Improve Article
Save Article
Like Article
Improve Article
Save Article
Like Article
Given a rhombus with diagonals a and b, which contains an inscribed circle. The task is to find the area of that circle in terms of a and b.
Examples:
Input: l = 5, b = 6
Output: 11.582Input: l = 8, b = 10
Output: 30.6341
Approach: From the figure, we see, the radius of inscribed circle is also a height h=OH of the right triangle AOB. To find it, we use equations for triangle’s area :
Area AOB = 1/2 * (a/2) * (b/2) = ab/8 = 12ch
where c = AB i.e. a hypotenuse. So,
r = h = ab/4c = ab/4√(a^2/4 + b^2/4) = ab/2√(a^2+b^2)
and therefore area of the circle is
A = Π * r^2 = Π a^2 b^2 /4(a2 + b2)
Below is the implementation of above approach:
C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
float circlearea(float a, float b)
{
if (a < 0 || b < 0)
return -1;
float A = (3.14 * pow(a, 2) * pow(b, 2))
/ (4 * (pow(a, 2) + pow(b, 2)));
return A;
}
int main()
{
float a = 8, b = 10;
cout << circlearea(a, b) << endl;
return 0;
}
Java
public class GFG {
public static float circlearea(double a, double b)
{
if (a < 0 || b < 0)
return -1 ;
float A = (float) ((3.14 * Math.pow(a, 2) * Math.pow(b, 2))
/ (4 * (Math.pow(a, 2) + Math.pow(b, 2)))) ;
return A ;
}
public static void main(String[] args) {
float a = 8, b = 10 ;
System.out.println(circlearea(a, b));
}
}
Python 3
def circlearea(a, b):
if (a < 0 or b < 0):
return -1
A = ((3.14 * pow(a, 2) * pow(b, 2))/
(4 * (pow(a, 2) + pow(b, 2))))
return A
if __name__ == "__main__":
a = 8
b = 10
print( circlearea(a, b))
C#
using System;
public class GFG {
public static float circlearea(double a, double b)
{
if (a < 0 || b < 0)
return -1 ;
float A = (float) ((3.14 * Math.Pow(a, 2) * Math.Pow(b, 2))
/ (4 * (Math.Pow(a, 2) + Math.Pow(b, 2)))) ;
return A ;
}
public static void Main() {
float a = 8, b = 10 ;
Console.WriteLine(circlearea(a, b));
}
}
PHP
<?php
function circlearea($a, $b)
{
if ($a < 0 || $b < 0)
return -1;
$A = (3.14 * pow($a, 2) * pow($b, 2)) /
(4 * (pow($a, 2) + pow($b, 2)));
return $A;
}
$a = 8; $b = 10;
echo circlearea($a, $b);
?>
Javascript
<script>
function circlearea(a , b)
{
if (a < 0 || b < 0)
return -1 ;
var A = ((3.14 * Math.pow(a, 2) * Math.pow(b, 2))
/ (4 * (Math.pow(a, 2) + Math.pow(b, 2)))) ;
return A ;
}
var a = 8, b = 10 ;
document.write(circlearea(a, b).toFixed(4));
</script>
Time Complexity: O(1), as calculating squares using pow function is a constant time operation.
Auxiliary Space: O(1), as no extra space is required
Last Updated :
25 Sep, 2022
Like Article
Save Article
Размещено 4 года назад по предмету
Геометрия
от депешмод
-
Ответ на вопрос
Ответ на вопрос дан
Ivanna2013S= 8*8*sin30=32
S=pr
r=S/p
r=32/16=2
S=пrr=п*2*2=4п=12,56
-
Ответ на вопрос
Ответ на вопрос дан
dtnthПлощадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны на синус угла между его сторонами
Периметр ромба равен
Полупериметр равен
Радиус вписанной окружности равен
Площадь круга равна
Не тот ответ на вопрос, который вам нужен?
Найди верный ответ
Самые новые вопросы
Математика — 3 года назад
Сколько здесь прямоугольников
История — 3 года назад
Какое управление было в древнейшем риме? как звали первого и последнего из царей рима?
Литература — 3 года назад
Уроки французского ответе на вопрос : расскажите о герое по следующему примерному плану: 1.почему мальчик оказался в райцентре ? 2.как он чувствовал себя на новом месте? 3.почему он не убежал в деревню? 4.какие отношения сложились у него с товарищами? 5.почему он ввязался в игру за деньги? 6.как характеризуют его отношения с учительницей ? ответе на эти вопросы пожалуйста ! сочините сочинение пожалуйста
Русский язык — 3 года назад
Помогите решить тест по русскому языку тест по русскому языку «местоимение. разряды местоимений» для 6 класса
1. укажите личное местоимение:
1) некто
2) вас
3) ни с кем
4) собой
2. укажите относительное местоимение:
1) кто-либо
2) некоторый
3) кто
4) нам
3. укажите вопросительное местоимение:
1) кем-нибудь
2) кем
3) себе
4) никакой
4. укажите определительное местоимение:
1) наш
2) который
3) некий
4) каждый
5. укажите возвратное местоимение:
1) свой
2) чей
3) сам
4) себя
6. найдите указательное местоимение:
1) твой
2) какой
3) тот
4) их
7. найдите притяжательное местоимение:
1) самый
2) моего
3) иной
4) ничей
8. укажите неопределённое местоимение:
1) весь
2) какой-нибудь
3) любой
4) этот
9. укажите вопросительное местоимение:
1) сколько
2) кое-что
3) она
4) нами
10. в каком варианте ответа выделенное слово является притяжательным местоимением?
