Как найти площадь объемного многоугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Куб		диагональ
Параллелепипед	$V=S_text{OCH}h, h -$ высота
Прямоугольный параллелепипед		$d=sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Призма	$V=S_text{OCH}h$	$S = 2S_text{OCH}+$
Пирамида	$V=frac{1}{3}S_text{OCH}h$	$S = S_text{OCH}+$

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Задача 1.Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение:

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.

Разберем задачи, где требуется найти площадь поверхности многогранника.

Мы рассмотрим призмы и пирамиды. Начнем с призмы.

Площадь полной поверхности призмы можно найти как сумму площадей всех ее граней. А это площади верхнего и нижнего оснований плюс площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей боковых граней, которые являются прямоугольниками. Она равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.

Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Многогранник на рисунке – это прямая призма с высотой 12.

$P_text{OCH}=8+6+6+2+2+4=28.$

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

(больший квадрат), (маленький прямоугольник), $S_text{OCH}=36+8=44$

Подставим все данные в формулу: и найдем площадь поверхности многогранника:

Ответ: 424.

Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Перевернем многогранник так, чтобы получилась прямая призма с высотой 1.
Площадь поверхности этой призмы находится по формуле:

$P_text{OCH}=4+5+2+1+2+4=18.$

Найдем площадь основания. Для этого разделим его на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого:

(большой прямоугольник), $S_text{OCH}=16+2=18$ (маленький прямоугольник).

Найдем площадь полной поверхности:

Ответ: 54

Задача 4.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Покажем еще один способ решения задачи.

Посмотрим, как получился такой многогранник. Можно сказать, что к «кирпичику», то есть прямоугольному параллелепипеду со сторонами 4, 1 и 3, сверху приклеен «кубик», все стороны которого равны 1.

И значит, площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей поверхностей прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4,1,3 и
куба со стороной 1, без удвоенной площади квадрата со стороной 1:

Почему мы вычитаем удвоенную площадь квадрата? Представьте себе, что нам надо покрасить это объемное тело. Мы красим все грани параллелепипеда, кроме квадрата на верхней его грани, где на него поставлен кубик. И у куба мы покрасим все грани, кроме этого квадрата.

Ответ: 42

Задача 5. . Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Пусть АВ = 5 см, ВС = 3 см, тогда $angle{ABC}=120^{circ}$

Из по теореме косинусов найдем ребро АС:

$AC^2=AB^2+BC^2-2cdot ABcdot BC cdot cos120^{circ}$

$AC^2=25+9-2cdot5cdot3cdotleft(-frac{1}{2}right)=47, ~AC = 7$

Отрезок АС – большая сторона , следовательно, большая боковая грань призмы.

Поэтому или откуда h=5.

Ответ: 75

Теперь две задачи на площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 6. Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13, ВС = 10; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех ее боковых граней.

Проведем , тогда (по теореме о 3-х перпендикулярах), то есть DК – высота треугольника DВС.

– равнобедренный (по условию АВ = АС), то высота АК, проведенная к основанию ВС, является и медианой, то есть ВК = КС = 5.

Из прямоугольного получим:

$AK=sqrt{AB^2-BK^2}=sqrt{13^2-5^2}=sqrt{169-25}=sqrt{144}=12.$

Из прямоугольного имеем:

$DK=sqrt{DA^2+AK^2}=sqrt{9^2+12^2}=sqrt{81+144}=sqrt{225}=15.$

(по двум катетам), тогда $S_{ADB}=S_{ADC},$ следовательно

$=2S_{ADB}+S_{BDC},$ $=2cdotfrac{1}{2}cdot13cdot9+frac{1}{2}cdot10cdot15=117+75=192.$

Ответ: 192

Задача 8. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 24, боковые ребра равны 37. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Так как четырехугольная пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Площадь поверхности пирамиды равна

где р – полупериметр основания, h — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды), a – сторона основания.

Значит, полупериметр основания .

Апофему найдем по теореме Пифагора:

$h=sqrt{37^2-12^2}=sqrt{(37-12)(37+12)}=sqrt{25cdot49}=5cdot7=35$

Ответ: 2256

Как решать задачи на нахождение объема многогранника сложной формы?

Покажем два способа.

Первый способ

1.Составной многогранник достроить до полного параллелепипеда или куба.
2.Найти объем параллелепипеда.
3.Найти объем лишней части фигуры.
4.Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Второй способ.

1.Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2.Найти объем каждого параллелепипеда.
3.Сложить объемы.

Задача 9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

1) Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

2) Найдем объем параллелепипеда – для этого перемножим его длину, ширину и высоту:

3) Найдем объем лишней части, то есть маленького параллелепипеда.

