Как найти площадь осевого сечения конуса задачи - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Площадь сечения конуса. Для вас представлена очередная статья с конусами. На момент написания этой статьи на блоге решены все примеры (прототипы) заданий с конусами, которые возможны на экзамене. Процесс решения несложен (1-2 действия), при определённой практике решаются устно. Нужно знать понятие образующей, об этом информация в этой статье. Так же необходимо понимать как образуются сечения конуса.

1. Если плоскость проходит через вершину конуса, то сечением является треугольник.

*Если плоскость проходит через ось конуса, то сечением является равнобедренный треугольник, высота которого равна высоте конуса, а основание на которое опущена эта высота равна диаметру основания конуса.

2. Если плоскость проходит перпендикулярно оси конуса, то сечением является круг.

Особенностью данных заданий является то, что применяется формула площади треугольника, здесь она первая. Формулы периодически повторяйте. Рассмотрим задачи:

324453. Площадь основания конуса равна 16Пи, высота равна 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Осевым сечением конуса является треугольник с основанием равным диаметру основания конуса и высотой равной высоте конуса. Обозначим диаметр как D, высоту как Н, запишем формулу площади треугольника:

Высота известна, вычислим диаметр. Используем формулу площади круга:

Значит диаметр будет равен 8. Вычисляем площадь сечения:

Ответ: 24

324454. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Сечением является круг. Необходимо найти площадь этого круга.

Построим осевое сечение:

Рассмотрим треугольники AKL и AOC – они подобны. Известно, что в подобных фигурах отношения соответствующих элементов равны. Мы рассмотрим отношения высот и катетов (радиусов):

OC это радиус основания, его можно найти:

Значит

Теперь можем вычислить площадь сечения:

*Это алгебраический способ вычисления без использования свойства подобных тел, касающегося их площади. Можно было рассудить так:

Два конуса (исходный и отсечённый) подобны, значит пощади их оснований являются подобными фигурами. Для площадей подобных фигур существует зависимость:

Коэффициент подобия в данном случае равен 1/3 (высота исходного конуса равна 9, отсечённого 3), 3/9=1/3.

Таким образом, площадь основания полученного конуса равна:

Ответ: 2

323455. Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R.

Найдём диаметр основания и используя формулу площади треугольника вычислим площадь. По теореме Пифагора:

Вычисляем площадь сечения:

Ответ: 48

Диаметр основания конуса равен 40, а длина образующей — 25. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R.

Радиус основания равен половине диаметра, то есть 20.

Вычислим высоту и далее используя формулу площади треугольника найдём искомую площадь. По теореме Пифагора:

Вычисляем площадь сечения:

Ответ: 300

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

09
Сен 2013

Категория: 02 Стереометрия

02. Конус

2013-09-09
2022-09-11

Задача 1. Высота конуса равна , образующая равна Найдите его объем, деленный на .

Решение: + показать

Задача 2. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг катета, равного Найдите его объем, деленный на .

Решение: + показать

Задача 3. Высота конуса равна а диаметр основания – Найдите образующую конуса.

Решение: + показать

Задача 4. Найдите объем конуса, образующая которого равна и наклонена к плоскости основания под углом В ответе укажите $frac{V}{pi}.$

Решение: + показать

Задача 5. Длина окружности основания конуса равна образующая равна Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение: + показать

Задача 6. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в раз?

Решение: + показать

Задача 7. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в раз?

Решение: + показать

Задача 8. Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в раз, а высота останется прежней?

Решение: + показать

Задача 9. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 10. Объем конуса равен Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение: + показать

Задача 11. Площадь полной поверхности конуса равна Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Решение: + показать

Задача 12. Найдите объем конуса, образующая которого равна и наклонена к плоскости основания под углом $30^{circ}.$ В ответе укажите $frac{V}{pi}$ .

Решение: + показать

Задача 13. Диаметр основания конуса равен а угол при вершине осевого сечения равен °. Вычислите объем конуса, деленный на .

Решение: + показать

Задача 14. Площадь основания конуса равна , высота — Найдите площадь осевого сечения конуса.

Решение: + показать

Задача 15. Площадь основания конуса равна Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной и считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Решение: + показать

Задача 16. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите $frac{V}{pi}$ .

Решение: + показать

Задача 17. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите $frac{V}{pi}$ .

