Как найти площадь круга по вписанной фигуре - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Площадь круга: как найти, формулы

О чем эта статья:

площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение основных понятий

Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.

Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.

Формула вычисления площади круга

Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!

Площадь круга через радиус

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.

Площадь круга через диаметр

S = d 2 : 4 × π, где d — это диаметр.

Площадь круга через длину окружности

S = L 2 : (4 × π), где L — это длина окружности.

Популярные единицы измерения площади:

квадратный миллиметр (мм 2 );
квадратный сантиметр (см 2 );
квадратный дециметр (дм 2 );
квадратный метр (м 2 );
квадратный километр (км 2 );
гектар (га).

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Задачи. Определить площадь круга

Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!

Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.

Диаметр окружности равен двум радиусам.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.

Ответ: 113,04 см 2 .

Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.

Ответ: 6358,5 мм 2 .

Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.

Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.

Получается: L = d × π.

Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.

Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.

Ответ: 18,84 см 2 .

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac<1><2>ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Быстро найти формулу для расчета онлайн.

Условие задачи:

Прямоугольный треугольник АВС вписан в окружность Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью, если размер клеток составляет 1см на 1см.

Дано:
Размер клетки, = 1 см на 1 см

Пояснение к рисунку:
O — центр окружности
К — вершина прямого угла, достроенного прямоугольного треугольника
D — диаметр описанной окружности
c — гипотенуза треугольника

Найти площадь круга: S

Суть всего решения сводится к тому, что:
— первое , достроенный треугольник АСК, имеет смежную гипотенузу с треугольником АВС и является также вписанным в окружность и прямоугольным. А у этого треугольника мы можем уже точно определить его катеты АК=13клеток=13см и КС=5клеток=5см.
— второе , как известно, если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза равна диаметру окружности. Это так же видно и из чертежа.

Для определения площади круга, используем следующую формулу через диаметр, который необходимо найти.

А как уже было сказано выше, диаметр окружности равен гипотенузе.

По теореме Пифагора, находим гипотенузу, т. е. диаметр окружности.

Подставляем полученное выражение в формулу площади круга.

Вставляем значения и вычисляем результат.

Результат получился приблизительным, потому что число π нельзя выразить точно, оно имеет бесконечное количество знаков после запятой. В данном случаи, мы взяли π ≈ 3.14

источники:

http://colibrus.ru/treugolnik-vpisannyy-v-okruzhnost/

http://www-formula.ru/81-zadachi/area/list-circle/circle

Источник

Расчёт площади круга по площади квадрата вписанного в этот круг

Калькулятор рассчитывает площадь круга по площади квадрата вписанного в этот круг.

Введите площадь квадрата S_кв

Формула площади круга по площади квадрата вписанного в этот круг

Где S_кр — площадь круга,
S_кв — площадь квадрата,
π=3.14

Вывод формулы площади круга по площади квадрата вписанного в этот круг

Из формулы площади квадрата выведем сторону квадрата

По теореме пифагора зная два катета найдём гипотенузу, она же является диаметром окружности

Подставим в формулу площади круга выведенный ранее диаметр

Похожие калькуляторы

Источник

Как найти площадь круга? Сначала найдите радиус. Учитесь решать простые и сложные задачи.

Содержание

Площадь круга: формула через радиус, диаметр, длину окружности, примеры решения задач
- Формула нахождения площади круга через радиус:
- Формула нахождения S-площади круга через D-диаметр:
- Нахождение S круга, если известна длина окружности:
Площадь круга, вписанного в квадрат: формула, примеры решения задач
- Задача №1: Известна сторона квадратной фигуры, которая равна 6 сантиметров. Найдите S-площадь вписанной окружности.
- Задача №2: Найдите S круга, вписанного в квадратную фигуру и его радиус, если одна сторона равна a=4 см.
Площадь круга, описанного около квадрата: формула, примеры решения задач
Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула, примеры решения задач
Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задач
Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задач
Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула, примеры решения задач
Видео: Математика | Вычисление площадей круга и его частей

Круг — это замкнутая кривая. Любая точка на линии окружности будет находиться на одинаковом расстоянии от центральной точки. Круг — это плоская фигура, поэтому решать задачи с нахождением площади просто. В этой статье мы рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в треугольник, трапецию, квадрат, и описанного около этих фигур.

Площадь круга: формула через радиус, диаметр, длину окружности, примеры решения задач

Чтобы найти площадь данной фигуры, нужно знать, что такое радиус, диаметр и число π.

Площадь круга: формула через радиус, диаметр, длину окружности, примеры решения задач

Радиус R — это расстояние, ограниченное центром окружности. Длины всех R-радиусов одной окружности будут равными.

Диаметр D — это линия между двумя любыми точками окружности, которая проходит через центральную точку. Длина этого отрезка равна длине R-радиуса, умноженной на 2.

Число π — это неизменная величина, которая равна 3,1415926. В математике обычно это число округляется до 3,14.