Его длина равна 9 – 4 = 5, ширина 4, высота 7, тогда его объем

4) Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

Ответ: 220.

Задача 10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Объем призмы равен $V=S_{OCH}cdot h$ , а так как призма прямая, то ее боковое ребро является и высотой, то есть h=6.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник c катетами 6 и 7, тогда площадь основания

$S_{OCH}=frac{1}{2}cdot ab=frac{1}{2}cdot6cdot7=21.$

Ответ: 126

Задача 11. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд, у которого сторона в 9 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Объем призмы равен $V = S_{OCH}cdot h$

Воду перелили в другой такой же сосуд. Это значит, что другой сосуд также имеет форму правильной треугольной призмы, но все стороны основания второго сосуда в 9 раз больше, чем у первого.

Основанием второго сосуда также является правильный треугольник. Он подобен правильному треугольнику в основании первого сосуда. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Если все стороны треугольника увеличить в 9 раз, его площадь увеличится в раз. Мы получили, что площадь основания второго сосуда в 81 раз больше, чем у первого.

Объем воды не изменился, Так как высота воды h_2 должна быть в 81 раз меньше, чем h_1. Она равна (см).

Ответ: 4

Задача 12. Объем параллелепипеда Найдите объем треугольной пирамиды ABDA_1.

Решение.
Опустим из вершины A_1 высоту A_1H Н на основание ABCD.

$=S_{ABCD}cdot A_1H$

$=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H$

Диагональ основания делит его на два равных треугольника, следовательно, $S_{ABD}=frac{1}{2}S_{ABCD}.$

Имеем:

$ABDA_1=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H=frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}S_{ABCD}cdot A_1H=frac{1}{6}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=frac{1}{6}cdot21=3,5.$

Ответ: 3,5

Задача 13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а высота равна

Решение.
По формуле объема пирамиды, .

В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Его площадь равна $S_{OCH}=frac{a^2sqrt{3}}{4}.$

$S_{OCH}=frac{8^2sqrt{3}}{4}=frac{64sqrt{3}}{4}=16sqrt{3}.$

Объем пирамиды $V=frac{1}{3}cdot16sqrt{3}cdot6sqrt{3}=16cdot6=96.$

Ответ: 96

Задача 14. Через середины сторон двух соседних ребер основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем меньшей из частей, на которые эта плоскость делит призму, если объем призмы равен 32.

Решение.

По условию, призма правильная, значит, в ее основании лежит квадрат, а высота равна боковому ребру.

Пусть AD=x, тогда $S_{OCH}=x^2.$

Так как точки М и К – середины АD и DС соответственно, то $DM=DK=frac{x}{2}.$

$S_{MDK}=frac{1}{2}MDcdot DK=frac{1}{2}cdotfrac{x}{2}cdotfrac{x}{2}=frac{1}{8}x^2.$

Площадь треугольника MDK, лежащего в основании новой призмы, составляет $frac{1}{8}$ часть площади квадрата в основании исходной призмы.
Высоты обеих призм одинаковые. Согласно формуле объема призмы: $V=S_{OCH}cdot h$ , и значит, объем маленькой призмы в 8 раз меньше объема большой призмы. Он равен 32:8=4.

Ответ: 4

Докажем полезную теорему.

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство:

Плоскость перпендикулярного сечения призмы перпендикулярна к боковым ребрам, поэтому стороны перпендикулярного сечения призмы являются высотами параллелограммов.

$S=P_{perp}cdot l.$

Больше задач на формулы объема и площади поверхности здесь.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Загрузить PDF

Площадь поверхности – это суммарная площадь всех поверхностей, которые составляют объемную фигуру. Площадь поверхности является числовой характеристикой поверхности.^[1] Вычислить площадь поверхности объемной (трехмерной) фигуры довольно просто, если знать соответствующую формулу. Существует определенная формула для каждой фигуры, поэтому сначала нужно определить, какая фигура дана. Чтобы быстро вычислять площадь поверхности, запомните соответствующие формулы для разных фигур. В данной статье рассматриваются наиболее распространенные фигуры.

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности куба. У куба шесть равных квадратных граней. Так как стороны квадрата равны, площадь квадрата равна a², где а – сторона. Так как у куба шесть равных квадратных граней, чтобы найти площадь поверхности, умножьте площадь одной грани (квадрата) на 6. Формула для вычисления площади поверхности (SA) куба: SA = 6а², где а – ребро куба (сторона квадрата).^[2]
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Измерьте ребро куба. Ребра куба равны, поэтому можно измерить только одно (любое) ребро. Ребро измерьте с помощью линейки (или рулетки). Обратите внимание на используемые единицы измерения.
- Запишите значение, обозначив его через а.
- Например: а = 2 см
3
Значение а возведите в квадрат. То есть возведите в квадрат длину ребра куба. Для этого умножьте значение на себя. Если вы только приступили к изучению формул с квадратами, запишите формулу так: SA = 6*а*а.
- Сейчас вы вычислили значение площади одной из граней куба.
- Например: а = 2 см
- a² = 2 х 2 = 4 см²
4
Вычисленное значение умножьте на шесть. Помните, что у куба шесть равных граней. Вычислив площадь одной из граней, умножьте полученное значение на 6, чтобы включить все грани куба.
- Это последний шаг в процессе вычисления площади поверхности куба.
- Например: а ² = 4 см²
- SA = 6 х а² = 6 х 4 = 24 см²
Реклама

