1 способ:
Площадь фигур по формулам.
|
S= Рис2
|
рис
2 способ: Площадь фигуры как сумма площадей её
частей
Задача 1. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.4). Если клетки размером 1х1см.
Разобьем
фигуру АВСD на части (1, 2, 3 и 4).
По
свойству площадей:
S
= S1
+ S2
+ S3
+ S4
=
= (1∙4):2 + (1∙3):2 + 1∙1
+ (1∙2):2 =
= 2
+ 1,5 + 1 + 1 = 5,5 см²
Ответ:
5,5 см²
Рис.4
3 способ: Площадь фигуры как часть
площади прямоугольника
Конечно, есть ещё способы
нахождения фигур на клеточной бумаге. Например, можно просто считать количество
целых клеток внутри фигуры, а из оставшихся кусочков «складывать» целые клетки,
но это довольно долго и трудно, особенно если фигура сложной формы.
Задача 2. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.5). Если клетки размером 1х1см.
Опишем
около фигуры АВСD прямоугольник.
Из
площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных
простых фигур (1, 2, 3 и 4):
S
= Sпр – S1 – S2 – S3 – S4 =
= 4∙4 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 –
(3∙1):2 = 16 –
1,5 – 1,5 – 1,5 – 1,5 = 10 см²
Ответ: 10 см²
Рис.5
4 способ :Формула Пика
Есть такие фигуры на клеточной бумаге, для которых эти формулы применить очень
трудно, да и эта работа занимает много времени. А на экзамене по математике в
9-м и в 11-м классе каждая минута дорога! Площади многоугольников, вершины
которых расположены в узлах решетки, можно вычислять очень быстро.Есть
интересная формула, которая связывает их площадь с количеством узлов, лежащих
внутри и на границе данного многоугольника. Эта замечательная и простая формула
называется формулой Пика. Знакомство с формулой Пика особенно актуально
накануне сдачи ЕГЭ и ОГЭ. С помощью этой формулы можно без проблем решать
большой класс задач, предлагаемых на экзаменах,—это задачи на нахождение
площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге. Маленькая формула
Пика заменит целый комплект формул, необходимых для решения таких задач.
Формула Пика будет работать «одна за всех…»!
рис.6
Пусть В –
число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника,
Г
– число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины,
S
— его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S
= В + 
– 1.
Эта формула не является секретной. Об этой формуле обычно рассказывается
применительно к нахождению площади треугольника. Автор этой формулы австрийский
математик Георг Пик (приложение 1). [8]
Формула Пика
верна для всех рассмотренных выше примеров. Теперь мы знаем, что если
многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для
него верна формула Пика.
Рассмотрим
применение формулы Пика на примерах:
Задача 3.
Найдем
площадь треугольника (см.рис.7. Отметим узлы (пересечение линий) на границе треугольника
и внутри треугольника:
В = 34
(обозначены синим), Г = 15 (обозначены оранжевым).
Рис.7
S= 34 +
15/2 – 1 = 40,5 ед²
Ответ:
40,5
Понятно, что находить
площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по
соответствующим формулам площадей этих фигур. А вот когда дан многоугольник, у
которого пять и более углов эта формула работает хорошо. [9]
Задача 4. Найдем площадь пятиугольника
Отметим узлы (пересечение линий) на границе пятиугольника и
внутри пятиугольника:
В = 43 (обозначены синим),
Г = 14 (обозначены оранжевым).
S=
43 + 14/2 – 1 = 49 ед²
Ответ: 49
Рис.8
Кто
же такой Георг Александер Пик?
Австрийский математик Георг Александер Пик
родился 10 августа 1859 году в Вене. Его отец, будучи руководителем частного
института, предпочел до 11 лет обучать мальчика на дому, а потом отдал его
сразу в четвертый класс гимназии, которую он окончил в 1875 году.
В 16 лет Георг поступил в Венский
университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику.
Преподавательская деятельность в Немецком университете в Праге в 1888 г. Пик
получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892г. стал
ординарным профессором. В 1910 г. Георг Пик был в комитете, созданном Немецким
университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна
профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами
этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии
сдружился, в 1911г. возглавил кафедру теоретической
физики в Немецком университете в Праге. Круг математических интересов Пика был
чрезвычайно широк. [8]
Среди всего многообразия достижений
австрийского математика выделяется формула для вычисления площадей
многоугольников с вершинами в узлах клетки открытая им в 1899 году. Она стала
широко известна только в 1969 году, после того, как Гуго Штейнгауз включил ее в
свою знаменитую книгу «Математический калейдоскоп». В Германии эта теорема
включена в школьные учебники.
После выхода в 1927 году
на пенсию Пик вернулся в свой родной город Вену. Однако после аншлюса
(присоединение) 12 марта 1938 года Австрии с Германией ему снова пришлось
перебраться в Прагу. В сентябре 1938 года фашистская Германия вторглась на территорию
Чехословакии. Г.А. Пик был брошен в концентрационный лагерь в Терзинштадте, где
и умер две недели спустя.
Задачи
с практическим содержанием
Поможет
нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием,
когда объект изображен на клетчатой бумаге в масштабе. [4]
Задача 5.
Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой
1 × 1см в масштабе 1 см – 200 м (рис. 9).
Найдём S
площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S
= В + – 1
В
= 8, Г = 7.
S
= 8 + 7/2 – 1 = 10,5 см²
Т.к.
1 см² — 200² м², то
Sмассива
= 40000 · 10,5 = 420 000 м²
Рис. 9 Ответ:
420
Задача 6.
Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 ×
1см в масштабе 1 см – 100 м (рис. 10).
Рис.10
Найдём
S
площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S
= В + 
– 1. В = 7, Г = 4.
S
= 7 + 4/2 – 1 = 8 см², т.к. 1 см² — 100² м², то
Sполя
= 10000 · 8 = 80 000
м²
Ответ:
80 000 м²
Из
всех задач по геометрии у нас вызывают интерес задачи на решётках. И это не
случайно. Такие задачи в учебниках по геометрии не встречаются, а на экзаменах
и в олимпиадных заданиях они есть. Вот такие задачки надо научиться решать.
Существует достаточное количество способов нахождения площадей фигур на
клетчатой бумаге.
Мы
рассмотрели основные из них. Задачи, поставленные в самом начале нашей работой,
выполнили. Все предложенные способы, нахождения площадей плоских фигур, на
клетчатой бумаге нам очень интересны, но самым результативным оказался способ
решения по формуле Пика.
Формула
Пика — это настоящий клад для тех ребят, которые не могут выучить все формулы
для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как
разбить фигуру на части или выполнить дополнительное построение. С другой
стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге
умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, а формула Пика нужна, чтобы
решить задачу ещё и этим способом , тем самым проверить правильность своего
предыдущего решения, сверив полученные ответы.
Анализ
решений показал, что применение формулы Пика даёт возможность решать задачи на
нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге очень
быстро и легко. Это позволяет экономить время на экзамене Эта работа была нам
интересна, и мы надеемся, что результаты наших исследований, помогут учащимся
при сдаче экзамена по математике.
Приложение 1
Георг Александр Пик (нем. Georg Alexander Pick; 10 августа 1859 г. – 13 июля 1942 г.) – австрийский математик. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику.
16 апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсберга Пик защитил докторскую
диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место
ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо
было пройти хабилитацию. Для этого он написал работу «Об
интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882
году, вскоре после разделения Пражского университета на чешский (Карлов
университет) и немецкий (Университет Карла-Фердинанда). Пик остался в Немецком
университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 г., он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры. Преподавательская
деятельность в
Немецком университете в Праге в 1888 г. Пик получил место экстраординарного
профессора математики, затем в 1892г. стал ординарным профессором. В
1910 г. Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги
для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и
физик Антон Лампа были главными инициаторами этого
назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии
сдружился, в 1911г. возглавил кафедру теоретической физики в Немецком
университете в Праге. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк.
В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальный геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений
и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика,
интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца-Пика. Широкую известность получила
открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади
многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники. [8]
Приложение 2
Исследование
площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.
Найдите
площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен
1см * 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задача 1.
Дано:
Г=10, В=27.
Решение: S=27+10:2-1=31(кв.
ед.)
Ответ:
31 кв.ед.
Задача 2.
Дано:
Г=3, В=0.
Решение: S=0+3:2-1=1 (кв. ед)
Ответ: 1 кв. ед.
Задача 3.
Дано:
Г=4, В=0.
Решение: S=0+4:2-1=1 (кв.ед.)
Ответ: 1 кв.ед.
Задача 4.
Дано:
Г=6, В=3.
Решение: S=3+6:2-1=5 (кв.ед.)
Ответ: 5 кв.ед.
Задача 5.
Дано:
Г=6, В=16.
Решение: S=16+6:2-1=17(кв.ед.)
Ответ: 17 кв.ед.
Задача 6: Найти площадь «ракеты».
Дано:
Г=20, В=25.
Решение: S=25+20:2-1=34 (кв.ед.)
Ответ: 34 кв.ед.
