Как найти площадь круга вписанного в прямоугольник - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти площадь круга? Сначала найдите радиус. Учитесь решать простые и сложные задачи.

Содержание

Площадь круга: формула через радиус, диаметр, длину окружности, примеры решения задач
- Формула нахождения площади круга через радиус:
- Формула нахождения S-площади круга через D-диаметр:
- Нахождение S круга, если известна длина окружности:
Площадь круга, вписанного в квадрат: формула, примеры решения задач
- Задача №1: Известна сторона квадратной фигуры, которая равна 6 сантиметров. Найдите S-площадь вписанной окружности.
- Задача №2: Найдите S круга, вписанного в квадратную фигуру и его радиус, если одна сторона равна a=4 см.
Площадь круга, описанного около квадрата: формула, примеры решения задач
Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула, примеры решения задач
Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задач
Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задач
Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула, примеры решения задач
Видео: Математика | Вычисление площадей круга и его частей

Круг — это замкнутая кривая. Любая точка на линии окружности будет находиться на одинаковом расстоянии от центральной точки. Круг — это плоская фигура, поэтому решать задачи с нахождением площади просто. В этой статье мы рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в треугольник, трапецию, квадрат, и описанного около этих фигур.

Площадь круга: формула через радиус, диаметр, длину окружности, примеры решения задач

Чтобы найти площадь данной фигуры, нужно знать, что такое радиус, диаметр и число π.

Площадь круга: формула через радиус, диаметр, длину окружности, примеры решения задач

Радиус R — это расстояние, ограниченное центром окружности. Длины всех R-радиусов одной окружности будут равными.

Диаметр D — это линия между двумя любыми точками окружности, которая проходит через центральную точку. Длина этого отрезка равна длине R-радиуса, умноженной на 2.

Число π — это неизменная величина, которая равна 3,1415926. В математике обычно это число округляется до 3,14.

Формула нахождения площади круга через радиус:

Площадь круга: формула через радиус

Примеры решения заданий по нахождению S-площади круга через R-радиус:

————————————————————————————————————————

Задача: Найдите площадь окружности, если ее радиус равен 7 см.

Решение: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 см².

Ответ: Площадь окружности равна 153,86 см².

Формула нахождения S-площади круга через D-диаметр:

Площадь круга: формула через диаметр

Примеры решения заданий по нахождению S, если известен D:

————————————————————————————————————————-

Задача: Найдите S круга, если его D равен 10 см.

Решение: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 см².

Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 78,5 см².

Нахождение S круга, если известна длина окружности:

Сначала находим, чему равен радиус. Длина окружности рассчитывается по формуле: L=2πR, соответственно радиус R будет равен L/2π. Теперь находим площадь круга по формуле через R.

Рассмотрим решение на примере задачи:

———————————————————————————————————————-

Задача: Найдите площадь круга, если известна длина окружности L — 12 см.

Решение: Сначала находим радиус: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

Теперь находим площадь через радиус: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 см².

Ответ: Площадь круга равна 11,46 см².

Площадь круга, вписанного в квадрат: формула, примеры решения задач

Найти площадь круга, вписанного в квадрат просто. Сторона квадрата — это диаметр круга. Чтобы найти радиус, нужно сторону разделить на 2.

Формула нахождения площади круга, вписанного в квадрат:

Площадь круга, вписанного в квадрат: формула

Примеры решения задач по нахождению площади круга, вписанного в квадрат:

———————————————————————————————————————

Задача №1: Известна сторона квадратной фигуры, которая равна 6 сантиметров. Найдите S-площадь вписанной окружности.

Решение: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 см².

Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 28,26 см².

————————————————————————————————————————

Задача №2: Найдите S круга, вписанного в квадратную фигуру и его радиус, если одна сторона равна a=4 см.

Решайте так: Сначала найдем R=a/2=4/2=2 см.

Теперь найдем площадь окружности S=3,14*2²=3,14*4=12,56 см².

Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 12,56 см².

Площадь круга, описанного около квадрата: формула, примеры решения задач

Немного сложнее находить площадь круглой фигуры, описанной около квадрата. Но, зная формулу, можно быстро подсчитать данное значение.

Формула нахождения S круга, описанного около квадратной фигуры:

Площадь круга, описанного около квадрата: формула

Примеры решения заданий по нахождению площади окружности, описанной около квадратной фигуры:

Задача

Площадь круга, описанного около квадрата: примеры решения задач

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула, примеры решения задач

Окружность, которая вписана в треугольную фигуру — это круг, который касается всех трех сторон треугольника. В любую треугольную фигуру можно вписать круг, но только один. Центром круга будет точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Формула нахождения площади круга, вписанного в равнобедренный треугольник:

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула

Когда будет известен радиус, площадь можно вычислить по формуле: S=πR².