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности прямоугольной призмы. У прямоугольной призмы шесть граней, причем равными являются только противоположные грани.^[3] Поэтому формула для вычисления площади поверхности прямоугольной призмы включает значения трех разных ребер: SA = 2ab + 2bc + 2ac.
- Здесь а – ширина, b – высота, с – длина призмы.
- Если проанализировать формулу, можно понять, что она суммирует площади всех граней.
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Найдите значения высоты, ширины и длины призмы. Три ребра не являются равными, поэтому нужно выполнить три измерения. Измерьте соответствующие ребра с помощью линейки (или рулетки). Ребра измеряйте в одной единице измерения.
- Измерьте длину грани, которая лежит в основании призмы; длину обозначьте через с.
- Например: с = 5 см
- Измерьте ширину грани, которая лежит в основании призмы; ширину обозначьте через а.
- Например: а = 2 см
- Измерьте высоту призмы; высоту обозначьте через b.
- Например: b = 3 см
3
Вычислите площадь одной грани призмы, а затем полученное значение умножьте на два. Помните, что у прямоугольной призмы шесть граней, причем равными являются только противоположные грани. Умножьте длину на высоту (с на а), чтобы найти площадь одной грани. Затем полученное значение умножьте на 2, чтобы включить вторую (противоположную и равную) грань.^[4]
- Например: 2 x (a x c) = 2 x (2 x 5) = 2 x 10 = 20 см²
4
Вычислите площадь другой грани призмы, а затем полученное значение умножьте на два. Умножьте ширину на высоту (а на b), чтобы найти площадь другой грани. Затем полученное значение умножьте на 2, чтобы включить вторую (противоположную и равную) грань.^[5]
- Например: 2 x (a x b) = 2 x (2 x 3) = 2 x 6 = 12 см²
5
Вычислите площадь фронтальной грани, а затем полученное значение умножьте на два. Умножьте длину на ширину (с на b), чтобы найти площадь фронтальной грани. Затем полученное значение умножьте на 2, чтобы включить вторую (противоположную и равную) грань.^[6]
- Например: 2 x (b x c) = 2 x (3 x 5) = 2 x 15 = 30 см²
6
Сложите три значения. Так как площадь поверхности – это суммарная площадь всех граней фигуры, сложите найденные значения площадей отдельных граней. Вы получите площадь поверхности прямоугольной призмы.^[7]
- Например: SA = 2ab + 2bc + 2ac = 12 + 30 + 20 = 62 см²
Реклама

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности треугольной призмы. Треугольная призма имеет две равные треугольные грани и три прямоугольные грани. Чтобы вычислить площадь поверхности треугольной призмы, нужно найти площади всех граней и сложить их. Формула для вычисления площади поверхности треугольной призмы: SA = 2S + РH, где S – площадь треугольной грани, Р – периметр треугольной грани, H – высота призмы.^[8]
- Здесь S – это площадь треугольника (треугольной грани), которая вычисляется по формуле S = 1/2bh, где b – основание треугольника, h – высота треугольника (которая опущена на основание).
- Р – периметр треугольника (треугольной грани), который равен сумме всех сторон треугольника.
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Вычислите площадь треугольной грани и умножьте ее на два. Площадь треугольника вычисляется по формуле S = 1/2bh, где b – основание треугольника, h – высота треугольника (которая опущена на основание). Так как треугольная призма имеет две равные треугольные грани, эту формулу можно умножить на два. Поэтому, чтобы вычислить площади двух треугольных граней, просто перемножьте основание и высоту треугольника (b*h).^[9]
- Основание треугольника b – это его нижняя сторона.
- Например: b = 4 см
- Высота треугольника h – это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.
- Например: h = 3 см
- Площадь двух треугольных граней равна: 2(1/2)b*h = b*h = 4*3 =12 см.
3
Измерьте каждую сторону треугольника и высоту призмы. Чтобы вычислить площадь поверхности треугольной призмы, нужно найти значение каждой стороны треугольника и высоты призмы. Высота призмы – это расстояние между треугольными гранями.
- Например: Н = 5 см
- Стороны треугольника – это три ребра одной (любой) из треугольных граней.
- Например: а = 2 см, b = 4 см, с = 6 см
4
Вычислите периметр треугольника. Для этого сложите все стороны треугольника: Р = а + b + с.
- Например: P = а + b + с = 2 + 4 + 6 = 12 см
5
Перемножьте периметр треугольной грани и высоту призмы. Помните, что высота призмы – это расстояние между треугольными гранями. Таким образом, Р умножьте на Н.
- Например: Р х Н = 12 х 5 = 60 см²
6
Сложите полученные значения. Чтобы найти площадь поверхности треугольной призмы, сложите два значения, вычисленные ранее.^[10]
- Например: 2S + PH = 12 + 60 = 72 см²
Реклама

