Как найти площадь многоугольника прямоугольника 5 класс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Математика

5 класс

Урок №30

Площадь прямоугольника. Единицы площади

Перечень рассматриваемых вопросов:

— понятие площади фигуры;

-единицы измерения площади;

— площадь прямоугольника, квадрата;

— приближенное измерение площади фигуры на клетчатой бумаге.

Тезаурус

Прямоугольник – четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Площадь прямоугольника– число, которое показывает, сколько квадратных единиц содержится в прямоугольнике.

Основная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы.// И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы начнём занятие с задачи. Представим, что две девочки пришли в магазин, чтобы купить в подарок подруге на день рождения коробку конфет. На витрине были разложены самые разные наборы сладостей. Девочки решили купить ту коробку, которая больше. А какая из них больше? Как это измерить? Можно сравнить коробки по длине и ширине или просто положить их друг на друга. Но одна коробка оказалась длиннее, а другая – шире. Какая же из них больше? Как это узнать?

Чтобы ответить на эти вопросы, мы поговорим о вычислении площади прямоугольника.

Для начала введём понятие площади фигуры.

Если какую-нибудь площадь можно разбить на n квадратов со стороной, например, 1 см, то получится, что площадь фигуры равна n см².

За единицу измерения площадей принимают не только квадратный сантиметр, но и квадратный миллиметр, квадратный дециметр, квадратный метр.

Это площади квадратов, длины сторон которых равны одному миллиметру, одному дециметру и одному метру соответственно.

Далее покажем, что подразумевается под площадью прямоугольника.

Площадью прямоугольника называют число, которое показывает, сколько квадратных единиц содержится в прямоугольнике.

Называя величину площади, необходимо указывать единицу измерения.

Например, прямоугольник состоит из пятнадцати квадратов; площадь каждого квадрата составляет 1 см². Следовательно, площадь всего прямоугольника равна 15 см².

S = 15 см²

Решим задачу.

Найдём площадь прямоугольника ABCD, который имеет длину АВ = 6 см и ширину ВС = 7 см. Для этого разделим его на квадратные сантиметры. Сосчитаем, сколько квадратных сантиметров в нём содержится.

В прямоугольнике ABCD квадратный сантиметр содержится сорок два раза – значит, его площадь равна: S = 42 см² = 6 см · 7 см = АВ · ВС.

Поэтому можно ввести формулу для нахождения площади прямоугольника.

Чтобы найти площадь прямоугольника S, нужно умножить его длину a на ширину b.

S = а · b

Так как квадрат является прямоугольником, у которого все стороны равны, то его площадь можно вычислить как квадрат его стороны а.

S = а · а = а²

Далее найдём соотношение между единицами измерения площадей.

Так как 1 см = 10 мм, следовательно, 1 см² = 10² мм² = 100 мм².

Соответственно, 1 дм² = 10²см² = 100 см²

1 м² = 10² дм² = 100 дм²

1 км² = 1000²м² = 1000000 м².

Для измерения небольших площадей земельных участков используют специальную единицу измерения– ар, которая равна площади квадрата со стороной десять метров. В обиходе ар называют соткой, так как один ар– это сто квадратных метров.

1 ар = 10² м²= 100 м²

Для обмера больших земельных территорий ввели единицу один гектар, которая соответствует площади квадрата со стороной сто метров.

1 га = 100² м² = 10000 м² = 100 а

Решим задачу.

Найдём площадь прямоугольника.

При измерении окажется, что стороны с недостатком приближенно равны трём и пяти сантиметрам. Значит, площадь прямоугольника больше, чем произведение этих сторон, то есть пятнадцати квадратных сантиметров.

S (с недостатком) = 3 · 5 = 15 см²

Если взять стороны в приближении с избытком, то есть четыре и шесть сантиметров, то площадь будет меньше произведения сторон, а именно равна двадцати четырём квадратным сантиметрам.

S (с избытком) = 4 · 6 = 24 см²

Таким образом, площадь этого прямоугольника варьируется от пятнадцати до двадцати четырёх квадратных сантиметров.

15 см² < S < 24 см²

Отметим, что равные прямоугольники имеют равную площадь.

Сравним площади закрашенных квадратов, изображённых на рисунке.

Решение: если посмотреть внимательно на рисунок, то можно заметить, что все фигуры расположены в одинаковых квадратах со стороной 9 клеток, следовательно, площади этих квадратов одинаковы. На верхнем рисунке шесть фигур – два квадрата и четыре треугольника. На нижнем рисунке пять фигур – квадрат и четыре треугольника.

Далее внимательно посмотрим на треугольники – все они одинаковы, следовательно, их площади одинаковы. И, если из больших квадратов, в которых расположены наши фигуры, мы отнимем сумму площадей равных треугольников, получится, что площади оставшихся фигур (квадратов) верхней и нижней части равны.

Примеры заданий из Тренировочного модуля

№ 1. В квадрате все стороны равны 5 см. Чему равна площадь квадрата?

Решение: Для нахождения площади квадрата воспользуемся следующей формулой:

S = а² = 5см · 5 см = 25 см²

№ 2. Найдите площадь фигуры.

Решение: сначала следует разделить фигуру на три прямоугольника, далее найти площадь каждого по формулеS=а · b, а затем сложить площади трёх фигур. Или можно найти площадь прямоугольника со сторонами 10 см и 3 см, она равна 30 см². Далее вычислить площадь вырезанной фигуры со сторонами 2см на 1 см, она составляет 2см². И вычесть 2 см²из 30см².

Ответ: 28 см².

Источник

План урока:

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь параллелограмма

Площадь ромба

Площадь трапеции

Площадь прямоугольного треугольника

Пусть в прямоугольном треугольнике известны два его катета. Обозначим их буквами а и b. Как тогда вычислить площадь такого треуг-ка?

Прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника:

Площадь получившегося прямоугольника равна произведению чисел а и b. С другой стороны, прямоугольник состоит из двух треуг-ков площадью S, поэтому его общая площадь составляет 2S. Тогда можно записать, что

Задание. Катеты прямоугольного треугольника имеют длины 3 и 4. Определите его площадь.

Решение. Просто подставляем в формулу вместе букв a и b числа 3 и 4:

Задание. Площадь прямоугольного треугольника равна 100, а один катет больше другого вдвое. Найдите оба катета.

Решение. Пусть меньший катет равен х, тогда больший катет будет равен 2х. Выразим площадь прямоугольного треугольника через х:

Естественно, нас интересует только положительный корень, а отрицательный можно отбросить:

x = 10

Меньший катет оказался равным 10, тогда больший катет, который вдвое больше, будет равен 20.

Ответ: 10; 20.

