Как найти площадь объем правильной четырехугольной пирамиды

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем пирамиды и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема пирамиды

1. Общая формула

Объем (V) пирамиды равняется одной третьей произведения ее высоты на площадь основания.

• ABCD – основание;
• E – вершина;
• h – высота, перпендикулярная основанию.

2. Объем правильной треугольной пирамиды

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник (ABC), площадь которого вычисляется так (а – сторона треугольника):

Подставляем данное выражение в формулу расчета объема фигуры и получаем:

3. Объем правильной четырехугольной пирамиды

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, площадь которого считается так: S = a², где а – длина его стороны.

Следовательно, формулу объема можно представить в виде:

4. Объем правильной шестиугольной пирамиды

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник, площадь которого вычисляется по формуле (а – сторона основания):

С учетом этого, объем фигуры считается так:

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если известно, что ее высота составляет 16 см, а длина стороны ее основания – 8 см.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные значения:

Задание 2
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а сторона ее основания – 3 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Площадь квадрата, который является основанием пирамиды, равна 9 см² (3 см ⋅ 3 см). Следовательно, объем равен:

Определение пирамиды

Пирамида – это многогранник, основанием которого является многоугольник, а грани его являются треугольниками.

Онлайн-калькулятор объема пирамиды

У пирамиды есть ребра. Можно сказать, что они тянутся к точке, называемой вершиной данной пирамиды. Ее основанием может быть произвольный многоугольник. Грань — это фигура, которая образуется в результате объединения двух ближайших ребер со стороной основания. Гранью пирамиды является треугольник. Расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания называется апофемой. Высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины к центру ее основания.

Типы пирамид

Различают следующие типы пирамид.

1. Прямоугольная — у нее ребро образует угол в 90 градусов с основанием.
2. Правильная — ее основание — какой-либо правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого основания.
3. Тетраэдр — пирамида, у которой в основании лежит треугольник.

Формулы объема пирамиды

Объем пирамиды находится несколькими способами.

По площади основания и высоте пирамиды

Простое умножение одной трети площади основания на высоту пирамиды и является ее объемом.

Объем пирамиды по площади основания и высоте

V=13⋅Sосн⋅hV=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot h

SоснS_{text{осн}} — площадь основания пирамиды;
hh — высота данной пирамиды.

Задача 1

Площадь основания пирамиды равна 100 см2100text{ см}^2, а высота ее равна 30 см30text{ см}. Найдите объем тела.

Решение

Sосн=100S_{text{осн}}=100
h=30h=30

Все величины нам известны, подставляем их численные значения в формулу и находим:

V=13⋅Sосн⋅h=13⋅100⋅30=1000 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot h=frac{1}{3}cdot 100cdot 30=1000text{ см}^3

Ответ

1000 см3.1000text{ см}^3.

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Этот способ подходит, если пирамида правильная и треугольная.

Объем правильной треугольной пирамиды

V=h⋅a243V=frac{hcdot a^2}{4sqrt{3}}

hh — высота пирамиды;
aa — сторона основания пирамиды.

Задача 2

Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, если в ее основании лежит равносторонний треугольник, в котором сторона равна 5 см5text{ см}, а высота пирамиды равна – 19 см19text{ см}.

Решение

a=5a=5
h=19h=19

Просто подставляем данные величины в формулу для объема:

V=h⋅a243=19⋅5243≈68.6 см3V=frac{hcdot a^2}{4sqrt{3}}=frac{19cdot 5^2}{4sqrt{3}}approx68.6text{ см}^3

Ответ

68.6 см3.68.6text{ см}^3.

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Объем правильной четырехугольной пирамиды

V=13⋅h⋅a2V=frac{1}{3}cdot hcdot a^2

hh — высота пирамиды;
aa — сторона основания пирамиды.

Задача 3

Дана правильная четырехугольная пирамида. Вычислите ее объем, если ее высота равна 7 см7text{ см}, a сторона основания составляет – 2 см2text{ см}.

Решение

a=2a=2
h=7h=7

По формуле вычисляем:

V=13⋅h⋅a2=13⋅7⋅22≈9.3 см3V=frac{1}{3}cdot hcdot a^2=frac{1}{3}cdot 7cdot 2^2approx9.3text{ см}^3

Ответ

9.3 см3.9.3text{ см}^3.

Формула объема тетраэдра

Объем тетраэдра

V=2⋅a312V=frac{sqrt{2}cdot a^3}{12}

aa — длина ребра тетраэдра.

Задача 4

Длина ребра тетраэдра равна 13 см13text{ см}. Найдите его объем.

Решение

a=13a=13

Подставляем aa в формулу для объема тетраэдра:

V=2⋅a312=2⋅13312≈259 см3V=frac{sqrt{2}cdot a^3}{12}=frac{sqrt{2}cdot 13^3}{12}approx259text{ см}^3

Ответ

259 см3.259text{ см}^3.

Формула объема пирамиды как определитель

Наверное, самый экзотический способ вычисления объема данного тела.

