Как найти площадь осевого сечения шара - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Площадь сечения шара

Шар — это геометрическое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, находящихся от его центра на заданном расстоянии. Основной математической характеристикой шара является его диаметр.

Сечение шара — это изображение фигуры, образованной рассечением шара плоскостью в поперечном или продольном направлении.

Формула для расчета площади осевого сечения шара:

S = π * d 2 / 4, где

d — осевой диаметр шара.

Формула для расчета площади сечения шара плоскостью:

S = π * d 2 / 4, где

d — диаметр окружности шара в этой плоскости.

Смотрите также статью о всех геометрических фигурах (линейных 1D, плоских 2D и объемных 3D).

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета площади сечения шара, если известен диаметр шара. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете рассчитать площадь сечения шара через любую плоскость сечения (площадь осевого сечения шара и площадь сечения шара плоскостью).

Формула площади сечения шара плоскостью

Шар – это геометрическое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, находящихся от его центра на заданном расстоянии. Основной математической характеристикой шара является его диаметр.

Сечение шара – это изображение фигуры, образованной рассечением шара плоскостью в поперечном или продольном направлении.

Формула для расчета площади осевого сечения шара:

S = π * d 2 / 4, где

d – осевой диаметр шара.

Формула для расчета площади сечения шара плоскостью:

S = π * d 2 / 4, где

d – диаметр окружности шара в этой плоскости.

Смотрите также статью о всех геометрических фигурах (линейных 1D, плоских 2D и объемных 3D).

Попроси больше объяснений
Следить
Отметить нарушение

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

Ответ: πR²cos²α

Объяснение:

Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен плоскости сечения, значит

О₁А = ОА · cosα = R · cosα

O₁A – радиус сечения. Сечение – круг. Площадь сечения:

Sсеч = π · O₁A² = πR²cos²α

Урок 40. Подготовка к ЕГЭ по математике

Конспект урока «Шар и сфера, их сечения»

Напомним, что шаром называется тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем заданного от некоторой данной точки. Эта точка – центр шара, а заданное расстояние – радиус шара.

Шар так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается в результате вращения полукруга вокруг его диаметра.

Поверхность, образуемая при этом вращении полуокружности, называется сферой. Можно сказать, что сфера – это как бы оболочка, или граница, шара. Как окружность есть граница круга, так и сфера – это граница шара.

Назовём элементы сферы и шара.

Радиус сферы – это отрезок, соединяющий центр сферы и любую её точку.

Хорда сферы – отрезок, соединяющий две точки сферы.

Диаметр сферы – хорда сферы, проходящая через её центр.

Радиус, хорда, диаметр шара – это радиус, хорда, диаметр его сферы.

Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центром этого круга является основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Плоскость, которая проходит через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение ею шара – большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, проходящая через точку А сферы и перпендикулярно радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Свойство касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Признак касательной плоскости к сфере: плоскость, перпендикулярная радиусу сферы в конечной его точке на сфере, является касательной к сфере.

Касательная плоскость пересекается с шаром в единственной точке – в точке касания.

Касательной прямой к сфере (шару) называется прямая, имеющая со сферой единственную общую точку.

Отрезки касательных к сфере, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

Линией пересечения двух сфер является окружность.

Площадь сферы радиуса Объём шара радиуса .

Объём шарового сегмента:

где

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса, основанием которого является сечение плоскостью данного шара.

Площадь боковой поверхности шарового сектора:

Объём шарового сектора:

где

Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник – описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.

Шар называется описанным около многогранника, а многогранник – вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.

Шар называется вписанным в цилиндр, а цилиндр – описанным около шара, если поверхность шара касается оснований цилиндра и всех образующих.

Шар называется описанным около цилиндра, если окружности оснований цилиндра принадлежат поверхности шара.

Шар называется вписанным в конус (усечённый конус), а конус (усечённый конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается основания (оснований) конуса и всех образующих.

Шар называется описанным около конуса (усечённого конуса), если окружность основания и вершина (окружности оснований) конуса принадлежат поверхности шара.

Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то в такую пирамиду можно вписать шар.

Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около её основания можно описать окружность.

Если боковые рёбра пирамиды равны между собой (или одинаково наклонены к плоскости основания), то около такой пирамиды можно описать шар.

В призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в перпендикулярное сечение этой призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в это перпендикулярное сечение.

Описать шар около призмы можно тогда и только тогда, когда призма прямая и около её основания можно описать окружность.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. Радиус шара увеличили в раза. Во сколько раз увеличился объём шара?

Задача вторая. Объём шара равен см 3 . Найдите диаметр шара.

Задача третья. Шар пересечен плоскостью. Площадь сечения равна см 2 . Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно см. Найдите площадь поверхности шара.

Задача четвёртая. В конус с радиусом основания, равным

Задача пятая. Найдите объём шарового сектора, если радиус окружности его основания равен

Урок 26 Бесплатно Шар

Обратите внимание на предметы, изображенные на рисунке:

Давайте подумаем, что же их может объединять?

Очевидно, что цвет и фактура у этих объектов различна, но если вы обратите внимание на форму, то заметите явное сходство.

В математике (геометрии) важную роль при описании и представлении тела играет его геометрическая форма.

Все представленные объекты на рисунке объемные тела (т.е. их в реальности можно посмотреть и потрогать со всех сторон).

Отметим еще одну важную общую черту: у всех изображенных объектов отсутствуют углы (т.е. в действительности они шарообразной, или еще называют: сферической формы, их свободно можно покатать в любые стороны).

Давайте же разберемся, что такое шар, а что называют сферой.

Определим, какими элементами описывают данные геометрические фигуры, какими они свойствами обладают.

Узнаем, как определить площадь сферы, объем круга и рассмотрим примеры решения задач.

Шар и сфера

Шар — это множество точек пространства, равноудаленных от некоторой заданной точки — центра шара.

Сфера — это поверхность шара (оболочка). Сфера внутри полая.

Примеры сфер: мыльный пузырь, мяч, глобус. Эти тела состоят из оболочки, но внутри пустые.

Можно сказать, что шар — это геометрическое тело, ограниченное сферой (шаровой поверхностью).

Шар внутри заполнен.

Примеры шаров: арбуз, пушечное ядро, бильярдный шар. Эти тела заполненные внутри.

Центр шара (сферы) — это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки, находящейся на шаровой поверхности.

Центр шара (сферы) обозначают обычно заглавной буквой О.

Сфера и шар пространственные фигуры, но определяются такими же элементами, что и окружность, и круг на плоскости.

Радиус шара— это отрезок, соединяющий точку поверхности шара (шаровой поверхности) с его центром.

Радиус обозначается строчной латинской буквой r или заглавной R.

Для шара можно провести столько же радиусов, сколько точек имеет поверхность шара, при этом все эти радиусы равны.

Диаметром шара называют отрезок, проходящий через центр шара и соединяющий две точки шаровой поверхности.

Обычно диаметр обозначают строчной латинской буквой d или заглавной D.

По величине диаметр равен двум радиусам, лежащим на одной прямой.

d = 2r

Следовательно, радиус — это половина диаметра.

r = d : 2

Точки сферы, являющиеся концами диаметра сферы, называют диаметрально противоположными.

Для сферы характерны те же элементы, которые используют для описания шара.

При построении изображений пространственных (объемных) фигур на листе бумаги или иной плоской поверхности, приходится рисовать рисунок так, чтобы он казался объемным- для этого линии, которые не видны глазу человека, изображают штрихпунктирной линией.

Рассмотрим, как выглядят шар, сфера и элементы, их характеризующие, на плоскости.

Сфера и шар- это фигуры вращения.

Подобно секущей прямой для круга, для шара существует секущая плоскость.

Рассмотрим, как могут быть расположены по отношению друг к другу плоскость и шар (сфера) в пространстве:

1. Если расстояние от центра шара (сферы) до плоскости больше длины радиуса шара (сферы), то шар (сфера) и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Отрезок ОМ = r — это радиус шара.

