Как найти площадь квадрата в другом квадрате

Применим метод ‘математического шаманства’.

Разделим этот квадрат вертикалью и горизонталью (чёрными линиями) на четыре равных части, четыре квадрата.

Теперь сдвинем центр пересечения красных линий в точку пересечения чёрных линий.

Буквами «a», «b», «c», «d» и «e» пометим четыре треугольника и центральный четырёхугольник.

Что произойдёт при этом с исходными фигурами, которые в итоге превратятся в четыре одинаковых по площади квадрата?

Левая верхняя фигура станет равной по площади:

1) 20 — d + b,

правая верхняя фигура станет равной по площади:

2) 32 — a — b — c,

левая нижняя фигура станет равной по площади:

3) 16 + c + d + e,

правая нижняя фигура станет равной по площади:

4) x + a — e,

приравнивание 4) и 1) даст:

x + a — e = 20 — d + b,

или:

5) x = 20 — a + e — d + b,

приравнивание 4) и 2) даст:

x + a — e = 32 — a — b — c,

или:

6) x = 32 — 2a + e — b — c,

приравнивание 4) и 3) даст:

x + a — e = 16 + c + d + e,

или:

7) x = 16 — a + c + d + 2e,

складывая 5) 6) и 7), получим:

3x = 68 + 4e — 4a,

или:

x = 22.67 + 1.33e — 1.33a,

поскольку площадь фигуры «e» визуально больше площади фигуры «a», то, предполагая, что что разность их площадей будет составлять приблизительное одну квадратную единицу,

можно из равенства заключить, что:

x ≈ 22.67 + 1.33 ≈ 24 квадратных единиц.

Но так ли это?

Давайте проверим. Тогда общая площадь большого квадрата будет равна:

20 + 32 + 16 + 24 = 92 квадратных единицы, а четверть будет составлять:

92 / 4 = 23 квадратных единицы.

А теперь обратим внимание на левую верхнюю фигуру. Чтобы из своей площади в начальных 20 квадратных единиц стать квадратом в 23 квадратные единицы, ей нужно приращение в три квадратных единицы, а это может только дать разность площадей:

«b» — «d»,

но если их разность составляет три квадратных единицы, что визуально меньше, чем разность «e» — «a», принятая нами за одну квадратную единицу, то наш допуск явно неверен.

Разность «e» — «a» явно больше одной квадратной единицы и значительно больше. Возможно, разность в четыре квадратные единицы.

А это даёт уже иное значение в 8):

x ≈ 22.67 + (1.33*4) ≈ 28 квадратных единиц.

Давайте проверим и этот допуск.

Тогда общая площадь большого квадрата будет равна:

20 + 32 + 16 + 28 = 96 квадратных единицы, а четверть будет составлять:

96 / 4 = 24 квадратных единицы.

Но тогда разность «b» — «d» тоже будет составлять четыре квадратные единицы, что тоже вроде как неверно.

Пусть «e» — «a» составляет пять квадратных единиц, что будет давать такое значение в 8):

x ≈ 22.67 + (1.33*5) ≈ 29 квадратных единиц.

Давайте проверим и этот допуск.

Тогда общая площадь большого квадрата будет равна:

20 + 32 + 16 + 29 = 97 квадратных единицы, а четверть будет составлять:

97 / 4 = 24.25 квадратных единицы.

Но тогда разность «b» — «d» будет составлять 4.25 квадратные единицы.

Это уже ближе к визуальной оценке площадей.

Ответ: площадь правой нижней фигуры приблизительно равна 29 квадратным единицам.

Расчёт площади квадрата через площадь окружности, вписанной в этот квадрат

Похожие калькуляторы

Квадрат со стороной $$b$$ вписан в квадрат со стороной $$c$$ и в него вписан еще один квадрат со стороной $$a.$$ Вершины вписанных квадратов лежат на середине сторон квадратов, в которые они вписаны (см. рисунок). Площадь самого маленького квадрата – 25, какова площадь самого большого квадрата?

Решение

Существует несколько способов решения данной задачи. Разберем два из них:

1. основываясь на знаниях учеников 5 класса о площадях квадрата и треугольника;

2. если ученики 5 класса еще не знают формул площадей.

1 способ

Сначала рассмотрим два внутренних квадрата (средний и маленький).

Проведем диагональ в самом маленьком квадрате, получим прямоугольный треугольник (одна из вершин треугольника совпадает с вершиной квадрата). Из вершины прямого угла проведем высоту на сторону, лежащую напротив этого угла. Очевидно, что полученная высота равна $$frac{b}{2},$$ противолежащая сторона равна $$b,$$ а стороны при угле в $$90^{circ}$$ равны по $$a$$ (из условия задачи + см. рисунок).

Площадь полученного треугольника найдем двумя способами:

1. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь можно найти, перемножив длины сторон при прямом угле и разделив полученное произведение на 2. То есть $$S_{triangle}=frac{a^2}{2}.$$

2. Используя формулу площади произвольного треугольника, найдем площадь, перемножив сторону и опущенную к ней высоту, разделив затем полученное произведение на 2. То есть $$S_{triangle}=bcdotfrac{b}{2}cdotfrac{1}{2}=frac{b^2}{4}.$$

Приравняв площади, получим:

$$frac{b^2}{4}=frac{a^2}{2},$$ отсюда $$b^2=2a^2.$$ То есть площадь вписанного квадрата, вершины которого делят стороны описанного квадрата пополам, в два раза меньше площади описанного квадрата.

Теперь рассмотрим средний и большой квадраты, выполнив те же действия, как для малого и среднего квадратов (см. рисунок).

Пользуясь выводом для случая малого и среднего квадратов, получим:

$$c^2=2b^2.$$

Или $$c^2=2b^2=2cdot2a^2=4a^2=4cdot25=100$$

Ответ: 100

2 способ

Данный способ основан на равенстве площадей треугольников (см. рисунки ниже для малого и среднего квадратов и для среднего и большого квадратов).

Очевидно, что малый квадрат состоит из 4-х равных треугольников, а средний – из 8-ми. То есть площадь малого квадрата в 2 раза меньше площади среднего.

Аналогично предыдущему площадь среднего квадрата в 2 раза меньше площади большого. Значит площадь большего квадрата в 4 раза больше площади меньшего.

Соответственно площадь большого квадрата равна 100.

Ответ: 100.