Цели:
- обучающие: научить учащихся находить площадь
многоугольника, используя выбранные ими способы,
сформировать начальные представления - многоугольнике, графические и измерительные
навыки; - развивающие: развитие способов умственной
деятельности учащихся при выполнении заданий от
наблюдения, расчетов до выяснения
закономерностей вычисления площади
многоугольника; - воспитывающие: раскрытие субъективного опыта
учащихся, поощрение действий, стремлений
учащихся как основы воспитания положительных
качеств личности; - методическая: создание условий для проявления
познавательной активности учащихся.
Оснащение урока:
- Оформление доски: слева — фигуры многоугольника,
справа — чистое полотно доски для записи на уроке,
в центре – многоугольник-прямоугольник. - Листок “К исследованию”.
- Инструментарии учителя и учащихся (мел, указка,
линейка, листок исследования, фигуры, ватман,
маркер).
Метод урока:
- По взаимодействию учителя и учащихся –
диалог-общение; - По способу решения задач – частично-поисковый;
- По способу умственной деятельности — (СУД)
развивающее обучение.
Форма урока — фронтальная, в парах,
индивидуальная.
Тип урока — урок усвоения новых знаний, умений и
навыков.
Структура урока — постепенное углубление в
тему, гибкая, диалогическая.
Ход урока
Приветствие.
Урок прекрасен и приносит радость, когда мы
мыслим, дружно работаем. Сегодня мы будем
рассматривать фигуры, определять их названия,
думать, искать и находить решения. Пожелаем друг
другу успешной работы.
Актуализация знаний.
Рассмотрите фигуры (на доске многоугольники).
Они все вместе. Почему? Какой у них общий
признак? (Многоугольники).
Назовите этот многоугольник (5-угольник,
6-угольник…)
Может быть, вы знаете, что такое площадь
многоугольника?
Тогда покажите на одной из фигур.
(Обобщение учителем: площадь — часть плоскости
внутри замкнутой геометрической фигуры.)
В русском языке это слово имеет несколько
значений.
(Ученик по словарю знакомит со значениями.)
- Часть плоскости внутри замкнутой
геометрической фигуры. - Большое незастроенное и ровное место.
- Помещение для какой-либо цели.
Какое из значений используется в математике?
В математике используется первое значение.
(На доске фигура).
Это многоугольник? Да.
Назовите фигуру по-другому. Прямоугольник.
Покажи длину, ширину.
Как найти площадь многоугольника?
Запишите при помощи букв и знаков формулу.
S = а * в
Если длина нашего прямоугольника 20 см, ширина
10см. Чему равна площадь?
Площадь равна 200 см2
Подумайте, как приложить линейку, чтобы фигура
разделилась на:
- Два треугольника
- Два четырехугольника
- Треугольник и четырехугольник
- Треугольник и пятиугольник
Увидели, из каких частей состоит фигура? А
теперь, наоборот, по частям соберем целое.
( Части фигуры лежат на партах. Дети собирают из
них прямоугольник ).
Сделайте вывод по наблюдениям.
Целую фигуру можно разделить на части и из
частей составить целую.
Дома на основе треугольников и
четырехугольников составляли фигуры, силуэты.
Вот какие они получились.
(Демонстрация рисунков, выполненных дома
учащимися. Одна из работ анализируется).
Какие фигуры использовал? У тебя получился
сложный многоугольник.
Постановка учебной задачи.
На уроке мы должны ответить на вопрос: как найти
площадь сложного многоугольника?
Для чего человеку нужно находить площадь?
(Ответы детей и обобщение учителем).
Задача определения площади возникла из
практики.
(Показывается план школьного участка).
Для того чтобы построить школу, сначала создали
план. Потом разбивалась территория на участки
определенной площади, размещались строения,
клумбы, стадион. При этом участок имеет
определенную форму — форму многоугольника.
Решение учебной задачи.
(Раздаются листы для исследования).
Перед вами фигура. Назовите ее.
Многоугольник, шестиугольник.
Найдем площадь многоугольника. Что для этого
надо делать?
Разделить на прямоугольники.
(При затруднении будет другой вопрос: “Из каких
фигур состоит многоугольник?”).
Из двух прямоугольников.