Отрезок ОА = m — это расстояние от центра шара (сферы) до плоскости

Для данного случая m > r

2. Если расстояние от центра шара (сферы) до плоскости равно длине радиуса шара (сферы), то шар (сфера) и плоскость имеют единственную общую точку.

Отрезок ОМ = r — это радиус шара.

Отрезок ОА = m — это расстояние от центра шара (сферы) до плоскости

Для данного случая m = r

Точка А общая для плоскости сечения и шара

3. Если расстояние от центра шара (сферы) до плоскости меньше длины радиуса, то плоскость пересекает шар (сферу).

Отрезок ОМ = r — это радиус шара.

Отрезок ОА = m — это расстояние от центра шара (сферы) до плоскости (mathbf)

Для данного случая m < r

Сечение шара плоскостью представляет круг.

Представить мы можем это на примере апельсина, разрезанного на две части.

Сечением сферы плоскостью является окружность.

Такое сечение мы можем представить, если разрезать теннисный мяч

Отсеченная плоскостью часть шара называется шаровым сегментом.

Отсеченную плоскостью часть сферы называют сферическим сегментом.

Если плоскость сечения проходит через центр шара (сферы), то сечением шара (сферы) является самый большой круг (окружность), а радиус круга (окружности) является радиусом самого шара (сферы).

В таком случае шар (сфера) делится на два равных сегмента (две равные части).

Чем дальше проходит секущая плоскость от центра шара (сферы), тем меньше радиус сечения.

Обратите внимание на рисунок:

Сечение шара с радиусом сечения r является самым большим кругом, а радиус круга является радиусом самого шара.

Сечение шара с радиусом сечения r₁ находится дальше от центра шара, чем сечение шара с радиусом сечения r₂ Мы можем заметить на рисунке что r₂ > r₁

Сечения шара (сферы), удаленные на равные расстояния от центра, имеют равные радиусы:

Сечение шара с радиусом сечения r₂ и сечение шара с радиусом сечения r₃ удаленные на равные расстояния от центра шара, имеют равные радиусы (r₂ = r₃)

Сфера и шар- фигуры вращения

Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра- оси шара.

Сфера является фигурой вращения, образованной при вращении полуокружности вокруг своего неподвижного диаметра.

АВ— это ось вращения шара (сферы).

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Во все времена к шару и сфере относились с большим интересом.

Удивительно совершенные формы шара и сферы издавна привлекали ученых, философов, мыслителей, которые с помощью сферы и шара пытались объяснить гармонию создания и существования окружающего мира.

Так, например, поражало то, что шар имеет точку равновесия в любой точке своей поверхности, в отличие от других пространственных геометрических фигур.

А при равных объемах площадь сферической поверхности меньше площади любого другого отличного по форме геометрического тела.

Многие ученые, философы, астрономы занимались изучением объектов сферической и шарообразной формы и объяснением их свойств.

В XI веке древнегреческий математик Евклид в знаменитом теоретическом трактате по математике «Начала» в своих рассуждениях открыл многое об объемных телах. Так, например, он определил и описал шар как фигуру вращения, образованную вращением полукруга вокруг неподвижного диаметра.

Позже древнегреческий физик-математик Архимед вычислил площадь поверхности шара, объем шара и его сегментов

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Площадь сферы, объем шара

Если посмотреть вокруг, мы можем заметить множество объектов, имеющих или принимающих форму шара (сферы).

Так, например, падающая микроскопическая капля дождя или капля жидкости, находящаяся в невесомости, принимают форму шара.

Это происходит потому, что давление вокруг жидкости и в самой жидкости примерно равны (т.е. со всех сторон давление на каплю одинаковое), в результате получается шарообразная форма.

Сферической формой обладают мыльные пузыри или пузыри в воде.

Происходит это благодаря поверхностному натяжению, свойственному жидкостям (своего рода, «невидимая» оболочка жидкости).

