Как найти площадь обкладки плоского конденсатора

Площадь пластины (обкладки) в плоском конденсаторе. Калькулятор онлайн.

Онлайн калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) в плоском конденсаторе, позволит найти площадь пластины (обкладки) через электроёмкость и расстояние между пластинами, а также через расстояние между пластинами, напряжение и заряд на пластине. Калькулятор произведет вычисление и даст подробное решение. Единицы измерения, могут включать любые приставки Си. Калькулятор автоматически переведет одни единицы в другие.

Калькулятор содержит:
Площадь пластины (обкладки) в плоском конденсаторе через электроёмкость и расстояние между пластинами.
Площадь пластины (обкладки) в плоском конденсаторе через расстояние между пластинами, напряжение и заряд на пластине.

Плоский конденсатор

Конденсаторы наравне с резисторами являются наиболее используемыми электронными компонентами. Самым интересным случаем является тот, когда заряды пластин плоского конденсатора противоположны по знаку и одинаковы по модулю, как представлено на рисунке ниже.

На пластинах сосредоточен заряд — между ними возникает электрическое поле. У плоского конденсатора электрическое поле в основном сосредоточено между его обкладками, но в окружающем пространстве также имеет место быть электрическое поле, которое называется полем рассеяния. При решении задач им, в большинстве случаев, пренебрегают. Чтобы определить величины данного поля, необходимо рассмотреть схематическое изображение плоского конденсатора, которое представлено на рисунке ниже.

Каждой пластиной конденсатора создается электрическое поле:

1. положительно заряженная частица +q создающая электрическое поле напряженностью Е+;
2. отрицательно заряженная частица -q создающая электрическое поле напряженностью Е-.

Формула для расчета напряженности поля для равномерно заряженной пластины выглядит следующим образом:

$Епл = j / (2*e¬_0*e)$

где: j — поверхностная плотность заряда; е — диэлектрическая проницаемость диэлектрического слоя между обкладками конденсатора.

Так как площадь пластин у рассматриваемого конденсатора одинакова, то модули напряженности равны между собой:

$Е+ = Е- = q / (2*e_0*e*S)$

где S — площадь пластин.

Однако направление векторов разные, то есть внутри конденсатора векторы направлены в одну сторону, а вне его в противоположные. Поэтому внутри пластин результирующее поле определяется следующим образом:

$Е = Е+ + Е- = (q / (2*e_0*e*S)) + (q / (2*e_0*e*S)) = q / (e_0*e*S)$

Таким образом вне плоского конденсатора электрические поля обкладок компенсируют друг друга — результирующая напряженность равна 0.

Примеры решения задач

Предположим, что необходимо рассчитать расстояние между пластинами плоского конденсатора при следующих условиях: разность потенциалов равняется 150 вольт, заряд на обкладке конденсатора равняется $10^{-8}$ кулон, площадь пластин 10^{-2}$ метра диэлектрический слой сделан из слюд, диэлектрическая проницаемость которой равняется 7. метра диэлектрический слой сделан из слюд, диэлектрическая проницаемость которой равняется 7.

Емкость конденсатора рассчитывается по следующей формуле:

$С = (е*е_0*S) / d$

где: е — диэлектрическая проницаемость слюды; е0 — диэлектрическая проницаемость вакуума; S — площадь пластин; d — расстояние между пластинами.

Из представленной выше формулы можно вывести формулу для расчета расстояния между пластинами:

$d = (е*е_0*S) / С$

Емкость любого конденсатора может быть рассчитана по формуле:

$С = q/U$

где q — заряд на обкладке конденсатора; U — разность потенциалов.

Таким образом получается следующая формула для расчета расстояния между пластинами:

$d = (U*e*e_0*S) / q = (150*7*8.85*10^{-12}*10^{-2}) / 10^{-8} = 9.3 * 10^{-3}$

Предположим, что необходимо рассчитать первоначальную энергию плоского воздушного конденсатора и его энергию, если пластины раздвинуть до расстояния $1,5*10^{-2}$ при следующих исходных данных: первоначальная разность потенциалов 500 вольт, площадь пластин $2*10^{-2}$ метра, первоначальное расстояние между обкладками конденсатора $1,5-10^{-3}$, а источник напряжения в случае раздвижения пластин не отключается.

Энергия электрического поля конденсатора можно рассчитать по следующей формуле:

$W = (C*U^2) / 2$

где С — электрическая емкость конденсатора; U — разность потенциалов.

Электрическая емкость плоского конденсатора рассчитывается по формуле:

$С = (е*е_0*S) / d$

Если учесть, что рассматриваемый конденсатор воздушный, то первоначальная емкость может быть рассчитана — электрическая проницаемость воздуха равняется 1, по формуле:

$С_1 = (е_0*S) / d_1$

где, $d_1$ — первоначальная емкость конденсатора.