Задание. Найдите площадь фигуры, показанной на рисунке. Сторона каждой клеточки имеет длину, равную единице:

Решение. Эту фигуру можно разбить на квадрат со стороной 8 и два прямоугольных треуг-ка, то есть всего на три фигуры:

Подсчитаем площадь каждой из трех фигур по отдельности:

Чтобы найти площадь всей фигуры, достаточно просто сложить три полученных числа:

Задание. Вычислите площадь треуг-ка, изображенного на рисунке (площадь каждой отдельной клеточки составляет единицу):

Решение. Здесь проблема заключается в том, что треуг-к прямоугольным не является. Однако можно построить прямоуг-к, который будет состоять сразу из 4 треуг-ков:

Мы можем найти как площадь всего прямоугольника (обозначим ее как S), так и площади трех прямоугольных треуг-ков S₁, S₂ и S₃:

Площадь произвольного треугольника

Перейдем к более сложному случаю, когда необходимо подсчитать площадь произвольного треугольника, не являющегося прямоугольным. Предположим, надо найти площадь произвольного ∆АВС. Опустим из А на сторону ВС высоту АН:

В результате мы получили два прямоугольных треуг-ка, ∆АВН и ∆АCН. Мы уже знаем, как найти их площади:

Общая площадь всего ∆АВС равна сумме площадей ∆АВН и ∆АСН. Запишем ее и вынесем общий множитель АН/2 за скобки:

В скобках стоит сумма ВН + НС. Но ведь эта сумма равна длине стороны ВС! Тогда окончательно формулу можно записать в виде:

Получили, что для вычисления площади произвольного треугольника надо сначала умножить его высоту на сторону, на которую она падает, а далее поделить результат на 2. Однако для полного доказательства этого факта надо рассмотреть особый случай, когда высота в треуг-ке падает не на сторону, а на ее продолжение (такая ситуация возникает в тупоугольном треуг-ке):

На рисунке снова получились всё те же прямоугольные треуг-ки ∆АСН и ∆АВН. Запишем формулы их площади:

Отличие в том, что на этот раз площадь АВС можно вычислить не как сумму, а как разницу этих площадей:

Итак, можно сформулировать следующее правило:

Примечание. Часто сторону, на которую опущена высота, называют основанием треуг-ка.

Задание. Вычислите площадь ∆АВС, если сторона АВ имеет длину 7, а высота СН равна 4.

Решение. В данной задаче на сторону длиной 7 падает высота длиной 4. Надо просто подставить эти числа в формулу:

Задание. Докажите, что медиана треуг-ка разбивает его на два равновеликих треуг-ка.

Решение.

Пусть в ∆АВС проведена медиана СМ. Требуется доказать, что

Важно заметить, что СН будет являться высотой не только для ∆АВС, но также и для ∆СВМ и ∆САМ. Обозначим СН как h, а АВ как а. Тогда мы можем найти длины отрезков ВМ и АМ, ведь медиана делит сторону АВ пополам:

Получили одно и то же значение, то есть площади треуг-ков равны.

В рассмотренной задаче мы использовали тот факт, что у нескольких треуг-ков может быть общая высота. Общая высота используется и в многих других геометрических задачах.

Задание. Предложите способ, как разделить треуг-к, показанный на рисунке, на три равновеликих треуг-ка:

Чтобы треуг-ки были равновелики, достаточно, чтобы у них была общая высота, а основания, на которые эта высота падает, были бы равны друг другу. Поэтому можно просто поделить нижнюю сторону на три одинаковых отрезка (длиной по 7 клеток) и соединить концы полученных отрезков с противоположной вершиной:

Красной линией здесь показаны границы треуг-ков, а штриховой – их общая высота СН. Вычислить площадь каждого из треуг-ков можно по следующим формулам:

Но отрезки BD, DE и EA одинаковы (по 7 клеточек), поэтому одинаковы будут и площади:

Заметим, что необязательно делить на три одинаковых отрезка именно нижнюю сторону. Допустимы и два других варианта решения:

Но и это не единственные решения задачи. Попробуйте самостоятельно предложить ещё несколько вариантов.

Формула площади треуг-ка показывает, что между длинами высот и сторон есть взаимосвязь.

Задание.В ∆РЕТ РЕ = 72, ЕТ = 45. Высота ТН имеет длину 40. Найдите высоту РМ.

Решение.

Зная ТН и РЕ, мы сможем найти площадь треуг-ка:

Теперь запишем эту формулу площади в ином виде, когда используется высота МР и сторона ЕТ

Величину S_РЕТ мы только что вычислили, а длина ЕТ известна из условия, поэтому можно подставить их в формулу:

Площадь параллелограмма

Для вычисления площади параллелограмма введем понятие «высота параллелограмма». Так называют перпендикуляр, опущенный на сторону параллелограмма (ее в такой ситуации часто называют основанием) из одной из вершин параллелограмма. Важно понимать, что высоты могут упасть не на само основание, а на его продолжение. Так как у каждого параллелограмма есть 4 вершины, а из каждой из них можно опустить высоту на две противоположных вершины, то всего у параллелограмма должно быть 8 высот:

На рисунке синим показаны высоты параллелограмма, а красным цветом отмечены продолжения оснований. Оказывается, что площадь параллелограмма равна произведению его высоты и основания, на которую она опущена. Докажем это.

Опустим в параллелограмме АВСD высоты ВН и СК:

В результате получили четырехуг-к ВНКС, который является прямоугольником, ведь все его углы прямые. Очевидно, что ∆АВН и ∆DCK равные. Это можно доказать тем, что они являются прямоугольными, у них есть одинаковые гипотенузы АВ и CD (они равны как противоположные стороны параллелограмма) и одинаковые катеты ВН и СК (это уже противоположные стороны прямоугольника ВНКС).

Раз они равны, то одинаковы и их площади:

Но величину S₃можно заменить на S₂. В свою очередь полученная сумма равна площади прямоугольника ВНКС, которая может быть вычислена как произведение его смежных сторон:

Но ВН – это высота, а НК – основание параллелограмма. То есть мы доказали следующее утверждение:

Задание. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке:

Решение. По рисунке несложно определить длину как основания, так и высоты параллелограмма:

Далее надо просто перемножить эти длины:

Примечание. Конечно, если вы вдруг забыли формулу площади параллелограмма, можно просто разделить его на прямоугольник и два прямоугольных треуг-ка:

Дальше можно просто посчитать по отдельности S₁, S₂и S₃, после чего сложить их. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Задание. Площадь параллелограмма равна 162 см², а одна из его высот вдвое короче основания, к которому она проведена. Найдите эту высоту и основание.

Решение. В данной задаче не потребуется даже рисунок. Обозначим высоту буквой h, тогда основание, которое вдвое длиннее, составляет 2h. Произведение этих чисел – это площадь, то есть оно равно 162:

Высота равна 9, а основание будет вдвое больше, то есть его длина равна 18.

Ответ: 9 и 18.

Задание. Смежные стороны параллелограмма ABCD имеют длину 12 и 14 см, а угол между ними равен 30°. Вычислите его площадь.