Силы поверхностного натяжения стремятся придать мыльному пузырю оптимальную форму, а этой формой и является шар, так как в шарообразной форме воздух внутри пузыря равномерно давит на все участки его внутренней стенки.

Многие ягоды и фрукты, икринки рыбы, жемчужины и др. в природе являются обладателями шарообразных и сферических форм.

Представления о планетах и небесных телах, молекулах и некоторых элементарных частицах в связи с определенными свойствами и поведением сводятся к модели шара и сферы.

Существует множество примеров использования свойств и характеристик шара (сферы) в науке, технике и производстве.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Например, резервуары для хранения легковоспламеняющихся жидкостей, различных видов газа и т.п. имеют сферическую форму.

Шаровая форма емкостей является наиболее экономически выгодной для хранения легковоспламеняющихся продуктов, так как сферическая форма резервуара обеспечивает равномерное распределение напряжения внутреннего давления на стенки металлической сферы, минимизируя опасность взрыва.

Преимущество шаровых резервуаров еще в том, что они имеют минимальную площадь поверхности, по сравнению с цилиндрическими резервуарами такого же объема.

Сферические формы применяют в шаровых подшипниках, используемых для обеспечения свободного вращения, качения, перемещения с минимальным сопротивлением, без последствий износа деталей и их разрушений (например, в автомобилях, бытовой технике, спортивном инвентаре).

Металлические шарики в этом устройстве самый основной элемент, сферическая форма позволяет им вращаться свободно во всевозможных направлениях.

Так как они идеально гладкой сферической формы, то у них очень маленькая площадь контакта, что обеспечивает беспрепятственное вращение.

Подобные свойства шарообразных тел применяется в шариковой ручке.

Она состоит из стержня, откуда поступают густые чернила. На конце рцучкинаходится наконечник (пишущий узел).

Пишущий узел состоит из маленького металлического шарика, который благодаря идеальной гладкой форме (подобно шаровому подшипнику) свободно вращается в разные стороны.

Прикасаясь к бумаге, шарик с попадающими на него чернилами, оставляет след на бумаге.

Еще один распространенный пример сферического тела — это надутый мяч.

Благодаря своей шарообразной форме, обладает хорошими аэродинамическими свойствами.

Мяч хорошо катится, летит в любом направлении на большие расстояния и легко закручивается в разные стороны, позволяя тем самым искривлять траекторию полета.

Благодаря сферической форме у мяча отсутствуют углы и выступы, что снижает риск травм.

Сферических и шарообразных форм в жизни огромное множество, они прекрасно демонстрируют в своих закономерностях и проявлениях законы физики и математики.

Приводя примеры объектов сферической и шарообразной формы, мы много говорили о площади и объеме этих тел.

Давайте посмотрим, как определить площадь поверхности сферы и объем шара.

Площадь поверхности сферы (площадь поверхности шара) находят по формуле:

S— площадь поверхности сферы (шара)

r— радиус сферы (шара)

(mathbf)- постоянная величина, равная приблизительно 3,14

Задача 1

Найдите площадь поверхности сферы, радиус которой равен 8 см.

Решение:

Число (mathbf) округлить до десятых.

r = 8 см

Площадь поверхности сферы S — ?

Площадь поверхности сферы, зная радиус сферы, определяют по формуле:

Подставим известные значения радиуса сферы и постоянной величины (mathbf), получим

Ответ: S = 793,6 (см 2 ).

Задача 2

Найдите площадь поверхности сферы, диаметр которой равен 6 см.

Решение:

Число (mathbf) округлить до десятых.

d = 6 см

Площадь поверхности сферы S — ?

Площадь поверхности сферы, зная диаметр этой сферы, определяют по формуле:

Подставим известные значения радиуса сферы и постоянной величины , получим

Ответ: S = 111,6 (см 2 ).

Объем шара определяется по формуле:

V— объем шара

r— радиус шара

(mathbf)- постоянная величина, равная приблизительно 3,14

Вспомним, что означает r 3

Задача 3

Найдите объем шара, если радиус шара 5 м.

