Как найти площадь окружности вписанной в четырехугольник - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Окружность, вписанная в четырехугольник

Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.

На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.

Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.

Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).

Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то

( small AM=AQ=a, ) ( small BM=BN=b, ) ( small CN=CP=c, ) ( small DQ=DP=d )

( small AB+CD ) ( small=AM+BM+CP+DP ) ( small =a+b+c+d, )

(1)

( small AD+BC) ( small=AQ+DQ+BN+CN) ( small=a+d+b+c. )

(2)

Из равенств (1) и (2), следует:

( small AB+CD=AD+BC. )

Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть ( small AB+CD=AD+BC. ) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.

Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.

Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.

Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.

Проведем касательную C₁D₁ к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.

Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC₁D₁. Следовательно, по теореме 1, имеем:

( small AB+C_1D_1=AD_1+BC_1. )

(3)

Но по условию данной теоремы:

( small AB+CD=AD+BC. )

(4)

Вычтем из равенства (4) равенство (3):

( small CD-C_1D_1) (small=AD-AD_1+BC-BC_1 )

( small CD-C_1D_1=DD_1+CC_1 )

( small CD=DD_1+CC_1+C_1D_1)

Получили, что в четырехугольнике CC₁D₁D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).

Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.

Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).

Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.

Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.

Вписанная в четырехугольник окружность

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.

Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,

то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.

3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.

AM=AN,

5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

где p — полупериметр четырехугольника.

Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.

Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и

Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен

В четырехугольник вписана окружность как найти площадь

Площади четырехугольников

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Параллелограмм

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

S = a 2

a – сторона квадрата

S = 4r 2

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

a и b – основания,
h – высота

S = m h

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

Дельтоид

S = ab sin φ

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник



Параллелограмм



Квадрат
	S = a 2 где a – сторона квадрата
	S = 4r 2


Ромб





Трапеция




Дельтоид

	где a и b – неравные стороны, φ₁ – угол между сторонами, равными a , φ₂ – угол между сторонами, равными b .


Произвольный выпуклый четырёхугольник

Вписанный четырёхугольник

Прямоугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Окружность, вписанная в четырехугольник

Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.

Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).

( small AM=AQ=a, ) ( small BM=BN=b, ) ( small CN=CP=c, ) ( small DQ=DP=d )

( small AB+CD ) ( small=AM+BM+CP+DP ) ( small =a+b+c+d, )

(1)

( small AD+BC) ( small=AQ+DQ+BN+CN) ( small=a+d+b+c. )

(2)

Из равенств (1) и (2), следует:

( small AB+CD=AD+BC. )

Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.

Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.

Проведем касательную C₁D₁ к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.

Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC₁D₁. Следовательно, по теореме 1, имеем:

( small AB+C_1D_1=AD_1+BC_1. )

(3)

Но по условию данной теоремы:

( small AB+CD=AD+BC. )

(4)

Вычтем из равенства (4) равенство (3):

( small CD-C_1D_1) (small=AD-AD_1+BC-BC_1 )

( small CD-C_1D_1=DD_1+CC_1 )

( small CD=DD_1+CC_1+C_1D_1)

Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.

Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

Треугольник
Выпуклый, правильный многоугольник
Квадрат
Равнобедренная трапеция
Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac (a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.

Точка касания — это точка, в которой соприкасается
окружность и любая из сторон треугольника.

От центра вписанной окружности можно провести
перпендикуляры к любой точке касания.

Вписанная в треугольник окружность делит стороны
треугольника на 3 пары равных отрезков.

Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.

В четырехугольник

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
Центр вписанной окружности и середины двух
диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
Точка касания — это точка, в которой соприкасается
окружность и любая из сторон четырехугольника.
Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac (a+b+c+d)cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.

Примеры вписанной окружности

Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.

Верные и неверные утверждения

Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

Окружность вписанная в угол

Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.

Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.

