Как найти площадь множества

Инфоурок

›

Внеурочная деятельность

›Презентации›Презентация по занимательной математике «Площадь множеств» (по программе О.А.Холодовой). 3 класс. Занятие 17

Let $T_1=[P_1,P_2,P_3]$ be a triangle. Choose a point $P_4$ on $T_1$ such that the area of triangle $T_2=[P_2,P_3,P_4]$ is half the area of $T_1$. Repeat this process in the natural way. It is not too difficult to see the resulting sequence of triangles converges to a point.

One can ask:

What the area of the set of possible convergents as compared to the area of $T_1$?

A quick hack when $P_1=(1,1)$, $P_2=(2,0)$ and $P_3=(0,0)$ yields the following graph of 30,000 random convergents:

A reasonable estimate of the area of the triangle containing these convergents would be $2/9$. Experimentally, at least, this type of simulation quickly finds an answer to the first question.

Now suppose $P_{k+3}$ (and each following point) is chosen randomly either half way between $P_k$ and $P_{k+1}$ or one-third of the way from $P_k$ to $P_{k+2}$. Here is a graph of a few of these convergents:

What is the area of the set of possible convergents in this case?

Finally, suppose we choose the next point to lie half way on the left side three times as frequently as half way on the right side. Here is the resulting rather weird graph of 100,000 or so such convergents:

It seems to my untrained eyes as though asking questions about area no longer makes much sense, so I won’t.

Вычисление площадей плоских фигур

Внешние, внутренние и граничные точки плоских множеств

Ранее мы неоднократно использовали понятие площади плоской фигуры, опираясь на его интуитивное толкование. Здесь мы дадим определение понятия площади плоской фигуры, установим свойства площадей и опишем класс фигур, имеющих площадь. Для этого введем несколько понятий, относящихся к плоским фигурам, т. е. к множествам, состоящим из точек плоскости.

Напомним, что открытым кругом с центром и радиусов называют множество точек плоскости, расстояние которых от точки меньше . Любой открытый круг с центром называют окрестностью точки .

Пусть на плоскости задано некоторое множество . Назовем точку этого множества внутренней, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в . Точку плоскости называют внешней точкой для этого множества, если у нее есть окрестность, не содержащая ни одной точки множества . Наконец, точки плоскости, не являющиеся ни внутренними, ни внешними для множества , называют граничными точками этого множества. Граничные точки могут как принадлежать множеству , так и не принадлежать ему. Совокупность граничных точек множества образует границу этого множества. Если все граничные точки множества принадлежат этому множеству, то его называют замкнутым, а если ни одна граничная точка не принадлежит множеству , то его называют открытым.

На рисунке 20 изображен квадрат. Точка е является внутренней для этого квадрата, точка — внешней, а точка — граничной. Граница квадрата состоит из отрезков и .

В дальнейшем будем говорить, что фигуры и налегают друг на друга, если у них есть хоть одна общая внутренняя точка (рис. 21). Если фигура является объединением попарно не налегающих друг на друга фигур , то говорят, что разбита на фигуры ; при этом не исключается, что некоторые из них имеют общие граничные точки (рис. 22).

---

Квадрируемые области

Перейдем к определению понятия площади. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат . Назовем прямоугольник допустимым, если его стороны параллельны осям координат, причем не будем исключать и вырожденные прямоугольники, т. е. прямоугольники, у которых длина одной или обеих сторон равна нулю. Подмножество плоскости, которое можно разбить на конечное число допустимых прямоугольников, назовем ступенчатой фигурой (рис. 23). Очевидно, что объединение и пересечение двух ступенчатых фигур являются ступенчатыми фигурами.

Назовем площадью допустимого прямоугольника произведение длин его сторон и

При этом площадь вырожденного прямоугольника равна нулю. Очевидно, что если прямоугольник разбит на два прямоугольника (рис. 24), это площадь всего прямоугольника равна сумме площадей его частей:

Вообще, если прямоугольник разбит на конечное число прямоугольников , то

Кроме того, если прямоугольник получается из прямоугольника параллельным переносом, то .

Отметим, что квадрат со стороной, равной 1, имеет площадь, равную 1.

Определим далее площадь ступенчатой фигуры. Пусть ступенчатая фигура разбита на прямоугольники . Положим тогда .

Одна и та же ступенчатая фигура может разбиваться на прямоугольники различными способами. Легко доказать, что ее площадь не зависит от способа разбиения.

Мы определили функцию на множестве ступенчатых фигур. Она обладает следующими свойствами:

а) Если ступенчатые фигуры и не имеют общих внутренних точек, то

б) Если ступенчатая фигура получается из ступенчатой фигуры параллельным переносом, то .

Из свойства а), в частности, следует, что если и — ступенчатые фигуры и , то . В самом деле, если присоединить к граничные точки, то получится ступенчатая фигура , не налегающая на и такая, что . Значит,

Совокупность ступенчатых фигур не охватывает таких фигур, как, например, треугольник, параллелограмм общего вида, круг, эллипс. Даже повернутый прямоугольник уже не является ступенчатой фигурой (стороны ступенчатой фигуры параллельны осям координат). Поэтому надо распространить понятие площади на более широкий класс фигур.

Возьмем на плоскости фигуру и поставим ей в соответствие два числовых множества. Множество состоит из площадей ступенчатых фигур, все точки которых принадлежат фигуре , а множество — из площадей ступенчатых фигур, содержащих фигуру . Очевидно, что множество расположено слева от множества . Поэтому существует хотя бы одно число, разделяющее эти множества.

Введем следующее определение.

Фигура называется квадрируемой (имеющей площадь), если соответствующие ей числовые множества разделяются единственным числом. Это единственное число , разделяющее и , назовем площадью фигуры .

