Как найти площадь описанного вокруг окружности четырехугольника

Содержание:

• Вписанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры
• Описанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры
• Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
• Чему равна сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника
• Как найти радиус вписанного в окружность четырехугольника, формула

Вписанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры

Вписанный в окружность четырехугольник является таким четырехугольником, каждая из вершин которого принадлежит описанной около него окружности.

Вписанный в окружность четырехугольник изображен на рисунке:

Здесь около четырехугольника ABCD описана окружность, а сам этот четырехугольник можно назвать вписанным в данную окружность. Этот вывод можно сделать на основании определения, рассмотренного ранее, так как точки A, B, C, D являются одновременно и вершинами четырехугольника, и принадлежат описанной около него окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

На примере рисунка запишем смысл изложенной теоремы:

(left. begin{array}{l} angle A + angle C = {180^o}\ angle B + angle D = {180^o} end{array} right} Leftrightarrow ABCD) треугольник вписан в окружность.

Если какой-то четырехугольник вписан в окружность, то ее центральная точка совпадет с точкой, в которой пересекаются диагонали вписанного четырехугольника. При этом радиус описанной около четырехугольника окружности составит половину от длины его диагонали, то есть:

(R = frac{1}{2}BD)

Радиус, окружности, описанной около некого четырехугольника с прямыми углами, можно вычислить с помощью следующей формулы, содержащей стороны прямоугольника:

(R = frac{1}{2}sqrt {A{B^2} + A{D^2}}.)

Представим, что прямоугольник имеет стороны, которые равны a и b. Тогда справедливо следующее соотношение:

(R = frac{1}{2}sqrt {{a^2} + {b^2}})

Выведем формулу для вычисления радиуса окружности, которая описана около равнобедренной трапеции. Искомая величина равна радиусу окружности, описанной около одного из треугольников, имеющего те же вершины, что и рассматриваемая трапеция:

ABC, ABD, ACD или BCD.

Описанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры

Описанным четырехугольником называют такую геометрическую фигуру с четырьмя углами, каждая из сторон которой является касательной к окружности. Данная окружность считается вписанной в рассматриваемый четырехугольник.

Заметим, что в данном случае соблюдено условие:

AB+CD=BC+AD

На основе теоремы можно сформулировать обратное утверждение. В том случае, когда противоположные стороны четырехугольника в сумме равны, то есть AB+CD=BC+AD, в такой четырехугольник ABCD допустимо вписать какую-либо окружность.

Заметим, что на рисунке биссектрисами углов, которые имеет четырехугольник ABCD, являются следующие отрезки:

• AO;
• BO;
• CO;
• DO.

В результате:

(angle BAO = angle DAO)

(angle ABO = angle CBO) и так далее.

Рассмотрим рисунок. Заметим, что:

BM=BK;

CK=CF;

DF=DN.

Записанные равенства вытекают из того факта, что это отрезки касательных, которые проведены из одной точки.

Запишем следующие соотношения:

(OM bot AB);

(OK bot BC);

(OF bot CD);

(ON bot AD).

Данные соотношения верны, так как включают в себя радиусы, которые проведены в точки касания окружности и описанного четырехугольника.

Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

В том случае, когда в четырехугольник вписана окружность, его площадь определяется по формуле:

(S = p cdot r)

Здесь p обозначает полупериметр четырехугольника.

Вспомним, что противолежащие стороны четырехугольника, в который вписана окружность, в сумме равны. Исходя из данного утверждения, можно сделать вывод: полупериметр такого четырехугольника равен какой-либо из пар сумм противолежащих сторон.

Если рассмотреть некий четырехугольник ABCD, то можно записать формулу для вычисления полупериметра этой геометрической фигуры:

p=AD+BC

p=AB+CD.

Тогда площадь четырехугольника, в который вписана окружность, будет вычислена таким образом:

({S_{ABCD}} = (AD + BC) cdot r;)

({S_{ABCD}} = (AB + CD) cdot r.)

В результате для определения радиуса окружности, которая вписана в некий четырехугольник, можно воспользоваться следующей формулой:

(r = frac{S}{p}.)

В том случае, если рассматривается описанная около четырехугольника ABCD окружность, то формула для вычисления ее радиуса примет вид:

(r = frac{{{S_{ABCD}}}}{{AD + BC}};)

(r = frac{{{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}}.)

