Как найти площадь многоугольника формула пика

Каждому из нас нередко приходилось считать площадь решётчатого многоугольника (изображённого, например, на клетчатой бумаге). В основном, это делают ещё по известным со школы формулам. Но в этом случае для каждой фигуры приходится помнить выражение её площади.
Не легче ли использовать одну формулу для всех многоугольников?
— Сказка? — Нет, теорема Пика!

• Названа она в честь Георга Пика (нет, не оружия или покемона), доказавшего её в 1899 году.

Формулировка звучит так:
S = В + Г / 2 − 1, где S — площадь многоугольника, В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
• Важное замечание: формула справедлива только для многоугольников, у которых вершины расположены в узлах решетки.

Например, для многоугольника на рисунке, В=7 (красные точки), Г=8 (зелёные точки), поэтому S = 7 + 8/2 — 1 = 10 квадратных единиц.

Докажем теорему Пика:
• Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны a и b. Имеем в этом случае В = (a-1)(b-1),  Г = 2a+2b и, по формуле Пика, S = (a-1)(b-1)+a+b-1 = ab .
• Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Тогда для этого случая В = ((a-1)(b-1)-c+2)/2,  Г = (2a+2b)/2+c-1 и получаем, что S = ab/2.
• Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников (см. рисунок). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

• Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно триангулировать, т.е.  разбить на треугольники (например, диагоналями).  Отсюда по индукции следует, что формула Пика верна для любого многоугольника.   чтд

К сожалению, эта столь простая и красивая формула плохо обобщается на высшие размерности.
Наглядно показал это Рив, предложив в 1957 г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдром Рива) со следующими вершинами:
A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(1,1,k)
Тогда этот тетраэдр ABCD при любых k не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе — лежат только четыре точки A, B, C, D. Таким образом, объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, формула Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай.
Тем не менее, некоторое подобное обобщение на пространства большей размерности всё же имеется, — это многочлены Эрхарта, но они весьма сложны, и зависят не только от числа точек внутри и на границе фигуры.

Специально для ЖЖ матфака, Сергей Романов.

Формула Пика проста в понимании и удобна в применении. Во-первых, достаточно уметь считать, делить на 2, складывать и вычитать. Во-вторых, можно найти площадь и сложной фигуры, не затратив много времени. В-третьих, эта формула работает для любого многоугольника.

Недостаток в том, что Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток.

https://osa-irk.dostavka-byketov.ru городские цветы Оса.

Грибановский муниципальный район

Воронежской области

Муниципальные педагогические чтения «Киселёвские чтения – 11»

«Формула Пика для нахождения площади многоугольника»

                                                       Подготовила: Табакова Ольга Николаевна

 учитель МКОУ Верхнекарачанской СОШ

2021 г.

«Геометрия есть знание величин,

фигур и их границ,

а также отношений между ними

и производимых над ними операций,

разнообразных положений и движений»

Диа́дох Прокл

В 21 веке, некоторым детям, порой сложно запомнить огромное количество информации, поступающей каждый день в школе, и даже вызубренные формулы по математике, которые используются для нахождения площади различных фигур, будь то треугольник, параллелограмм или трапеция, часто забываются.

Задание, нахождение площади многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге очень интересное, увлекательное. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны.  Мы знаем разные способы выполнения таких заданий: способ достраивания, способ разбиения и др. Одним из таких способов является формула Пика для нахождения площади многоугольника.

Актуальность данной темы заключается в том, чтобы помочь выпускникам 9-ых и 11-х классов подготовиться к сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Немного истории:

 Георг Александр Пик

(10. 09. 1859 – 13. 07. 1942)

Георг Александр Пик – австрийский математик. Родился Георг Пик в еврейской семье Он был одарённым ребёнком, его обучал отец, возглавлявший частный институт. До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), а затем поступил сразу в четвёртый класс гимназии. В шестнадцать лет Пик сдал выпускные экзамены и поступил в университет в Вене. Уже в следующем году Пик опубликовал свою первую работу по математике. После окончания университета в 1879 году он получил право преподавать математику и физику. В 1880 году Пик защитил докторскую диссертацию, а в 1881 году получил место ассистента на кафедре физики Пражского университета. В 1888 году он был назначен экстраординарным профессором математики, затем в 1892 году в Немецком университете в Праге был назначен ординарным профессором (полным профессором).