1) увидел их
2) её нет дома
3) её тетрадь
4) их не спросили
Русский язык — 3 года назад
Переделай союзное предложение в предложение с бессоюзной связью.
1. океан с гулом ходил за стеной чёрными горами, и вьюга крепко свистала в отяжелевших снастях, а пароход весь дрожал.
2. множество темноватых тучек, с неясно обрисованными краями, расползались по бледно-голубому небу, а довольно крепкий ветер мчался сухой непрерывной струёй, не разгоняя зноя
3. поезд ушёл быстро, и его огни скоро исчезли, а через минуту уже не было слышно шума
Русский язык — 3 года назад
помогите прошу!перепиши предложения, расставляя недостающие знаки препинания. объясни, что соединяет союз и. если в предложении один союз и, то во втором выпадающем списке отметь «прочерк».пример:«я шёл пешком и,/поражённый прелестью природы/, часто останавливался».союз и соединяет однородные члены.ночь уже ложилась на горы (1) и туман сырой (2) и холодный начал бродить по ущельям.союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2) однородные членычасти сложного предложения—.поэт — трубач зовущий войско в битву (1) и прежде всех идущий в битву сам (ю. янонис).союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2)
Физика — 3 года назад
Вокруг прямого проводника с током (смотри рисунок) существует магнитное поле. определи направление линий этого магнитного поля в точках a и b.обрати внимание, что точки a и b находятся с разных сторон от проводника (точка a — снизу, а точка b — сверху). рисунок ниже выбери и отметь правильный ответ среди предложенных.1. в точке a — «от нас», в точке b — «к нам» 2. в точке a — «к нам», в точке b — «от нас» 3. в обеих точках «от нас»4. в обеих точках «к нам»контрольная работа по физике.прошу,не наугад важно
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба
Определение.
Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.
Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов.
Признаки ромба
Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):
АВ = ВС = СD = AD
2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:
AC┴BD
3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие её углы пополам:
∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC
4. Если все высоты равны:
BN = DL = BM = DK
5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:
Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO
6. Если в параллелограмм можно вписать круг.
Основные свойства ромба
2. Диагонали перпендикулярны:
AC┴BD
3. Диагонали являются биссектрисами его углов:
∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC
4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:
AC2 + BD2 = 4AB2
5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.
6. В любой ромб можно вписать окружность.
7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.
Сторона ромба
Формулы определения длины стороны ромба:
1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:
2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:
3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:
4. Формула стороны ромба через две диагонали:
5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):
6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:
7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:
8. Формула стороны ромба через периметр:
Диагонали ромба
Определение.
Диагональю ромба называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов ромба.
Ромб имеет две диагонали — длинную d1, и короткую — d2
Формулы определения длины диагонали ромба:
1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)
d1 = a√2 + 2 · cosα
d1 = a√2 — 2 · cosβ
2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)
d2 = a√2 + 2 · cosβ
d2 = a√2 — 2 · cosα
3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:
d1 = 2a · cos(α/2)
d1 = 2a · sin(β/2)
4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:
d2 = 2a · sin(α/2)
d2 = 2a · cos(β/2)
5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:
d1 = √4a2 — d22
d2 = √4a2 — d12
6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:
d1 = d2 · tg(β/2)
d2 = d1 · tg(α/2)
7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:
8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:
Периметр ромба
Определение.
Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.
Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.
Формула определения длины периметра ромба:
Формула периметра ромба через сторону ромба:
P = 4a
Площадь ромба
Определение.
Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах периметра ромба.
Формулы определения площади ромба:
1. Формула площади ромба через сторону и высоту:
S = a · ha
2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:
S = a2 · sinα
3. Формула площади ромба через сторону и радиус:
S = 2a · r
4. Формула площади ромба через две диагонали:
5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:
6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):
Окружность вписанная в ромб
Определение.
Кругом вписанным в ромб называется круг, который примыкает ко всем сторонам ромба и имеет центр на пересечении диагоналей ромба.
Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:
1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:
2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:
3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:
4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:
5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:
6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:
7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:
Окружность, вписанная в ромб
Ромб — это параллелограмм с четырьмя равными сторонами.
Квадрат — частный случай ромба; это ромб, все углы которого прямые.