Чему равна сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника

Заметим, что на рисунке изображен четырехугольник ABCD, вписанный в окружность (O; R). Требуется доказать, что:

(angle A+angle C=180^o;)

(angle B+angle D=180^o.)

Представим доказательства. По условию:

(angle A) — угол вписанного четырехугольника, опирается на дугу BCD;

(angle C) — угол, который опирается на дугу DAB.

Зная, что вписанный угол составляет ½ часть дуги, которая является его опорой, запишем:

(angle A = frac{1}{2} cup BCD,)

(angle C = frac{1}{2} cup DAB.)

В результате:

(angle A + angle C = frac{1}{2} cup BCD + frac{1}{2} cup DAB = frac{1}{2}( cup BCD + cup DAB) = frac{1}{2} cdot 360^o = 180^o.)

Аналогичным образом запишем, что:

(angle B + angle D = frac{1}{2}( cup CDA + cup ABC) = frac{1}{2} cdot 360^o = 180^o.)

Теорема доказана.

Представим, что имеется некий четырехугольник ABCD.

Сумма его противолежащих углов равна: (angle B+angle D=180^o).

Попробуем доказать, что около рассматриваемого четырехугольника можно описать окружность.

В первую очередь построим окружность около треугольника ABC таким образом, чтобы точка D принадлежала данной окружности. Построим доказательства, двигаясь «от обратного».

Допустим, что точка D не принадлежит окружности, которая описана около треугольника ABD. В таком случае точка D должна располагаться во внутренней области, ограниченной данной окружностью, или за пределами окружности.

В том случае, когда точка D расположена во внутреннем пространстве, ограниченном окружностью, какой-то луч AD имеет точку пересечения с окружностью. Обозначим ее, как Е. Заметим, что если вокруг четырехугольника ABCE описана окружность, то его противолежащие углы в сумме составляют (180^o):

(angle B+angle E = 180^o.)

Согласно данным из условия задачи:

(angle B+angle D=180^o.)

Таким образом:

(angle D=angle E.)

С другой стороны, угол D является внешним углом треугольника DCE при его вершине D. Исходя из этого, запишем:

(angle ADC=angle DEC+angle DCE.)

В результате получается, что угол D не равен углу E. Это утверждение противоречиво. Таким образом, точка D не расположена во внутреннем пространстве, ограниченном окружностью, описанной около треугольника ABC.

Луч AD имеет точку пересечения с окружностью, обозначенную буквой Е. В таком случае, ABCE представляет собой вписанный в окружность четырехугольник, а также:

(angle B+angle E=180^o)

Согласно условию задачи:

(angle B+angle D=180^o.)

Тогда:

(angle D=angle E.)

Однако угол Е является внешним углом треугольника ECD и расположен при вершине E.

Таким образом: (angle AEC=angle EDC+angle DCE.)

В результате недопустимо равенство углов D и E. В том случае, когда точка D расположена за пределами окружности, возникает противоречие. Таким образом, остается единственно верный вариант расположения этой точки, согласно которому она принадлежит окружности, описанной около четырехугольника. Теорема доказана.

Согласно свойству и признаку четырехугольника, вписанного в окружность, необходимым и достаточным условием вписанного четырехугольника является следующая теорема.

Как найти радиус вписанного в окружность четырехугольника, формула

Допустим, что имеется некий четырехугольник, стороны которого обозначены, как a, b, c, d, а полупериметр равен p. В таком случае описанная около данного четырехугольника окружность имеет радиус, который можно рассчитать по формуле как отношение:

(R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}.)

Рассмотрим еще одну закономерность, которую называют формулой Брахмагупты. С ее помощью можно определить площадь S четырехугольника, который вписан в окружность и имеет стороны, равные a, b, c, d:

(S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.)

В данном случае p является полупериметром, то есть в два раза меньше, чем периметр, и определяется как:

(p={tfrac {1}{2}}(a+b+c+d).)

С помощью формулы Брахмагупты представляется возможным изменить форму записи формулы Парамешвары:

(4SR={sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.)

Здесь S определяется, как площадь четырехугольника, вписанного в окружность. Диаметр равен двум радиусам и проходит через центр окружности.