К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

источники:

Вписанная в четырехугольник окружность

http://b4.cooksy.ru/articles/v-chetyrehugolnik-vpisana-okruzhnost-kak-nayti-ploschad

Источник

Определение.

Теорема 1.

В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

AB+CD=BC+AD.

И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

AB+CD=BC+AD,

то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Теорема 2.

Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,

то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.

AM=AN,

BM=BK,

CK=CF,

DF=DN

(как отрезки касательных, проведенных из одной точки).

(как радиусы, проведенные в точки касания).

5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

где p — полупериметр четырехугольника.

Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и

$[{S_{ABCD}} = (AD + BC) cdot r,]$

или

$[{S_{ABCD}} = (AB + CD) cdot r.]$

Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен

$[r = frac{S}{p}]$

Для описанного четырехугольника ABCD

$[r = frac{{{S_{ABCD}}}}{{AD + BC}}]$

или

$[r = frac{{{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}}.]$

Источник

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

Треугольник
Выпуклый, правильный многоугольник
Квадрат
Равнобедренная трапеция
Ромб

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Содержание

Свойства вписанной окружности
В треугольник
В четырехугольник
Примеры вписанной окружности
Верные и неверные утверждения
Окружность вписанная в угол

Свойства вписанной окружности

В треугольник

В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:
[ S = frac{1}{2}(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.
Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
Точка касания — это точка, в которой соприкасается
окружность и любая из сторон треугольника.
От центра вписанной окружности можно провести
перпендикуляры к любой точке касания.
Вписанная в треугольник окружность делит стороны
треугольника на 3 пары равных отрезков.
Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

[ с = sqrt{R^2 — 2Rr} ]

с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.

В четырехугольник

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
Центр вписанной окружности и середины двух
диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
Точка касания — это точка, в которой соприкасается
окружность и любая из сторон четырехугольника.
Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:
[ S = frac{1}{2}(a+b+c+d)cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.
Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.

Примеры вписанной окружности

Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.

Верные и неверные утверждения

Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

Окружность вписанная в угол

Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.

Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.

Центральный угол вписанной окружности – это угол, вершина
которого лежит в центре вписанной окружности.

Вписанный угол вписанной окружности – это угол,
вершина которого лежит на вписанной окружности.

Так-же читайте статью про треугольник вписанный в окружность.

Источник

Как найти площадь вписанной окружности

Площадь окружности, вписанной в многоугольник, можно вычислить не только через параметры самой окружности, но через различные элементы описанной фигуры — стороны, высоту, диагонали, периметр.

Инструкция

Окружность называется вписанной в многоугольник, если имеет общую точку с каждой стороной описанной фигуры. Центр вписанной в многоугольник окружности всегда лежит в точке пересечения биссектрис его внутренних углов. Площадь, ограниченная окружностью, определяется формулой S=π*r²,
где r — радиус окружности,
π — число «Пи» — математическая постоянная, равная 3,14.

Для окружности, вписанной в геометрическую фигуру, радиус равен отрезку от центра до точки касания со стороной фигуры. Следовательно, можно определить зависимость между радиусом вписанной в многоугольник окружности и элементами данной фигуры и выразить площадь окружности через параметры описанного многоугольника.

В любой треугольник возможно вписать единственную окружность с радиусом, определяемым формулой: r=s∆/p∆,
где r — радиус вписанной окружности,
s∆ — площадь треугольника,
p∆ — полупериметр треугольника.

Подставьте полученное значение радиуса, выраженное через элементы описанного около окружности треугольника, в формулу площади окружности. Тогда площадь S окружности, вписанной в треугольник с площадью s∆ и полупериметром p∆ вычисляется по формуле:
S = π*(s∆/p∆)².

Окружность можно вписать в выпуклый четырехугольник при условии, что в нем равны суммы противолежащих сторон.
Площадь S окружности, вписанной в квадрат со стороной a, равна: S= π*a²/4.