Решение: + показать

Задача 18. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение: + показать

Вы можете пройти тест

Автор: egeMax |

комментариев 10

Печать страницы

Источник

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Диаметр основания конуса равен 70, а длина образующей  — 37. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей  — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого  — диаметр основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса. Образующая конуса l, его высота h и радиус основания r связаны соотношением откуда Следовательно, площадь осевого сечения равна 0,5 · 12 · 8  =  48.

Ответ: 48.

Источник

Скачать материал

Сейчас обучается 35 человек из 26 регионов

Сейчас обучается 175 человек из 50 регионов

Сейчас обучается 83 человека из 35 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Задачи по теме Конус
2 слайд

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 3 и 9, а второго — 6 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?

Решение: Т.к. площадь боковой поверхности конуса: S=πrl.
Значит S1= π·3·9= 27π,
S2= π·6·9= 54π, тогда S2: S1= 54π : 27π = 2
3 слайд

1) Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны, соответственно, 2 и 4, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого? Ответ: 6
Решить самостоятельно
4 слайд

Объём конуса равен 160., Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
Решение:
Отношение объемов конусов равно кубу их коэффициента подобия. Высоты конусов относятся как 1:2, поэтому их объемы относятся как 1:8.
Следовательно, объем отсекаемого конуса равен 160 : 8 = 20
5 слайд

Решить самостоятельно
Объём конуса равен 135. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. Ответ:5
Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. Ответ:2
Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. Ответ:16
6 слайд

Объём конуса равен 150π а его высота равна 6 . Найдите радиус основания конуса.
Решение: Найдём радиус основания конуса по формуле: V=1/3·πR²h
Откуда R²=3V:πh => R²= 150π : 6π = 25. Тогда R=5
7 слайд

Решить самостоятельно
Объём конуса равен 9π, а его высота равна 3 . Найдите радиус основания конуса. Ответ:3
Объём конуса равен 25π, а его высота равна 3 . Найдите радиус основания конуса. Ответ:5
8 слайд

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?
Решение: Объем конуса вычисляется по формуле V=1/3·Socн·h .
Значит, если высоту уменьшить в 3 раза, то и объём уменьшится в 3 раза
9 слайд

Решить самостоятельно
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 18,5 раза?
2) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 24 раза?
3) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 10 раз?
10 слайд

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?
Решение: Объем конуса вычисляется по формуле
V=1/3·Soc.·h = 1/3·πR²·h.
Значит, если радиус основания увеличить в 1,5 раза, то объём конуса увеличится в 2,25 раза
11 слайд

Решить самостоятельно
Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 40 раз?
2) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 22 раза?
3) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 31 раз?
12 слайд

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?
Решение: Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле
S= πR·L, где L-образующая.
Значит если увеличить L в 3 раза, то площадь боковой поверхности конуса тоже увеличится в 3 раза.
13 слайд

Решить самостоятельно
Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз?
Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 11 раз?
Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 1,5 раза?
14 слайд

Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней?

Решение: Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S= πR·L.
Значит, если радиус основания уменьшится в 1,5 раза, то площадь боковой поверхности конуса тоже уменьшится в 1,5 раза.
15 слайд

Решить самостоятельно
Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 8 раз, а образующая останется прежней?
2) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 36 раз, а образующая останется прежней?
3) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 21 раз, а образующая останется прежней?
16 слайд

Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.
Решение: По теореме Пифагора
𝑳= 𝑯 𝟐 + 𝒅 𝟐 𝟐 = 𝟏𝟔+ 𝟑𝟔 𝟒 = 𝟐𝟓 =𝟓
17 слайд

Решить самостоятельно
Высота конуса равна 8, а диаметр основания — 30. Найдите образующую конуса. Ответ: 17
2) Высота конуса равна 5, а диаметр основания — 24. Найдите образующую конуса. Ответ: 13
3) Высота конуса равна 6, а диаметр основания — 16. Найдите образующую конуса. Ответ: 10
18 слайд

Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.
Решение: По теореме Пифагора
𝑹= 𝑳 𝟐 − 𝑯 𝟐 = 𝟐𝟓−𝟏𝟔 = 𝟗 =3;
2R = 6
19 слайд

Решить самостоятельно
Высота конуса равна 72, а длина образующей — 90. Найдите диаметр основания конуса.
Ответ:108
2) Высота конуса равна 21, а длина образующей — 75. Найдите диаметр основания конуса. Ответ: 54

3) Высота конуса равна 57, а длина образующей — 95. Найдите диаметр основания конуса. Ответ: 76
20 слайд

Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей — 5. Найдите высоту конуса.
Решение: По теореме Пифагора
𝑯= 𝑳 𝟐 − 𝒅 𝟐 𝟐 = 𝟐𝟓− 𝟑𝟔 𝟒 = 𝟏𝟔 =𝟒;
21 слайд

Решить самостоятельно
Диаметр основания конуса равен 108, а длина образующей — 90. Найдите высоту конуса. Ответ: 72
2) Диаметр основания конуса равен 42, а длина образующей — 75. Найдите высоту конуса. Ответ: 72
3) Диаметр основания конуса равен 24, а длина образующей — 13. Найдите высоту конуса. Ответ: 5
22 слайд

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Решение: Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса, он равен 70 ∙ 8 = 560 мл. Следовательно, необходимо долить 560 − 70 = 490 мл жидкости.
23 слайд

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём сосуда 1600 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.
Решение: Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса. Объем налитой жидкости равен 1600 : 8 = 200 мл.
24 слайд

Решить самостоятельно
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты. Объём жидкости равен 14 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 364
2) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 280
3) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/4 высоты. Сколько миллилитров жидкости налито в сосуд, если объем всего сосуда равен 384? Ответ: 6
25 слайд

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 𝟑 𝟐 . Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Решение: Так как цилиндр имеет высоту, равную радиусу основания, то площадь боковой поверхности цилиндра равна 𝑺 бц =𝟐𝝅𝑹𝑯=𝟐𝝅 𝑹 𝟐 =𝟑 𝟐 , следовательно

𝝅 𝑹 𝟐 = 𝟑 𝟐 𝟐

Площадь боковой поверхности конуса равна
𝑺 бк =𝝅𝑹𝑳, так как 𝑳= 𝑯 𝟐 + 𝑹 𝟐 = 𝟐 𝑹 𝟐 =𝑹 𝟐 ;

𝑺 бк =𝝅𝑹𝑳=𝝅𝑹∙𝑹 𝟐 = 𝟐 𝝅 𝑹 𝟐 = 𝟑 𝟐 𝟐 ∙ 𝟐 =𝟑
26 слайд

Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Решение: Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого —это диаметр основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса. Так как R = 6, то
𝑯= 𝑳 𝟐 − 𝑹 𝟐 = 𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟔 =𝟖;
Следовательно, площадь осевого сечения
𝑺 сеч = 𝟏 𝟐 ∙𝑯∙𝟐𝑹= 𝟏 𝟐 ∙𝟖∙𝟏𝟐=𝟒𝟖
27 слайд

1) Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. Ответ: 48
Решить самостоятельно
28 слайд

Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью
Решение: Сечение плоскостью, параллельной основанию, представляет собой круг, радиус которого относится к радиусу основания конуса как 3 : 9. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Тем самым, она равна 2.
29 слайд

Площадь основания конуса равна 16π, высота — 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Решение: Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, высота которого совпадает с высотой конуса, а основание является диаметром основания конуса. Поэтому площадь осевого сечения равна половине произведения высоты конуса на диаметр его основания или произведению высоты конуса на радиус основания R. Поскольку по условию πR²=16π, то радиус основания конуса равен 4, а тогда искомая площадь осевого сечения равна 24.
30 слайд

Решить самостоятельно
Площадь основания конуса равна 36π, высота —10. Найдите площадь осевого сечения конуса. Ответ:60
31 слайд

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 𝟏𝟎 𝟐 . Найдите образующую конуса.
Решение: Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:

𝑳= 𝑹 𝟐 + 𝑹 𝟐 =𝑹 𝟐 ;

𝑳=𝟏𝟎 𝟐 ∙ 𝟐 =𝟐𝟎
32 слайд

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

Решение: Формулу для объёма шара: 𝑽= 𝟒 𝟑 𝝅 𝑹 𝟑 , а формула объёма конуса: 𝑽= 𝟏 𝟑 𝝅 𝑹 𝟑 .
Значит объём конуса в 4 раза меньше объёма шара. Тогда объём конуса равен V = 28 : 4 = 7
33 слайд

Решить самостоятельно
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 116. Найдите объем конуса. Ответ: 29
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 160. Найдите объем конуса. Ответ: 40
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 132. Найдите объем конуса. Ответ: 33
34 слайд

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.
Решение: 𝑺 бок =𝟐 𝑺 осн ; 𝝅𝑹𝑳=𝟐𝝅 𝑹 𝟐 ;
𝑳=𝟐𝑹
Значит, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, образующей и радиусом основания конуса, катет, равный радиусу, вдвое меньше гипотенузы. Тогда он лежит напротив угла 30°. Следовательно, угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.
35 слайд

Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π .
Решение: По теореме Пифагора
𝑳= 𝑯 𝟐 + 𝑹 𝟐 = 𝟏𝟔+𝟗 = 𝟐𝟓 =𝟓;
Площадь полной поверхности конуса

𝑺=𝝅 𝑹 𝟐 +𝝅𝑹𝑳=𝝅𝑹 𝑳+𝑹 =𝝅∙𝟑∙𝟖=𝟐𝟒𝝅;
𝑺 𝝅 =𝟐𝟒
36 слайд

Решить самостоятельно
Радиус основания конуса равен 12, высота равна 16. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π . Ответ: 264
2) Радиус основания конуса равен 28, высота равна 21. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π . Ответ: 1764
3) Радиус основания конуса равен 15, высота равна 36. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π . Ответ: 810
37 слайд

Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Решение: Длина окружности: 𝑪=𝟐𝝅𝑹=𝟑;
𝝅𝑹= 𝟑 𝟐
Площадь боковой поверхности конуса 𝑺=𝝅𝑹𝑳= 𝟑 𝟐 ∙𝟐=𝟑
38 слайд

Решить самостоятельно
Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Ответ: 6
Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Ответ: 20
Длина окружности основания конуса равна 8, образующая равна 6. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Ответ: 24
39 слайд

Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг катета, равного H = 6. Найдите объем конуса, деленный на π .
Решение: Радиус основания равен высоте конуса и равен 6, тогда объем конуса равен:
𝑽= 𝟏 𝟑 𝝅 𝑹 𝟐 𝑯= 𝟏 𝟑 𝝅 𝑹 𝟑 = 𝟏 𝟑 𝝅∙ 𝟔 𝟑 =𝟕𝟐𝝅;

𝑽 𝝅 = 𝟕𝟐𝝅 𝝅 =𝟕𝟐
40 слайд

Решить самостоятельно
Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 15. Найдите его объем, деленный на π . Ответ: 1125
2) Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 120. Найдите его объем, деленный на π . Ответ: 576000
3) Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 60. Найдите его объем, деленный на π . Ответ: 72000
41 слайд

Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.
Решение: В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, т.е. радиусу основания конуса: H = R = 3. Тогда объем конуса вычисляется следующим образом:
𝑽= 𝟏 𝟑 𝝅 𝑹 𝟐 𝑯= 𝟏 𝟑 𝝅 𝑹 𝟑 = 𝟏 𝟑 𝝅∙ 𝟑 𝟑 =𝟗𝝅;

𝑽 𝝅 = 𝟗𝝅 𝝅 =𝟗
42 слайд

Решить самостоятельно
Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.
Ответ: 11979
Диаметр основания конуса равен 12, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.
Ответ: 72
Диаметр основания конуса равен 36, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.
Ответ: 1944
43 слайд

Найдите объем конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В ответе укажите V/π.
Решение: Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в 30° – она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. H = 1
Радиус основания найдем по теореме Пифагора: 𝑹= 𝑳 𝟐 − 𝑯 𝟐 = 𝟒−𝟏 = 𝟑
𝑽= 𝟏 𝟑 𝝅 𝑹 𝟐 𝑯= 𝟏 𝟑 𝝅∙ 𝟑 𝟐 ∙𝟏=𝝅;

𝑽 𝝅 = 𝝅 𝝅 =𝟏
44 слайд

Решить самостоятельно
Найдите объем конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В ответе укажите V/π. Ответ: 10 648
Найдите объем конуса, образующая которого равна 52 и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В ответе укажите V/π. Ответ: 17576
Найдите объем конуса, образующая которого равна 34 и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В ответе укажите V/π. Ответ: 4913
45 слайд

Решение: Радиус основания конуса R равен половине диагонали квадрата ABCD:
𝑹= 𝟏 𝟐 𝑨𝑪= 𝟏 𝟐 ∙𝟒 𝟐 =𝟐 𝟐
Тогда объем конуса равен:
𝑽= 𝟏 𝟑 𝝅 𝑹 𝟐 𝑯= 𝟏 𝟑 𝝅 𝟐 𝟐 𝟐 ∙𝟔=𝟏𝟔𝝅;