Задача 7: Найти
площадь кувшина.
Дано:
Г=6, В=14.
Решение: S=14+6:2-1=16 (кв.ед.)
Ответ: 16 кв.ед.
Задача 8: Найти площадь «плачущего сердца».
Дано:
Г=10, В=4.
Решение: S=4+10:2-1=8 (кв.ед.)
Ответ: 8 кв.ед.
Задача 9.
Дано:
Г-9, В=11.
Решение: S= 11+9:2-1=14,5 (кв.ед.)
Ответ: 14,5
кв.ед.
Задача 10.
Дано:
Г=26, В=32.
Решение: S=32+26:2-1=44 (кв.ед.)
Ответ: 44 кв.ед.
Задача 11.
Дано:
Г=16, В=27.
Решение: S=27+16:2-1=34 (кв.ед.)
Ответ: 34 кв.ед.
Приложение 3 Задача
1.
Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.6). Если клетки
размером 1х1см.
Опишем около фигуры АВСD прямоугольник.
Из площади прямоугольника вычтем площади полученных простых
фигур (1, 2, 3 и 4):
S
= Sпр – S1 – S2 – S3 – S4 =
=
3∙6 – (4∙1):2 – (2∙2):2 – (4∙1):2 – (2∙2):2 =
= 18 – 2 – 2 – 2 – 2 =
10 см²
Рис.6
Ответ:
10 см²
Задача 2. Найдём
площадь фигуры АВСD (см.рис.1). Если клетки размером 1х1см.
Разобьем фигуру АВСD
на части (1 и 2).
По
свойству площадей:
S
= S1
+ S2
=
=
(2∙3):2 + 3∙2 =
= 3
+ 6 = 9 см²
Ответ:
9 см²
Рис.1
Задача 3. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.5). Если клетки размером 1х1см.
Опишем около фигуры АВСD прямоугольник.
Из площади прямоугольника (в
данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур (1, 2 и 3):
S
= Sпр – S1 – S2 – S3 =
=
4∙4 – (4∙4):2 – (2∙1):2 – (2∙1):2 = 16 – 8 – 1 – 1 =
=
6 см²
Рис.5
Ответ: 6 см²
Приложение 4
1.
Найдите
площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
2.
Найдите
площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
3.
Найдите
площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
4.
Найдите
площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными
1.
5. Найдите площадь параллелограмма ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
6. Найдите площадь треугольника ABC,
считая стороны квадратных клеток равными 1.
7. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
8. 
Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
9.
Найдите площадь
параллелограмма ABCD, считая стороны квадратных клеток равными
1.
10.
Найдите площадь
треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.
11.
Найдите площадь
трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
12.
Найдите площадь
четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Кормиловского муниципального района
«Юрьевская средняя общеобразовательная школа»
Исследовательский проект
по математике на тему:
«Формула Пика как один из рациональных способов нахождения площади многоугольников»
Выполнила: ученица 11 класса
Исангулова Виктория
Руководитель: Касаткина Елена
Викторовна, учитель математики
2020 — 2021 г.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…………………. ……………………………………………..……………..………. 3
ГЛАВА 1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1. 1. Методы расчета площади многоугольников ………..…………..…………………………. 4
-
Формула Пика……………… ………………………..…………………………………………..5
-
Использование формулы Пика………………………………………………………..………6
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ
2.1. Задачи ЕГЭ…………………………………………………………………………………….…7
2.2. Формула Пика для окружностей……………….. ……………………………………….……..9
2.3. Формула Пика в пространстве………………….…………..…………………………….….10
-
Эксперимент и исследование ………………………………………………… …….…..…….10
ГЛАВА 3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ПИКА……………….…………..12
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………..………….……………………….……… 17
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………….…………….……….19
ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………………..………..20
«Геометрия есть знание величин,
фигур и их границ,
а также отношений между ними
и производимых над ними операций,
разнообразных положений и движений»
Диа́дох Прокл
Введение
Размышления над какой-то задачей часто приводят к увлечению математикой. А есть ли задачи, которые не похожи на задачи из школьных учебников? Да. Это задачи на клетчатой бумаге. Такие задачи есть в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. В чём же заключается особенность таких задач, какие методы и приёмы используются для решения задач на клетчатой бумаге?
Актуальность: при решении задач по математике и геометрии часто встречаются задачи, где нужно вычислить площадь фигур. Если фигура сложная, то её площадь находить довольно долго. Выбор темы проекта не случаен. Способы нахождения площади многоугольника нарисованного на клетчатой бумаге очень интересная тема. Мы знаем разные способы выполнения таких заданий: способ достраивания, способ разбиения и др.
Гипотеза: мы считаем, что вычисление площадей сложных фигур с помощью формулы Пика легче, чем вычисление методом достраивания и разбивания фигур на части.
Объект исследования: формула Пика для вычисления площадей многоугольников.
Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.
Цель: исследование рациональности использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.
Задачи:
1. Изучить методы вычисления площадей сложных фигур на плоскости.
2. Научиться применять формулу Пика для вычисления площадей.
3. Сравнить и проанализировать результаты исследования.
4. Разработать рекомендации учащимся по применению формулы Пика при решении задач ЕГЭ.
Методы:
-
Системный анализ
-
Обобщение
-
Сравнение
-
Поиск
ӏ Основная часть 1.1. Методы расчета площади многоугольников.
Мы заметили, что площади одних и тех же фигур можно находить различными способами. В быту мы часто сталкиваемся с задачами нахождения площади. Например, найти площадь пола, который придется покрасить. Любопытно ведь, чтобы купить необходимое количество обоев для ремонта, нужно знать размеры комнаты, т.е. площадь стен. Вычисление площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника не вызвало у нас затруднений.
В жизни часто приходится находить площадь геометрической фигуры неправильной формы. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых нетрудно вычислить по формулам.
Задание: Вычислить площадь многоугольника
1 Способ — разбиение
Задача 1.
|
Рисунок 1 |
Решение: 1) S1 =82 = 64 (кв. ед.) 2) S2 = 6*6/2 = 36/2 = 18 (кв. ед.) 3) S3 = 10*2/ 2 = 20/2 = 10 (кв. ед.) 4) S = 64+18+10 = 92 (кв. ед.) Ответ: 92 кв. ед. |
Использованный нами способ несложен, но очень громоздок, кроме того он годится не для всяких многоугольников. Так многоугольник на рисунке 2 нельзя разбить на прямоугольные треугольники, так как мы это проделали в предыдущем случае.
2 Способ – достраивание
Задача 2.
Можно, например, попробовать дополнить наш многоугольник до «хорошего», нужного нам, то есть до такого, площадь которого мы сможем вычислить описанным способом, затем из полученного числа вычесть площади добавленных частей.
|
|
Решение: 1) SABF =3 * 2 : 2 = 3 (кв. ед.) 2) SACD =2 * 1 : 2 = 1 (кв. ед.) 3) SCBE =1 * 1 : 2 = 0,5 (кв. ед.) 4) SCEDF =1 * 1 = 1 (кв. ед.) 5) SABC = SABF — (SBCE + SACD + SCEFD) = 3 — (0,5 + 1 + 1) = 0,5 (кв. ед.) Ответ: 0,5 кв. ед. |
Рисунок 2Задача 3.
|
Рисунок 3 |
Решение:
Ответ: 39 кв. ед. |
Вывод:
Анализ показал, что вычислять площади фигур «достраиванием» или «разбиением» сложно и долго. Оказывается, есть другой способ для вычисления площади фигур на клетчатой бумаге, используя Формулу Пика.
1.2. Формула Пика
Георг Александр Пик
(10. 09. 1859 – 13. 07. 1942)
Георг Александр Пик – австрийский математик. Родился Георг Пик в еврейской семье. Его отец Адольф Йозеф Пик возглавлял частный институт. До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), а затем поступил сразу в четвёртый класс гимназии. В шестнадцать лет Пик сдал выпускные экзамены и поступил в университет в Вене. Уже в следующем году Пик опубликовал свою первую работу по математике. После окончания университета в 1879 году он получил право преподавать математику и физику. В 1880 году Пик защитил докторскую диссертацию, а в 1881 году получил место ассистента на кафедре физики Пражского университета. В 1888 году он был назначен экстраординарным профессором математики, затем в 1892 году в Немецком университете в Праге был назначен ординарным профессором (полным профессором).
Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика.
Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. Эта теорема оставалась незамеченной в течение некоторого времени, однако в 1949 году польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему в свой знаменитый «Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна.
Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.
В Германии эта теорема включена в школьные учебники.
13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.
1.3. Использование формулы Пика
Алгоритм вычисления площади многоугольника
с помощью формулы Пика:
-
Отметить внутренние и граничные узлы1.
-
Считаем количество внутренних узлов, граничных узлов.