В ромбе площадь S вписанной окружности равна: S= π*(d₁d₂/4a)². В этой формуле d₁ и d₂ — диагонали ромба, а — сторона ромба.
Для трапеции площадь S вписанной в нее окружности определяется по формуле: S= π*(h/2)², где h — высота трапеции.

Сторона а правильного шестиугольника равна радиусу вписанной в него окружности, площадь S окружности вычисляется по формуле: S = π*a².

Окружность можно вписать в правильный многоугольник с любым количеством сторон. Общая формула для определения радиуса r окружности, вписанной в многоугольник со стороной а и числом сторон n: r=a/2tg(360°/2n). Площадь S вписанной в такой многоугольник окружности: S=π*(a/2tg(360°/2n)²/2.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Формулы площадей фигур

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

формулы площади треугольника
формулы площади квадрата
формула площади прямоугольника
формулы площади параллелограмма
формулы площади ромба
формулы площади трапеции
формулы площади дельтоида
формулы площади произвольного выпуклого четырехугольника
формулы площади круга
формула площади эллипса

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

S = 12 a · h

где a — одна из сторон треугольника, h — высота, проведенная к стороне треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c.

S = pp-ap-bp-c

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 12 a · b · sinγ

где a, b — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S = a · b · c4R

a, b, c — стороны треугольника,
R — радиус описанной окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

S = p · r

где S — площадь треугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c2

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

S = a2

где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата.

Формула площади квадрата по длине диагонали

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

S = d22

где S — площадь квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

S = a · b

где S — площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте

Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h

где S — площадь параллелограмма,
a, h — длины сторон параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

S = a · b · sinα

где S — площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними

Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

S =
d1 · d2
· sinβ2 = d1 · d2
· sinγ2

где S — площадь параллелограмма,
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
β, γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте

Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба.

Формула площади ромба по длине стороны и углу

Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

S = a2 · sinα

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
α — угол между сторонами ромба.

Формула площади ромба по длинам его диагоналей

Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

S = d1 · d22

где S — площадь ромба,
d1, d2 — длины диагоналей ромба.

Формулы площади трапеции

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две (a, b) стороны параллельны (основания), а две другие (c, d) стороны не параллельны (боковые стороны).

Формула Герона для трапеции

S = a + b|a — b| p-ap-bp-a-cp-a-d

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,
p=a+b+c+d2 — полупериметр трапеции.

Формула площади трапеции по длине основ и высоте

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

S = a + b · h2

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
h — высота трапеции.

Формулы площади дельтоида

Дельтоид — это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и углу между ними

Площадь дельтоида равна произведению длин неравных сторон на синус угла между ними.

S = a·b sinβ

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
β — угол между неравными сторонами дельтоида.

Формула площади дельтоида по равным сторонам и углу между ними

Площадь дельтоида равна полусумме произведения каждой из пар равных сторон на синус угла между ними.

S = a2 sinγ + b2 sinα2

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины сторон дельтоида,
α — угол между равными сторонами b,
γ — угол между равными сторонами a.

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь дельтоида равна произведению суммы неравных сторон на радиус вписанной окружности.

S = a+b r

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
r — радиус вписанной окружности.

Формула площади дельтоида по двум диагоналям

Площадь дельтоида равна половине произведения длин двух диагоналей.

S = d1 · d22

где S — площадь дельтоида,
d1, d2 — диагонали дельтоида.

Формулы площади произвольного выпуклого четырехугольника

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

Площадь произвольного выпуклого выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженной на синус угла между ними.

S = d1 · d2 · sinγ2

где S — площадь четырехугольника,
d1, d2 — диагонали четырехугольника,
γ — любой из четырёх углов между диагоналями.

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

S = p-ap-bp-cp-d — a·b·c·d ·cos2θ

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p=a+b+c+d2 — полупериметр четырехугольника,
θ = α + β2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.