В таком случае первоначальная энергия конденсатора рассчитывается по формуле:

$W_1 = ((е_0*S) / d_1) * ((C*U^2) / 2) = (8.85 * 10 ^{-12}*2*10^{-2}*500^2) / (2*1.5*10^{-3}) = 14.8 * 10^{-6}$

При изменении расстоянии между обкладками конденсатора и не выключенном источнике напряжения разность потенциалов не меняется и, следовательно, формула для расчета энергии конденсатора при именном расстоянии между пластинами имеет следующий вид:

$W_2 = ((е_0*S)/d_2) * (U^2/2) = W_1*(d_1/d_2) = 14.8*10^{-6} * (1.5*10^{-3} / 1.5*10^{-2}) = 1.5 * 10^{-6}$

Конденсатором называется система, состоящая из двух проводников, расположенных достаточно близко друг от друга. Проводники называют обкладками конденсатора. Если на обкладки конденсатора поместить равные по модулю и противоположные по знаку заряды, то разность потенциалов (напряжение) между обкладками будет пропорциональна заряду обкладок, т. е. отношение заряда к напряжению не будет зависеть от заряда. На основании этого утверждения, которое приводим без доказательства, вводится понятие электроёмкости (ёмкости конденсатора).

Ёмкостью конденсатора называется отношение заряда $$ Q$$ одной из обкладок к разности потенциалов $$ U$$ между этой обкладкой и соседней:

Если взят заряд на положительно заряженной обкладке, то $$ Q>0, U>0$$ и получится $$ C>0$$. Если заряд взят на отрицательной обкладке, то Q<0, U<0Q<0,;U<0 и опять будет $$ C>0$$. Итак, из определения ёмкости следует, что ёмкость величина положительная. В системе СИ ёмкость измеряется в фарадах: `1″Ф»=1` Кл/В.

Требование близости обкладок друг к другу связано с тем, что для независимости $$ C$$ от $$ Q$$ в (10.1) нужно, чтобы поле от зарядов на обкладках было сосредоточено практически полностью между обкладками, т. е. все силовые линии, начинающиеся на одной обкладке, заканчивались только на другой и не уходили на окружающие тела. В этом случае окружающие тела не будут влиять на ёмкость конденсатора.
Можно вывести, что ёмкость плоского конденсатора

Здесь $$ S$$ — площадь обкладок, $$ d$$ — расстояние между ними, $$ varepsilon $$ — диэлектрическая проницаемость диэлектрика между обкладками.
При последовательном соединении изначально не заряженных конденсаторов с ёмкостями $$ {C}_{1}, {C}_{2}, …$$, общий заряд равен заряду каждого конденсатора, общее напряжение равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах, общая ёмкость определяется из формулы: $$ {displaystyle frac{1}{C}}={displaystyle frac{1}{{C}_{1}}}+{displaystyle frac{1}{{C}_{2}}}+…$$

Полезно помнить формулу для частного случая последовательного соединения двух конденсаторов: $$ C={displaystyle frac{{C}_{1}{C}_{2}}{{C}_{1}+{C}_{2}}}$$.

Для последовательно соединённых n одинаковых конденсаторов ёмкостью $$ {C}_{1}$$ каждый $$ C={C}_{1}/n.$$

Если последовательно соединены предварительно заряженные конденсаторы, то применение перечисленных выше свойств и формул может привести к неправильному результату!
При параллельном соединении конденсаторов с емкостями $$ {C}_{1,} {C}_{2}, …$$ общий заряд равен сумме зарядов отдельных конденсаторов, общее напряжение равно напряжению на каждом, общая ёмкость равна сумме ёмкостей:

Рис. 10.1

В плоский конденсатор параллельно его обкладкам вставлена пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $$ varepsilon $$ (рис. 10.1). Площадь обкладок конденсатора и пластины $$ S$$, толщина пластины $$ d$$, расстояние между обкладками $$ 3d$$. Найти ёмкость такого конденсатора.

Пусть расстояние от пластины до левой обкладки конденсатора $$ x$$. Наклеим мысленно на обе стороны пластины тонкую проводящую и незаряженную фольгу. От этого ничего не изменится. Обе фольги можно рассматривать как своеобразные провода, соединяющие три последовательно соединённых конденсатора с расстояниями $$ x$$, $$ d$$ и $$ 2d-x$$. Для общей ёмкости $$ C$$:

$$ {displaystyle frac{1}{C}}={displaystyle frac{x}{{varepsilon }_{0}S}}+{displaystyle frac{d}{varepsilon {varepsilon }_{0}S}}+{displaystyle frac{2d-x}{{varepsilon }_{0}S}}$$.

Окончательно $$ C={displaystyle frac{varepsilon {varepsilon }_{0}S}{d(2varepsilon +1)}}.$$ Заметим, что не заданная в условии величина $$ x$$ «исчезла» в процессе решения.

Рис. 10.2

В плоский конденсатор ёмкостью $$ C$$ вставлена параллельно обкладкам плоская проводящая пластина с зарядом $$ Q$$ (рис. 10.2). Конденсатор подсоединён к источнику с ЭДС $$ mathcal{E}$$. Площади пластины и обкладок конденсатора равны. Толщина пластины равна расстоянию от неё до правой обкладки и составляет четверть от расстояния между обкладками. Найти заряд конденсатора.

