице.

Хватит ли только диаметра, только радиуса или только длинны окружности для расчета площади круга?

Да, хватит чего-то одного, так как все 3 сущности можно вывести одну из другой, например, диаметр равен двум радиусам, а длина окружности – это диаметр, умноженный на число Пи.

Почему Пи равняется 3,1415926…, а не является «ровным» числом?

Число Пи – это отношение длины окружности к диаметру. После его вычисления математики выяснили, что оно является иррациональным числом: то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. На июнь 2022 года известны первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой. И получается, что именно с такой точностью можно рассчитать площадь круга. Если у квадрата и треугольника площадь точная, то у круга всегда приблизительная.

Кто впервые научился вычислять площадь круга?

Гиппократ Хиосский (не тот, в честь которого назвали клятву) первым сформулировал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Евдокс Книдский в IV веке до н. э. строго доказал это утверждение. А Архимед в III веке до н. э. нашёл число Пи и продемонстрировал, что оно чуть меньше, чем 3 и 1/7.

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Онлайн-калькулятор площади круга

Как найти площадь круга

Формула площади круга через радиус круга

Формула площади круга через диаметр

Тест по теме “Площадь круга”

Как найти площадь круга

Как решать задачи на площадь круга

Зубарева 6 класс. Номер 675(г)

Зубарева 6 класс. Номер 677(б)

Ваши комментарии

Определения и основные понятия

Площадь круга через диаметр

Площадь круга через радиус и длину окружности

Задачи для тренировки

Формула (формулы) площади круга

По радиусу

Через диаметр

Через длину окружности

Какие термины используются для поиска площади круга?

Площадь круга и размеры пицц

Площади усеченных частей круга

Часто задаваемые вопросы о площади круга?

Входит ли окружность (периметр) в площадь круга?

Какие есть ещё калькуляторы для круга у вас на сайте?

Хватит ли только диаметра, только радиуса или только длинны окружности для расчета площади круга?

Почему Пи равняется 3,1415926…, а не является «ровным» числом?

Кто впервые научился вычислять площадь круга?

Похожие калькуляторы

Есть что добавить?