С помощью линейки и карандаша разделите фигуру
на прямоугольники. Обозначьте цифрами 1 и 2
полученные части.
Проведем измерения.
Найдем площадь первой фигуры.
(Учащиеся предлагают следующие варианты
решений и записывают их на доске).
1способ:
- S1 = 5 ? 2 = 10 см2
- S2 = 5 ? 1 = 5 см2
Зная площадь частей, как найти площадь целой
фигуры?
S = 10 + 5 = 15 см2
2 способ:
- S1 = 6 ? 2 = 12 см2
- S2 = 3 ? 1 = 3 см2
- S = 12 + 3 = 15 см2.
Сравните результаты и сделайте вывод.
Проследим наши действия
Как находили площадь многоугольника?
Составляется и записывается на плакате
алгоритм:?
1. Делим фигуру на части
2. Находим площади частей этих многоугольников (
S1, S2 ).
3. Находим площадь целого многоугольника ( S1
+ S 2 ).
Проговорить алгоритм.
( Несколько учащихся проговаривают алгоритм).
Мы нашли два способа, а может, есть еще?
А можно фигуру достроить.
Сколько прямоугольников получилось?
Два.
Обозначим части 1 и 2. Проведем измерения.
Найдите площадь каждой части многоугольника.
- S1=6? 5=30см2
- S2= 5 ? 3 = 15 см2
Как найти площадь нашего шестиугольника?
S = 30 – 15 = 15 см2
Составим алгоритм:
Достроили фигуру до прямоугольника
Нашли S1 и S2.
Нашли разность S1 – S2.
Сравните два алгоритма. Сделайте вывод. Какие
действия одинаковые? Где разошлись наши
действия?
Закройте глазки, опустите головки. Мысленно
повторите алгоритм.
Мы провели исследовательскую работу,
рассмотрели разные способы и теперь можем
находить площадь любого многоугольника.
Проверка результативности.
Проверьте себя.
Перед вами многоугольники.
Найти площадь одной фигуры по выбору, при этом
можете пользоваться разными способами.
Работа выполняется самостоятельно. Дети
выбирают фигуру. Находят площадь одним из
способов. Проверка – ключ на доске.
Что можно сказать о форме? ( Форма разная)
А какова площадь этих многоугольников? (
Площади этих многоугольников равны)
Оценивают результаты.
У кого правильно – поставь “+”.
У кого сомнения, затруднения – “?”
Консультанты оказывают помощь ребятам, ищут
ошибки, помогают исправить.
Домашнее задание:
Составить свои листки исследования, вычислить
площадь многоугольника разными способами.
Итог урока.
Итак, ребята, что вы расскажите родителям, о том
как найти площадь геометрической фигуры –
многоугольника.
Математика
5 класс
Урок №37
Многоугольники
Перечень рассматриваемых вопросов:
— наглядные представления о фигурах на плоскости;
— многоугольники;
— периметр многоугольника;
— выпуклые многоугольники;
— изображение геометрических фигур.
Тезаурус
Многоугольник – это фигура, образованная ломаной, у которой никакие два звена не имеют общих точек, кроме концов соседних звеньев ломаной.
Периметр многоугольника – это сумма всех его сторон.
Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника.
Обязательная литература
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы уже знаем, из каких элементов состоят некоторые геометрические фигуры и как их изобразить на плоскости. Сегодня мы рассмотрим многоугольник.
Ломаная линия лежит в основе построения многоугольника.
Построим ломаную. Для этого отметим на плоскости несколько точек – например, пять. Соединим их так, чтобы никакие два из отрезков, имеющих общие точки, не лежали на одной прямой. Полученная фигура и будет ломаной, которую обозначают A, B, C, D, E.
Отрезки АВ, ВС, СD,DE называются звеньями ломаной. У ломаной, которую мы изобразили, четыре звена.
Если измерить длину каждого звена и найти их сумму, то получится длина ломаной.
Измерим длину ломаной.
АВ = 4 см
ВС = 2 см
СD = 3 см
DE = 5 см
Сумма длин всех звеньев равна:
АВ + ВС + СD + DЕ = 14 см – длина ломаной
Теперь нарисуем ломаную таким образом, чтобы её конец совпадал с началом. Получается замкнутая ломаная A, B, C, D, E, А.