Решение. Опустим на сторону длиной 14 см высоту:

Для вычисления площади надо сначала найти высоту ВН. Её можно определить из ∆АВН. Он является прямоугольным, а его острый угол∠А = 30°. У такого треуг-ка катет, лежащий против 30°, вдвое меньше АВ:

Площадь ромба

Многие четырехуг-ки, изученные нами ранее, являются частными случаями параллелограмма. Для прямоугольника и квадрата мы уже знаем формулы вычисления площади. Осталось разобраться с ромбом. Ясно, что его площадь можно найти также, как и у параллелограмма. Однако площадь ромба можно посчитать и зная только его диагонали.

Построим ромб и проведем в нем диагонали:

Нам уже известно, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, а точка их пересечения является серединой для каждой диагонали:

Получается, что диагонали разбивают ромб на 4 одинаковых прямоугольных треуг-ка. Высчитаем, к примеру, S_AOB:

В результате мы доказали следующее утверждение:

Задание. Одна диагональ ромба равна 3,2 дм, а другая составляет 14 см. Найдите его площадь.

Решение. Для начала надо перевести все длины в одинаковые единицы измерения. Заменим дециметры на сантиметры:

Задание. Одна диагональ ромба в три раза длиннее другой, а площадь фигуры составляет 150. Вычислите длину диагоналей ромба.

Решение. Обозначим меньшую диагональ как х, тогда вторая будет равна 3х. Выразим площадь через х:

Вторая диагональ ромба будет втрое длиннее, то есть ее длина равна 3•10 = 30

Ответ: 10 и 30 см.

Площадь трапеции

Осталось рассмотреть единственный известный нам вид четырехуг-ка, который не является параллелограммом. Это трапеция. Для вычисления ее площади также потребуется высота. Под ней подразумевают перпендикуляр, опущенный из вершины трапеции на одно из ее оснований. Другими словами, высота трапеции – это расстояние между основаниями трапеции.

В произвольной трапеции ABCD, где АD – большее основание, опустим из В высоту (то есть перпендикуляр) на AD, а из D– высоту на ВС. Также проведем диагональ ВD:

Ясно, что общая площадь трапеции будет равна сумме площадей ∆АВDи ∆ВСD. В свою очередь площадь каждого из них можно подсчитать по стороне и опущенной на нее высоте. Высоты мы как раз и провели, это ВН и DK, поэтому можно записать:

Теперь заметим, что отрезки ВН и КD одинаковы, ведь фигура ВНDК является прямоугольником. Тогда площадь ∆ВСD можно записать в таком виде:

В итоге мы доказали, что для вычисления площади трапеции следует ее высоту умножить на сумму длин оснований, после чего поделить результат на два. Обычно этот факт записывают следующим образом:

Задание. У трапеции АВСD основаниями являются АВ (21 см) и CD (17 см). Высота ВН составляет 7 см. Найдите площадь трапеции.

Решение. Это простая задача на использование формулы площади трапеции:

Задание. Найдите площадь прямоугольной трапеции, показанной на рисунке (площадь клеточки равна единице):

Решение. На рисунке показана прямоугольная трапеция. Её высота равна длине ее правой боковой стороны трапеции. Покажем размеры, необходимые нам для выполнения расчета:

Считаем площадь:

Задание. Тупой угол равнобедренной трапеции составляет 135°. Проведенная из этого угла высота делит противолежащее основание на отрезки длиной 14 и 34 см. Какова площадь трапеции?

Решение. Выполним построение:

Найдем острый угол трапеции. Так как CD||АВ, то

Рассмотрим ∆АDH. Он прямоугольный, а один из его острых углов равен 45°. Тогда и второй острый угол также равен 45°. То есть это равнобедренный треуг-к. Это помогает найти длину высоты DH:

ведь это прямоугольныетреуг-ки с равными гипотенузой и катетом:

Из равенства треуг-ков следует, что

Итак, сегодня мы узнали, как вычислять площади треуг-ков и некоторых видов четырехуг-ков. В большинстве случаев предварительно необходимо найти высоту в многоугольнике. В будущем мы узнаем ещё несколько формул для вычисления площадей фигур.

Источник

Площадь прямоугольника

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 166.

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 166.

Начиная с 5 класса, ученики начинают знакомиться с понятием площадей разных фигур. Особая роль отводится площади прямоугольника, так как эта фигура одна из наиболее простых в изучении.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Понятия площади

Любая фигура имеет свою площадь, а вычисление площади отталкиваются от единичного квадрата, то есть от квадрата с длиной стороны в 1 мм, либо 1 см, 1 дм и так далее. Площадь такой фигуры равна $1*1 = 1мм^2$, либо $1см^2$ и т. д. Площадь, как правило, обозначается буквой S.

Площадь показывает размер части плоскости, которую занимает фигура, очерченная отрезками.

Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы одинаковой градусной меры и равны по 90 градусов, а противоположные стороны попарно параллельны и равны.

Особое внимание нужно обращать на единицы измерения длины и ширины. Они должны совпадать. Если единицы не совпадают, их переводят. Как правило переводят большую единицу в меньшую, например, если длина дается в дм, а ширина в см, то дм переводят в см, а результат получится в $см^2$.

Формула площади прямоугольника

Для того, чтобы найти площадь прямоугольника без формулы необходимо посчитать количество единичных квадратов, на которые разбита фигура.

Рис. 1. Прямоугольник, разбитый на единичные квадраты

Прямоугольник разбит на 15 квадратов, то есть его площадь равна 15 см². Стоит обратить внимание, что в ширину фигура занимает 3 квадрата, а в длину 5, поэтому чтобы вычислить количество единичных квадратов, необходимо умножить длину на ширину. Меньшая сторона четырехугольника – ширина, большая длина. Таким образом, можно вывести формулу площади прямоугольника:

S = a · b, где a,b – ширина и длина фигуры.

К примеру, если длина прямоугольника 5 см, а ширина 4 см, то площадь будет равна 4*5=20 см².

Расчет площади прямоугольника, с использованием его диагонали

Для того, чтобы рассчитать площадь прямоугольника через диагональ необходимо применить формулу:

$$S = {1over{2}} ⋅ d^2 ⋅ sin{α}$$

Если в задании дано значения угла между диагоналями, а также значение самой диагонали, то можно вычислить площадь прямоугольника по общей формуле произвольных выпуклых четырехугольников.

Диагональ – это отрезок, который соединяет противоположные точки фигуры. Диагонали прямоугольника равны, и точкой пересечения делятся пополам.

Рис. 2. Прямоугольник с начерченными диагоналями

Примеры

Для закрепления темы рассмотрим примеры заданий:

№1. Найти площадь огородного участка, такой формы как на рисунку.

Рис. 3. Рисунок к задаче

Решение:

Для того чтобы вычесть площадь, необходимо фигуру разбить на два прямоугольника. Один из них будет иметь размеры 10 м и 3 м, другой 5 м. и 7 м. Отдельно находим их площади:

$S_1 =3*10=30 м^2$;

$S_2=5*7=35 м^2$.

Далее необходимо найти их сумму:

$30+35=65 м^2$

Это и будет площадь огородного участка $S = 65 м^2$.

№2. Вычислить площадь прямоугольника, если его диагональ d=6 см. а угол между диагоналями α =30⁰.