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика.

Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. Эта теорема оставалась незамеченной в течение некоторого времени, однако в 1949 году польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему в свой знаменитый «Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна.

Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Когда нацисты вошли в Австрию 12 марта 1938 года, он вернулся Прагу. В марте 1939 года нацисты вторглись в Чехословакию. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

Формула Пика.

, где

S- площадь многоугольника

В-количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника;

Г-количество узлов сетки, лежащих на границе многоугольника.

Основное условие для применения формулы Пика: у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге (решётке), должны быть только целочисленные вершины, то есть они обязательно должны находиться в узлах решётки. ( узел –это пересечение клеток ).

 В -7 узлов

Г- 8 узлов

Формула Пика универсальна, по ней можно вычислить площадь любого многоулольника на клетчатой бумаге.

В-15 узлов

Г-4 узла

Свавним различные способы вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге:

Задача 1. Найти площадь четырехугольника

Задача 2.

Сравнивая, полученные результаты, видно, что ответ получается одинаковый. Найти площадь фигуры по формуле Пика, оказалось быстрее и легче, ведь вычислений было меньше. 

Таким образом, видно, что формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

• для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу:

• формула Пика проста для запоминания;
• формула Пика  очень удобна  и проста в применении;
• многоугольник, площадь которого необходимо вычислить может быть любой, даже самой причудливой.

Вывод: вычисление площадей сложных фигур с помощью формулы Пика легче, чем вычисление методом достраивания и разбивания фигур на части, так как требуется меньше вычислений, а, следовательно, меньше времени.

Формула Пика — это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, чтобы подобраться к вычислению её площади «через знакомых».

С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы).

Григорий Мерзон
«Квантик» №9, 2018

Формула Пика

Как найти площадь многоугольника на клетчатой бумаге? Можно подсчитать число клеток, которые полностью накрыты фигурой, и ещё как-то учесть клетки, накрытые фигурой частично, — скажем, прибавить половину от числа этих клеток. И сказать, что площадь фигуры (в клеточках) приблизительно равна полученной сумме.

А можно вместо клеток, полностью или частично накрытых многоугольником, считать узлы сетки (вершины клеток) строго внутри многоугольника или на его границе.

Действительно, вокруг каждого узла сетки можно нарисовать по единичному квадратику. И если узел лежит на границе многоугольника, то этот квадратик накрыт многоугольником только частично. А если узел лежит внутри, то обычно и квадратик накрыт многоугольником полностью… впрочем, иногда всё же не полностью — но мы и считаем площадь только приближённо.

Но чудесным образом последний рецепт всегда даёт почти правильный ответ! А именно, верна Формула Пика. Площадь S многоугольника с вершинами в узлах сетки можно найти по формуле

S
=
i
+

b

2

−
1
,

где i — число узлов сетки строго внутри многоугольника, b — число узлов сетки на его границе.

Подчеркнём, что это уже не приближённая, а точная формула!

Интересно, что хотя длины сторон у многоугольников обычно совершенно не целые, формула Пика гарантирует, что площадь всегда получится целой или полуцелой.

Тающий лёд

Формула Пика известна с XIX века, и с тех пор у неё появилось много доказательств, но большинство из них не такие уж простые. Мы обсудим предложенный в 1997 году швейцарским математиком Кристианом Блаттером мысленный эксперимент с тающим льдом, который сразу объясняет формулу Пика.

Поставим на каждый узел сетки по одинаковому цилиндрическому столбику изо льда. Каждый столбик очень тонкий (пересекается только с теми сторонами многоугольника, которые проходят через центр столбика) и весит 1 грамм.