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности шара. Шар имеет изогнутую поверхность, поэтому формула включает математическую константу π (число Пи). Чтобы вычислить площадь поверхности шара, воспользуйтесь формулой SA = 4π*r².^[11]
- Здесь r – радиус шара, π ≈ 3,14.
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Измерьте радиус шара. Радиус шара равен половине его диаметра, то есть половине отрезка, который проходит через центр шара и соединяет две точки, лежащие на его поверхности.^[12]
- Например: r = 3 см
3
Радиус шара возведите в квадрат. Для этого умножьте значение радиуса (r) на себя. Помните, что формулу можно записать так: SA = 4π*r*r.^[13]
- Например: r² = r x r = 3 x 3 = 9 см²
4
Перемножьте квадрат радиуса и приблизительное значение числа Пи. Число Пи является математической константой, которая равна отношению длины окружности к ее диаметру.^[14] Это иррациональное число со множеством цифр после десятичной запятой. Зачастую число Пи округляется до 3,14. Квадрат радиуса умножьте на π (на 3,14), чтобы вычислить площадь круглого сечения шара. ^[15]
- Например: π*r² = 3,14 x 9 = 28,26 см²
5
Полученное значение умножьте на четыре. Чтобы найти значение площади поверхности сферы, площадь круглого сечения умножьте на 4.^[16]
- Например: 4π*r² = 4 x 28,26 = 113,04 см²
Реклама

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности цилиндра. Цилиндрическая поверхность этой фигуры ограничена двумя круглыми параллельными плоскостями, которые называются основаниями. Формула для вычисления площади поверхности цилиндра: SA = 2π*r² + 2π*rh, где r – радиус основания, h – высота цилиндра, π ≈ 3,14.^[17]
- 2π*г² – это площадь двух оснований, а 2πrh – это площадь цилиндрической поверхности.
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Измерьте радиус основания и высоту цилиндра. Радиус окружности равен половине ее диаметра, то есть половине отрезка, который проходит через центр окружности и соединяет две точки, лежащие на ней.^[18] Высота цилиндра – это расстояние между его основаниями. Измерьте и запишите радиус основания и высоту цилиндра.
- Например: r = 3 см
- Например: h = 5 см
3
Вычислите площадь основания и умножьте ее на два. Чтобы найти площадь основания, воспользуйтесь формулой для вычисления площади круга: S = π*г². Сначала радиус возведите в квадрат, а затем полученное значение умножьте на число Пи. Результат умножьте на два, чтобы учесть второе равное основание.^[19]
- Например: площадь основания = π*r² = 3,14 х 3 х 3 = 28,26 см²
- Например: 2π*r² = 2 x 28,26 = 56,52 см²
4
Вычислите площадь цилиндрической поверхности. Для этого воспользуйтесь формулой S = 2π*rh, по которой можно найти площадь поверхности трубы. Здесь труба – это поверхность между двумя основаниями цилиндра. Перемножьте двойку, число Пи, радиус и высоту.^[20]
- Например: 2π*rh = 2 x 3,14 x 3 x 5 = 94,2 см²
5
Сложите полученные значения. Сложите площади двух оснований и площадь цилиндрической поверхности (между двумя основаниями), чтобы вычислить общую площадь поверхности цилиндра. Обратите внимание, что при сложении этих величин получится исходная формула: SA = 2π*r² + 2π*rh.^[21]
- Например: 2π*r² + 2π*rh = 56,52 + 94,2 = 150,72 см²
Реклама