Решение:

Число (mathbf) округлить до целых.

r = 5 м

Объем шара V — ?

Объем шара определяется по формуле:

Подставим известные значения радиуса шара и постоянной величины , получим:

Источник

Как найти площадь сечения шара

Пусть дан шар с радиусом R, который на некотором расстоянии b от центра пересекает плоскость. Расстояние b меньше или равно радиусу шара. Требуется найти площадь S получающегося при этом сечения.

Инструкция

Очевидно, что если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу плоскости, то плоскость касается шара только в одной точке, и площадь сечения будет равна нулю, то есть если b = R, то S = 0. Если b = 0, то секущая плоскость проходит через центр шара. В этом случае сечение будет представлять собой круг, радиус которого совпадает с радиусом шара. Площадь этого круга будет, согласно формуле, равна S = πR^2.

Эти два крайних случая дают границы, между которыми всегда будет лежать искомая площадь: 0 < S < πR^2. При этом любое сечение шара плоскостью всегда является кругом. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти радиус окружности сечения. Тогда площадь этого сечения вычисляется по формуле площади круга.

Поскольку расстояние от точки до плоскости определяется как длина отрезка, перпендикулярного плоскости и начинающегося в точке, второй конец этого отрезка будет совпадать с центром окружности сечения. Такой вывод вытекает из определения шара: очевидно, что все точки окружности сечения принадлежат сфере, а следовательно, лежат на равном расстоянии от центра шара. Это значит, что каждая точка окружности сечения может считаться вершиной прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит радиус шара, одним из катетов — перпендикулярный отрезок, соединяющий центр шара с плоскостью, а вторым катетом — радиус окружности сечения.

Из трех сторон этого треугольника заданы два — радиус шара R и расстояние b, то есть гипотенуза и катет. По теореме Пифагора длина второго катета должна быть равна √(R^2 — b^2). Это и есть радиус окружности сечения. Подставляя найденное значение радиуса в формулу площади круга, легко прийти к выводу, что площадь сечения шара плоскостью равна:S = π(R^2 — b^2).В частных случаях, когда b = R или b = 0, выведенная формула полностью согласуется с уже найденными результатами.

Видео по теме

Источники:

сечение шара плоскостью

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Содержание

— Что представляет собой сечение шара?
— Что такое осевое сечение шара?
— Какие сечения возможны у шара?
— Какой формулой выражается объем шара?
— Что представляет собой осевое сечение цилиндра?
— Какая фигура является оси вым сечением шара?
— В чем отличие сферы и шара?
— Чему равна площадь сечения?
— Как называется шар в разрезе?
— Что называется сферой?
— Что такое уравнение сферы?

Что представляет собой сечение шара?

Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра проведенного из центра шара к пересекаемой плоскости есть центр круга, полученного в сечении. ОПРЕДЕЛЕНИЯ: Плоскость, проходящая через центр сферы (шара) называется диаметральной плоскостью.

Что такое осевое сечение шара?

Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара.

Какие сечения возможны у шара?

Всякое сечение шара плоскостью есть круг (или точка, если плоскость касается шара). При решении заданий удобнее вместо шара чертить один из больших кругов, а плоскость сечения заменить хордой этого круга.

Какой формулой выражается объем шара?

Формула для нахождения объема шара через радиус: V = 4 3 π r 3 {V= dfrac{4}{3}pi r^3} V=34πr3, где r — радиус шара.

Что представляет собой осевое сечение цилиндра?

Сечения цилиндра

Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью. Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).

Какая фигура является оси вым сечением шара?

Сфера – многоосная поверхность вращения, т. к. любая прямая, проходящая через центр сферы, является её осью вращения. Поэтому сечение сферы любой плоскостью есть окружность.

В чем отличие сферы и шара?

Шар имеет длину, ширину и глубину, то есть форму. Сфера – нет. Шар можно назвать геометрическим телом, сферу – нет. Сфера — это внешняя граница задаваемого в пространстве шара.

Чему равна площадь сечения?