Фигуру, образованную таким образом, называют многоугольником. То есть многоугольник – это фигура, образованная ломаной, у которой никакие два звена не имеют общих точек, кроме концов соседних звеньев ломаной.
Стоит помнить, что многоугольником является как замкнутая линия, так и эта линия вместе с плоскостью внутри неё.
Такие звенья называются сторонами многоугольника. В нашем случае это стороны АВ, ВС, СD,DE, ЕА.
Углы, образованные двумя соседними сторонами, называют углами многоугольника, а их вершины – вершинами многоугольника.
∠А, ∠В, ∠С, ∠D, ∠E – углы многоугольника
Точки А, В, С, D, E – вершины многоугольника
Кроме того, у многоугольника есть ещё и диагонали.
Диагональ – это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника. АС, СЕ – диагонали.
Сумма всех сторон многоугольника составляет периметр многоугольника.
P = АВ + ВС + СD + DЕ + ЕА
Рассмотрим разновидности многоугольников.
Многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.
Например, многоугольник ABCDE – выпуклый. А многоугольник MNKLO – нет.
По числу сторон многоугольники делятся на треугольники, пятиугольники и так далее.
Кроме того, многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, называют правильными. Например, квадрат.
Многоугольники можно сравнить путём наложения. Если они полностью накладываются друг на друга, то считаются равными. При этом стоит помнить, они имеют одинаковые площади.
Для определения площади многоугольника надо выяснить, сколько раз выбранная единица измерения содержится в этой фигуре.
Не только человек может рисовать многоугольники. Природа тоже создаёт многоугольники в большом разнообразии. Рассмотрим, где они встречаются. Например, шестиугольники можно увидеть в сотах пчёл и – под микроскопом – в строении глаза мухи или некоторых других насекомых.
Панцирь черепахи тоже изобилует большим количеством многоугольников. Как и кожа змеи: она буквально покрыта многоугольниками. В общем, природа постаралась и разнообразила мир геометрическими фигурами.
Тренировочные задания
№ 1. Чему равен периметр правильного шестиугольника со стороной 4 см?
Решение: для решения этой задачи достаточно вспомнить, что в правильных фигурах все стороны равны, следовательно, все стороны шестиугольника равны 4 см. Вычислим периметр шестиугольника, это сумма всех его сторон.
Р = 4 см + 4 см + 4 см + 4 см + 4 см + 4 см = 24 см
Ответ: 24 см.
№ 2. Из листа железа размером 10 × 14 см вырезали два квадрата со стороной 4 см и три прямоугольника со сторонами 2см и 6см. Определите площадь остатка.
Решение: сначала найдём площадь листа:
S = 10 cм · 14 см = 140 см2
Далее вычислим площадь квадратов со сторонами 4см:
S = 4 cм · 4 см = 16 см2
Тогда площадь двух квадратов равна:
16 см2· 2 = 32 см2
Найдём площадь прямоугольника:
S = 2 cм · 6 см = 12 см2
Тогда площадь трёх прямоугольников равна:
12 см2· 3 = 36 см2
Определим площади всех квадратов и прямоугольников, вырезанных из листа:
32 см2 + 36 см2 = 68 см2
А теперь найдём площадь остатка: 140 см2 – 68 см2 = 72 см2
Ответ 72 см2
План урока:
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь произвольного треугольника
Площадь параллелограмма
Площадь ромба
Площадь трапеции
Площадь прямоугольного треугольника
Пусть в прямоугольном треугольнике известны два его катета. Обозначим их буквами а и b. Как тогда вычислить площадь такого треуг-ка?
Прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника:
Площадь получившегося прямоугольника равна произведению чисел а и b. С другой стороны, прямоугольник состоит из двух треуг-ков площадью S, поэтому его общая площадь составляет 2S. Тогда можно записать, что
Задание. Катеты прямоугольного треугольника имеют длины 3 и 4. Определите его площадь.
Решение. Просто подставляем в формулу вместе букв a и b числа 3 и 4:
Задание. Площадь прямоугольного треугольника равна 100, а один катет больше другого вдвое. Найдите оба катета.
Решение. Пусть меньший катет равен х, тогда больший катет будет равен 2х. Выразим площадь прямоугольного треугольника через х:
Естественно, нас интересует только положительный корень, а отрицательный можно отбросить:
x = 10
Меньший катет оказался равным 10, тогда больший катет, который вдвое больше, будет равен 20.