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности квадратной пирамиды. Квадратная пирамида имеет одно квадратное основание и четыре треугольные грани. Помните, что площадь квадрата равна квадрату его стороны. Площадь треугольника равна 1/2sl (половина основания треугольника, умноженная на его высоту). Так как пирамида имеет четыре треугольные грани, нужно площадь треугольника умножить на 4. Таким образом, площадь поверхности квадратной пирамиды вычисляется по формуле: SA = s² + 2sl.^[22]
- В этой формуле s – ребро квадратной грани (сторона квадрата), l – апофема пирамиды.
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Найдите значения апофемы и ребра квадратной грани. Апофема (l) – это высота треугольной грани, то есть расстояние между основанием треугольника и его вершиной. Ребро квадратной грани (s) – это сторона квадрата. Помните, что у квадрата все стороны равны, поэтому измерьте любое ребро квадратной грани, а также измерьте апофему пирамиды.^[23]
- Например: l = 3 см
- Например: s = 1 см
3
Найдите площадь квадратной грани. Для этого возведите в квадрат ребро этой грани (сторону квадрата), то есть умножьте значение s на себя.^[24]
- Например: s² = s х s = 1 х 1 = 1 см²
4
Вычислите общую площадь четырех треугольных граней. Вторая часть формулы включает суммарную площадь четырех треугольных граней. Согласно формуле 2ls, перемножьте 2, s и l. Так вы найдете суммарную площадь 4-х треугольных граней.^[25]
- Например: 2 х s х l = 2 х 1 х 3 = 6 см²
5
Сложите полученные значения. Сложите площадь квадратной грани и общую площадь четырех треугольных граней, чтобы вычислить площадь поверхности пирамиды.^[26]
- Например: s² + 2sl = 1 + 6 = 7 см²
Реклама

1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности конуса. Конус имеет круглое основание и закругленную боковую поверхность, которая сужается в вершине этой фигуры. Чтобы найти площадь поверхности конуса, нужно вычислить значения площади круглого основания и площади боковой поверхности, а затем сложить эти значения. Формула для вычисления площади поверхности конуса: SA = π*r² + π*rl, где r – радиус круглого основания, l – образующая (расстояние между вершиной конуса и точкой, которая лежит на окружности круга), π ≈ 3,14.^[27]
- Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в мм², см², м² и так далее.
2
Измерьте радиус основания и высоту конуса. Радиус – это отрезок, соединяющий центр круга и точку, которая лежит на его окружности. Высота – это расстояние между центром круга и высотой конуса.^[28]
- Например: r = 2 см
- Например: h = 4 см
3
Найдите значение образующей конуса (l). Образующая конуса является гипотенузой треугольника, поэтому воспользуйтесь теоремой Пифагора, чтобы вычислить образующую: l = √(r² + h²), где r – радиус круглого основания, h – высота конуса.^[29]
- Например: l = √(r² + h²) = √(2 х 2 + 4 х 4) = √(4 + 16) = √(20) = 4,47 см
4
Вычислите площадь круглого основания. Площадь круга вычисляется по формуле S = π*r². Измерив радиус, возведите его в квадрат (умножьте r на себя), а затем квадрат радиуса умножьте на число Пи.^[30]
- Например: π*r² = 3,14 x 2 x 2 = 12,56 см²
5
Вычислите площадь боковой поверхности конуса. Сделайте это по формуле S = π*rl, где r – радиус круга, l – образующая, которая найдена ранее.^[31]
- Например: π*rl = 3,14 x 2 x 4,47 = 28,07 см
6
Сложите полученные значения, чтобы найти площадь поверхности конуса. Площадь поверхности конуса равна сумме площади круглого основания и площади боковой поверхности конуса.^[32]
- Например: π*r² + π*rl = 12,56 + 28,07 = 40,63 см²
Реклама

Что вам понадобится

Линейка
Ручка или карандаш
Бумага

Об этой статье

Эту страницу просматривали 70 572 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Площади и объемы многогранников

Что такое многогранник

Простейшей геометрической фигурой является прямая. Ею называется линия, которая имеет свое продолжение вправо и влево. Если эту прямую ограничить с двух сторон, получится отрезок. Для определения его величины достаточно одного измерения — длины. Прямая, ограниченная с одной стороны, имеет свое название. Это отрезок.

луч

Источник: rusinfo.info

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В пределах одной плоскости, кроме прямой, которую можно измерить одной величиной, существуют геометрические фигуры, измеряемые длиной и шириной. Это многоугольники.

много

Источник: sun9-19.userapi.com

Они могут иметь различное количество углов и характеризуются таким понятием как площадь.

Фигура, которая располагается в нескольких плоскостях, характеризуется пространственными величинами или трехмерным измерением. К таким фигурам относят многогранники.

Многогранник — геометрическая фигура, имеющая замкнутую поверхность, которую можно представить совокупностью многоугольников.

Для полной характеристики многогранника необходимо назвать следующие свойства:

стороны обязательно являются смежными с одной соседней стороной;
при необходимости можно, начав движение от одного из многоугольников, достигнуть любого другого, используя принцип смежности;
площадь поверхности многогранника равна сумме площадей многоугольников, ограничивающих фигуру.