Построим вокруг каждого столбика забор в виде единичного квадратика, после чего растопим весь лёд (во всех квадратиках вода растекается одинаково и симметрично относительно центра своего квадратика). Вся клетчатая плоскость будет равномерно залита водой, и в каждой ячейке площади 1 будет по 1 грамму воды. То есть количество воды в нашем многоугольнике (в граммах) будет равно его площади (в клетках).

С другой стороны, задумаемся, откуда эта вода попала в наш многоугольник. Посмотрим на какую-нибудь конкретную сторону многоугольника. Если через неё внутрь многоугольника втекла вода из какого-то столбика, то точно столько же воды из симметричного столбика (симметричного относительно середины этой стороны) через неё из многоугольника вытекло.

То есть внутри многоугольника ровно столько воды, сколько в нём было льда! А сколько в нём было льда? Каждый из узлов сетки внутри многоугольника даёт вклад 1 грамм, общий вес получается i граммов. Узлы на сторонах обычно дают по 

1

2

 грамма, но только если это не вершина, для вершины этот вес меньше — так что и общий вес узлов на границе получается не 

b

2

 граммов, а меньше.

Насколько меньше? Продлим немного каждую сторону, обходя многоугольник вдоль сторон по часовой стрелке. На рисунке ниже красная часть дополняет каждую из синих частей до половины круга. Но красные части в сумме дают ровно один круг! Ведь, обходя многоугольник по контуру, мы в каждой вершине поворачиваемся на угол, соответствующий красной части, пока не вернёмся в исходную точку, сделав как раз полный оборот.

То есть суммарный вес льда внутри многоугольника равен

i
+

b

2

−
1
, и мы получили формулу Пика!

Художник Мария Усеинова

Вокруг формулы Пика

Как найти площадь произвольного многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги?

В простых ситуациях его можно разбить на треугольники (рис. 1а) или, наоборот, достроить до прямоугольника (рис. 1б). Но как быть в общем случае? Посмотрите, скажем, на рисунок 1в.

Оказывается, достаточно подсчитать числовершин внутри многоугольника и число на его границе — тогда его площадьбудет равна

Формула выглядит удивительно просто. Интересно, столь же просто её доказать?

Этап 1: ШАГ ИНДУКЦИИ. Предположим, что многоугольник разбит диагональю на два, для которых формула доказана. Тогда несложно показать, что она верна и для.

Этап 2: ТРИАНГУЛЯЦИЯ. Многократно проводя внутренние диагонали, разобьём наш многоугольник на элементарные треугольники (не содержащие узлов ни на границе, ни внутри, кроме вершин). Для такого треугольникаипоэтому площадь должна быть равна

Этап 3: БАЗА ИНДУКЦИИ. Остаётся доказать, что площадь элементарного треугольника равнаМы приведём важное и красивое рассуждение.

Пусть треугольник имеет вершины иДостроим его до параллелограмма, добавив вершину и замостим его копиями всю плоскость (рис. 2).

Элементарность нашего треугольника равносильна тому, что любой узелможно получить из узлацелочисленными сдвигами сторониИными словами, для любых целыхинайдутся целыеитакие, что

Неожиданно, геометрическая задача свелась к чисто алгебраической — системе линейных уравнений. Её решение даётся формулами Крамера

Хорошо известно, что определительпо модулю равен площади параллелограмма, построенного на векторахипоэтому нам надо доказать, что
Приимеема при
Так каквсегда должны быть целыми, то кратныоткудакратно , что возможно, лишь при Формула Пика доказана.

В заключение сделаем несколько замечаний.

• Приведённое рассуждение с замещением плоскости на школьном языке иллюстрирует важные идеи высшей алгебры — описание базисов свободной абелевой группыи группы её автоморфизмов:

  

• Последний факт можно обобщить на высшие размерности:

• А вот формула Пика неверна уже в трёхмерном пространстве: объём многогранника с целыми вершинами не выражается через количества вершин внутри, на гранях и рёбрах.

• Вместе с тем существуют варианты обобщения формулы Пика для некоторых классов целочисленных многомерных многогранников (например, с центрально-симметричными гранями).

Автор: Андрей Канунников, к. ф.-м. н., мехмат МГУ, преподаватель ШАД Хелпер