Ответ: 10; 20.
Задание. Найдите площадь фигуры, показанной на рисунке. Сторона каждой клеточки имеет длину, равную единице:
Решение. Эту фигуру можно разбить на квадрат со стороной 8 и два прямоугольных треуг-ка, то есть всего на три фигуры:
Подсчитаем площадь каждой из трех фигур по отдельности:
Чтобы найти площадь всей фигуры, достаточно просто сложить три полученных числа:
Задание. Вычислите площадь треуг-ка, изображенного на рисунке (площадь каждой отдельной клеточки составляет единицу):
Решение. Здесь проблема заключается в том, что треуг-к прямоугольным не является. Однако можно построить прямоуг-к, который будет состоять сразу из 4 треуг-ков:
Мы можем найти как площадь всего прямоугольника (обозначим ее как S), так и площади трех прямоугольных треуг-ков S1, S2 и S3:
Площадь произвольного треугольника
Перейдем к более сложному случаю, когда необходимо подсчитать площадь произвольного треугольника, не являющегося прямоугольным. Предположим, надо найти площадь произвольного ∆АВС. Опустим из А на сторону ВС высоту АН:
В результате мы получили два прямоугольных треуг-ка, ∆АВН и ∆АCН. Мы уже знаем, как найти их площади:
Общая площадь всего ∆АВС равна сумме площадей ∆АВН и ∆АСН. Запишем ее и вынесем общий множитель АН/2 за скобки:
В скобках стоит сумма ВН + НС. Но ведь эта сумма равна длине стороны ВС! Тогда окончательно формулу можно записать в виде:
Получили, что для вычисления площади произвольного треугольника надо сначала умножить его высоту на сторону, на которую она падает, а далее поделить результат на 2. Однако для полного доказательства этого факта надо рассмотреть особый случай, когда высота в треуг-ке падает не на сторону, а на ее продолжение (такая ситуация возникает в тупоугольном треуг-ке):
На рисунке снова получились всё те же прямоугольные треуг-ки ∆АСН и ∆АВН. Запишем формулы их площади:
Отличие в том, что на этот раз площадь АВС можно вычислить не как сумму, а как разницу этих площадей:
Итак, можно сформулировать следующее правило:
Примечание. Часто сторону, на которую опущена высота, называют основанием треуг-ка.
Задание. Вычислите площадь ∆АВС, если сторона АВ имеет длину 7, а высота СН равна 4.
Решение. В данной задаче на сторону длиной 7 падает высота длиной 4. Надо просто подставить эти числа в формулу:
Задание. Докажите, что медиана треуг-ка разбивает его на два равновеликих треуг-ка.
Решение.
Пусть в ∆АВС проведена медиана СМ. Требуется доказать, что
Важно заметить, что СН будет являться высотой не только для ∆АВС, но также и для ∆СВМ и ∆САМ. Обозначим СН как h, а АВ как а. Тогда мы можем найти длины отрезков ВМ и АМ, ведь медиана делит сторону АВ пополам:
Получили одно и то же значение, то есть площади треуг-ков равны.
В рассмотренной задаче мы использовали тот факт, что у нескольких треуг-ков может быть общая высота. Общая высота используется и в многих других геометрических задачах.
Задание. Предложите способ, как разделить треуг-к, показанный на рисунке, на три равновеликих треуг-ка:
Чтобы треуг-ки были равновелики, достаточно, чтобы у них была общая высота, а основания, на которые эта высота падает, были бы равны друг другу. Поэтому можно просто поделить нижнюю сторону на три одинаковых отрезка (длиной по 7 клеток) и соединить концы полученных отрезков с противоположной вершиной:
Красной линией здесь показаны границы треуг-ков, а штриховой – их общая высота СН. Вычислить площадь каждого из треуг-ков можно по следующим формулам:
Но отрезки BD, DE и EA одинаковы (по 7 клеточек), поэтому одинаковы будут и площади:
Заметим, что необязательно делить на три одинаковых отрезка именно нижнюю сторону. Допустимы и два других варианта решения:
Но и это не единственные решения задачи. Попробуйте самостоятельно предложить ещё несколько вариантов.