Пусть $$ d$$ – расстояние между обкладками, $$ S$$ – их площадь. Пусть $$ q$$ заряд правой обкладки. Тогда заряд левой будет $$ -q$$, т. к. заряд в значительных количествах не может накапливаться на соединительных проводах и в источнике. Направим ось $$ x$$ влево (рис. 10.3).

Рис. 10.3

Заметим, что поле внутри пластины отсутствует и разность потенциалов $$ {varphi }_{N}-{varphi }_{F}$$ между точками $$ N$$ и $$ F$$ равна нулю. Кроме того, заряды на поверхностях пластины создают вне пластины такое же поле, как и заряд $$ Q$$, если бы его расположить на любой из двух поверхностей пластины. Это легко показать отдельно.

Разность потенциалов $$ {varphi }_{M}-{varphi }_{P}$$ между точками $$ M$$ и $$ P$$ равна $$ mathcal{E}$$. Поэтому

$$ ({varphi }_{M}-{varphi }_{N})+({varphi }_{N}-{varphi }_{F})+({varphi }_{F}-{varphi }_{P})=mathcal{E}$$.

У нас $$ {varphi }_{M}-{varphi }_{N}={E}_{A}{displaystyle frac{d}{4}}, {varphi }_{N}-{varphi }_{F}=0, {varphi }_{F}-{varphi }_{P}={E}_{K}{displaystyle frac{d}{2}}$$.

Здесь — $$ {E}_{A}$$ и $$ {E}_{K}$$ — проекции напряжённости результирующего поля на ось `x`. По принципу суперпозиции полей

$$ {E}_{A}={displaystyle frac{q}{2{varepsilon }_{0}S}}-{displaystyle frac{Q}{2{varepsilon }_{0}S}}-{displaystyle frac{-q}{2{varepsilon }_{0}S}}={displaystyle frac{1}{2{varepsilon }_{0}S}}left(2q-Qright)$$,

$$ {E}_{K}={displaystyle frac{q}{2{varepsilon }_{0}S}}+{displaystyle frac{Q}{2{varepsilon }_{0}S}}-{displaystyle frac{-q}{2{varepsilon }_{0}S}}={displaystyle frac{1}{2{varepsilon }_{0}S}}left(2q+Qright)$$.

Подставляя выражения для $$ {E}_{A}$$, $$ {E}_{K}$$ и разностей потенциалов в первое
уравнение, получим после упрощений $$ 6q+Q=8mathcal{E}{displaystyle frac{{varepsilon }_{0}S}{d}}$$.

Так как $$ {displaystyle frac{{varepsilon }_{0}S}{d}}=C$$, то $$ q=(8Cmathcal{E}-Q)/6$$.

Следует заметить, что знак найденного заряда правой обкладки зависит от соотношения заданных в условии задачи величин.

Рис. 10.4

На схему (рис. 10.4) подано напряжение `U=24` В. Ёмкости конденсаторов `C_1=1` мкФ, $$ {C}_{2}=2$$ мкФ, $$ {C}_{3}=3$$ мкФ. Найти напряжения на конденсаторах.

В задачах, где есть схемы с конденсаторами, обычно предполагается, что схемы собраны из первоначально незаряженных конденсаторов.

Ёмкость между точками $$ B$$ и $$ K$$: 

$$ {C}_{BK}={C}_{2}+{C}_{3}=5$$ мкФ.

Общая емкость: $$ {C}_{AK}={displaystyle frac{{C}_{1}{C}_{BK}}{{C}_{1}+{C}_{BK}}}={displaystyle frac{5}{6}}$$ мкФ.

Общий заряд всей батареи конденсаторов $$ {q}_{AK}={C}_{AK}U=20·{10}^{-6 }mathrm{Кл}.$$

Так как заряд $$ {q}_{1}$$ конденсатора $$ {C}_{1}$$ равен заряду батареи, то напряжение на этом конденсаторе $$ {U}_{1}={q}_{1}/{C}_{1}={q}_{AK}/{C}_{1}=20$$ В. Напряжения на конденсаторах $$ {C}_{2}$$ и $$ {C}_{3}$$ равны напряжению между точками $$ B$$ и $$ K$$ и в сумме с $$ {U}_{1}$$ дают $$ U$$.
Поэтому $$ {U}_{2}={U}_{3}={U}_{BK}=U-{U}_{1}=4$$ В.

Приведённая в задаче схема негромоздкая, и ответ легко получить в общем виде:

$$ {U}_{1}={displaystyle frac{{C}_{2}+{C}_{3}}{{C}_{1}+{C}_{2}+{C}_{3}}}U=20$$ B,

$$ U2=U3={displaystyle frac{{C}_{1}}{{C}_{1}+{C}_{2}+{C}_{3}}}U=4$$ B.

Перейти к контенту