При этом каждый многоугольник — это грань, сторона — ребро, а вершина — вершина многогранника.

Многогранник, как геометрическое тело, может быть представлен несколькими параллелепипедами, которые соединены по одной из граней. В таком случае их площадь будет равна сумме площадей свободных сторон и одной стороны, по которой произошло соединение. Объем такого тела будет равен сумме объемов каждого из параллелепипедов.

куб

Источник: examer.ru

Многогранники бывают:

выпуклыми (каждая из точек фигуры находится по одну сторону от плоскости);
невыпуклыми (не все точки располагаются по одну сторону плоскости).

Проще говоря, выпуклый многогранник можно поставить на одну из сторон, и он будет на ней «уверенно стоять». С невыпуклым такого действия совершить нельзя.

Примечание 1

Важно помнить, что многогранник — это не только поверхность, состоящая из нескольких многоугольников. Это еще и тот внутренний объем, который ограничивает данная поверхность. Именно поэтому в стереометрии отделяют два понятия: площадь многогранника и его объем.

Как найти площадь: формулы

В зависимости от того, какой фигурой представлен многогранник, выбирают формулу для расчета площади его поверхности. Рассмотрим примеры.

1. Дана призма (многогранник, у которого в параллельных плоскостях расположены два многоугольника, являющихся гранями. Прочие грани представлены параллелограммами).

призма

Источник: osiktakan.ru

Найти площадь данной фигуры можно следующим образом:

фрмула

Источник: osiktakan.ru

2. Дан параллелепипед (один из вариантов призмы, все шесть граней которой являются параллелограммами).

параллел

Источник: osiktakan.ru

В этом случае S=2(ab+bc+ac)

3.Дана пирамида (вид многогранника с основанием в виде n-угольника и боковыми гранями по форме треугольниками. Обязательное условие: все треугольники имеют одну общую вершину, у которой есть свое название — вершина пирамиды).

пирамида

Источник: osiktakan.ru

Площадь пирамиды можно найти по формуле:

формула2

Источник: osiktakan.ru

Примечание 2

Особый случай, когда у пирамиды нет вершины. Такая фигура носит название усеченной. Ее можно себе представить, если мысленно параллельно основанию провести сечение (см. рисунок).

нет

Источник: osiktakan.ru

S_бок усеченной пирамиды находят по формуле:

формула3

Источник: osiktakan.ru

В стереометрии существует понятие правильного многогранника. Его вводят для фигур, у которых:

все грани представлены правильными многоугольниками;
число граней у всех углов идентично;
ребра являются равными отрезками;
величины плоских углов идентичны.

Перечисленным требованиям отвечают 5 видов многогранников, представленных в таблице:

	Наименование фигуры	Пример
1	Правильный четырехгранник	Правильный тетраэдр
2	Правильный шестигранник	Куб
3	Правильный восьмигранник	Правильный октаэдр
4	Правильный двенадцатигранник	Правильный додекаэдр
5	Правильный двадцатигранник	Правильный икосаэдр

Определить площадь правильных многогранников также несложно, зная следующие формулы (нумерация согласно строке таблицы):

1. S=a²√3

2. S=6a²

3. S=2a²√3

4. формула4

Источник: osiktakan.ru

5. S=5a²√3

Использовать данный формулы нужно в задачах, требующих определить площадь поверхности многогранника, без учета его внутреннего объема.

Объем многогранника: формулы

Объем многогранника, в отличие от площади его поверхности, не может быть определен только касательно поверхности. Ведь он представляет собой все внутреннее пространство, которое ограничивается имеющейся поверхностью. На практике говорят, что объем является величиной, с помощью которой описывают размер трехмерных фигур. Эти фигуры так и называют: объемные (тела). У объемной фигуры имеется не только длина и ширина, но и высота – параметр, измеряемый в третьей плоскости.

Решить задачи по определению объема многогранника также можно с использованием формул.

Рассмотрим следующий рисунок:

рисунок

Источник: interneturok.ru

Объем такого тела определяется по формуле:

V=a*b*c

Поскольку по рисунку видно, что a*b=S, а c является высотой (h), то формулу можно записать в виде: V=S*h

Рассмотренный вариант касается прямоугольного параллелепипеда. Если же произвольный параллелепипед имеет наклонные вертикальные грани, то данная формула также верна, однако проведенная высота отличается от бокового ребра, и, возможно, лежит внутри либо вне самого тела:

Источник: interneturok.ru

Формула определения объема через площадь и высоту подходит и для такого трехмерного тела, как призма (причем как для прямой, так и наклонной):

Источник: interneturok.ru

В быту часто происходит образование новых многогранников в процессе обрезания кусков от старых и приставления их к уже имеющимся. Как же вычислить объем такого геометрического тела? В геометрии используется принцип Кавальери. Суть его в следующем. Площади прямоугольника и параллелограмма равны потому что они в своей структуре имеют отрезки одинакового размера. Проще говоря, если представить рассечение обеих фигур плоскостями, параллельными основанию, величина отрезка слева всегда будет равна величине отрезка справа. Если третья фигура имеет такое же строение, по ее площадь будет такой же.