Решение:

Значение $sin 30 ={1over{2}} $,

$ S ={1over{2}}⋅ d^2 ⋅ sinα$

$S ={1over{2}} * 6^2 * {1over{2}} =9 см^2$

Таким образом, $S=9 см^2$.

Диагонали разделяют прямоугольник на 4 фигуры – 4 треугольника. При этом треугольники попарно равны. Если провести одну диагональ в прямоугольнике, то она разделяет фигуру на два равных прямоугольных треугольника.

Диагонали не являются биссектрисами углов прямоугольника. А также если провести биссектрисы каждого угла, то при их пересечении получится прямоугольник.

Рис. 4. Рисунок к утверждению

Что мы узнали?

Мы научились находить площадь прямоугольника. Ту или иную формулы нахождения площади используют в зависимости от исходных данных. Также не стоит забывать, что если в задании разные единицы измерения сторон, то необходимо перевести их одну.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Dima Erlichenkov

10/10

Оценка статьи

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 166.

А какая ваша оценка?

Источник

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа села Амурзет»

Конспект урока математики в 5
классе

по теме: «Площадь прямоугольника»

Учитель:

Амелюхин Александр Васильевич

с. Амурзет, 2020 г.

Тема урока: «Площадь
прямоугольника».

1.
Класс – 5.

2.
Образовательная
литература: «математика 5 класс», авторы: Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А.
Бунимович и др; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.- М.: Просвещение, 2017г.

3.
Цели урока:

образовательная – уметь в реальности применять: “площадь прямоугольника”, “площадь
квадрата”, применяя формулы определять площадь выше указанных фигур.

развивающая – развитие умений поисковой деятельности; развитие
умений действовать самостоятельно; развитие конструкторских и технических
умений; достижения наилучших результатов при наименьших затратах.

воспитательная – способность слушать других обучающихся и участвовать с ними
в диалоге, принимать участие во всеобщем обсуждении, влиться в коллектив одноклассников
и выстраивать плодотворную работу, развивать самостоятельность.

4.
Задачи:

— образовательные:

На практике применять: вычисления площадей фигур, применяя на практике формулы. Решать задания по
заданной теме.

— воспитательные:

сплочение коллектива, совершенствовать ответственность, быть аккуратным.
Развитие самооценки ребенка. Расширение кругозора.

— развивающие:

совершенствовать
умение проводить анализ и синтез, производить сравнение, анализировать деятельность,
делать выводы по результатам, развивать внимание, строить алгоритм решения
конкретных заданий исходя из заданных условий, объективно оценивать свои действия
и полученные результаты работы.

5. Методы:

Ø по источнику передачи и характеру восприятия информации: пассивное восприятие (демонстрационный, объяснение); активное восприятие (наглядными иллюстрациями; самостоятельные
задания).

Ø
по степени взаимодействия: пассивные, активные и интерактивные;

Ø на основании дидактических задач: получение
новых знаний, усовершенствование умений, применение
новых, полученных знаний, творческие задания, закрепить новые знания.

Ø по типу познавательной деятельности:
объяснительно-иллюстративный, эвристический, исследовательский.

6. Предполагаемые результаты: уметь получать площади заданной
темой фигур по соответствующим формулам; уметь размышлять, получать выводы; выстраивать
грамотный диалог; парной и групповой работе; выговаривать и подкреплять фактами
свое мнение; давать оценку себе и своим собеседникам.

7. Оборудование: Учебник: «математика 5 класс», авторы: Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А.
Бунимович и др; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.- М.: Просвещение, 2017г.,
мультимедиа проектор, компьютер, раздаточные бланки, справочный материал.

8. Программное
обеспечение: Power Point.

9 .Тип урока: усвоение новых знаний.

10 .Формы
работы: фронтальная, групповая,
индивидуальная.

11.Организация
деятельности обучающихся:

—
разминка (решение примеров);

-предлагают
тему занятия;

-формулируют
определение площади;

-работают
с учебником математики;

-выполняют задания
индивидуальной карты;

-самостоятельное
решение задач;

-дают
ответы на вопросы;

-дают
оценку себе и окружающим;

-рефлексия.

Технологическая карта урока.

№	Этап урока	Задачи этапа	Деятельность учителя	Деятельность ученика	Время (в мин.)	Формируемые УУД
Познаватель- ные	Регулятивные	Коммуникатив- ные	Личностные
1	Организацион-ный этап	Настрой на плодотворную работу, дети понимают, что им рады, их ждали.	Приветствие обучающихся.	Настраивание на текущий урок, определение критериев оценки	2	Представление о действии, первичный опыт и мотивация.	Прогноз своей работы.	Готовность к диалогу.	Определить линию поведения.
2	Актуализация знаний	Определение направлений и способов деятельности.	Приветствие учителя. Считаем устно. Повторение материала прошлого урока. Задаются наводящие вопросы по теме текущего урока.	Устный счет. Участие в диалоге с учителем и одноклассниками.	6-7	Определения сведений, требуемых для урока.	Определение задачи на основе изученного ранее.	Возможность формулировать свои мысли, высказывать их, вести грамотный диалог.	Самоопределение.
3	Постановка целей, задач, стимулирование работы обучающихся	Мотивировать учеников на плодотворную работу.	Формулируем цель урока.	Называют цель урока.	4-5	Определение цели урока.	Целеполагание	Формулировка вопросов.	Самоопределение.
4	Усвоение новых знаний	Постановка темы урока, начальное понимание: площадей прямоугольника и квадрата.	Создание проблемной ситуации, решив которую делаются вывод исходя из темы занятия.	Разбирают формулы по вычислению площадей прямоугольника и квадрата.	6-7	Поиск в различных источниках информации. Систематизация материала. Выстраивание логической цепи.	Делается прогноз	Способность вступать в диалог.	Самоопределение.
5	Первичная проверка усваивания знаний	Определение степени изученности темы. Определение уровня изученности материала, закрепить алгоритм действий по заданной теме.	Сориентировать обучающихся в нужном направлении.	Индивидуальная и групповая работа обучающихся.	4-5	Определение познавательной цели.	Прогнозирование своей работы и контроль результатов.	Способность вести диалог.	Выстраивание отношений с одноклассниками.
5	Зарядка для глаз		Смена вида деятельности.	Была смена вида деятельности. Обучающие готовы к дальнейшей работе с «новыми силами».	2
6	Первичное закрепление	Определение уровня освоения новой темы.	Обеспечивает помощь при необходимости конкретным ученикам.	Обучающиеся работают индивидуально и группами работая с индивидуальными карточками. Производится проверка результата.	10	Определение познавательной цели.	Прогнозирование действий и контроль их выполнения. Рефлексия.	Способность взаимодействовать с коллективом, выстраивать диалог, высказывать собственное мнение, воспринимать собеседников.	Самоопределение.
7	Подведение итогов	Дают оценку итогам собственным действиям и другим.	Подводятся итоги работы на уроке.	Дают ответы на предложенные вопросы. Заполняют контрольный лист выставляя полученные баллы.	2-3	Выбор познавательной цели.	Контроль достигнутого результата, его корректировка, саморегуляция.	мотивации тяги к знаниям; участие в групповом обсуждении проблем.	Ценностная ориентация.
8	Домашнее задание. Инструкция по выполнению.	Осознание обучающимися текста домашнего задания.	Задает задание для домашнего выполнения.	Обучающиеся конспектируют рекомендации по подготовке домашнего работы.	2		Оценивается работа. Мотивация учеников.	Контроль и оценка.	Нравственная ориентация
9.	Рефлексия.	Инициировать рефлексию учеников.	Задаются вопросы по впечатлению от прошедшего урока.	Самооценка и оценка одноклассников.	1-2		Оценка работы.		Смыслообразование

Содержание этапов
урока.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

I. Организационный этап

Учитель
здоровается с учениками, настраивает на урок;

Ученики подготавливаются к началу урока.