Применяя критерий единственности разделяющего числа, получаем необходимое и достаточное условие квадрируемости фигуры

Для того чтобы фигура была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлись такие ступенчатые фигуры и , что , причем .

Отметим, что граница фигуры лежит в области, заключенной между границами ступенчатых фигур и . Эта область сама является ступенчатой фигурой (рис. 25). Поэтому указанное условие можно сформулировать и так:

Для того чтобы фигура была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого границу фигуры можно было заключить в ступенчатую фигуру, площадь которой меньше .

---

Достаточное условие квадрируемости

Отметим следующее достаточное условие квадрируемости.

Теорема 1. Для того чтобы фигура была квадрируемой, достаточно, чтобы ее граница состояла из конечного числа дуг , являющихся графиками непрерывных функций или .

Доказательство. Покажем сначала, что дугу можно заключить в ступенчатую фигуру, имеющую сколь угодно малую площадь. Зададим . Так как функция непрерывна на отрезке , найдется разбиение этого отрезка такое, что для любого выполняется неравенство

где — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке . Но тогда дуга целиком содержится в объединении прямоугольников, имеющих основания и высоты (рис. 26). Общая площадь этих прямоугольников не превосходит числа

Объединение этих прямоугольников образует ступенчатую фигуру, содержащую дугу и имеющую площадь, меньшую, чем .

Поскольку граница фигуры состоит из конечного числа таких дуг, ее тоже можно накрыть ступенчатой фигурой сколь угодно малой площади, и потому область квадрируема.

Например, круг квадрируем, так как его граница состоит из двух дуг, задаваемых уравнениями и при , а эти функции непрерывны.

Иногда оказывается полезным следующее достаточное условие квадрируемости фигур.

Теорема 2. Если для любого найдутся такие квадрируемые фигуры и , что и , то фигура тоже квадрируема.

Доказательство. Зададим и выберем такие квадрируемые фигуры и , что и . Так как и квадрируемы, то найдутся такие ступенчатые фигуры и , что , причем

Но тогда и

Это и доказывает квадрируемость плоской фигуры .

---

Свойства площадей квадрируемых фигур

Покажем, что площади квадрируемых фигур обладают свойствами, похожими на свойства площадей ступенчатых фигур. Сначала докажем следующее утверждение:

1. Пусть квадрируемые фигуры и не имеют общих внутренних точек и . Тогда фигура тоже квадрируема, причем ее площадь равна сумме площадей фигур и

В самом деле, из квадрируемости фигур и вытекает, что для любого существуют такие ступенчатые фигуры , что , причем

Положим и . Тогда — ступенчатая фигура, содержащаяся в , а — ступенчатая фигура, содержащая . При этом фигуры и не имеют общих внутренних точек (рис. 27), и потому

Фигуры и могут иметь общие внутренние точки (рис. 28), а потому можно утверждать лишь, что

Отсюда следует, что

Итак, для любого нашлись ступенчатые фигуры и такие, что , причем . Поэтому фигура квадрируема.

Из неравенств и вытекает, что

С другой стороны, , а потому в силу соотношений (2) и (3) имеем

Мы видим, что числа и разделяют одни и те же множества . При этом, как было показано, для любого найдутся такие , что

Поэтому указанные множества могут разделяться лишь одним числом. Это и доказывает соотношение (1).

Доказанное свойство называют аддитивностью площади.

Второе свойство площадей состоит в том, что площадь квадрируемой фигуры не изменяется при параллельном переносе. Это следует из того, что при этом переносе каждая внутренняя ступенчатая фигура для переходит во внутреннюю ступенчатую фигуру для образа фигуры , и то же самое верно для внешних ступенчатых фигур. Но это значит, что при параллельном переносе не изменяются ни множество , ни множество , а потому неизменным остается и разделяющее их число, т. е. площадь фигуры.

Недостатком данного выше определения площади является то, что оно связано с выбором системы координат на плоскости. Мы доказали лишь, что площадь не изменяется (инвариантна) при параллельных переносах, но не доказали такого же утверждения относительно других перемещений (симметрии, поворотов и т. д.). Справедливо более общее утверждение:

2. Если фигура квадрируема и — конгруэнтная ей фигура, то тоже квадрируема, причем .

В курсе геометрии доказывают, что любое перемещение является композицией осевых симметрии. Поэтому достаточно доказать наше утверждение для случая, когда получается из с помощью осевой симметрии.

Рассмотрим сначала случай, когда — прямоугольник, одна из сторон которого параллельна оси симметрии (рис. 29). В этом случае образ этого прямоугольника может быть получен из не только с помощью осевой симметрии, но и с помощью параллельного переноса. Поэтому . Но любую квадрируемую фигуру можно с любой степенью точности заменить фигурой, состоящей из прямоугольников, одна из сторон которых параллельна оси симметрии. Применяя доказанное утверждение для каждого из этих прямоугольников и складывая полученные равенства, убеждаемся, что равенство верно для любых квадрируемых фигур.

Мы доказали, что в классе квадрируемых фигур площадь обладает следующими свойствами:

1°. Для любой фигуры ее площадь — неотрицательное число (неотрицательность площади).

2°. Площади конгруэнтных фигур равны (инвариантность площади относительно перемещений).

3°. Если фигуры и не имеют общих внутренних точек, то

(аддитивность площади).

4°. Площадь единичного квадрата равна единице (условие нормировки).

Можно доказать, что условия 1°–4° однозначно определяют площадь в классе квадрируемых фигур. Это позволяет понятию площади дать аксиоматическое определение, сказав, что на совокупности фигур определено понятие площади, если на задана числовая функция , удовлетворяющая условиям 1°–4° (при этом, разумеется, требуется, чтобы совокупность вместе с двумя не налегающими друг на друга фигурами содержала их объединение).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.