Как найти площадь на клетчатой бумаге огэ

Всего: 49    1–20 | 21–40 | 41–49

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 49    1–20 | 21–40 | 41–49

Решение заданий №19(задания на
клетчатой бумаге)

1.Основные типы задач

1.     
Определение тангенса угла;

2.     
Определение площади фигуры (ромба, трапеции,
параллелограмма, треугольника);

3.     
Определение расстояния от точки до прямой
(отрезка);

4.     
Определение длины средней линии треугольника и
трапеции;

5.     
Определение длины большего катета, большей
диагонали;

6.     
Определение площади сложных или составных фигур;

7.     
Определение градусной меры вписанного угла.

            1.Определение
тангенса угла

Задача
1

Най­ди­те
тангенс угла А тре­уголь­ни­ка ABC, изображённого
на рисунке 1.

Решение: Ответ: 0,4.

Рис.1

Задача 2

Найдите
тангенс угла AOB, изображённого 
на рисунке 3.

Решение: 1.      Достроим до прямоугольного треугольника СОВ. 2. Ответ: 2.

Рис. 3

2. Определение площади фигуры

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм (рис. 7).
Найдите его площадь.

Решение: 1.    Проведем высоту. 2.  Основание 5      Высота 2 2.      Найдем площадь Ответ: 10.

Рис. 7

.

Задача 2

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб (рис. 9).
Найдите площадь этого ромба.

Решение: 1. Проведем диагонали. 2. Найдем площадь Ответ: 30.

Рис. 9

3. Определение расстояния от
точки до прямой (отрезка)

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены три
точки: A, B и C (рис. 11). Найдите расстояние от
точки A до середины отрезка BC.

Решение: 1.      Построим отрезок ВС и отметим его середину т.О. 2. Соединим т.А с т.О. Получа- ем нужное расстояние: Ответ: 8

Рис. 11

4. Определение длины средней линии
треугольника и трапеции

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC
(рис. 14). Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение: Средняя линия  Ответ: 4.

Рис. 14

Задача 2

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция (рис. 15). Найдите
длину её средней линии.

Основания трапеции соответствен-но равны 7 и 1 Средняя линия  Ответ: 4.

Рис.15

5. Определение длины большего катета, большей диагонали

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный
треугольник (рис. 16). Найдите длину его большего катета.

Решение: По рисунку видно, что длина большего катета = 6. Ответ: 6.

Рис. 16

6. Определение площади сложных
или составных фигур

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура (рис. 18). Найдите её
площадь.

Решение: Посчитаем ко­ли­че­ство кле­ток внут­ри за­кра­шен­ной области: их 19 Ответ: 19.

Рис. 18

Задача 2

Пло­щадь
одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке
19.

Решение: 1 способ (рис. 19.1) Найдём пло­щадь дан­ной фи­гу­ры по фор­му­ле Пика: Ответ: 20,5.	Рис. 19 Рис. 19.1
Решение: 2 способ (рис.19.2) Площадь дан­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­ди квад­ра­та и двух треугольников: Ответ: 20,5.	Рис. 19.2

Задачи для самостоятельно решения

       
I.           
Определение
тангенса угла

1.       Найдите тангенс угла А треугольника, изображённого на рисунке.

2.      Найдите тангенс угла С треугольника ABC, изображённого на рисунке.

3.      Найдите тангенс угла AOB,
изображённого на рисунке.

4.       Найдите тангенс углаAOB,
изображённого на рисунке.

5.      Найдите тангенс углаAOB,
изображённого на рисунке.

6.      Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

7.      Найдите
тангенс углаAOB.

8.      Найдите тангенс углаAOB.

9.      Найдите тангенс угла  AOB.

10.   
Найдите тангенс угла, изображённого на рисунке.

     II.           
Определение площади фигуры (ромба, трапеции,
параллелограмма, треугольника)

1.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм.
Найдите его площадь.

2.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

3.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён прямоугольный
треугольник.

4.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображён ромб. Найдите его площадь.

5.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

6.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

7.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

  III.           
Определение расстояния от точки до прямой
(отрезка)

1.      На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны
точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до
пря­мой ВС. Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

2.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны точки А, В и С.
Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой ВС.
Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах. 

3.      На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны
точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние
от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС. Ответ вы­ра­зи­те
в сантиметрах.

4.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см от­ме­че­ны точки А, В и С.
Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС.
Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

5.      На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см от­ме­че­ны
точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние
от точки А до пря­мой BC. Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

   IV.           
Определение длины средней линии треугольника
и трапеции

1.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1×1 изображён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину
его средней линии, параллельной сто­ро­не AC.

2.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1×1 изображён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину
его средней линии, параллельной сто­ро­не AC.

3.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1×1 изображён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину
его средней линии, параллельной сто­ро­не AC.

4.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

5.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

6.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

     V.           
Определение длины большего катета, большей
диагонали

1.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его
большего катета.

2.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его
большего катета.

3.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его
большего катета.

4.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину
его большей диагонали.

5.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

   VI.           
Определение площади сложных или составных
фигур

1.      На клетчатой бумаге с размером
клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

2.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

3.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её
площадь.

4.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её
площадь.

5.      Пло­щадь одной клет­ки равна
1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

6.      Пло­щадь одной клет­ки равна
1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

VII.           
Определение площади сложных или составных
фигур

1.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

2.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

3.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

4.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

5.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

6.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Почему бы просто не считать клеточки?