Формула нахождения площади круга через радиус:

Площадь круга: формула через радиус

Примеры решения заданий по нахождению S-площади круга через R-радиус:

————————————————————————————————————————

Задача: Найдите площадь окружности, если ее радиус равен 7 см.

Решение: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 см².

Ответ: Площадь окружности равна 153,86 см².

Формула нахождения S-площади круга через D-диаметр:

Площадь круга: формула через диаметр

Примеры решения заданий по нахождению S, если известен D:

————————————————————————————————————————-

Задача: Найдите S круга, если его D равен 10 см.

Решение: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 см².

Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 78,5 см².

Нахождение S круга, если известна длина окружности:

Сначала находим, чему равен радиус. Длина окружности рассчитывается по формуле: L=2πR, соответственно радиус R будет равен L/2π. Теперь находим площадь круга по формуле через R.

Рассмотрим решение на примере задачи:

———————————————————————————————————————-

Задача: Найдите площадь круга, если известна длина окружности L — 12 см.

Решение: Сначала находим радиус: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

Теперь находим площадь через радиус: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 см².

Ответ: Площадь круга равна 11,46 см².

Площадь круга, вписанного в квадрат: формула, примеры решения задач

Найти площадь круга, вписанного в квадрат просто. Сторона квадрата — это диаметр круга. Чтобы найти радиус, нужно сторону разделить на 2.

Формула нахождения площади круга, вписанного в квадрат:

Площадь круга, вписанного в квадрат: формула

Примеры решения задач по нахождению площади круга, вписанного в квадрат:

———————————————————————————————————————

Задача №1: Известна сторона квадратной фигуры, которая равна 6 сантиметров. Найдите S-площадь вписанной окружности.

Решение: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 см².

Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 28,26 см².

————————————————————————————————————————

Задача №2: Найдите S круга, вписанного в квадратную фигуру и его радиус, если одна сторона равна a=4 см.

Решайте так: Сначала найдем R=a/2=4/2=2 см.

Теперь найдем площадь окружности S=3,14*2²=3,14*4=12,56 см².

Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 12,56 см².

Площадь круга, описанного около квадрата: формула, примеры решения задач

Немного сложнее находить площадь круглой фигуры, описанной около квадрата. Но, зная формулу, можно быстро подсчитать данное значение.

Формула нахождения S круга, описанного около квадратной фигуры:

Площадь круга, описанного около квадрата: формула

Примеры решения заданий по нахождению площади окружности, описанной около квадратной фигуры:

Задача

Площадь круга, описанного около квадрата: примеры решения задач

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула, примеры решения задач

Окружность, которая вписана в треугольную фигуру — это круг, который касается всех трех сторон треугольника. В любую треугольную фигуру можно вписать круг, но только один. Центром круга будет точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Формула нахождения площади круга, вписанного в равнобедренный треугольник:

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула

Когда будет известен радиус, площадь можно вычислить по формуле: S=πR².

Формула нахождения площади круга, вписанного в прямоугольный треугольник:

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник

Примеры решения заданий:

Задача №1

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: примеры решения задач

Если в этой задаче нужно найти еще и площадь круга с радиусом 4 см, то сделать это можно по формуле: S=πR²

Задача №2

Площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник: примеры решения задач

Решение:

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: примеры

Теперь, когда известен радиус, можно найти площадь круга через радиус. Формулу смотрите выше по тексту.

Задача №3

Площадь круга, вписанного в треугольник: примеры решения задач

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задач

Все формулы по нахождению площади круга сводятся к тому, что сначала нужно найти его радиус. Когда известен радиус, то найти площадь просто, как было описано выше.

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника находится по такой формуле:

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула

Примеры решения задач:

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: примеры решения задач

Вот еще пример решения задачи с использованием формулы Герона.

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: примеры

Решать подобные задачи сложно, но их можно осилить, если знать все формулы. Такие задачи школьники решают в 9 классе.

Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задач

У равнобедренной трапеции две стороны равны. У прямоугольной трапеции один угол равен 90º. Рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию на примере решения задач.

Например, в равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит одну сторону на отрезки m и n.

Для решения этой задачи нужно использовать такие формулы:

Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула

Нахождение площади окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, производится по следующей формуле:

Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию

Если известна боковая сторона, то можно найти радиус через это значение. Высота боковой стороны трапеции равна диаметру окружности, а радиус — это половина диаметра. Соответственно, радиус равен R=d/2.

Примеры решения задач:

Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: примеры решения задач

Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула, примеры решения задач

Трапецию можно вписать в окружность, когда сумма ее противолежащих углов равна 180º. Поэтому вписать можно только равнобокую трапецию. Радиус для вычисления площадь круга, описанного около прямоугольной или равнобедренной трапеции, рассчитывается по таким формулам:

Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула, примеры решения задач

Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула

Примеры решения задач:

Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: примеры решения задач

Решение: Большое основание в данном случае проходит через центр, так как в окружность вписана равнобедренная трапеция. Центр делит это основание ровно пополам. Если основание АВ равно 12, тогда радиус R можно найти так: R=12/2=6.