II .
Актуализация знаний.

1. Вычисления устно.

2. Мотивация

Повтор работы на
предыдущем уроке.

4.Для формулировки
темы урока обратим внимание на презентацию.

Учащиеся решают примеры устно.

Работа с презентацией.

III. Постановка целей, задач урока.

Дадим определение
площади.

Сведения для
получения площади прямоугольника.

Записывают формулу.

Ученики формулируют определение площади.

Вывод формулы площади прямоугольника.

IV. Первичное усвоение новых знаний.

Работа по презентации.

Работа с презентацией.

V. Первичная проверка понимания.

Работа с
презентацией.

Выводим формулу
квадрата.

Работа с
презентацией.

Работа с презентацией.

Вывод формулы.

Работа с презентацией.

VI. Физминутка.

Упражнение «Восьмерка».

VII. Первичное закрепление.

Работа с
презентацией.

Работа с презентацией.

VIII. Подведение итогов урока.

Вопросы
презентации.

Ответы на вопросы.

X.Рефлексия.

Выбор карточки.

Источник

Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк

Переход на главную страницу сайта

Вопросы к параграфу

1. Какие свойства площади фигуры вы знаете?

Равные фигуры имеют равные площади.
Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

2. Какой квадрат называют единичным?

Единичный квадрат — это квадрат, стороны которого равны единичному отрезку.

3. Какие единицы измерения площади вы знаете?

мм² — квадратный миллиметр
см² — квадратный сантиметр
м² — квадратный метр
км² — квадратный километр

4. Что означает измерить площадь фигуры?

Измерить площадь фигуры — это значит подсчитать, сколько единичных квадратов в ней помещается.

5. Чему равна площадь прямоугольника?

Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон:

S = ab

6. По какой формуле вычисляют площадь квадрата?

S = a²

7. Сколько квадратных метров содержит 1 ар? 1 гектар?

1 ар = 100 м²

1 га = 10 000 м²

Решаем устно

1. Сколько сантиметров содержится в:

1 дм = 10 см
1 м 3 дм = 130 см
5 м 2 дм = 520 см
12 дм 5 см = 125 см
40 мм = 4 см

2. Лодка за 5 ч прошла 40 км. За сколько часов она пройдёт с той же скоростью 24 км?

1) 40 : 5 = 8 (км/ч) — скорость лодки.

2) 24 : 8 = 3 (ч) — потребуется дл преодоления 24 км.

Ответ: 3 часа.

3. Сколько литров воды может перекачать насос за 8 мин, если пять таких насосов за 6 мин перекачивают 450 л воды?

1) 450 : 6 = 75 (л/мин) — скорость работы пяти насосов.

2) 75 : 5 = 15 (л/мин) — скорость работы одного насоса.

3) 15 • 8 = 120 (литров) — воды перекачает один насос за 8 минут.

Ответ: 120 литров воды.

4. Какую цифру надо поставить вместо звёздочек, чтобы запись 1* + 3* + 5* = 111 стала верным равенством?

Вспомним таблицу умножения на 3 и подберём число, которое при умножении на 3 дает число, оканчивающееся на 1. Это число 7 (7 • 3 = 21).

Подставим цифру 7 в равенство:

17 + 37 + 57 = 111 — равенство верно.

Ответ: цифра 7.

Упражнения

564. 1) Сколько квадратных сантиметров содержит 1 дм²? 1 м²?

1 дм² = 10 см • 10 см = 100 см²

1 м²= 100 см • 100 см = 10 000 см²

2) Сколько квадратных метров содержит 1 км²?

1 км²= 1 000 м • 1 000 м = 1 000 000 м²

565. Вычислите площадь прямоугольника, соседние стороны которого равны 14 см и 8 см.

a = 14 см
b = 8 см
S = ?

S = ab
S = 14 • 8 = 112 (см²)

Ответ: S = 112 см²

566. Вычислите площадь квадрата со стороной 7 дм.

a = 7 дм
S = ?

S = a²
S = 7 • 7 = 49 (дм²)

Ответ: S = 49 дм²

567. Одна сторона прямоугольника равна 16 см, а соседняя сторона — на 6 см длиннее. Вычислите площадь прямоугольника.

a = 16 см
b = (a + 6) см
S = ?

S = ab
S = 16 • (16 + 6) = 16 • 22 = 352 (см²)

Ответ: S = 352 см²

568. Одна сторона прямоугольника равна 48 см, а соседняя сторона — в 8 раз меньше. Вычислите площадь прямоугольника.

a = 48 см
b = (a : см
S = ?

S = ab
S = 48 • (48 : = 48 • 6 = 288 (см²)

Ответ: S = 288 см²

Внимание! Следующие 5 задач решены двумя способами!

569. Периметр прямоугольника равен 162 дм, а одна из сторон — 47 дм. Найдите площадь прямоугольника.

Способ 1:

a = 47 дм
P = 162 дм
S = ?

P = (a + b) • 2
b = P : 2 — a
b = 162 : 2 — 47 = 81 — 47 = 34 (дм) — длина стороны b.

S = ab
S = 47 • 34 = 1 598 (дм²) — площадь прямоугольника.

Ответ: S = 1598 дм².

Способ 2:

1) 162 : 2 = 81 (дм) — сумма двух соседних сторон прямоугольника.

2) 81 — 47 = 34 (дм) — длина второй стороны прямоугольника.

3) 47 • 34 = 1 598 (дм²) — площадь прямоугольника.

Ответ: S = 1598 дм².

570. Периметр прямоугольника равен 96 м, и он в 8 раз больше одной из сторон прямоугольника. Найдите площадь прямоугольника.

Способ 1:

P = 96 м
a = (P : м
S = ?

a = P : 8
a = 96 : 8 = 12 (м) — длина стороны a прямоугольника.

P = (a + b) • 2
b = P : 2 — a
b = 96 : 2 — 12 = 48 — 12 = 36 (м) — длина стороны b.

S = ab
S = 36 • 12 = 432 (м²) — площадь прямоугольника.

Ответ: S = 432 м².

Способ 2:

1) 96 : 8 = 12 (м) — длина одной стороны прямоугольника.