-
Находим площадь фигуры по формуле:
|
S = В + Г : 2 — 1. |
Задача 4
Вычислим площадь фигуры по формуле Пика.
|
Рисунок 4 |
В = 1 , Г = 8 S = 1 + 8 : 2 – 1 = 4 (кв. ед.) Ответ: 4 (кв. ед.) |
Вернёмся к задаче №3 и вычислим её площадь по Формуле Пика:
|
|
В = 35, Г = 10 S = 35 + 10 : 2 – 1= 39 (кв. ед.) Ответ: 39 кв. ед. |
II. Исследовательская часть 2.1. Задачи ЕГЭ
На ЕГЭ часто встречаются задачи на вычисление площади фигур, которые изображены на клетчатой бумаге. Их площадь можно вычислить с помощью «разбиения» или «достраивания». Это простые способы, но они очень громоздкие и отнимают много времени.
Задача 5.
Нарисуем на клетчатой бумаге какой — нибудь многоугольник. Например, такой, как показан на рисунке 5.
Рисунок 5
Попробуем теперь рассчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты.
1 способ: Решение достраиванием:
|
Рисунок 6 |
Ответ: 5 кв. ед. |
2 способ: Решение с помощью Формулы Пика:
|
Рисунок 7 |
Г = 6, В = 3 S = 3 + 6 : 2 – 1 = 5 (кв. ед.) Ответ: 5 кв. ед. |
Задача 6 .
О
чень сложно вычислить площадь, разбивая на части, достраивая до элементарных фигур, но Формула Пика позволяет легко найти площадь этой фигуры.
Решение:
Г = 8, В = 0.
S= 0 + 8 : 2 – 1 = 3 (кв. ед.)
Ответ: 3 (кв. ед.)
Рисунок 8
Многоугольник на рисунке 9 сложно разбить на прямоугольные треугольники, но его площадь можно вычислить по теореме Пика:
|
Рисунок 9 |
Решение. В = 6, Г = 13 S = 6 + 13 : 2 — 1 = 11,5 Ответ: 11,5 (кв. ед.) |
С помощью компьютерной программы сайта «Математические этюды» www.etudes.ru/ru/etudes/pick—theorem/ мы проверили наши вычисления.
Рисунок 10
2.2. Формула Пика для окружностей
Многие считают, что формула Пика не подходит для нахождения площади окружности, но это не так. Правда есть маленькая неточность, но нам не нужно вычислять площадь до десяти тысячных долей.
Вычислим площадь кольца на рисунке 11.
Рисунок 11
Известно, что площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов.
1 способ.
Решение по формулам:
Примем 
за 3,14.
R1 = 2,9
R2 = 2
Sкол = (3.14 * 2.9 * 2.9) – (3.14 * 2 * 2) = (3.14 * 8.41) – (3.14 * 4) = 26.4074 – 12.56 = 13.8474 (кв. ед.)
Ответ: 13,8474 (кв. ед.)
2 способ.
Решение по формуле Пика:
В1= 21 В2 = 9
Г2 = 16 Г2 = 12
SБК = 21 + 16 : 2 – 1 = 28 (кв. ед.)
SМК = 9 + 12 : 2 – 1 = 14 (кв. ед.)
Sкол = 28 – 14 = 14 (кв. ед.)
Ответ: 14 (кв. ед.)
В итоге мы видим, что отличие в результатах всего 1.1%
2.3. Формула Пика в пространстве.
Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, считая стороны квадратных клеток равными 1 с помощью формулы Пика не получится.
К сожалению, подсчитать количество узлов решетки, попавших на границу параллелепипеда и внутрь параллелепипеда нельзя. Поэтому вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда по формуле Пика невозможно. Это недостаток формулы. Она не имеет прямого аналога в пространстве.
2.4.Эксперимент и исследование
Мы решили провести эксперимент для того, чтобы выяснить какой из рассмотренных способов является самым эффективным (безошибочным и малозатратным по времени).
Обучающимся 8-11 классов мы напомнили и объяснили способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. Ученики решали задачи с помощью формул для нахождения площадей. Каждому нужно было решить 6 задач и засечь время их выполнения.
Затем мы рассказывали им о формуле Пика, показали на примерах её применение и предложили решить те же задачи, но по формуле Пика (снова засекали время).
Результаты эксперимента представлены в таблице.
Общие результаты эксперимента:
|
Затраченное время — среднее значение (мин) |
Количество уч-ся, допустивших ошибки |
Безошибочных работ |
||||
|
T1 |
T2 |
О1 |
О2 |
Э1 |
Э2 |
|
|
8 класс (15 учеников) |
6,8 |
3,5 |
10 |
3 |
5 |
12 |
|
9 класс (15 учеников) |
6,6 |
3,7 |
13 |
7 |
2 |
8 |
|
10 – 11 класс (10 человек) |
4,7 |
2,4 |
4 |
0 |
6 |
10 |
|
Всего (40 учеников) |
6,3 |
3,4 |
27 |
10 |
13 |
30 |
Проведенный эксперимент показал, что:
-
никто из учеников не знал формулу Пика;
-
27 из 40 учащихся допустили ошибки при решении задач известными способами;
-
10 из 40 учащихся допустили ошибки при решении задач, используя формулу Пика;
-
количество ошибок, допущенных при решении задач по формуле Пика, сократилось в 2 раза, а у 10 — 11 – классников 100 %;
-
количество безошибочных работ увеличилось в 2 раза;
-
время, затраченное на решение по формуле Пика, сократилось в 2 раза.
Результаты эксперимента:
|
Количество участвующих в эксперименте |
Затраченное время |
Количество ошибок |
||
|
ИС |
ФП |
О1 |
О2 |
|
|
1/8 |
6 |
4 |
2 |
1 |
|
2/8 |
6 |
3 |
3 |
0 |
|
3/8 |
7 |
4 |
0 |
0 |
|
4/8 |
6 |
3 |
2 |
0 |
|
5/8 |
6 |
3 |
0 |
0 |
|
6/8 |
4 |
2 |
3 |
0 |
|
7/8 |
9 |
3 |
2 |
1 |
|
8/8 |
6 |
4 |
1 |
0 |
|
9/8 |
6 |
3 |
0 |
0 |
|
10/8 |
9 |
2 |
0 |
0 |
|
11/8 |
4 |
3 |
1 |
0 |
|
12/8 |
5 |
3 |
2 |
1 |
|
13/8 |
6 |
3 |
0 |
0 |
|
14/8 |
9 |
2 |
2 |
0 |
|
15/8 |
10 |
5 |
1 |
0 |
|
16/9 |
6 |
3 |
1 |
0 |
|
17/9 |
7 |
4 |
2 |
1 |
|
18/9 |
8 |
4 |
2 |
1 |
|
19/9 |
6 |
3 |
1 |
0 |
|
20/9 |
9 |
5 |
2 |
1 |
|
21/9 |
9 |
5 |
3 |
2 |
|
22/9 |
6 |
3 |
1 |
0 |
|
23/9 |
5 |
3 |
1 |
0 |
|
24/9 |
7 |
4 |
2 |
1 |
|
25/9 |
5 |
3 |
0 |
0 |
|
26/9 |
5 |
3 |
0 |
0 |
|
27/9 |
6 |
4 |
1 |
0 |
|
28/9 |
7 |
3 |
3 |
2 |
|
29/9 |
5 |
4 |
2 |
1 |
|
30/9 |
6 |
3 |
2 |
0 |
|
31/10 |
5 |
3 |
0 |
0 |
|
32/10 |
4 |
2 |
2 |
0 |
|
33/10 |
6 |
3 |
1 |
0 |
|
34/10 |
4 |
2 |
0 |
0 |
|
35/10 |
6 |
3 |
1 |
0 |
|
36/11 |
4 |
2 |
0 |
0 |
|
37/11 |
4 |
2 |
0 |
0 |
|
38/11 |
5 |
3 |
2 |
0 |
|
39/11 |
5 |
2 |
0 |
0 |
|
40/11 |
4 |
2 |
0 |
0 |
|
Всего (40 учеников) |
ИС – решение задач известными способами,
ФП – решение задач по формуле Пика.
III Практическое применение Формулы Пика
Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см * 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задача 1.
Д
ано:
Г=10, В=27.
Решение: S=27+10:2-1=31(кв. ед.)
Ответ: 31 кв.ед.
Задача 2.
Дано:
Г=3, В=0.
Решение: S=0+3:2-1=1 (кв. ед)
Ответ: 1 кв. ед.
Задача 3.
Д
ано:
Г=4, В=0.
Решение: S=0+4:2-1=1 (кв.ед.)
Ответ: 1 кв.ед.
Задача 4.
Дано:
Г=6, В=3.
Решение: S=3+6:2-1=5 (кв.ед.)
Ответ: 5 кв.ед.
Задача 5.
Дано:
Г
=6, В=16.
Решение: S=16+6:2-1=17(кв.ед.)
Ответ: 17 кв.ед.
Задача 6: Найти площадь «ракеты».
Дано:
Г=20, В=25.
Решение: S=25+20:2-1=34 (кв.ед.)
Ответ: 34 кв.ед.
Задача 7: Найти площадь кувшина.
Дано:
Г=6, В=14.
Решение: S=14+6:2-1=16 (кв.ед.)
Ответ: 16 кв.ед.
Задача 8: Найти площадь «плачущего сердца».