Возможно, вы читаете всё это и думаете: зачем все эти сложности? Формулы запоминать. Дорисовывать. Тут ведь сразу видно, сколько клеточек в фигуре.

Вот, например, трапеция:

Посчитаем клеточки: их всего 46, верно?

Но стоп, там же некоторые из них только наполовину внутри фигуры. Отметим их – всего таких 10. Итого, 36 полных (красные точки) и 10 половинчатых, вместе ( 36+frac{10}{2} = 41)

Вроде бы всё верно. Но, если присмотреться, можно заметить ещё маленькие треугольнички, которые попали внутрь. А также, что «синие» клеточки слева на самом деле разрезаны не ровно пополам – какие-то чуть больше, какие-то меньше…

Как всё это учитывать?

Попробуем рассуждать так: заметно, что тот маленький розовый треугольник дополняет серый кусок клетки.

А жёлтые сколько занимают? Постарайтесь ответить сами.

Если всё сделать правильно, то увидите, что жёлтые кусочки можно сложить вместе в одну целую клетку.

Итак, 2 жёлтых куска = 1 клетка.

Розовый треугольник + серый кусок = 1 клетка. Всего у нас две таких пары (розовый+серый) – это 2 полных клетки. 

Всё остальное как было: 36 полных клеток и 6 половинок у правой стороны – это ( 36+frac{6}{2}=39) клетки.

Итого клеток: ( 1 + 2 + 39 = 42).

Проверим результат по формуле площади трапеции: нижнее основание 11, верхнее основание 3, высота 6. Полусумма оснований равна 7, умножаем на высоту – получилось 42. Всё совпало.

Но! Настолько ли проще был наш способ подсчёта клеточек? Не сказал бы. А если там будет несколько косых линий, то вообще можно замучиться собирать этот паззл (искать, какие кусочки друг друга дополняют).

Вычислите площадь простых фигур тремя способами

Стороны клеток равны 1. Вычислите самостоятельно площадь фигуры всеми тремя способами. Сравните результаты.

Вычислите площадь произвольных фигур по формуле Пика

Вычислите самостоятельно площади фигур с помощью формулы Пика:

Посчитайте площадь корабля и котика по формуле Пика

Посчитайте самостоятельно для тренировки и чтобы запомнить формулу Пика!

Фигуры с отверстиями — посчитайте площади двумя способами

Ну и напоследок фигуры с «дырками». Как думаешь, здесь придётся вычислять сначала площадь целой фигуры, а потом площадь дырки?

Или достаточно просто посчитать точки внутри закрашенной области и на её границах (в том числе, на границе с дыркой)?

Проверим на простом примере: это квадрат ( 4times 4), и в нём вырезан прямоугольник ( 1times 2), значит, его площадь ( 16-2=14).

А теперь по точкам. На границах (включая внутренние) ( Г = 22). Внутри ( В = 3). Тогда площадь по формуле Пика

Сосчитай сам и проверь.

Что получилось?

У меня снова на 1 меньше.

Так может быть просто формулу немного «подкрутить»? Нет!

Очень и очень не рекомендую вам запоминать несколько похожих формул для похожих случаев, потому что придёт время, и вы обязательно перепутаете формулу.

Даже если вы уверены, что не перепутаете, оно всё равно того не стоит. В общем, наилучший вариант – это запомнить одну формулу. А если попалась фигура с дыркой, вычислить всю фигуру, а потом дырку. И вычесть.

Площадь поверхности пирамиды

Для пирамиды тоже действует общее правило:

Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей всех граней.( displaystyle {{S}_{полн. пов. }}={{S}_{боков.пов. }}+{{S}_{основания }})

Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle {{S}_{осн}}) и ( displaystyle {{S}_{ASB}}).

И тогда

( displaystyle {{S}_{осн}}) — это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).

И еще вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

( displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sin gamma ).

У нас «( displaystyle a)» — это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» — это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).

Значит, ( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}frac{sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}).

Теперь найдем ( displaystyle {{S}_{Delta ASB}}).

Пользуясь основной формулой площади и теоремой Пифагора, находим

( displaystyle S={{a}^{2}}sqrt{3}).

Формула Пика. Рассказ о формуле, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Это формула Пика.

Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется, но многим материал статьи будет крайне полезен. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.

В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.

ФОРМУЛА ПИКА

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N – количество узлов внутри  треугольника

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

1 клетка = 1 см

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

Ещё пример. Найдём площадь параллелограмма:

Отметим узлы:

M = 18 (обозначены красным)

N = 20 (обозначены синим)

Найдём площадь трапеции:

Отметим узлы:

M = 24 (обозначены красным)

N = 25 (обозначены синим)

Найдём площадь многоугольника:

Отметим узлы:

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно  это делать и таким образом. 

А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.

Теперь взгляните на следующие фигуры:

Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им будут на ЕГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:

Отметим узлы:

M = 11 (обозначены красным)

N = 5 (обозначены синим)

Ответ: 9,5

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см.  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотреть решение

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотреть решение

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотреть решение

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотреть решение

Конечно, можно и эти «микрофигурки» дробить на более простые фигуры (треугольники, трапеции). Способ решения выбирать вам.

Рассмотрим подход оговоренный в статье «Площадь четырёхугольника. Универсальный способ«.

Найдём площадь фигуры:

Опишем около неё прямоугольник:

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:

Ответ: 4,5

В будущем будем рассматривать задания на нахождение площади, связанные с окружностями построенными на листе в клетку, не пропустите! На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.