Формула площади треуг-ка показывает, что между длинами высот и сторон есть взаимосвязь.
Задание.В ∆РЕТ РЕ = 72, ЕТ = 45. Высота ТН имеет длину 40. Найдите высоту РМ.
Решение.
Зная ТН и РЕ, мы сможем найти площадь треуг-ка:
Теперь запишем эту формулу площади в ином виде, когда используется высота МР и сторона ЕТ
Величину SРЕТ мы только что вычислили, а длина ЕТ известна из условия, поэтому можно подставить их в формулу:
Площадь параллелограмма
Для вычисления площади параллелограмма введем понятие «высота параллелограмма». Так называют перпендикуляр, опущенный на сторону параллелограмма (ее в такой ситуации часто называют основанием) из одной из вершин параллелограмма. Важно понимать, что высоты могут упасть не на само основание, а на его продолжение. Так как у каждого параллелограмма есть 4 вершины, а из каждой из них можно опустить высоту на две противоположных вершины, то всего у параллелограмма должно быть 8 высот:
На рисунке синим показаны высоты параллелограмма, а красным цветом отмечены продолжения оснований. Оказывается, что площадь параллелограмма равна произведению его высоты и основания, на которую она опущена. Докажем это.
Опустим в параллелограмме АВСD высоты ВН и СК:
В результате получили четырехуг-к ВНКС, который является прямоугольником, ведь все его углы прямые. Очевидно, что ∆АВН и ∆DCK равные. Это можно доказать тем, что они являются прямоугольными, у них есть одинаковые гипотенузы АВ и CD (они равны как противоположные стороны параллелограмма) и одинаковые катеты ВН и СК (это уже противоположные стороны прямоугольника ВНКС).
Раз они равны, то одинаковы и их площади:
Но величину S3 можно заменить на S2. В свою очередь полученная сумма равна площади прямоугольника ВНКС, которая может быть вычислена как произведение его смежных сторон:
Но ВН – это высота, а НК – основание параллелограмма. То есть мы доказали следующее утверждение:
Задание. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке:
Решение. По рисунке несложно определить длину как основания, так и высоты параллелограмма:
Далее надо просто перемножить эти длины:
Примечание. Конечно, если вы вдруг забыли формулу площади параллелограмма, можно просто разделить его на прямоугольник и два прямоугольных треуг-ка:
Дальше можно просто посчитать по отдельности S1, S2и S3, после чего сложить их. Попробуйте сделать это самостоятельно.
Задание. Площадь параллелограмма равна 162 см2, а одна из его высот вдвое короче основания, к которому она проведена. Найдите эту высоту и основание.
Решение. В данной задаче не потребуется даже рисунок. Обозначим высоту буквой h, тогда основание, которое вдвое длиннее, составляет 2h. Произведение этих чисел – это площадь, то есть оно равно 162:
Высота равна 9, а основание будет вдвое больше, то есть его длина равна 18.
Ответ: 9 и 18.
Задание. Смежные стороны параллелограмма ABCD имеют длину 12 и 14 см, а угол между ними равен 30°. Вычислите его площадь.
Решение. Опустим на сторону длиной 14 см высоту:
Для вычисления площади надо сначала найти высоту ВН. Её можно определить из ∆АВН. Он является прямоугольным, а его острый угол∠А = 30°. У такого треуг-ка катет, лежащий против 30°, вдвое меньше АВ:
Площадь ромба
Многие четырехуг-ки, изученные нами ранее, являются частными случаями параллелограмма. Для прямоугольника и квадрата мы уже знаем формулы вычисления площади. Осталось разобраться с ромбом. Ясно, что его площадь можно найти также, как и у параллелограмма. Однако площадь ромба можно посчитать и зная только его диагонали.
Построим ромб и проведем в нем диагонали:
Нам уже известно, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, а точка их пересечения является серединой для каждой диагонали:
Получается, что диагонали разбивают ромб на 4 одинаковых прямоугольных треуг-ка. Высчитаем, к примеру, SAOB:
В результате мы доказали следующее утверждение:
Задание. Одна диагональ ромба равна 3,2 дм, а другая составляет 14 см. Найдите его площадь.