𝑽 𝝅 = 𝟏𝟔𝝅 𝝅 =𝟏𝟔
Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π.
46 слайд

Решить самостоятельно
Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 13. Найдите его объем, деленный на π. Ответ: 19,5
Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 8 и высотой 12. Найдите его объем, деленный на π. Ответ: 128
Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 9. Найдите его объем, деленный на π. Ответ: 24
47 слайд

Решение: Объем данной части конуса равен

𝑽= 𝟗𝟎° 𝟑𝟔𝟎° ∙ 𝟏 𝟑 𝝅 𝑹 𝟐 𝑯= 𝟏 𝟒 ∙ 𝟏 𝟑 𝝅∙ 𝟗 𝟐 ∙𝟏𝟐=𝟖𝟏𝝅;

𝑽 𝝅 = 𝟖𝟏𝝅 𝝅 =𝟖𝟏
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .
S
90°
12
9
48 слайд

Решить самостоятельно
1) Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

S
90°
14
6
S
90°
18
12
S
90°
24
9
Ответ: 126
Ответ: 486
Ответ: 648
49 слайд

Решение: Объем данной части конуса равен

𝑽= 𝟔𝟎° 𝟑𝟔𝟎° ∙ 𝟏 𝟑 𝝅 𝑹 𝟐 𝑯= 𝟏 𝟔 ∙ 𝟏 𝟑 𝝅∙ 𝟏𝟐 𝟐 ∙𝟐𝟕=𝟐𝟏𝟔𝝅;

𝑽 𝝅 = 𝟐𝟏𝟔𝝅 𝝅 =𝟐𝟏𝟔
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .
S
60°
27
12
50 слайд

Решить самостоятельно
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

S
60°
21
12
S
60°
33
12
S
60°
36
18
Ответ: 504
Ответ: 1944
Ответ: 792
51 слайд

Решение: Объем данной части конуса равен

𝑽= 𝟐𝟕𝟎° 𝟑𝟔𝟎° ∙ 𝟏 𝟑 𝝅 𝑹 𝟐 𝑯= 𝟑 𝟒 ∙ 𝟏 𝟑 𝝅∙ 𝟏𝟐 𝟐 ∙𝟏𝟓=𝟓𝟒𝟎𝝅;

𝑽 𝝅 = 𝟓𝟒𝟎𝝅 𝝅 =𝟓𝟒𝟎
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .
O
S
90°
15
12
52 слайд

Решить самостоятельно
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .
O
S
90°
14
12
O
S
90°
13
6
O
S
90°
12
9
Ответ: 504
Ответ: 117
Ответ: 243
53 слайд

Решение: Объем данной части конуса равен

𝑽= 𝟑𝟎𝟎° 𝟑𝟔𝟎° ∙ 𝟏 𝟑 𝝅 𝑹 𝟐 𝑯= 𝟓 𝟔 ∙ 𝟏 𝟑 𝝅∙ 𝟗 𝟐 ∙𝟐𝟕=𝟏𝟖𝟐𝟐,𝟓𝝅;

𝑽 𝝅 = 𝟏𝟖𝟐𝟐,𝟓𝝅 𝝅 =𝟏𝟖𝟐𝟐,𝟓
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .
O
S
60°
27
9
54 слайд

Решить самостоятельно
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .
O
S
60°
14
12
O
S
60°
13
6
O
S
60°
11
9
Ответ: 1680
Ответ: 390
Ответ: 742,5

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 265 441 материал в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Материал подходит для УМК

Другие материалы

Контрольная работа по геометрии 10 класс

Учебник: «Геометрия. Учебник 10-11 класс », Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Тема: § 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

28.03.2018
825
0

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Управление персоналом и оформление трудовых отношений»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС педагогических направлений подготовки»
Курс повышения квалификации «Основы построения коммуникаций в организации»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Основы менеджмента в туризме»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Учебная деятельность по предметной области «Черчение»: основы предмета и реализация обучения в условиях ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Корпоративная культура как фактор эффективности современной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Организация маркетинговой деятельности»
Курс профессиональной переподготовки «Стандартизация и метрология»

Источник

Круглый конус в геометрии является симметричной пространственной фигурой, имеющей ось вращения. Одной из важных его характеристик является площадь сечения осевого. В данной статье приведем формулу площади сечения осевого конуса прямого с круглым основанием и усеченного.

О какой фигуре будет идти речь?

Круглый конус — это фигура, которую можно получить следующим образом. Необходимо взять треугольник с углом прямым и его вокруг одного из катетов вращать. Тогда получится показанная ниже объемная фигура.