Ответ: Радиус равен 6.

В геометрии важно знать формулы. Но все их невозможно запомнить, поэтому даже на многих экзаменах разрешается пользоваться специальным формуляром. Однако важно уметь находить правильную формулу для решения той или иной задачи. Тренируйтесь в решении разных задач на нахождение радиуса и площади окружности, чтобы уметь правильно подставлять формулы и получать точные ответы.

Видео: Математика | Вычисление площадей круга и его частей

Источник

Условие задачи:

Равносторонний треугольник со стороной 1 м вписан в окружность. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Дано:
Сторона треугольника, a = 1 м

Пояснение к рисунку:
O — центр окружности
R — радиус описанной окружности

Найти площадь круга: S

Решение

Используем формулу площади круга через радиус. Но пока он нам не известен, его надо найти.

Определить радиус, нам поможет следующая формула. В ней радиус окружности выражен через сторону вписанного треугольника.

Подставим радиус выраженный через сторону и преобразовав, получим следующие выражение.

Подставим значения.

Ответ:

Калькулятор для расчета площади круга

Подробности

Опубликовано: 15 сентября 2017

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

В данной статье речь пойдёт о том, как выразить площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, через радиус этой окружности. Сразу стоит отметить, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Однако, если это возможно, то формула, по которой вычисляется площадь такого многоугольника, становится очень простой. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите прилагающийся видеоурок, и вы узнаете, как же выразить площадь многоугольника через радиус вписанной в него окружности.

Формула площади многоугольника через радиус вписанной окружности

Нарисуем многоугольник A₁A₂A₃A₄A₅, не обязательно правильный, но такой, в который можно вписать окружность. Напомню, что вписанной называется окружность, которая касается всех сторон многоугольника. На рисунке это зелёная окружность с центром в точке O:

Мы взяли здесь для примера 5-угольник. Но на самом деле это не имеет существенного значения, поскольку дальнейшее доказательство справедливо и для 6-угольника и для 8-угольника и вообще для любого сколь угодно «угольника».

Если соединить центр вписанной окружности со всеми вершинами многоугольника, то он разобьётся на столько треугольников, сколько вершин в данном многоугольнике. В нашем случае: на 5 треугольников. Если же соединить точку O со всеми точками касания вписанной окружности со сторонами многоугольника, то получится 5 отрезков (на рисунке снизу это отрезки OH₁, OH₂, OH₃, OH₄ и OH₅), которые равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам многоугольника, к которым они проведены. Последнее справедливо, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной:

Как же найти площадь нашего описанного многоугольника? Ответ прост. Нужно сложить площади всех полученных в результате разбиения треугольников:

$[ S = S_{OA_1A_2}+S_{OA_2A_3}+S_{OA_3A_4}+S_{OA_4A_5}+S_{OA_5A_1}. ]$

Рассмотрим, чему равна площадь треугольника $S_{OA_1A_2}$ . На рисунке снизу он выделен жёлтым цветом:

Она равна половине произведения основания A₁A₂ на высоту OH₁, проведённую к этому основанию. Но, как мы уже выяснили, эта высота равна радиусу вписанной окружности. То есть формула площади треугольника принимает вид: $S=frac{1}{2}rcdot A_1A_2$ , где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находятся площади всех оставшихся треугольников. В результате искомая площадь многоугольника оказывается равна:

$[ S = frac{1}{2}rcdot A_1A_2 + frac{1}{2}rcdot A_2A_3+ ]$

$[ +frac{1}{2}rcdot A_3A_4+frac{1}{2}rcdot A_4A_5+frac{1}{2}rcdot A_5A_1. ]$

Видно, что во всех слагаемых этой суммы ест общий множитель $frac{1}{2}r$ , который можно вынести за скобки. В результате получится вот такое выражение:

$[ S = frac{1}{2}rleft(A_1A_2 +A_2A_3 +A_3A_4 +A_4A_5 +A_5A_1right). ]$

То есть в скобках осталась просто сумма всех сторон многоугольника, то есть его периметр P. Чаще всего в этой формуле выражение $frac{1}{2}P$ заменяют просто на p и называют эту букву «полупериметром». В результате, окончательная формула принимает вид:

То есть площадь многоугольника, в который вписана окружность известного радиуса, равна произведению этого радиуса на полупериметр многоугольника. Это и есть тот результат, в которому мы стремились.

Отметит напоследок, что в треугольник, который является частным случаем многоугольника, всегда можно вписать окружность. Поэтому для треугольника эту формулу можно применять всегда. Для остальных многоугольников, с количеством сторон большим 3, сперва нужно убедиться, что в них можно вписать окружность. Если это так, можно смело использовать эту простую формулу и находить по ней площадь этого многоугольника.

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич

Источник