Источник: interneturok.ru

Объем многогранника, который может быть разделен на два и более многогранников, может определяться суммой их объемов.

найдите

Источник: image2.slideserve.com

Для систематизации формул, применяемых для определения объемов многогранников, рассмотрим таблицу:

	Наименование фигуры	Формула объема
1	Параллелепипед непрямоугольный, призма	V=S*h
	Параллелепипед прямоугольный	V=abc
2	Куб	V=a³
3	Пирамида	S=1/3(Sh)

На практике определить объем трехмерного тела можно и без формулы. Например, найти объем призмы можно, если умножить площадь ее основания на высоту фигуры. При этом вариант, когда в основании призмы лежит треугольник, предполагает, что нужно найти его площадь. Если основание квадрат, на первом этапе — нахождение площади квадрата. Величину высоты определяем, опуская перпендикуляр к основанию.

Примеры решения задач

Задача 1

Треугольник ABC — основание пирамиды DABC. При этом AC=AB=13см, BC=10см. AD=9см, это перпендикуляр к основанию. Найти S боковой поверхности.

задача1

Источник: ege-study.ru

Искомая величина равна сумме площадей боковых граней этой пирамиды.

Из вершин A и D проведем перпендикуляры к стороне BC. Тогда высота треугольника DBC — DK.

Треугольник ABC является равнобедренным, поскольку AB=AC. Тогда высота AK, которую провели по направлению основания BC, совпадает с медианой. Соответственно BK=KC=5см.

решение

Источник: ege-study.ru

Ответ: 192 см³

Задача 2

Имеется выпуклый многогранник. У него 8 граней, в т.ч. 4 пятиугольника и 4 четырехугольника. Определить, сколько у данного тела ребер и вершин. Определим сумму всех граней: 4*4+4*5=36

Поскольку смежные ребра посчитаны дважды, найденное количество необходимо разделить на два: 36/2=18

В+Г-Р=2

В+12-30=2

В+12-2=30

В+10=30

В=20

Ответ: вершин — 20, ребер — 30.

Задача 3

Если переплавить три куба из латуни, у которых ребра равны соответственно 3, 4, 5см, в один куб, какая величина ребра получится у нового куба?

Решение.

решение2

Источник: famiredo.ru

Источник

Почему бы просто не считать клеточки?

Возможно, вы читаете всё это и думаете: зачем все эти сложности? Формулы запоминать. Дорисовывать. Тут ведь сразу видно, сколько клеточек в фигуре.

Вот, например, трапеция:

Посчитаем клеточки: их всего 46, верно?

Но стоп, там же некоторые из них только наполовину внутри фигуры. Отметим их – всего таких 10. Итого, 36 полных (красные точки) и 10 половинчатых, вместе ( 36+frac{10}{2} = 41)

trapetsiya ploshad po polnym i nepolnym kletochkam

Вроде бы всё верно. Но, если присмотреться, можно заметить ещё маленькие треугольнички, которые попали внутрь. А также, что «синие» клеточки слева на самом деле разрезаны не ровно пополам – какие-то чуть больше, какие-то меньше…

Как всё это учитывать?

Попробуем рассуждать так: заметно, что тот маленький розовый треугольник дополняет серый кусок клетки.

А жёлтые сколько занимают? Постарайтесь ответить сами.

Если всё сделать правильно, то увидите, что жёлтые кусочки можно сложить вместе в одну целую клетку.

Итак, 2 жёлтых куска = 1 клетка.

Розовый треугольник + серый кусок = 1 клетка. Всего у нас две таких пары (розовый+серый) – это 2 полных клетки.

Всё остальное как было: 36 полных клеток и 6 половинок у правой стороны – это ( 36+frac{6}{2}=39) клетки.

Итого клеток: ( 1 + 2 + 39 = 42).

Проверим результат по формуле площади трапеции: нижнее основание 11, верхнее основание 3, высота 6. Полусумма оснований равна 7, умножаем на высоту – получилось 42. Всё совпало.

Но! Настолько ли проще был наш способ подсчёта клеточек? Не сказал бы. А если там будет несколько косых линий, то вообще можно замучиться собирать этот паззл (искать, какие кусочки друг друга дополняют).

Вычислите площадь простых фигур тремя способами

Стороны клеток равны 1. Вычислите самостоятельно площадь фигуры всеми тремя способами. Сравните результаты.