Пусть даны векторы, на которых построена пирамида как на сторонах. Тогда ее объем будет равен одной шестой смешанного произведения векторов. Последний в свою очередь равен определителю составленному из координат этих векторов. Итак, если пирамида построена на трех векторах:

a⃗=(ax,ay,az)vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b⃗=(bx,by,bz)vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c⃗=(cx,cy,cz)vec{c}=(c_x, c_y, c_z),

тогда объем соответствующей пирамиды это такой определитель:

Объем пирамиды через определитель

V=16⋅∣axayazbxbybzcxcycz∣V=frac{1}{6}cdotbegin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z \
end{vmatrix}

Задача 5

Найти объем пирамиды через смешанное произведение векторов, координаты которых такие: a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2,3,5) , b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1,4,4), c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3,5,7).

Решение

a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2,3,5)
b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1,4,4)
c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3,5,7)

По формуле:

V=16⋅∣235144357∣=16⋅(2⋅4⋅7+3⋅4⋅3+5⋅1⋅5−5⋅4⋅3−2⋅4⋅5−3⋅1⋅7)=16⋅(56+36+25−60−40−21)=16⋅(−4)=−23≈−0.7V=frac{1}{6}cdotbegin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \
1 & 4 & 4 \
3 & 5 & 7 \
end{vmatrix}=frac{1}{6}cdot(2cdot4cdot7 + 3cdot4cdot3 + 5cdot1cdot5 — 5cdot4cdot3 — 2cdot4cdot5 — 3cdot1cdot7) =frac{1}{6}cdot( 56 + 36 + 25 — 60 — 40 — 21)=frac{1}{6}cdot(-4)=-frac{2}{3}approx-0.7

Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:

V=0.7 см3V=0.7text{ см}^3

Ответ

0.7 см3.0.7text{ см}^3.

Не знаете, где можно оформить заказ контрольных работ недорого? Наши эксперты помогут вам с решением работ по объемам фигур!

Тест по теме “Объем пирамиды”

Напомним,
что пирамида – это многогранник, в основании которого лежит –угольник,
а остальные  граней
– треугольники с общей вершиной.

Многоугольник
 называется
основанием пирамиды.

Треугольники
,
,
…,  называются
боковыми гранями пирамиды.

Точка
 –
вершиной пирамиды, а отрезки ,
,
…,  –
её боковыми рёбрами.

Отрезок,
соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к
этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Пирамиду
с вершиной  и
основанием  называют
-угольной
пирамидой и обозначают так: .

Диагональное
сечение – это сечение пирамиды плоскостью, которая проходит
через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Объединение
боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды, а объединение
всех граней называется полной поверхностью пирамиды.

Тогда
площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей её
боковых граней.

А
площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её
граней.

Объём
пирамиды равен:

.

Пирамида,
в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет своё
название.

Пирамида
называется правильной, если её основанием является правильный
многоугольник, а все боковые рёбра равны.

Отрезок,
соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Высота
боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины к ребру основания,
называется апофемой.

Выше
изображена правильная пирамида.  –
одна из её апофем. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Отметим
некоторые свойства правильной -угольной
пирамиды.

1.
В правильной -угольной
пирамиде все боковые рёбра равны между собой.

2.
Боковые рёбра равно наклонены к основанию.

3.
Из равенства боковых рёбер пирамиды следует и равенство её боковых граней.

4.
Боковые грани равно наклонены к основанию.

5.
Вершина проектируется в центр основания (основание высоты совпадает с центром
основания).

6.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна:

.

7.
Объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания  и
высотой  равен:

.

Параллельное
сечение пирамиды – сечение пирамиды плоскостью,
параллельной основанию.

Параллельное
сечение пирамиды обладает следующими свойствами:

1.
сечение, параллельное основанию пирамиды, отсекает на высоте пирамиды и боковых
рёбрах пропорциональные отрезки;

2.
в сечении получается многоугольник, подобный основанию;

3.
площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний до вершины.

Усечённая
пирамида – это часть пирамиды, заключённая между основанием и
параллельным сечением пирамиды.

Основания
усечённой пирамиды – подобные многоугольники, лежащие в параллельных
плоскостях.

Боковые
грани усечённой пирамиды – трапеции.

Высота
усечённой пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из любой точки верхнего
основания на плоскость нижнего.

Площадь
полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площади
боковой поверхности и площадей двух оснований.

Объём
усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и отсечённой пирамиды, или его
ещё можно вычислить по следующей формуле:

.

Правильная
усечённая пирамида получается из правильной пирамиды.

Апофема
– высота боковой грани правильной усечённой пирамиды.

Площадь
боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна:

.

Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача
первая. Дана треугольная пирамида, боковые рёбра которой
взаимно перпендикулярны и равны  см,
 см
и  см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Задача
вторая. Дана правильная четырёхугольная пирамида со стороной
основания  см
и высотой  см.
Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение.

Задача
третья. Найдите высоту правильной усечённой треугольной
пирамиды ,
если стороны её оснований равны  см
и  см,
а боковое ребро равно  см.

Решение.

Задача
четвёртая. В пирамиде  боковое
ребро  перпендикулярно
основанию и равно ребру .
Треугольник  –
прямоугольный с катетами  см
и  см.
Найдите объём пирамиды.

Решение.

Задача
пятая. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с
ребром основания, равным  см,
и боковым ребром, равным  см.

Решение.