2) 96 : 2 = 48 (м) — сумма длин соседних сторон прямоугольника.

3) 48 — 12 = 36 (м) — длина второй стороны прямоугольника.

4) 36 • 12 = 432 (м²) — площадь прямоугольника.

Ответ: S = 432 м².

571. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 96 см.

Способ 1:

P = 96 см
a = ? см
S = ?

a = P : 4
a = 96 : 4 = 24 (см) — длина стороны квадрата.

S = a²
S = 24 • 24 = 576 (см²) — площадь прямоугольника.

Ответ: S = 576 см².

Способ 2:

1) 96 : 4 = 24 (см) — длина стороны квадрата.

2) 24² = 24 • 24 = 576 (см²) — площадь прямоугольника.

Ответ: S = 576 см².

572. Периметр прямоугольника равен 4 м 8 дм, одна из его сторон в 5 раз больше соседней стороны. Найдите площадь прямоугольника.

Способ 1:

P = 4 м 8 дм
a = 5b
S = ?

4 м 8 дм = 48 дм

P = (a + b) • 2 и a = 5b. Составим уравнение:

48 = (5b + b) • 2
5b + b = 48 : 2
6b = 24
b = 24 : 6
b = 4 (дм) — длина стороны b прямоугольника

a = 5b = 5 • 4 = 20 (дм) — длина стороны a прямоугольника

S = ab
S = 20 • 4 = 80 (дм²) — площадь прямоугольника.

Ответ: S = 80 дм².

Способ 2:

4 м 8 дм = 48 дм

1) 48 : 2 = 24 (дм) — сумма длин соседних сторон прямоугольника.

2) 24 : 6 = 4 (дм) — длина одной стороны прямоугольника.

3) 4 • 5 = 20 (дм) — длина другой стороны прямоугольника.

4) 20 • 4 = 80 (дм²) — площадь прямоугольника.

Ответ: S = 80 дм².

573. Периметр прямоугольника равен 6 дм 8 см, одна из его сторон на 1 дм 6 см меньше соседней стороны. Найдите площадь прямоугольника.

Способ 1

P = 6 дм 8 см
a = b + 1 дм 6 см
S = ?

6 дм 8 см = 68 см
1 дм 6 см = 16 см

P = (a + b) • 2 и a = b + 16 см. Составим уравнение:

68 = (b + 16 + b) • 2
b + 16 + b = 68 : 2
2b + 16 = 34
2b = 34 — 16
2b = 18
b = 18 : 2
b = 9 (см) — длина стороны b прямоугольника

a = b + 16 = 9 + 16 = 25 (см) — длина стороны a прямоугольника

S = ab
S = 25 • 9 = 225 (см²) — площадь прямоугольника.

Ответ: S = 225 см².

Способ 2:

6 дм 8 см = 68 см
1 дм 6 см = 16 см

1) 68 : 2 = 34 (см) — сумма длин двух соседних сторон прямоугольника.

2) 34 — 16 = 18 (см) — сумма длин двух коротких сторон прямоугольника.

3) 18 : 2 = 9 (см) — длина короткой стороны прямоугольника.

4) 34 — 9 = 25 (см) — длина длинной стороны прямоугольника.

5) 25 • 9 = 225 (см²) — площадь прямоугольника.

Ответ: S = 225 см².

574. Выразите:

1) в арах:

12 га = 1 200 а
45 га = 4 500 а
6 га 28 а = 600 а + 28 а = 628 а
14 га 68 а = 1 400 а + 68 а = 1468 а
32 400 м² = 324 а
123 800 м² = 1 238 а
2 км² 14 га 5 а = 20 000 а + 1 400 а + 5 а = 21 405 а
4 км² 72 га 16 а = 40 000 а + 7 200 а + 16 а = 47216 а

2) в квадратных метрах:

5 а = 500 м²
17 а = 1 700 м²
8 га = 80 000 м²
63 га = 630 000 м²
5 га 72 а = 50 000 м² + 7 200 м² = 57 200 м²
14 га 43 а = 140 000 м² + 4 300 м² = 144 300 м²

3) в гектарах и арах:

530 а = 5 га 30 а
1 204 а = 12 га 4 а
16 300 м² = 10 000 м² + 6 300 м² = 1 га 63 а
85 200 м² = 80 000 м² + 5 200 м² = 8 га 52 а

575. Выразите:

1) в квадратных сантиметрах:

8 дм² = 800 см²
16 дм² = 1 600 см²
4 м² = 40 000 см²
38 м² = 380 000 см²
16 м² 19 дм² = 160 000 см² + 1 900 см² = 161 900 см²
74 м² 3 дм² = 740 000 см² + 300 см² = 740 300 см²

2) в гектарах:

340 000 м² = 34 га
5 830 000 м² = 583 га
53 км² = 5 300 га
14 км² = 1 400 га
5 км² 18 га = 500 га + 18 га = 518 га
24 км² 6 га = 2 400 га + 6 га = 2 406 га

576. Поле прямоугольной формы имеет площадь 56 а, его длина — 80 м. Вычислите периметр поля.

a = 80 м
S = 56 а
P = ? м

56 а = 5 600 м²

S = ab
b = S : a = 5 600 : 80 = 70 (м) — ширина поля.

P = (a + b) • 2 = (70 + 80) • 2 = 150 • 2 = 300 (м) — периметр поля

Ответ: P = 300 м.

577. Поле прямоугольной формы имеет площадь 48 а, его ширина — 150 м. Вычислите периметр поля.

b = 150 м
S = 48 а
P = ? м

48 а = 4 800 м²

S = ab
a = S : b = 4 800 : 150 = 32 (м) — длина поля.

P = (a + b) • 2 = (32 + 150) • 2 = 182 • 2 = 364 (м) — периметр поля

Ответ: P = 364 м.

578. Вычислите периметр и площадь фигуры, изображённой на рисунке 149 (размеры даны в сантиметрах).

а)

1) Проведём вспомогательную линию и разделим фигуру на два прямоугольника.

2) Периметр фигуры равен сумме длин всех её сторон. Мы помним, что противоположные стороны прямоугольника равны. Значит:

15 — 5 = 10 (см) — длина части большого прямоугольника, не обозначенная на схеме и не равная стороне этого прямоугольника.

P = 15 + 18 + 10 + 8 + 5 + 8 + 18 = 82 (см) — периметр всей фигуры.

3) Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

Найдём площадь маленького прямоугольника: S = ab = 8 • 5 = 40 (см²).
Найдём площадь большого прямоугольника: S = ab = 18 • 15 = 270 (см²).

Значит площадь всей фигуры: S = S (маленького прямоугольника) + S (большого прямоугольника) = 40 + 270 = 310 (см²).

Ответ: P = 82см, S = 310 см².

б)

1) Проведём вспомогательную линию и разделим фигуру на два прямоугольника.

11 — (4 + 4) = 3 (см) — ширина маленького прямоугольника.

P = 18 + 4 + 6 + 3 + 6 + 4 + 18 + 11 = 70 (см) — периметр всей фигуры.

3) Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

Найдём площадь маленького прямоугольника: S = ab = 6 • 3 = 18 (см²).
Найдём площадь большого прямоугольника: S = ab = 18 • 11 = 198 (см²).

Значит площадь всей фигуры: S = S (маленького прямоугольника) + S (большого прямоугольника) = 18 + 198 = 216 (см²).

Ответ: P = 70 см, S = 216 см².

579. Вычислите периметр и площадь фигуры, изображённой на рисунке 150 (размеры даны в сантиметрах).

1) Проведём вспомогательную линию(синюю) и разделим фигуру на три прямоугольника.

12 + 6 + 12 = 30 (см) — длина большого прямоугольника.
18 — 4 = 14 (см) — ширина большого прямоугольника.

P = 12 + 4 + 6 + 4 + 12 + 18 + 30 + 18 = 104 (см) — периметр всей фигуры.

3) Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

Найдём площадь первого маленького прямоугольника: S = ab = 12 • 4 = 48 (см²).
Найдём площадь второго маленького прямоугольника: S = ab = 12 • 4 = 48 (см²).
Найдём площадь большого прямоугольника: S = ab = 30 • 12 = 420 (см²).

Значит площадь всей фигуры: S = S (маленького первого прямоугольника) + S (маленького второго прямоугольника) + S (большого прямоугольника) = 48 + 48 + 420 = 516 (см²).

Ответ: P = 104 см, S = 516 см².

Комментарий: Площадь данной фигуры удобнее находить другим способом. Для этого надо провести вторую вспомогательную линию (красную) и из площади получившегося в результате построения большого прямоугольника вычесть площадь маленького прямоугольника:

Найдём площадь большого прямоугольника: S = ab = 30 • 18 = 540 (см²).
Найдём площадь маленького прямоугольника: S = ab = 6 • 4 = 24 (см²).

Значит площадь всей фигуры: S = S (большого прямоугольника) — S (маленького прямоугольника) = 540 — 24 = 516 (см²).

580. Хватит ли 5 т гороха, чтобы засеять им поле, имеющее форму прямоугольника со сторонами 500 м и 400 м, если на 1 га земли надо высеять 260 кг гороха?

5 т = 5 000 кг

1) 500 • 400 = 200 000 м² = 20 га — площадь поля.

2) 260 • 20 = 5 200 (кг) — гороха потребуется для засеивания поля.

3) 5 200 кг >5 000 кг — значит 5т гороха не хватит для засеивания поля.

Ответ: Нет, не хватит.

581. Отец решил облицевать кафелем стену кухни, длина которой равна 4 м 50 см, а высота — 3 м. Хватит ли ему 20 ящиков кафеля, если одна плитка имеет форму квадрата со стороной 15 см, а в одном ящике находится 30 плиток?

4м 50 см = 450 см — длина стены
3 м = 300 см — высота стены

1) 15 • 15 = 225 (см²) — площадь 1 плитки.

2) 450 • 300 = 135 000 (см²) — площадь стены.

3) 135 000 : 225 = 600 (шт) — плиток потребуется на облицовку стены.

4) 30 • 20 = 600 (шт) — плиток находится в 20 ящиках.

5) 600 шт = 600 шт — значит 20 ящиков плитки хватит для облицовки стены.

Ответ: Да, хватит.

582. Фермер Пётр Трудолюб посадил в теплице огурцы. Длина теплицы равна 16 м 50 см, а ширина — 12 м. Сколько килограммов огурцов соберёт фермер в своей теплице, если с 1 м² собирают 30 кг огурцов?

16 м 50 см = 1 650 см
12 м = 1 200 см

1) 1 650 • 1 200 = 1 980 000 см² = 198 м² — площадь теплицы.

2) 198 • 30 = 5 940 (кг) — огурцов соберёт фермер.

Ответ: 5 940 кг огурцов.

583. Расход эмалевой краски на однослойное покрытие составляет 180 г на 1 м². Хватит ли 3 кг эмали, чтобы покрасить стену длиной 6 м и высотой 3 м?

3 кг = 3 000 г

1) 6 • 3 = 18 (м²) — площадь стены.

2) 18 • 180 = 3 240 (г) — краски потребуется на однослойное покрытие стены.

3) 3 240 г > 3 000 г — значит 3 кг краски не хватит на окраску данной стены.

Ответ: Нет, не хватит.

584. Квадрат со стороной 12 см и прямоугольник, длина которого равна 18 см, являются равновеликими. Найдите периметр прямоугольника.

1) 12 • 12 = 144 (см²) — площадь квадрата = площадь прямоугольника.

2) 144 : 18 = 8 (см) — длина стороны b прямоугольника.

3) (18 + • 2 = 26 • 2 = 52 (см) — периметр прямоугольника.

Ответ: 52 см.

585. Квадрат и прямоугольник являются равновеликими, соседние стороны прямоугольника равны 3 см и 12 см. Найдите периметр квадрата.

1) 12 • 2 = 36 (см²) — площадь прямоугольника = площадь квадрата.

2) Подберём число, квадрат которого равен 36. Это число 6 (6 • 6 = 36). Значит сторона квадрата равна 6 см.

3) 6 • 4 = 24 (см) — периметр квадрата.

Ответ: 24 см.

586. Ширина прямоугольника равна 26 см. На сколько квадратных сантиметров увеличится площадь этого прямоугольника, если его длину увеличить на 4 см?

Для того, чтобы узнать на сколько квадратных сантиметров увеличится площадь этого прямоугольника, надо найти площадь маленького прямоугольника, полученного в результате увеличения длины на 4 см.

Мы знаем, что противоположные стороны прямоугольника равны.

26 • 4 = 104 (см²) — площадь, на которую увеличиться площадь исходного прямоугольника.

Ответ: на 104 см².

587. Во сколько раз увеличатся периметр и площадь прямоугольника, если каждую его сторону увеличить в 4 раза?

Посчитаем, во сколько раз увеличится периметр прямоугольника, если каждую его сторону увеличить в 4 раза.

P (исходного прямоугольника) = (a + b) • 2 = 2(a + b)
P (увеличенного прямоугольника) = (4a + 4b) • 2 = 8(a + b)

8(a + b) : 2(a + b) = 4 (раза) — увеличился периметр прямоугольника.

Посчитаем, во сколько раз увеличится площадь прямоугольника, если каждую его сторону увеличить в 4 раза.

S (исходного прямоугольника) = ab
S (увеличенного прямоугольника) = 4a • 4b = 16ab

16ab : ab = 16 (раз) — увеличится площадь прямоугольника.

Ответ: Периметр увеличится в 4 раза, а площадь увеличится в 16 раз.

588. Длина прямоугольника равна 32 см. На сколько квадратных сантиметров уменьшится площадь этого прямоугольника, если его ширину уменьшить на 5 см?

Мы знаем, что противоположные стороны прямоугольника равны.

32 • 5 = 160 (см²) — площадь, на которую увеличиться площадь исходного прямоугольника.

Ответ: на 160 см².