Д
ано:
Г=10, В=4.
Решение: S=4+10:2-1=8 (кв.ед.)
Ответ: 8 кв.ед.
Задача 9.
Дано:
Г-9, В=11.
Решение: S= 11+9:2-1=14,5 (кв.ед.)
Ответ: 14,5 кв.ед.
Задача 10.
Дано:
Г=26, В=32.
Решение: S=32+26:2-1=44 (кв.ед.)
Ответ: 44 кв.ед.
Задача 11.
Дано:
Г=16, В=27.
Решение: S=27+16:2-1=34 (кв.ед.)
Ответ: 34 кв.ед.
Задача 12.
Д
ано:
Г=26, В=32.
Решение: S=32+26:2-1=44 (кв.ед.)
Ответ: 44 кв.ед.
Задача 13.
Дано:
Г=22, В=30.
Решение: S=30+22:2-1=40 (кв.ед.)
Ответ: 40 кв.ед.
Задача 14.
Дано:
Г=28, В=52.
Решение: S=52+28:2-1=65 (кв.ед.)
Ответ: 65 кв.ед.
Задача 15.
Шахматный король обошел доску 8*8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)
Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ломаной, равна 64/2 — 1 = 31; здесь узлами решетки служат центры 64 полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким образом, хотя таких траекторий короля достаточно много, но все они ограничивают многоугольники равных площадей.
Ответ: 31
Задача 16.
Середины сторон квадрата соединены отрезками с вершинами. Найти площадь восьмиугольника и отношение площади квадрата к площади восьмиугольника, образованного проведенными отрезками.
Так как нужно найти отношение площадей, то размеры квадрата роли не играют. Поэтому рассмотрю квадрат, расположенный на целочисленной решетке, размером 12*12; стороны квадрата лежат в узлах клеточек. Тогда, нетрудно заметить, все вершины восьмиугольника являются узлами решетки; более того, отсюда легко заметить, что этот восьмиугольник правильным не является — он равносторонний, но не равноугольный. Из формулы Пика теперь легко следует, что площадь восьмиугольника равна
S=21 + 8/2 — 1 = 24 кв.ед. Площадь квадрата равна 122 =144 кв.ед. Поэтому искомое отношение площадей равно 6.
Ответ: 24 кв.ед., 6.
Задача 17: Вычислить площадь многоугольника.
Дано:
В=33, Г=28.
Решение: S=33+28:2-1=46 (кв.ед.)
Ответ. 46 кв.ед.
Задача 18: Вычислить площадь многоугольника.
Дано:
В=117, Г= 68.
Решение: S=117+68:2-1=150 (кв.ед.)
Ответ:150 кв.ед.
Заключение
При выполнении нашей работы мы рассмотрели решение задач на вычисление площади многоугольников неправильной формы разными способами. Ознакомление учащихся с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ГИА. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге.
Маленькая формула Пика заменит учащимся целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»!
Формула Пика — это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, чтобы подобраться к вычислению её площади «через знакомых».
С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы). Материал для самообразования в приложении.
Проанализировав способы решения задач на вычисление площадей, можно сделать следующие выводы:
-
Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры на клетчатой бумаге, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.
-
Основное условие для применения формулы Пика: у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге (решётке), должны быть только целочисленные вершины, то есть они обязательно должны находиться в узлах решётки.
-
Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.
-
Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.
При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника на плоскости даже самой причудливой формы.
Список используемой литературы.
1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы. М. Просвещение, 2012.
2. Вавилов В.В, Устинов А.В. .Многоугольники на решетках. М.МЦНМО,2006.
3. Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.
4.Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
5.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2016 – 2017.
6. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982.
8. Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. – М.: «Экзамен», 2011-2012гг
9. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010.
10. «Математические этюды» www.etudes.ru/ru/etudes/pick—theorem/
Приложение 
1 Узел – здесь: точка на пересечении клеток тетради.
13
Фев 2014
Категория: Планиметрия
Площади фигур, нарисованных на клетчатой бумаге
2014-02-13
2014-02-13
Рассмотрим несколько задач на вычисление площади фигуры, если фигура нарисована на бумаге в клетку.
Клетку считаем размером 1×1 ед.
Попробуйте решить сами предложенные задачи!
Могу сказать следующее – ответ будет выражаться целым числом 
.
Надо сказать, что кто знаком с такого рода задачками, обычно выдает ответ в считанные секунды… Другие же озадачиваются зачастую тем, а что же делать с площадью круга?.. Куда ж спрятать 
…
Итак, ищем площадь «ракеты».
Задача 1.
Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Решение: + показать
Следующая задача предлагалась А. Лариным в одном из Тренировочных вариантов.
Задача 2.
Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Решение: + показать
Ну уж если вы справились с «кувшином», то и с «плачущим сердцем» разберетесь также легко, уверена!
Задача 3.
Найдите суммарную площадь фигур, изображенных на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Решение: + показать
Ну а вам я, желаю, конечно, чтоб ваше сердце только б пело, радостно пело!
Автор: egeMax |
комментариев 6
Обновлено: 23.05.2023
Объект исследования: формула Пика.
Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.
Цель исследования
1. Изучение формулы Пика.
2. Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.
Задачи:
1.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
2.Проанализировать и систематизировать полученную информацию
3.Создать презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам
4.Сделать выводы по результатам работы.
5.Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.
Методы исследования:
1. Моделирование.
2. Построение.
3. Анализ и классификация информации.
4. Сравнение, обобщение.
5. Изучение литературных и Интернет-ресурсов
Гипотеза: Вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит правильное и быстрое решение задачи по сравнению с вычислением площади фигуры по формулам планиметрии.
Исследование формулы Пика.
Формула Пика. Решетки. Узлы.
При решении задач на клетчатой бумаге необходимы понятия решетки и узла.
Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости.
Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты (Рис. 1). Любой из этих квадратов называется фундаментальным квадратом или квадратом, порождающим решетку. Множество всех точек
Рис. 1. пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки – узлами решетки.
Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге (Рис.1), достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки принимаем за единицу).
А также, площадь любого многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Чтобы вычислить площадь многоугольника, изображенного на рисунке, необходимо достроить его до прямоугольника ABCD, вычислить площадь прямоугольника ABCD, найти площадь заштрихованной фигуры как сумму площадей треугольников и прямоугольников её составляющих, вычесть её из площади прямоугольника. И хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади нам придется потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо, как на следующих рисунках?
Доказательство формулы Пика.
Пусть В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины, — его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S=В+Г/2-1.
Пример 1. Вычислить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика.
S = В + Г/ 2 – 1
В = 14, Г = 8, S = 14 + 8/2 -1= 17 ( кв.ед.)
Покажу справедливость формулы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата.
Действительно, в этом случае имеем: В=0, Г=4 иS=0+4/2-1=1.
Фундаментальный квадрат порождает решетку, то есть решетку можно построить следующим образом. Отметим вершины квадрата. Затем сдвинем его параллельно одной из его сторон на длину этой стороны и отметим две вновь полученные вершины. Если этот процесс продолжать сначала в одном направлении до длины a, а затем полученную полоску сдвинем параллельно себе в направлении другой стороны квадрата на длину этой стороны до длины b, то получим решетку.
Причем, число узлов решетки, лежащих внутри решетки, В = (а-1)(b-1), а число узлов решетки, расположенных на его границе, Г = 2a + 2b.
Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и . Имеем в этом случае, В=(а-1)(b-1), Г=2a+2b, тогда по формуле Пика S= (a -1)(b-1) +(2a+2b)/2 -1 = ab-a-b+1+a+b-1=ab. Получили формулу площади прямоугольника со сторонами a, b.
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами a и b. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Тогда для этого случая, В= ((а-1)(b-1)-c+2 , )/2 Г=(2a+2b )/2+с-1 и получаем, что S = ((a-1)(b-1)-c+2)/2 + (a+b+c-1)/2 -1 = ab/2- a/2 — b/2 — c/2 + 3/2 +a/2 + b/2 + c/2 — 1/2 — 1 = ab/2. Таким образом, получили формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника. Значит, формула Пика верна для прямоугольного треугольника.
Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (Рис.2). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.
Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.
Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см * 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задача 1.
Дано:
Г=10, В=27.
Решение:S=27+10:2-1=31(кв. ед.)
Ответ: 31 кв.ед.
Задача 2.
Дано:
Г=3, В=0.
Решение: S=0+3:2-1=1 (кв. ед)
Ответ: 1 кв. ед.
Задача 3.
Дано:
Г=4, В=0.
Решение: S=0+4:2-1=1 (кв.ед.)
Ответ: 1 кв.ед.
Задача 4.
Дано:
Г=6, В=3.
Решение: S=3+6:2-1=5(кв.ед.)
Ответ: 5 кв.ед.
Задача 5.
Дано:
Г=6, В=16.
Решение:S=16+6:2-1=17(кв.ед.)
Ответ: 17 кв.ед.
Задача 7: Найти площадь кувшина.
Дано:
Г=6, В=14.
Решение:S=14+6:2-1=16 (кв.ед.)
Ответ: 16 кв.ед.