Формула нахождения площади круга, вписанного в прямоугольный треугольник:

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник

Примеры решения заданий:

Задача №1

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: примеры решения задач

Если в этой задаче нужно найти еще и площадь круга с радиусом 4 см, то сделать это можно по формуле: S=πR²

Задача №2

Площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник: примеры решения задач

Решение:

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: примеры

Теперь, когда известен радиус, можно найти площадь круга через радиус. Формулу смотрите выше по тексту.

Задача №3

Площадь круга, вписанного в треугольник: примеры решения задач

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задач

Все формулы по нахождению площади круга сводятся к тому, что сначала нужно найти его радиус. Когда известен радиус, то найти площадь просто, как было описано выше.

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника находится по такой формуле:

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула

Примеры решения задач:

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: примеры решения задач

Вот еще пример решения задачи с использованием формулы Герона.

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: примеры

Решать подобные задачи сложно, но их можно осилить, если знать все формулы. Такие задачи школьники решают в 9 классе.

Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задач

У равнобедренной трапеции две стороны равны. У прямоугольной трапеции один угол равен 90º. Рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию на примере решения задач.

Например, в равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит одну сторону на отрезки m и n.

Для решения этой задачи нужно использовать такие формулы:

Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула

Нахождение площади окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, производится по следующей формуле:

Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию

Если известна боковая сторона, то можно найти радиус через это значение. Высота боковой стороны трапеции равна диаметру окружности, а радиус — это половина диаметра. Соответственно, радиус равен R=d/2.

Примеры решения задач:

Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: примеры решения задач

Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула, примеры решения задач

Трапецию можно вписать в окружность, когда сумма ее противолежащих углов равна 180º. Поэтому вписать можно только равнобокую трапецию. Радиус для вычисления площадь круга, описанного около прямоугольной или равнобедренной трапеции, рассчитывается по таким формулам:

Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула, примеры решения задач

Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула

Примеры решения задач:

Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: примеры решения задач

Решение: Большое основание в данном случае проходит через центр, так как в окружность вписана равнобедренная трапеция. Центр делит это основание ровно пополам. Если основание АВ равно 12, тогда радиус R можно найти так: R=12/2=6.

Ответ: Радиус равен 6.

В геометрии важно знать формулы. Но все их невозможно запомнить, поэтому даже на многих экзаменах разрешается пользоваться специальным формуляром. Однако важно уметь находить правильную формулу для решения той или иной задачи. Тренируйтесь в решении разных задач на нахождение радиуса и площади окружности, чтобы уметь правильно подставлять формулы и получать точные ответы.

Видео: Математика | Вычисление площадей круга и его частей

Источник

Given a semicircle with radius R, which inscribes a rectangle of length L and breadth B, which in turn inscribes a circle of radius r. The task is to find the area of the circle with radius r.
Examples:

Input : R = 2
Output : 1.57

Input : R = 5
Output : 9.8125

Approach:

We know the biggest rectangle that can be inscribed within the semicircle has, length, l=√2R/2 &
breadth, b=R/√2(Please refer)
Also, the biggest circle that can be inscribed within the rectangle has radius, r=b/2=R/2√2(Please refer)
So area of the circle, A=π*r^2=π(R/2√2)^2

C++

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

float area(float r)

{

if (r < 0)

return -1;

float area = 3.14 * pow(r / (2 * sqrt(2)), 2);

return area;

}

int main()

{

float a = 5;

cout << area(a) << endl;

return 0;

}

Java

import java.io.*;

class GFG {

static float area(float r)

{

if (r < 0)

return -1;

float area = (float)(3.14 * Math.pow(r / (2 * Math.sqrt(2)), 2));

return area;

}

public static void main (String[] args) {

float a = 5;

System.out.println( area(a));

}

Python3

from math import pow, sqrt

def area(r):

if (r < 0):

return -1

area = 3.14 * pow(r / (2 * sqrt(2)), 2);

return area;

if __name__ == '__main__':

a = 5

print("{0:.6}".format(area(a)))

using System;

class GFG

{

static float area(float r)

{

if (r < 0)

return -1;

float area = (float)(3.14 * Math.Pow(r /

(2 * Math.Sqrt(2)), 2));

return area;

}

static public void Main (String []args)

{

float a = 5;

Console.WriteLine(area(a));

}

PHP

<?php

function area($r)

{

if ($r < 0)

return -1;