Вычислите площадь произвольных фигур по формуле Пика

Вычислите самостоятельно площади фигур с помощью формулы Пика:

Посчитайте площадь корабля и котика по формуле Пика

Посчитайте самостоятельно для тренировки и чтобы запомнить формулу Пика!

ploshad teorema pika po kletochkam zadacha 8

ploshad teorema pika po kletochkam zadacha 9

Фигуры с отверстиями — посчитайте площади двумя способами

Ну и напоследок фигуры с «дырками». Как думаешь, здесь придётся вычислять сначала площадь целой фигуры, а потом площадь дырки?

Или достаточно просто посчитать точки внутри закрашенной области и на её границах (в том числе, на границе с дыркой)?

Проверим на простом примере: это квадрат ( 4times 4), и в нём вырезан прямоугольник ( 1times 2), значит, его площадь ( 16-2=14).

А теперь по точкам. На границах (включая внутренние) ( Г = 22). Внутри ( В = 3). Тогда площадь по формуле Пика

( S = frac{22}{2} + 3 -1 = 13.)

Хм, близко, но не совпало. Может, я где-то ошибся? Давай ещё одну фигуру, для верности.

Сосчитай сам и проверь.

Что получилось?

У меня снова на 1 меньше.

Так может быть просто формулу немного «подкрутить»? Нет!

Очень и очень не рекомендую вам запоминать несколько похожих формул для похожих случаев, потому что придёт время, и вы обязательно перепутаете формулу.

Даже если вы уверены, что не перепутаете, оно всё равно того не стоит. В общем, наилучший вариант – это запомнить одну формулу. А если попалась фигура с дыркой, вычислить всю фигуру, а потом дырку. И вычесть.

Площадь поверхности пирамиды

Для пирамиды тоже действует общее правило:

Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей всех граней.( displaystyle {{S}_{полн. пов. }}={{S}_{боков.пов. }}+{{S}_{основания }})

Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle {{S}_{осн}}) и ( displaystyle {{S}_{ASB}}).

И тогда

( displaystyle {{S}_{полн. пов. }}=3{{text{S}}_{ASB}}+{{text{S}}_{text{осн}.}})

Вспомним теперь, что

( displaystyle {{S}_{осн}}) — это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).

И еще вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

( displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sin gamma ).

У нас «( displaystyle a)» — это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» — это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).

Значит, ( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}frac{sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}).

Теперь найдем ( displaystyle {{S}_{Delta ASB}}).

Пользуясь основной формулой площади и теоремой Пифагора, находим

( displaystyle {{S}_{Delta ASB}} = frac{1}{2}asqrt{b^2-frac{a^2}{4}})

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. ( displaystyle b=a)), то формула получается такой:

( displaystyle S={{a}^{2}}sqrt{3}).

Источник

Все формулы для площадей полной и боковой поверхности тел

1. Площадь полной поверхности куба

a — сторона куба

Формула площади поверхности куба,(S):

2. Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

a, b, c — стороны параллелепипеда

Формула площади поверхности параллелепипеда, (S):

3. Найти площадь поверхности шара, сферы

R — радиус сферы

π ≈ 3.14

Формула площади поверхности шара (S):

4. Найти площадь боковой и полной поверхности цилиндра

r — радиус основания

h — высота цилиндра

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности цилиндра, (S_бок):

Формула площади всей поверхности цилиндра, (S):

5. Площадь поверхности прямого, кругового конуса

R — радиус основания конуса

H — высота

L — образующая конуса

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S_бок):

Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S_бок):

Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S):

Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S):

6. Формулы площади поверхности усеченного конуса

R — радиус нижнего основания

r — радиус верхнего основания

L — образующая усеченного конуса

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса, (S_бок):

Формула площади полной поверхности усеченного конуса, (S):

7. Площадь поверхности правильной пирамиды через апофему

L — апофема (опущенный перпендикуляр OC из вершины С, на ребро основания АВ)

P — периметр основания

S_осн — площадь основания

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (S_бок):

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды (S):

8. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

m — апофема пирамиды, отрезок OK

P — периметр нижнего основания, ABCDE

p — периметр верхнего основания, abcde

Формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды, (S):

9. Площадь поверхности шарового сегмента

R — радиус самого шара

h — высота сегмента

π ≈ 3.14

Формула площади поверхности шарового сегмента, (S):

10. Площадь поверхности шарового слоя

h — высота шарового слоя, отрезок KN

R — радиус самого шара

O — центр шара

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности шарового слоя, (S):

11. Площадь поверхности шарового сектора

R — радиус шара

r — радиус основания конуса = радиус сегмента

π ≈ 3.14

Формула площади поверхности шарового сектора, (S):

Источник