Задача 9.
Дано:
Г-9, В=11.
Решение:S= 11+9:2-1=14,5(кв.ед.)
Ответ: 14,5 кв.ед.
Задача 10.
Дано:
Г=26, В=32.
Решение:S=32+26:2-1=44 (кв.ед.)
Ответ: 44 кв.ед.
Задача 11.
Дано:
Г=16, В=27.
Решение: S=27+16:2-1=34(кв.ед.)
Ответ: 34 кв.ед.
Задача 12.
Дано:
Г=26, В=32.
Решение:S=32+26:2-1=44(кв.ед.)
Ответ: 44 кв.ед.
Задача 13.
Дано:
Г=22, В=30.
Решение:S=30+22:2-1=40 (кв.ед.)
Ответ: 40 кв.ед.
Задача 14.
Дано:
Г=28, В=52.
Решение:S=52+28:2-1=65 (кв.ед.)
Ответ: 65 кв.ед.
Задача 15.
Шахматный король обошел доску 8*8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)
Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ломаной, равна 64/2 — 1 = 31; здесь узлами решетки служат центры 64 полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким образом, хотя таких траекторий короля достаточно много, но все они ограничивают многоугольники равных площадей.
Ответ: 31
Задача 16.
Середины сторон квадрата соединены отрезками с вершинами. Найти площадь восьмиугольника и отношение площади квадрата к площади восьмиугольника, образованного проведенными отрезками.
Так как нужно найти отношение площадей, то размеры квадрата роли не играют. Поэтому рассмотрю квадрат, расположенный на целочисленной решетке, размером 12*12; стороны квадрата лежат в узлах клеточек. Тогда, нетрудно заметить, все вершины восьмиугольника являются узлами решетки; более того, отсюда легко заметить, что этот восьмиугольник правильным не является— он равносторонний, но не равноугольный. Из формулы Пика теперь легко следует, что площадь восьмиугольника равна
S=21 + 8/2 — 1 = 24 кв.ед. Площадь квадрата равна 122 =144 кв.ед. Поэтому искомое отношение площадей равно 6.
Ответ:24 кв.ед., 6.
Задача 17:Вычислить площадь многоугольника.
Дано:
В=33, Г=28.
Решение: S=33+28:2-1=46 (кв.ед.)
Ответ. 46 кв.ед.
Задача 18: Вычислить площадь многоугольника.
Дано:
В=117, Г= 68.
Решение:S=117+68:2-1=150 (кв.ед.)
Ответ:150 кв.ед.
Точки
Правила игры:
Отметьте на листке несколько точек (не меньше 8). Играют двое, поочередно соединяя любые две точки отрезком. Захватывать какую- либо третью точку нельзя. Каждая точка может быть концом только одного отрезка. Линии не должны пересекаться. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередного хода.
T1 T2 О1 О2 Э1 Э2
8 класс
(20 учеников) 6,8 3,5 13 4 11 16
9 класс
(12 учеников) 6,6 3,7 13 6 5 7
10 – 11 класс
(7 человек) 4,7 2,4 2 0 5 0
Всего
(39 учеников) 6,3 3,4 28 10 21 23
Проведенный эксперимент показал, что:
никто из учеников не знал формулу Пика;
28 из 39 учащихся допустили ошибки при решении задач известными способами;
10 из 39 учащихся допустили ошибки при решении задач, используя формулу Пика;
количество ошибок, допущенных при решении задач по формуле Пика, сократилось в 2 раза, а у 10 — 11 – классников почти 100 %;
количество безошибочных работ увеличилось в 2 раза, а у 10-11 — классников – в 9 раз;
время, затраченное на решение по формуле Пика, сократилось в 2 раза.
Результаты эксперимента:
Количество участвующих в эксперименте Затраченное время Количество ошибок
ИФ ФП О1 О2
1/8 6 4 2 1
2/8 6 3 0 0
3/8 7 4 0 0
4/8 6 3 0 0
5/8 6 3 0 0
6/8 4 2 0 0
7/8 9 3 2 1
8/8 6 4 1 0
9/8 6 3 0 0
10/8 9 2 0 0
11/8 4 3 1 0
12/8 5 3 2 1
13/8 6 3 0 0
14/8 9 2 0 0
15/8 10 5 1 0
16/8 5 6 2 1
17/8 8 6 1 0
18/8 10 5 0 0
19/8 7 3 1 0
20/8 6 3 0 0
21/9 6 3 1 0
22/9 7 4 2 1
23/9 8 4 2 1
24/9 6 3 0 0
25/9 9 5 2 1
26/9 9 5 3 2
27/9 6 3 0 0
28/9 5 3 0 0
29/9 7 4 2 1
30/9 5 3 0 0
31/9 5 3 0 0
32/9 6 4 1 0
33/10 5 3 0 0
34/10 4 2 0 0
35/10 6 3 1 0
36/10 4 2 0 0
37/10 6 3 1 0
38/11 4 2 0 0
39/11 4 2 0 0
Всего
(39 учеников)
ИФ – решение задач известными способами,
ФП – решение задач по формуле Пика.
Заключение
В процессе исследования я изучил много справочной, научно-популярной литературы, побывал на сайтах: малый Мехмат МГУ, ФИПИ, прочитал некоторые книги в электронном виде. Рассмотрел различные задачи на построение и вычисления, заданные на клетчатой бумаге, подобрал нестандартные задания. Эти задачи отличаются от обычных задач, изложенных в действующих учебниках и задачниках по математике.
Любители головоломок увлекаются решением задач на клетчатой бумаге, прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению, поскольку здесь не требуется глубокого знания геометрии.
Вместе с тем, задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач.
В результате работы я расширил свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определил для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии.
Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.
Баранова Александра
Введение
Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости. Уже эта простая решетка послужила К. Гауссу отправной точкой для сравнения площади круга с числом точек с целыми координатами, находящихся внутри него. То, что некоторые простые геометрические утверждения о фигурах на плоскости имеют глубокие следствия в арифметических исследованиях, было в явном виде замечено Г. Минковским в 1896 г., когда он впервые для рассмотрения теоретико-числовых проблем привлек геометрические методы.
Решетка на плоскости является мощным средством, которое позволяет переводить аналитические задачи на геометрический язык и обратно. Движение на этом своеобразном мосту между анализом и геометрией стало достаточно интенсивным и двусторонним.
Решетки на плоскости и в пространстве
Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные параллелограммы; множество L всех точек пересечения этих прямых (или множество вершин всех параллелограммов) называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки — узлами решетки. Любой из этих параллелограммов называется фундаментальным параллелограммом или параллелограммом, порождающим решетку.
Задать решетку можно еще и так. Предположим, что на плоскости
заданы две пересекающиеся прямые l0 и m0, а также два положительных числа a и b. По обе стороны от прямой l0 проведем параллельные прямые l±1, l±2, l±3,… на расстояниях a, 2a, 3a,… от нее. Аналогично по обе стороны от прямой m0 на расстояниях b, 2b, 3b,… проведем прямые m±1, m±2, m±3,…
Отметим все точки пересечения прямых li c прямыми mj; множество всех этих точек пересечения и является решеткой L
Важно иметь в виду, что решетка состоит из точек (узлов), а сами
прямые к ней не относятся. Одна и та же решетка может быть получена
при помощи различных семейств параллельных прямых.
Отметим ряд простейших свойств произвольных точечных решеток.
1. Прямая, проходящая через два узла решетки, содержит бесконечно много узлов решетки. При этом все расстояния между соседними узлами, лежащими на этой прямой, равны между собой.
2. Преобразование параллельного переноса плоскости (пространства), переводящего один узел решетки в другой ее узел, переводит решетку саму в себя.
3. Решетка центрально-симметрична относительно середины любого отрезка, который соединяет два узла этой решетки. Более того, середины всех отрезков с концами в узлах данной решетки образуют новую решетку, включающую старую.
4. (Правило параллелограмма.) Если три вершины параллелограмма являются узлами решетки, то и четвертая его вершина — тоже узел решетки. В пространстве: если четыре вершины параллелепипеда, не лежащие в одной плоскости, являются узлами решетки, то и остальные его вершины — также узлы решетки.
5. Если параллелограмм с вершинами в узлах решетки не содержит других узлов на сторонах и внутри себя, то он эту решетку порождает, т.е. является ее фундаментальным параллелограммом. Более того, это свойство является критерием того, что параллелограмм является фундаментальным.
На рисунке изображена так называемая ортогональная целочисленная решетка Z 2 , состоящая из точек с целыми координатами в декартовой системе координат. То же семейство точек можно получить пересечением других семейств прямых, не являющихся ортогональными. Таким образом, решетка точек напрямую не связана с семейством прямых в отличие от ее фундаментального параллелограмма.
Правильные многоугольники на решетках
Треугольник и квадрат.
Правильный треугольник нельзя расположить на целочисленной решетке Z 2 .