$area = 3.14 * pow($r /

(2 * sqrt(2)), 2);

return $area;

}

$a = 5;

echo area($a);

Javascript

<script>

function area(r)

{

if (r < 0)

return -1;

var area = (3.14 * Math.pow(r / (2 * Math.sqrt(2)), 2));

return area;

}

var a = 5;

document.write( area(a).toFixed(6));

</script>

Time Complexity: O(1)

Auxiliary Space: O(1)

Источник

Расчёт площади круга вписанного в правильный многоугольник, по стороне и количеству вершин многоугольника

Калькулятор рассчитывает площадь круга вписанного в правильный многоугольник, по стороне и количеству вершин многоугольника.

Введите количество вершин многоугольника n

Введите длину стороны многоугольника a

Формула площади круга вписанного в правильный многоугольник, по стороне и количеству вершин многоугольника

Где a — сторона многоугольника,
n — количество вершин многоугольника,
π=3.14

Вывод формулы площади круга вписанного в правильный многоугольник, по стороне и количеству вершин многоугольника

Т.к. треугольник AOC равнобедренный AO=OC. BO будет высотой этого треугольника и равна радиусу окружности BO=R.

Из прямоугольного треугольника ABO зная AB и угол α можем выразить BO.

Подставим полученный радиус в формулу площади окружности

Похожие калькуляторы

Источник

Несложная задача,вперед!

Задачи подобного типа решаются следующим образом:

Находим диаметр описанного круга – он равен диагонали вписанного прямоугольника АС. По теореме Пифагора находим для прямоугольника сторону ВС^2 =(1^2+1^2)*(3^2)=18 и затем диагональ АС^2 = АВ^2+ВС^2= 1+18 = 19. Следовательно, диаметр круга в квадрате D^2 = 19.
Теперь ищем площадь круга: S = pi*(R^2) = pi*(D^2)/4 = pi*19/4.
Ответ нужно дать в виде S/pi – приводим решение к нужному виду:

S/pi = 19/4 = 4 3/4 = 4,75 – я не знаю, какую форму записи требуют в ответе, поэтому привожу три варианта.

Знаете ответ?

Смотрите также:

Что такое равновеликие фигуры (куб, квадрат, многоугольник)?

Для чего нужна математика, геометрия, физика в программировании?

Как найти вписанный угол ACB, если дуга BC составляет 80 градусов?

Как найти длину отрезка BD, если SO = 35, SD = 37?

Как найти величину угла OAB, если угол OCD равен 30 градусам?

По каким учебникам изучают математику израильские школьники?

Как решить: В четырехугольнике АВСD противоположные стороны не параллельны?

Диагональ АС параллелограмма АВСD 21, от верш. В до диаг. 12. Чему равна S?

Как найти площадь треугольника ABM (см.)?

В угол с вершиной D вписана окружность с центром O, которая касается…?

Источник

Как найти площадь круга? У меня этот вопрос встал очень остро на экзамене по физике в университете, когда я решал одну из задач. Память человека вещь непредсказуемая, сегодня ты помнишь все до мелочей, а завтра это все уже выветрилось из головы. И благо если это была глупость какая, а если нет? Если это день рождения жены или тещи, пароль аккаунта в контакте, или площадь круга. Как это было в моем случае.

Здравствуйте дорогие друзья, меня зовут Валентин Анатольевич, и сегодня мы вычисляем площадь круга 3 способами. Точнее способ будет один, это формула , но вот варианты ее получения будут различны.

Честно говоря, я уже и не помню правильно или нет решил ту задачу, я даже не помню, что это была за задача. Но сам момент того, как выполняя промежуточные расчеты я интегрировал уравнение окружности, чтоб получить казалось бы, простейшую формулу из школьной программы… сильно врезался в память
Итак, первый способ у нас будет от студентов физико-математических факультетов.

Интегрирование.

1. Берем уравнение окружности. Для тех, кто не знает его легко получить из теоремы Пифагора, заменив там катеты на координаты x и y, а за гипотенузу приняв радиус R. Конечно, при условии, что центр окружности будет находится на пересечении координатных осей.

К счастью, это я помнил.
2. Выражаем y.

$[y=sqrt{R^2-x^2}]$

3. Если вычислить определенный интеграл для значений x от 0 до R, мы получим площадь одной четверти круга.

$[frac{1}{4}S=intlimits_0^R sqrt{R^2-x^2},dx]$

Соответственно, чтоб получить всю площадь, нам необходимо будет все это безобразие до множить на 4.