Вам будет интересно:Восхитительный — это прилагательное, без которого не обойтись: его лексическое значение

Отрезок AC на рисунке называется радиусом основания, который «рисует» при вращении с центром в точке A круг. Катет AB — это высота конуса. Очевидно, что отрезок AB перпендикулярен основанию и является частью оси вращения фигуры. Точка B — это высота рассматриваемой фигуры. Отрезок BE называется образующей, или генератрисой конуса. Совокупность всех генератрис образует боковую поверхность конуса. Она является конической. Ограничивающая основание окружность называется направляющей, или директрисой конуса.

Поскольку генератриса, радиус и высота являются гипотенузой и катетами рассмотренного прямоугольного треугольника, то для них можно записать формулу:

g2 = r2 + h2

Здесь g — генератриса, r — радиус, h — высота.

Осевое сечение конуса и его площадь

Чтобы записать для конуса формулу площади сечения осевого, сначала следует познакомиться с самим сечением. Оно получается так: нужно взять секущую плоскость, расположить ее параллельно оси конуса. Затем необходимо разрезать конус плоскостью на две одинаковые части таким образом, чтобы в плоскость сечения попала вершина фигуры.

Несложно себе представить, что в результате описанной операции получится равнобедренный треугольник. Равные стороны треугольника будут такие же, как длины генератрис. А третья сторона будет равна диаметру основания.

Формула площади осевого сечения конуса (фото см. выше) не отличается сложностью. Она соответствует формуле расчета этой величины для описанного треугольника. Поскольку у треугольника площадь равна произведению основания на высоту, которое следует поделить пополам, то искомое равенство для осевого сечения примет вид:

S = h*r

Эта формула говорит о том, что S в два раза больше площади прямоугольного треугольника, вращением которого был получен конус.

Усеченный конус и его осевое сечение

Усеченный конус получается из обычного при помощи секущей плоскости, которая параллельна его основанию. Полученная при этом фигура под плоскостью будет усеченным конусом. Он показан на рисунке.

Помимо боковой поверхности, эта фигура состоит из двух оснований, которые представляют собой большой и малый круги. Обозначим их радиусы как r1 и r2. Расстояние между основаниями называется высотой, обозначим ее буквой h.

Осевое сечение рассматриваемого конуса будет четырехугольником, две стороны которого являются образующими. А две другие стороны будут параллельны друг другу и равны 2*r1 и 2*r2 соответственно. Этот четырехугольник будет равнобедренной трапецией, которая показана на рисунке ниже.

Этот факт позволяет использовать выражение для трапеции, чтобы записать формулу площади сечения усеченного осевого конуса . Она примет вид:

S = (2*r1 + 2*r2)/2*h = h*(r1 + r2)

То есть площадь S равна произведению суммы радиусов оснований усеченного конуса на его высоту.

Для решения геометрических задач также может потребоваться формула связи между генератрисой фигуры и ее параметрами r1, r2 и h. Соответствующее выражение приобретает вид:

g2 = h2 + (r1 — r2)2

Получить ее достаточно просто самостоятельно, если рассмотреть прямоугольный треугольник внутри конуса, построенный на сторонах g, h и (r1 — r2).

Задача на определение площади сечения осевого конуса усеченного

Покажем, как находить площадь осевого сечения на примере усеченного конуса.

Известно, что высота указанной фигуры составляет 10 см. Также известно, что для конуса осевого сечения площадь равна разности площадей оснований. Зная, что диаметры оснований отличаются ровно в два раза, необходимо найти площадь этого сечения по оси.

В соответствии с условием задачи можно записать два уравнения:

r1 = 2*r2;

h*(r1 + r2) = pi*(r12 — r22)

Значение высоты известно из условия. Таким образом, мы имеем 2 равенства и 2 неизвестные величины. Решаем эту систему:

h*(2*r2 + r2) = pi*((2*r2) 2 — r22) =>

3*pi*r22 — 3*h*r2 = 0

Мы получили неполное квадратное уравнение, которое следует решить относительно переменной r2. Уравнение имеет 2 корня, но решение r2 = 0 не является физическим, поэтому запишем только одно единственное значение для малого радиуса:

r2 = h/pi

Тогда большой радиус r1 будет равен:

r1 = 2*h/pi

Подставляя эти равенства в формулу площади осевого сечения конуса, получаем:

S = h*(r1 + r2) = 3*h2/pi

Подставляем численное значение h и записываем ответ: S ≈ 95,54 см2.

Источник