Предположим, что какой-либо правильный треугольник можно расположить на решетке нужным образом и что начало координат находится в одной из его вершин, а две другие его вершины имеют координаты (a, b) и (c, d). Можно считать, что четыре целых числа a, b, c, d не имеют общих делителей, отличных от ±1. Последнее следует из того, что точки (0, 0), (a/k, b/k), (c/k, d/k) также являются вершинами правильного треугольника, если k — общий делитель всех четырех чисел.
Так как a 2 +b 2 =c 2 +d 2 =(a−c) 2 +(b−d) 2 , то отсюда заключаем, что a 2 +b 2 =c 2 +d 2 = 2(ac+bd).
Следовательно, a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 4(ac+bd), т.е. сумма квадратов четырех чисел делится на 4. Но тогда или все четыре числа четные, или все нечетные. Первое невозможно потому, что эти числа, по нашему выбору, взаимно просты. Второе же невозможно потому, что тогда не выполняется соотношение a 2 +b 2 = (a−c) 2 + (b−d) 2 , ибо его левая часть не делится на 4, а правая — делится. Полученное противоречие и доказывает сформулированное утверждение.
Существует еще много самых разнообразных доказательств для правильного треугольника.
Ясно, что правильный шестиугольник также нельзя расположить
на решетке Z 2 , так как в противном случае, соединив его вершины через одну, мы получили бы правильный треугольник, расположенный на решетке, что, как мы уже знаем, невозможно. Однако в пространстве на решетке Z 3 можно расположить как правильный треугольник, так и правильный шестиугольник. Достаточно предъявить правильный шестиугольник.
Теорема 2:
Не существует плоской решетки, содержащей одновременно квадрат и правильный треугольник.
Предположим противное, т.е. что на некоторой решетке L можно одновременно расположить правильный треугольник T=ABC и квадрат K=APQR.
Итак, внутри квадрата K находится бесконечно много различных точек решетки L, что означает, что найдутся два ее узла, которые находятся на произвольно малом расстоянии друг от друга. На решетках это невозможно и полученное противоречие доказывает теорему.
Правильный пятиугольник, так же как и правильный треугольник, нельзя поместить ни на целочисленную решетку Z 2 в плоскости, ни на решетку Z3 в пространстве. Не существует ни одной решетки L (двух или более измерений), куда можно было бы поместить правильный пятиугольник.
Единственным правильным многоугольником на плоскости, все координаты вершин которого рациональны, является квадрат.
Рассмотрим множество равноугольных (равносторонних) многоугольников—таких, у которых все внутренние углы (все стороны) равны, но стороны (внутренние углы) могут и отличаться друг от друга; пересечение этих множеств составляет множество правильных многоугольников. Примерами равноугольных многоугольников, расположенных на решетке, служат квадрат и восьмиугольник.
Из всех возможных равноугольных многоугольников на решетке Z2 можно расположить только прямоугольник и восьмиугольник.
Формула Пика
Пусть — число целочисленных точек внутри многоугольника, — количество целочисленных точек на его границе, — его площадь. Тогда справедлива формула Пика :
Доказательство: Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и . Имеем в этом случае
и, по формуле Пика,
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами и , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат целочисленных точек. Тогда для этого случая
Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник. Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.
Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной.
Пусть многоугольник и треугольник имеют общую сторону. Предположим, что для формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из добавлением . Так как и имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через и получим
Работа Лазарева Данила посвящена изучению свойств целочисленных решеток, выводу формулы Пика и их применению к решению олимпиадных задач.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| formula_pika.docx | 801.38 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное автономное образовательное учреждение лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина
Выполнил: ученик 10 А класса
Неверовская Светлана Владимировна
Моя работа посвящена формуле Пика. Также я постараюсь больше рассказать о целочисленных решетках и триангуляции многоугольника.
На данную тему я наткнулся при подготовке к олимпиаде, при решении олимпиадных задач. К одной из задач предлагалось два решения, одно из которых основывалось на формулу Пика. Заинтересовавшись этой формулой, я начал искать, применяется ли он где-то еще или же это был единичный случай. Как оказалось, она часто используется не только при решении олимпиадных задач, но даже и при решении задач из ЕГЭ и ГИА.
После этого я решил обязательно изучить, как решать подобного рода задачи и вообще узнать больше об этой на тот момент неизвестной мне теореме. Начав собирать информацию об этом, я узнал, что для изучения формулы Пика, мне необходимо разобраться и в том, что такое целочисленные решетки.
Актуальность: данная формула может помочь вам и при решении олимпиадных задач, и при решении задач из ГИА и ЕГЭ.
Цель работы: исследовать формулу Пика и все темы, связанные с ней. Создать сайт, суммируя весь собранный материал, который поможет людям, желающим разобраться в этой теме. Разобрать примеры решения некоторых задач.
- Изучить литературу по теме о целочисленных решетках
- Изучить литературу по теме формула Пика
- Разобраться в решении задач как простых, так и сложных
- Собрав все воедино, создать сайт, посвященный моей теме.
Практическая значимость моего проекта состоит в возможности совмещения алгебры, геометрии и информатики.
1.1. Целочисленные решетки.
Рассмотрим на плоскости сетку, образованную двумя семействами параллельных прямых, разрезающих плоскость на одинаковые параллелограммы_(рис.1). .
Множество всех вершин этих параллелограммов назовем точечной решеткой или целочисленной решеткой, сами вершины – узлами решетки, а любой из параллелограммов разбиения – основным параллелограммом разбиения, или параллелограммом, порождающим решетку. Заметим, что одна и та же решетка может получиться из разных сеток прямых: на рисунке 2 изображена так называемая целочисленная решетка, т.е. множество точек, имеющих в декартовой (прямоугольной) системе координат целочисленные координаты. Целочисленную решетку вместе с сеткой прямых можно представлять себе как бесконечный лист клетчатой бумаги (тогда основным параллелограммом будет квадрат со стороной 1). Ту же самую целочисленную решетку можно получить, проводя пунктирные прямые (тогда основным параллелограммом служит параллелограмм ABCD).
Таким образом, понятие основного параллелограмма решетки связано не только с самой решеткой, но и с сеткой прямых, составляющих эту решетку.
Важное свойство решеток отражает следующая задача:
В некотором узле A решетки находится охотник, а в остальных зайцы (рис.3,а). Охотник наугад стреляет (траекторией пули будет являться луч с вершиной в A). Вернется ли он домой с добычей?
Теорема. Пусть множество М на плоскости обладает следующими свойствами: 1) расстояние между любыми двумя точками не меньше некоторого положительного числа d; 2) если три точки A,B,C множества М являются вершинами некоторого параллелограмма ABCD, то и четвертая вершина D этого параллелограмма принадлежит множеству М. Тогда М – решетка.
Доказательство. Возьмем произвольную точку В, принадлежащую множеству М. Пусть А – ближайшая к В точка из М (такая точка существует, так как все попарные множества М больше d).
Через точки А и В проведем прямую. Среди точек множества М, не лежащих на этой прямой, выберем ближайшую к точке В – точку С – и построим параллелограмм АВСD. В силу второго свойства точка В также принадлежит множеству М.
Построим решетку, порождаемую параллелограммом АВСD. Докажем, что множество М. Из второго свойства следует, что все узлы этой решетки принадлежат множеству М.
Осталось проверить, что ни на границе, ни внутри параллелограмма АВСD нет точек множества М, отличных от его вершин. Если какая-то точка S лежит внутри параллелограмма (рис.4,б), то хотя бы один из углов ASB, BSC, CSD и ASD будет тупым или прямым. Поэтому расстояние от S до одной из его вершин окажется меньше какой-нибудь стороны (если S лежит на границе – то же самое); пусть, например, это расстояние SC. Построим параллелограмм BCSS` (S` принадлежит М). Тогда BS` меньше либо ВС, либо ВА, что противоречит выбору точки С, либо точки А. Аналогично доказываются и остальные случаи. Теорема доказана.
1.2. Правильные многоугольники
Возьмем лист клетчатой бумаги. Понятно, что квадрат с вершинами в узлах такой решетки можно нарисовать многими способами. А можно ли на клетчатой бумаге нарисовать, например, правильный треугольник? Очевидно, что нет, ведь тангенс угла правильного треугольника равен – нерациональное число. Но, с другой стороны, не трудно построить решетку, на которую можно поместить правильный треугольник (рис. 5).
Но что же с остальными многоугольниками? Существуют, например, решетка, на которую можно поместить правильный пятиугольник так, чтобы все его вершины оказались узлами этой решетки?
Оказывается, что такой решетки нет. Предположим, что нам удалось построить решетку так, чтобы вершины правильного пятиугольника оказались в ее узлах (рис. 6).
Проведем диагонали этого пятиугольника. По лемме 2 точки пересечения диагоналей являются узлами решетки: каждая из них служит четвертой вершиной параллелограмма, три другие вершины которого – узлы решетки (точка А1, например, — вершина параллелограмма А1CDE). Эти точки образуют правильный пятиугольник со стороной в раз большей стороны исходного пятиугольника. Проведя диагонали нового пятиугольника, получим еще меньший пятиугольник с вершинами в узлах нашей решетки и так далее. В конце концов сторона пятиугольника станет меньше минимального расстояния между узлами решетки. Значит, мы не сумеем придумать такую решетку, в которую можно было бы поместить правильный пятиугольник.