$[S=4intlimits_0^R sqrt{R^2-x^2},dx]$

4. Давайте выполним замену переменной, и представим x как . Тогда: .
5. Найдем пределы интегрирования. Для этого необходимо в наше уравнение замены переменной подставить значения x и вычислить чему будет равно t при этих значениях. Получаем промежуток от 0 до $frac{pi}{2}$ .
6. Итак запишем нашу формулу:

$[S=4intlimits_0^{frac{pi}{2}} sqrt{R^2-R^2sin^2t},R cos tdt]$

7. Сделаем еще кое какие математические преобразования и вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона -Лейбница.

$[sqrt{R^2-R^2sin^2t}=Rsqrt{1-sin^2t}=Rsqrt{cos^2t}=R cos t]$

$[S=4R^2intlimits_0^{frac{pi}{2}} cos^2t dt = 4R^2intlimits_0^{frac{pi}{2}} frac{1}{2}}(1+ 2cos{2t}) dt = 2R^2(intlimits_0^{frac{pi}{2}} dt + intlimits_0^{frac{pi}{2}} cos 2t dt) =]$

$[= 2R^2 (Bigl. t Bigr|_0^{frac{pi}{2}} + Bigl. frac{1}{2} sin 2t Bigr|_0^{frac{pi}{2}})= 2R^2 (frac{pi}{2} - 0 + frac{1}{2} sin {pi} - frac{1}{2} sin 0 ) = pi R^2]$

Готово!!! В принципе, не так сложно если не впадать в ступор при виде синусов и косинусов, а также уметь интегрировать.

Но вот вопрос. Люди умели находить с большой точностью площадь круга и до интегрального исчисления. Поэтому давайте попробуем обойтись интегралов.

Площадь прямоугольника

Условно, можно сказать, что площадь — это количество квадратиков, со стороной в единицу помещающихся в данной фигуре. К примеру, кухня в хрущевке имеет размеры 2 на 3 метра. Перемножаем длину на ширину и получаем площадь 6 квадратных метров. То есть если у нас имеется 6 квадратных кусков линолеума, со стороной в 1 метр, мы ими полностью без остатка, покроем весь пол.

Прямоугольную кухню легко разбить на квадраты, но что делать если у нас круг? Скажем круглый кусок сыра.
Любой старший прапорщик, обладая не дюжей армейской смекалкой вам скажет, что нужно в таком случае из круга сделать прямоугольник. И он окажется прав. Почему? По тому что старший прапорщик всегда прав.
В общем метод номер два. Метод старших прапорщиков.

Перегруппировка

Делим круг на восемь равных секторов и совмещаем друг с другом.

Отдаленно напоминает прямоугольник? Нет? Отжимаемся восемь раз, и делим еще.

Если секторов будет бесконечно много, то в таком случае, искривления их дуг будут незначительны. А это значит мы получим уже треугольники.
Опять совместим их друг с другом как и в первом случае. И у нас уже идеальный прямоугольник, с шириной равной радиусу , и длиной в половину длины окружности, то есть .
Перемножаем получаем:

Если внимательно посмотреть на полученную формулу мы увидим, что с её помощью можно найти площадь прямоугольного треугольника с основанием равным длине окружности и высотой равной ее радиусу.

Равенство площадей такого треугольника и круга доказывал Архимед, в своей работе о площадях круга.
Я не буду приводить здесь доказательство этой теоремы, скажу только, что Архимед использовал многоугольники. Один вписанный в окружность, а другой описанный вокруг нее. Площадь круга находилась где-то между площадями этих многоугольников, причем при увеличении сторон, их площади приближались друг к другу, а значит приближались и к площади круга.
Но все же как получить из круга треугольник? Давайте воспользуемся методом неделимых Бонавентуры Кавальери.

Метод неделимых

Представим, что наш круг состоит из бесконечно большого числа окружностей, толщина линий которых стремится к нулю. Если развернуть эти окружности в отрезки и сложить друг на друга стопкой, мы получим треугольник с основанием равным длине большей окружности, то есть и высотой равной радиусу.
Площадь треугольника как известно это половина произведения основания на высоту.
Или в нашем случае .

Те, кто внимательно слушал, наверно помнят, что в теореме Архимеда говорится о прямоугольном треугольнике. Но его довольно легко получить сместив наши отрезки к левому или правому краю. К слову, так легким движением мы докажем еще одну теорему из школьной геометрии. Если знаете какую, пишите в комментариях.
Так же можете написать, как старшие прапорщики находят объем шара, или как бы с этой задачей справился Бонавентура Кавальери.
А я с вами прощаюсь, желаю счастья и до скорых встреч.

Источник