Решение. Для начала надо перевести все длины в одинаковые единицы измерения. Заменим дециметры на сантиметры:
Задание. Одна диагональ ромба в три раза длиннее другой, а площадь фигуры составляет 150. Вычислите длину диагоналей ромба.
Решение. Обозначим меньшую диагональ как х, тогда вторая будет равна 3х. Выразим площадь через х:
Вторая диагональ ромба будет втрое длиннее, то есть ее длина равна 3•10 = 30
Ответ: 10 и 30 см.
Площадь трапеции
Осталось рассмотреть единственный известный нам вид четырехуг-ка, который не является параллелограммом. Это трапеция. Для вычисления ее площади также потребуется высота. Под ней подразумевают перпендикуляр, опущенный из вершины трапеции на одно из ее оснований. Другими словами, высота трапеции – это расстояние между основаниями трапеции.
В произвольной трапеции ABCD, где АD – большее основание, опустим из В высоту (то есть перпендикуляр) на AD, а из D– высоту на ВС. Также проведем диагональ ВD:
Ясно, что общая площадь трапеции будет равна сумме площадей ∆АВDи ∆ВСD. В свою очередь площадь каждого из них можно подсчитать по стороне и опущенной на нее высоте. Высоты мы как раз и провели, это ВН и DK, поэтому можно записать:
Теперь заметим, что отрезки ВН и КD одинаковы, ведь фигура ВНDК является прямоугольником. Тогда площадь ∆ВСD можно записать в таком виде:
В итоге мы доказали, что для вычисления площади трапеции следует ее высоту умножить на сумму длин оснований, после чего поделить результат на два. Обычно этот факт записывают следующим образом:
Задание. У трапеции АВСD основаниями являются АВ (21 см) и CD (17 см). Высота ВН составляет 7 см. Найдите площадь трапеции.
Решение. Это простая задача на использование формулы площади трапеции:
Задание. Найдите площадь прямоугольной трапеции, показанной на рисунке (площадь клеточки равна единице):
Решение. На рисунке показана прямоугольная трапеция. Её высота равна длине ее правой боковой стороны трапеции. Покажем размеры, необходимые нам для выполнения расчета:
Считаем площадь:
Задание. Тупой угол равнобедренной трапеции составляет 135°. Проведенная из этого угла высота делит противолежащее основание на отрезки длиной 14 и 34 см. Какова площадь трапеции?
Решение. Выполним построение:
Найдем острый угол трапеции. Так как CD||АВ, то
Рассмотрим ∆АDH. Он прямоугольный, а один из его острых углов равен 45°. Тогда и второй острый угол также равен 45°. То есть это равнобедренный треуг-к. Это помогает найти длину высоты DH:
ведь это прямоугольныетреуг-ки с равными гипотенузой и катетом:
Из равенства треуг-ков следует, что
Итак, сегодня мы узнали, как вычислять площади треуг-ков и некоторых видов четырехуг-ков. В большинстве случаев предварительно необходимо найти высоту в многоугольнике. В будущем мы узнаем ещё несколько формул для вычисления площадей фигур.
Как найти площадь многоугольника
Все, что имеет больше двух углов, является многоугольником, в том числе и треугольник. Рассмотрим, как найти площадь многоугольников.
1
Как найти площадь многоугольника – треугольник
- S = 1/2×h×b, где h – высота, а b – сторона.
- S = 1/2 a×b×sinα, где а и b – стороны треугольника, а sinα – синус угла между ними.
- S = √p×(p-a)×(p-b)×(p-c), где p – половина периметра, а, b, c – стороны. Если известны все стороны треугольника, то найти площадь можно именно по этой формуле.
- S = r×p, где r – радиус вписанной окружности, а p – половина периметра. Если в треугольник вписана окружность, то для нахождения площади можно использовать эту формулу.
- S = abc/4R, где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности. Если треугольник вписан в окружность, для нахождения площади треугольника можно использовать эту формулу.
Прямоугольный треугольник
- S = 1/2×ab, где a и b – катеты прямоугольного треугольника.
- S = d×e, где d и e отрезки гипотенузы, образованные при касании вписанной окружности об гипотенузу.
- S = (p-a)×(p-b), где p – половина периметра, а и b – катеты.
Равнобедренный треугольник
- S = 1/2×a²×sina, где а – бедро треугольника, sina же – угол между бедрами.