Докажем, что то же самое происходит со всеми остальными правильными q-угольниками при q ≥ 7.
Доказательство очень схоже с предыдущим. Предположим, что правильный многоугольник с вершинами в узлах существует, и построим меньший q-угольник с вершинами в узлах. В итоге вновь получим противоречие. Поэтому нужно лишь указать, как из данного правильному q-угольника с вершинами в узлах решетки построить меньший правильный q-угольник, вершины которого будут находиться в узлах нашей решетки.
Пусть А 1 , А 2 , … А q – узлы некоторой решетки, являющиеся вершинами правильного q-угольника, и пусть М – произвольный узел решетки (рис.7). Отложим от точки М отрезки MА` 1 , МА` 2 , МА` 3 , …, MА` q , равные параллельные и так же направленные, как сторона А q А 1 , А 1 А 2 , А 2 А 3 , …, А q-1 А q нашего многоугольника. Точки А` 1 , А` 2 , А` 3 ,…, А` q – узлы решетки, так как каждая из них является четвертой вершиной параллелограмма, три другие вершины которого – узлы. Легко видеть, что многоугольник А` 1 , А` 2 , А` 3 ,…, А` q – правильный, а длина его стороны в kq = раз больше длины стороны исходного q-угольника.
Таким образом, мы доказали, что многоугольниками, помещающимися на точечных решетках, могут быть только квадраты, правильные треугольники и правильные шестиугольники.
1.3. Формула Пика.
Теперь перейдем к самой формуле Пика. Формула пика гласит, что площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна , где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Докажем эту формулу. Для начала, затем что формула Пика верна для квадрата со стороной 1. В таком случае количество узлов внутри равно нулю, на границах количество узлов равно 4, а площадь равна одному. Подставив в формулу, мы убедимся все верно .
Теперь рассмотрим прямоугольник, стороны которого лежат на линиях решетки. Длины его сторон обозначим как X и Y. Тогда количество узлов внутри прямоугольника будет равно , а количество узлов на его сторонах будет равно . Из курса геометрии мы знаем, что площадь нашего прямоугольника будет равна XY, но чему же будет равна площадь по формуле Пика? . То есть формула Пика оказалась верной и для любого прямоугольника.
Далее рассмотрим прямоугольный треугольник, который можно получить из уже рассмотренного нами прямоугольника проведением в нем диагонали. Пусть на диагонали этого треугольника лежит Z узлов решетки. Тогда в этом случае количество точек внутри будет равно: , а количество точек на границах будет равно: . Подставив это в формулу, мы получим, что площадь равна . Очевидно, что формула Пика оказалась верна для прямоугольного треугольника.
Любой остроугольный треугольник можно получить отрезанием от прямоугольника прямоугольных треугольников, а любой тупоугольный, можно получить отрезанием от прямоугольника не только нескольких прямоугольных треугольников, но и прямоугольника поменьше. И если для любого прямоугольника и прямоугольного треугольника эта формула верна, то она верна и для любого треугольника.
Осталось перейти от треугольников к многоугольникам. Так как любой многоугольник можно разбить на треугольники, по крайней мере, диагоналями, нам осталось доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной.
Пусть многоугольник и треугольник имеют общую сторону. Предположим, что формула Пика справедлива для данного многоугольника (М), и докажем, что она останется справедлива и при добавлении к нему треугольника (Т). Так как треугольник и многоугольник имеют общую сторону, то все целочисленные точки, принадлежащие этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника (нМ). Вершины же будут точками границ. Обозначим число общих точек за а, тогда:
1) число внутренних целочисленных точек многоугольника будет равно
2) число точек границ нового многоугольника будет равно , где В- количество точек внутри фигуры, Г- количество точек на границе фигуры. Отсюда получаем, что и . А из нашего предположения, что теорема верна отдельно и для многоугольника и треугольника, следует:
Таким образом, мы доказали теорему Пика для любого многоугольника.
Но можно ли посчитать количество узлов как-то иначе?
1.4. Подсчет узлов на отрезке с вершинами в узлах сетки.
Обозначим произвольные узлы сетки за M и L. Пусть первый узел, встречающийся на отрезке ML это узел P 1 . Тогда построим прямоугольный треугольник MP 1 T 1 . Если точка P 1 не совпадает с L, то сместим треугольник MP 1 T 1 вдоль по оси ML на расстояние MP 1 . Мы получили равный ему треугольник P 1 P2T 2 , следовательно, P 2 будет являться узлом и между P 1 и P 2 не будет ни одного узла. Очевидно, что после нескольких таких смещений точка Pn совпадет с L. Теперь рассмотрим треугольник MNL: MN=n×MT 1 , NL=n×T1P 1 , ML=n×MP 1 . Таким образом, вы можем узнать, сколько узлов лежит между двумя узлами сетки.
Положим, что в треугольнике MLN MN=r, а LN=s, тогда существует следующая теорема:
Если r и s взаимно просты, то между А и В на отрезке АВ нет узлов сетки. Если же наибольший общий делитель r и s равен d, где d > 1, то на отрезке АВ между точками А и В расположены ровно (d – 1) узлов сетки.
Докажем эту теорему: пусть числа r и s взаимно просты, тогда НОД(r;s)=1 Если между А и В были n узлов (n ≥ 1), то, взяв ближайший к А узел С, мы получим, что r = n×MT 1 , s = n×T1P 1 , то есть r и s имеют общий делитель n, больший 1. Но мы предположили, что они взаимно просты, следовательно, получили противоречие.
Теперь предположим, что НОД(r;s)=d >1. Тогда, разделив отрезки MN и NL на d равных частей, вернемся к нашему рисунку. В таком случае, между точками M и L расположено не более чем (d-1) узлов, иначе между M и P 1 были бы и другие узлы. Пусть P` 1 – ближайший к M узел. В таком случае MP` 1 – целое число k, большее d (поскольку ML/MP=d ). Но r = MN = k×MT` 1 , s = NL = k×P` 1 T` 1 , где k = ML/MP` 1 , но тогда НОД(r;s)=k. Опять получили противоречие, а значит наше предположение неверно и теорема доказана.
После всей теоретической части я бы хотел еще разобрать задачу, которую я встретил при поиске олимпиадных задач на формулу Пика. Условие задачи состоит в следующем: шахматный король обошел доску 8 на 8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломанная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может иметь эта ломаная? Какую наибольшую длину она может иметь?
Из формулы Пика следует, что площадь, ограниченная ломаной, равна 64/2-1=31 (узлами сетки будут служить 64 центра полей, а по условию они все лежат на границе многоугольника).
Теперь ответим на второй вопрос задачи. Приведем пример пути, в котором 36 из 64 ходов имеют длину .
Докажем, что больше таких ходов быть не может. На каждом отрезке длинною , входящем в путь короля, построим, как на диагонали, квадрат 1 на 1. Одна половина этого квадрата лежит вне многоугольника, который ограничивает путь короля. Но общая площадь, занятая такими половинками, не превышает 49-31=18 поскольку все они не выходят за пределы квадрата 7 на 7 клетчатой бумаги. Значит, количество диагональных ходов не превышает 36. Следовательно, ответом на второй вопрос будет являться
Подводя итог моей работы, могу сказать, что выбранная тема оказалась куда более объемной, чем я предполагал. На основе изученного мною материала я создал сайт, который, надеюсь, поможет и другим разобраться в этой, как оказалось, не простой теме. По мере исследования теоретических материалов по математике я решал ряд практических задач из этой области, изучил новые приемы по работе на языке HTML, а также освоил графический редактор. В ходе изучения формулы Пика я коснулся и других тем. К сожалению, я не успел подробно разобраться в таких аспектах как, например, триангуляция многоугольника. Поэтому я рассчитываю продолжить изучение данной темы и в следующем полугодии, вместе с этим совершенствуя и свой сайт.
ФОРМУЛА ПИКА ДЛЯ МНОГОУГОЛЬНИКОВ НА КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКЕ
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
I. Основные свойства решеток на плоскости. 3
II. Правильный треугольник на квадратной решетке………………..…..…. ………………..5
III. Формула Пика для вычисления площадей многоугольников, расположенных на решетках…………………………………………………………………………………………………………..10
Введение
На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с вершинами в узлах клеток. Как найти его площадь, подсчитывая лишь количества узлов?
Решетка на плоскости является интересным средством, которое позволяет переводить аналитические задачи на геометрический язык и обратно.
В работе для решения задач рассматривается квадратная решетка, то есть решетка, узлы которой являются вершинами квадрата.
1) поиск альтернативной формулы для вычисления площади многоугольника, расположенного на квадратной решетке;
2) доказательство формулы Пика для квадратной решетки.
1) научиться находить площади многоугольников, расположенных на решетке;
2) определить вид треугольника, который можно расположить на решетке;
3) применить формулу Пика для заданий из ЕГЭ по математике.
если многоугольник расположен на решетке и у него можно подсчитать количество узлов внутри контура и количество узлов на контуре, то можно найти его площадь, не разбивая на простые фигуры.