Вписанная в ромб окружность — это окружность, которая лежит внутри ромба и касается всех его сторон.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Окружность можно вписать в многоугольник, у которого равны суммы противолежащих сторон. Ромб соответствует этому условию, поэтому в ромб можно вписать окружность.
Свойства ромба и вписанной окружности
- в любой ромб можно вписать окружность;
- точка пересечения диагоналей ромба является центром окружности, вписанной в ромб.
Как найти радиус, основные способы
Радиус вписанной окружности, если известны диагонали и сторона
Радиус r вписанной в ромб окружности равен произведению его диагоналей, деленному на периметр или на сторону, умноженную на 4.
Формула 1
(r=frac{d_1d_2}Р=frac{d_1d_2}{4a})
где r — радиус вписанной окружности,
d1 и d2 — диагонали ромба,
a — сторона ромба,
Р — периметр ромба.
У изображенного ромба АВСD сторона равна а. Большая диагональ BD равна (d_1), меньшая диагональ АС равна (d_2). Радиус вписанной окружности:
(r=frac{d_1d_2}{4a}=frac{BDcdot AC}{4cdot АВ}).
Если известны только диагонали ромба
Формула 2
(r=frac{d_1d_2}{2sqrt{left(d_1right)^2+left(d_2right)^2}})
где r — радиус вписанной окружности,
d1 и d2 — диагонали ромба.
Эту формулу можно получить из предыдущей.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, делятся точкой пересечения пополам, и разбивают ромб на четыре прямоугольных треугольника.
Рассмотрим один из таких треугольников — ΔАВО. Сторона ромба АВ является гипотенузой ΔАВО.
Если известны диагонали ромба BD, равная (d_1) и АС, равная (d_2), то катеты ВО и АО ΔАВО будут равны (frac{d_1}2) и (frac{d_2}2) соответственно.
Выразим гипотенузу АВ треугольника АВО через его катеты ВО и АО.
Согласно теореме Пифагора (АВ=sqrt{ВО^2+АО^2}=sqrt{left(frac{d_1}2right)^2+left(frac{d_2}2right)^2}).
Подставив в формулу (r=frac{d_1d_2}p=frac{d_1d_2}{4a}) значение (а=sqrt{left(frac{d_1}2right)^2+left(frac{d_2}2right)^2}) и упростив выражение,
получаем (r=frac{d_1d_2}{2sqrt{left(d_1right)^2+left(d_2right)^2}}).
Если известны сторона и угол
Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине произведения его стороны и синуса любого внутреннего угла ромба.
Формула 3
(r=frac{acdotsinalpha}2=frac{acdotsinbeta}2)
где r — радиус вписанной окружности,
α и β — внутренние углы ромба,
a — сторона ромба.
Если известна высота ромба
Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты.
Формула 4
(r=frac h2)
где r — радиус вписанной окружности,
h — высота ромба.
Из этой формулы следует, что высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности.
Если известны площадь ромба и его сторона
Формула 5
(r=frac S{2a}=frac Sр)
где r — радиус вписанной окружности,
S — площадь ромба,
a — сторона ромба,
р — полупериметр ромба.
Вычисление радиуса через отрезки m и n
Вписанная окружность касается стороны ромба. Точка касания делит сторону ромба на два отрезка. Пусть это будут отрезки m и n.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, ΔАОD — прямоугольный. Высота ΔАОD к стороне АD равна радиусу вписанной в ромб АВСD окружности.
По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, (ОК=sqrt{АКcdot КD}).
Следовательно, радиус вписанной в ромб окружности равен среднему пропорциональному между отрезками, на которые делит сторону ромба точка касания.
Формула 6
(r=sqrt{mcdot n})
где r — радиус вписанной окружности,
m и n — отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания.
Задачи с решениями
Задача 1
Дано: ромб с диагоналями 6 см и 8 см.
Найти: радиус вписанной в ромб окружности.
Решение: так как известны диагонали ромба,
применим формулу (r=frac{d_1d_2}{2sqrt{left(d_1right)^2+left(d_2right)^2}}).
(r=frac{6cdot8}{2sqrt{6^2+8^2}}=2,4 (см).)
Ответ: радиус вписанной в ромб окружности равен 2,4 см.
Задача 2
Дано: ромб, сторона которого равна 16 см, а острый угол ромба — 30°.
Найти: радиус вписанной в ромб окружности.
Решение: применим формулу (r=frac{acdotsinalpha}2.)
(r=frac{16cdot0,5}2=frac82=4 (см).)
Ответ: радиус вписанной в ромб окружности равен 4 см.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
АО = 15 см, ВО = 8 см.
Из прямоугольного треугольника АОВ по теореме Пифагора:
АВ = √(АО² + ВО²) = √(225 + 64) = √289 = 17 см
Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, справедлива формула:
S = pr, где р — полупериметр.
р = 17 · 4 / 2 = 34 см
Sabcd = АС · BD / 2 = 30 · 16 / 2 = 240 см²
r = S / p = 240/34 = 120/17 см
Sкруга = πr² = 14400π/289 cм²