- S = b²/4tgα/2, где b – основание треугольника, а tgα – угол между бедрами.
Равносторонний треугольник
- S = √3×a²/4, где а – сторона треугольника (любая, так как в равностороннем треугольнике все стороны равны).
- S = 3√3×R²/4, где R – радиус окружности, в которую вписан треугольник.
- S = 3√3×r², где r – радиус окружности, которая вписана в треугольник.
- S = h²/√3, где h – высота равностороннего треугольника.
2
Как найти площадь многоугольника – квадрат
- S = a², а – сторона квадрата. Так как все стороны квадрата равны, достаточно умножить одну его сторону на другую.
- S = d²/2, где d – диагональ квадрата.
3
Как найти площадь многоугольника – прямоугольник
- S = a×b, где a и b – стороны прямоугольника. Так как противолежащие стороны в прямоугольнике равны, достаточно умножить одну его сторону (длину) на не противолежащую, перпендикулярную сторону (ширину).
- S = a²+b²=c², где a – ширина, b – длина, а c – диагональ. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника и если в условии задачи дана одна сторона прямоугольника и его диагональ, несложно будет найти и третью сторону, использую теорему Пифагора. После того как мы найдем эту сторону, ищем площадь по стандартной формуле a×b. Пример: Ширина прямоугольника – 3см, диагональ – 5 см. Найти площадь. Пишем 3² + x² = 5². x² = 16 => x = 4. S = a×b = 3×4=12. Ответ: S прямоугольника = 12см²
4
Как найти площадь многоугольника – трапеция
- S = (a+b)×h/2, где a – маленькое, b – большое основание трапеции, h – высота.
- S = h×m, где h – высота, m – средняя линия трапеции, равная половине суммы оснований – 1/2×(a+b).
- S = 1/2×d1×d2×sinα, где d1 и d2 – диагонали трапеции, а sinα – синус угла между ними.
- S = a+b/2×√c²-((b-a)²+c²-d²/2(b-a))², где a и b – основания трапеции, c и d – остальные две стороны.
Равнобедренная трапеция
S = 4r²/sinα, где r – радиус вписанной окружности, а sinα – синус угла между стороной и основанием.
5
Площадь правильного многоугольника
- S = r×p = 1/2×r×n×a, где r – радиус вписанной окружности, p – половина периметра. Для того чтобы найти площадь любого правильного многоугольника, нужно разбить его на равные треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности.
- S = n×a²/4tg(360°/2n), где n – число сторон правильного многоугольника, а – длина стороны.
Также вычислить площадь правильного многоугольника поможет данный онлайн сервис. Просто вставьте нужное значение и получите ответ.
6
Площадь неправильного многоугольника
Площадь неправильного многоугольника можно найти с помощью координат его вершин. Если в условии задачи даны вышеупомянутые координаты, то выполняем следующее:
- Составляем таблицу указывая букву, обозначающую вершину и соответствующие координаты (x; y).
- Умножаем значение x одной вершины на значение y второй и так далее.
- Складываем все значение, получаем какое-то число.
- Составляем точно такую таблицу, по такому же принципу умножаем y координату одной вершины на x координату второй, складываем получившиеся значения.
- От суммы значений первой таблицы отнимаем сумму значений второй таблицы.
- Полученное число делим на 2 и тем самым находим площадь неправильного многоугольника.
Многоугольником считается фигура,имеющая количество сторон больше или равное 3.
1)Площадь треугольника со сторонами a,b,c, и высотами h1,h2,h3,
площадь S =a*h1/2=b*h2/2=c*h3/2,
или по формуле Герона :
S= V p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
где p — полупериметр.
Площадь четырехугольника:
1)площадь квадрата :S = a^2,
2)площадь прямоугольника :S = a *b,
3)площадь параллелограмма : S =a * h1 = b *h2,
4)площадь ромба S = a *h =d1*d2,
где a,b -стороны четырёхугольника,h1,h2-высоты,d1,d2-диагонали ромба.
5)площадь произвольного четырёхугольника определяется путем разбивки его по диагонали и нахождения площади каждого треугольника отдельно.
Площадь правильного многоугольника равна произведению полупериметра =n*a,на апофему h
S=(n*a)*h/2
где а-сторона многоугольника,n-число сторон,h-апофема.