3) анализ и обобщение полученных экспериментальных данных.
Предмет исследования: площадь плоского многоугольника.
Объект исследования: плоский многоугольник, расположенный на решетке.
I. Основные свойства решеток на плоскости
Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные параллелограммы; множество L всех точек пересечения этих прямых (или множество вершин всех параллелограммов) называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки — узлами решетки. Любой из этих параллелограммов называется фундаментальным параллелограммом или параллелограммом, порождающим решетку; площадь фундаментального параллелограмма решетки L обозначим через
Решетка состоит из точек (узлов), а сами прямые к ней не относятся. Одна и та же решетка может быть получена при помощи различных семейств параллельных прямых.
Простейшие свойства произвольных точечных решеток:
1) прямая, проходящая через два узла решетки, содержит бесконечно много узлов решетки. При этом все расстояния между соседними узлами, лежащими на этой прямой, равны между собой.
2) преобразование параллельного переноса плоскости, переводящего один узел решетки в другой ее узел, переводит решетку саму в себя.
3) решетка центрально-симметрична относительно середины любого отрезка, который соединяет два узла этой решетки. Более того, середины всех отрезков с концами в узлах данной решетки образуют новую решетку, включающую старую.
4) (правило параллелограмма.) Если три вершины параллелограмма являются узлами решетки, то и четвертая его вершина — тоже узел решетки.
5) если параллелограмм с вершинами в узлах решетки не содержит других узлов на сторонах и внутри себя, то он эту решетку порождает, т. е. является ее фундаментальным параллелограммом.
II. Правильный треугольник на квадратной решетке
Будем говорить, что некоторый многоугольник расположен на какой-либо решетке, если все его вершины совпадают с узлами этой решетки.
Проводя построение треугольников на квадратной решетке, были получены прямоугольные, равнобедренные и произвольные треугольники. Но правильный (равносторонний) треугольник не был построен ни в одном эксперименте.
Теорема 1. Равносторонний треугольник нельзя расположить на квадратной решетке.
Предположим, что какой-либо правильный треугольник можно расположить на квадратной решетке нужным образом и что начало координат находится в одной из его вершин, а две другие его вершины имеют координаты (a, b) и (c, d).
Можно считать, что четыре целых числа a, b, c, d не имеют общих делителей, отличных от ±1. Последнее следует из того, что точки (0, 0), (a/k, b/k), (c/k, d/k) также являются вершинами правильного треугольника, если k —общий делитель всех четырех чисел (рис. 1).
По теореме Пифагора a 2 +b 2 = c 2 +d 2 = (a−c) 2 +(b−d) 2 .
Отсюда a 2 +b 2 = c 2 +d 2 = 2(ac+bd).
Следовательно, a 2 +b 2 + c 2 +d 2 = 4(ac+bd), то есть сумма квадратов четырех чисел делится на 4. Но тогда или все четыре числа четные, или все нечетные. Первое невозможно потому, что эти числа, по нашему выбору, взаимно просты. Второе же невозможно потому, что тогда не выполняется соотношение a 2 +b 2 = (a−c) 2 +(b−d) 2 , так как его левая часть не делится на 4, а правая — делится. Получили противоречие, значит, равносторонний треугольник нельзя расположить на квадратной решетке.
III. Формула Пика для вычисления площадей многоугольников, расположенных на решетках
В работе рассматриваются простые многоугольники, то есть такие многоугольники, у которых границей является простая замкнутая несамопересекающаяся ломаная, и к каждой вершине примыкает ровно две стороны.[1] Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. [2]
Примитивные треугольники – такие треугольники, которые на своей границе и внутри себя не содержат узлов решетки, отличных от своих вершин.
Любой простой многоугольник имеет по крайней мере одну диагональ, которая целиком расположена внутри многоугольника. Отсюда следует, что простой многоугольник (не обязательно расположенный на решетке) можно разбить на (n−2) треугольника, все вершины которых являются вершинами исходного многоугольника; если многоугольник находится на решетке, то все вершины полученных треугольников являются узлами решетки.
Лемма 1. Любой простой многоугольник на решетке можно разбить на примитивные треугольники.
1)Если треугольник является примитивным, то утверждение доказано.
2)Если внутри треугольника ABC нет точек решетки, но имеются узлы решетки на его сторонах, то, выбрав любую вершину, например A, соединим ее со всеми узлами решетки, которые имеются
на противоположной этой вершине стороне треугольника. Тогда все треугольники, кроме ABP и AQC, окажутся примитивными, а у этих двух крайних треугольников имеется по две стороны, которые не содержат узлов решетки (рис. 2). Соединив точки P и Q с узлами решетки, находящимися соответственно на сторонах AB и AC, мы разобьем треугольники ABP и AQC на примитивные треугольники. Поэтому любой треугольник на решетке, не содержащий внутри себя узлов решетки, можно разбить на примитивные треугольники.
3) Пусть внутри данного треугольника имеются узлы решетки. Выбрав один из них, соединим его отрезками с вершинами исходного треугольника ABC (рис. 3). Проведенные отрезки разобьют ABC на три треугольника, которые внутри себя содержат меньше внутренних узлов решетки, чем их имел треугольник ABC.
Теорема 2. Вершины многоугольника расположены в узлах квадратной решётки. Внутри его лежит nузлов решётки, а на границе m узлов. Тогда его площадь равна
Пусть многоугольник P имеет k вершин. Тогда на его границе имеется m −k узлов решетки, не являющихся вершинами многоугольника.
Через N обозначим число примитивных треугольников в каком-либо его разбиении на такие треугольники многоугольника P. Покажем, что число N не зависит от способа
разбиения. Каждый из узлов решетки, находящихся внутри P, участвует в разбиении на примитивные треугольники и сумма углов всех примитивных треугольников при каждом таком узле равна 360º (см. рис. 4 а). Поэтому сумма всех углов всех примитивных треугольников c вершинами во внутренних узлах решетки равна 360ºn.
Каждый из узлов решетки, который находится на границе многоугольника P, но не является его вершиной, также участвует в разбиении и является вершиной некоторых примитивных треугольников (рис. 4 б); сумма всех углов всех примитивных треугольников при таких вершинах равна 180º(m −k).
Вершины многоугольника также являются вершинами некоторых примитивных треугольников разбиения (рис. 4 в).
Сумма всех углов всех примитивных треугольников при таких вершинах равна сумме внутренних углов многоугольника P и, то есть равна 180º(k −2).
Таким образом, для суммы всех углов всех примитивных треугольников, которая, с одной стороны, равна 180ºN, получаем равенство
180ºN = 360ºn +180º(m −k)+180º(k −2) и, следовательно,
N = 2n +m −2. Значит, число N не зависит от способа разбиения многоугольника.
Любой примитивный треугольник на квадратной решетке является половиной фундаментального квадрата, значит, площадь любого примитивного треугольника на решетке L равна S(L)/2. Отсюда следует, что
Экспериментальная часть работы состояла в следующем:
— поиск формулы для треугольника 1) без узлов внутри и на сторонах, 2) с узлами на сторонах, 3) с узлами внутри, 4) с узлами внутри и на сторонах. Придумываем общую формулу.
— повторяем исследование для 4-угольников и для 5-угольников. Объединяя результаты, придумываем формулу для n-угольника.
В работе для решения задач рассматривалась квадратная решетка.
Было доказано, что на квадратной решетке нельзя расположить правильный треугольник.
Доказана формула Пика для площади простого многоугольника, расположенного на квадратной решетке. Эта формула является альтернативой формул вычисления площади многоугольников.
Сделан вывод, что количество элементарных треугольников не зависит от способа
разбиения многоугольника. Поэтому, зная количество узлов внутри контура и количество узлов на контуре, можно найти площадь многоугольника, не разбивая его на простые фигуры.
В ходе серии вычислительных экспериментов был сформирован навык применения формулы Пика.
Формулу Пика можно успешно применять для заданий из ЕГЭ по математике как для многоугольников на решетке, так и для многоугольников на координатной плоскости, у которых вершины выражаются целочисленными координатами.
1. Вавилов В. В., Устинов А. В. Многоугольники на решетках.—М.: МЦНМО, 2006.
2. Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций. М.: Просвещение, 2013..
Читайте также:
- Механика молекулярная физика и термодинамика реферат
- Бастауыш сыныпта оқытудың жаңа технологияларын пайдалану реферат
- Реферат о йошкар оле
- Этикет в индии реферат
- Животные костромской области реферат
Научно-исследовательский проект «Формула Пика в геометрии клетчатой бумаги»
 (2.50 Mb)
|
27.04.2017, 19:07 |
| Автор: Мишин Павел 8 класс МКУ «Дедиловский центр образования» с. Дедилово | |
| Соловьева Надежда Юрьевна | |
| учитель математики | |
Научно-исследовательский проект
|
|
| Категория: Математика и информатика | Добавил: Nastenok пика, бесплатно, проект, скачать, формула, Научно-исследовательский, математика |
|
| Просмотров: 14548 | Загрузок: 990 | | Рейтинг: 4.5/2 | |