589. Площадь квадрата ABCD равна 16 см² (рис. 151). Чему равна площадь прямоугольника ACFE?

1) Проведём в квадрате ABCD ещё одну диагональ BD. Каждая из диагоналей делит квадрат ABCD на 2 равные части, а две диагонали AC и BD делят квадрат ABCD на 4 равных треугольника. Значит:

S_AOB = S_BOC = S_COD = S_A_OD = 16 : 4 = 4 см²

2) AODE — квадрат, так как две его соседние стороны AO и OD равны. Диагональ AD делит квадрат AODE на 2 равных треугольника. Значит:

S_ADE = S_AOD = 4 см²

2) OCFD — квадрат, так как две его соседние стороны OD и OC равны. Диагональ CD делит квадрат OCFD на 2 равных треугольника. Значит:

S_CFD = S_OCD = 4 см²

3) S_ACFE = S_AOD + S_ADE+ S_OCD+ S_CFD= 4 + 4 + 4 + 4 = 16 см².

Ответ: площадь прямоугольника ACFE равна 16 см².

590. Стороны прямоугольного листа бумаги имеют целочисленную длину (в сантиметрах), а площадь листа равна 12 см². Сколько квадратов площадью 4 см² можно вырезать из этого прямоугольника?

1) Если площадь листа равна 12 см², то лист может быть следующих форматов:

1 см х 12 см
2 см х 6 см
3 см х 4 см

2) Если площадь квадрата равна 4 см², то его сторона может быть равна только 2 см, так как 2 • 2 = 4 см².

3) Из листа со сторонами 1 см х 12 см невозможно вырезать ни одного квадрата со стороной 2 см.

4) Из листа со сторонами 2 см х 6 см можно вырезать 3 квадрата со стороной 2 см, так как:

по длине 6 : 2 = 3
по ширине 2 : 2 = 1
3 • 1 = 3

5) Из листа со сторонами 3 см х 4 см можно вырезать 2 квадрата со стороной 2 см, так как:

по длине 4 : 2 = 2
по ширине 3 : 2 = 1 (остаток 1).
2 • 1 = 2

Ответ: из листа площадью 12 см² можно вырезать 3 квадрата площадью 4 см², если стороны листа равны 2 и 6 см, либо 2 квадрата площадью 4 см², если стороны листа равны 3 и 4 см.

591. Стороны прямоугольного листа бумаги имеют целочисленную длину (в сантиметрах), а площадь листа равна 18 см². Сколько квадратов со стороной 3 см можно вырезать из этого листа?

1) Если площадь листа равна 18 см², то лист может быть следующих форматов:

1 см х 18 см
2 см х 9 см
3 см х 6 см

2) Из листа со сторонами 1 см х 18 см невозможно вырезать ни одного квадрата со стороной 3 см.

3) Из листа со сторонами 2 см х 9 см невозможно вырезать ни одного квадрата со стороной 3 см.

4) Из листа со сторонами 3 см х 6 см можно вырезать 2 квадрата со стороной 2 см, так как:

по длине 6 : 3 = 2
по ширине 3 : 3 = 1.
2 • 1 = 2

Ответ: из листа площадью 18 см² можно вырезать 2 квадрата со стороной 3 см, если стороны листа равны 3 и 6 см.

592. Внутри прямоугольника ABCD (рис. 152) вырезали отверстие прямоугольной формы. Как одним прямолинейным разрезом разделить полученную фигуру на две фигуры с равными площадями?

Проведём две вспомогательные линии (красные) и найдём точку пересечения диагоналей малого прямоугольника.
Проведём две вспомогательные линии (красные) и найдём точку пересечения диагоналей большого прямоугольника.
Проведём прямую (синяя) через две точки:
- точку пересечения диагоналей малого прямоугольника
- точку пересечения диагоналей большого прямоугольника.
Вдоль данной прямой выполним разрез и получим две фигуры с равными площадями.

593. Используя четыре из пяти изображённых на рисунке 153 фигур, составьте квадрат.

594. Можно ли разрезать квадрат на несколько частей так, чтобы потом из них можно было составить два квадрата, длины сторон которых выражаются целым числом сантиметров, если сторона данного квадрата равна:

1) 5 см

Да, можно, так как площадь квадрата со стороной 5 см равна 5² = 25 см, а число 25 можно выразить суммой двух квадратов целых чисел: 25 = 4² + 3².

Например, можно разрезать квадрат со стороной 5 см на 4 квадрата со стороной по 2 см и 9 квадратов со стороной 1 см, а затем сложить из них одни квадрат со стороной 4 см и один квадрат со стороной 3 см.

2) 6 см

Нет, такие квадраты составить нельзя, так как число площадь квадрата со стороной 6 см равна 6² = 36 см, а число 36 нельзя выразить суммой двух квадратов целых чисел.

Упражнения для повторения

595. Из вершины прямого угла ABC (рис. 154) провели лучи BD и BE так, что угол АВЕ оказался больше угла DBE на 34º, а угол CBD больше угла DBE на 23º. Какова градусная мера угла DBE?

∠ABC= 90º — прямой

∠АВЕ — ∠DBE = 34º

∠CBD — ∠DBE = 23º

∠DBE = ?

1) ∠ABD = ∠АВЕ — ∠DBE = 34º

2) ∠EBC ∠CBD — ∠DBE = 23º

3) ∠DBE = ∠ABC — ∠ABD — ∠EBC = 90º — 34º — 23º = 33º

Ответ:∠DBE = 33º

596. Выполните действия:

Задача от мудрой совы

597. Расстояние между городами А и В равно 30 км. Из города А в город В выехал велосипедист и двигался со скоростью 15 км/ч. Одновременно из города В в направлении города А вылетела птица со скоростью 30 км/ч. Встретившись с велосипедистом, птица развернулась и полетела назад. Прилетев в город В, она снова развернулась и полетела навстречу велосипедисту. Встретившись с ним, птица развернулась и полетела назад в город В и т. д. Сколько километров пролетела птица за то время, пока велосипедист ехал из города А в город В?

1) 30 : 15 = 2 (часа) — потребуется велосипедисту, чтобы доехать из города А в город В.

Птица летала до места встречи с велосипедистом и обратно несколько раз все эти два часа, причём скорость полёта птицы была неизменна — 30 км/ч.

2) 30 • 2 = 60 (км) — пролетела птица в то время, пока велосипедист ехал из города А в город В.

Ответ: 60 км.

Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк

Переход на главную страницу сайта

Источник

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь параллелограмма

Площадь ромба

Площадь трапеции

Площадь прямоугольника

Понятия площади

Формула площади прямоугольника

Расчет площади прямоугольника, с использованием его диагонали

Примеры

Что мы узнали?

Тест по теме

Оценка статьи

Ø по типу познавательной деятельности: объяснительно-иллюстративный, эвристический, исследовательский.

Вопросы к параграфу

Решаем устно

Упражнения

Упражнения для повторения

Задача от мудрой совы

Ø по типу познавательной деятельности:
объяснительно-иллюстративный, эвристический, исследовательский.