Площадь сечения некоторых фигур

Фигура	Формула вычисления площади	Вычислить площадь
Параллелограмм	b h	b = h =
Трапеция	2a+b h	a = b = h =
Правильный многоугольник (это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой)	ns24 tan( n)	s = n =
Круг	r2 или 4 d2	r =

Как называется шар в разрезе?

Шар во многом похож на плоскую фигуру круг. Определения круга и шара очень похожи, в обоих случаях это множество точек, которые удалены не далее чем на радиус от центра. … Плоскую фигуру, полученную в разрезе геометрического тела, называют сечением.

Что называется сферой?

Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной и той же точки(центра), называется сферой, или шаровой поверхностью. Геометрическое тело, ограниченное шаровой поверхностью, называется шаром. Отрезок, соединяющий центр с точкой сферы, называется ее радиусом.

Что такое уравнение сферы?

Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки. … Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

Интересные материалы:

Как одеть ремень на стиральную машину Индезит?
Как одеть ремень в стиральной машине LG?
Как одеть внутреннюю пружину на манжету стиральной машины?
Как одному перевезти стиральную машину?
Как оформить машину на себя без хозяина?
Как оформить продажу машины в 2021 году?
Как ополаскиватель попадает в посудомоечную машину?
Как определить неисправность ремня в стиральной машине?
Как определить неисправность тэна стиральной машины?
Как определить неисправность в стиральной машине?

Источник

ЭСО «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ»

Сечение сферы (шара) плоскостью

О сечении сферы плоскостью

Сечение сферы плоскостью есть окружность.

Пусть плоскость α пересекает сферу W(O,R). Из центра O опустим перпендикуляр OC на плоскость α.

Соединим произвольную точку M линии пересения плоскости α со сферой W(O,R) с точками O и C. Т.к. OC ⊥ α, то OC ⊥ CM.

В прямоугольном треугольнике ∆OCM CM 2 = OM 2 — OC 2 . Т.к. OM и OC — величины постоянные, то и CM — величина постоянная. Таким образом все точки линии пересечения плоскости α и сферы W(O,R) равноудалены от точки C, поэтому эта линия пересечения является окружностью с центром в точке C и радиусом r = CM.

Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра проведенного из центра шара к пересекаемой плоскости есть центр круга, полученного в сечении.

Плоскость, проходящая через центр сферы (шара) называется диаметральной плоскостью.

Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Статистика посещений | Номер ресурса в БелГИЭ: 137297 | Номер свидетельства в НИРУП «ИППС»: 4141816821

Геометрия 11 класс. Зачет по теме: Объем шара и его частей. Площадь сферы.

Урок-зачет позволяет повторить, обобщить и систематизировать знания учащихся, что способствует осмыслению изученного на новом качественном уровне и подготовить учащихся к итоговой контрольной работе по теме.

Просмотр содержимого документа
«Геометрия 11 класс. Зачет по теме: Объем шара и его частей. Площадь сферы.»

МКОУ «Погорельская СОШ»

ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

Формулы для вычисления объема: шара, шарового сектора, шарового слоя, шарового сектора и площади сферы

где R – это радиус сферы

где R – это радиус шара

где R – это радиус шара, а h – это высота сегмента

где V 1 – это объем одного шарового сегмента, а V 2 – это объем второго шарового сегмента

где R – это радиус шара, а h – это высота шарового сегмента

Вписать в текст недостающие по смыслу слова .

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть …………………… перпендикуляра , опущенного из центра шара на секущую плоскость.

2. Центр шара является его ………………….……. симметрии.

3. Осевое сечение шара есть ………………………….

4. Линии пересечения двух сфер есть…………………

5. Плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар по ……………. кругам.

6. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу , причем ее центр лежит на ……………….. пирамиды.

Вписать в текст недостающие по смыслу слова.

Любая диаметральная плоскость шара является его ………………… симметрии.

2. Осевое сечение сферы есть………………..

3. Центр шара , описанного около правильной пирамиды , лежит на …………………. пирамиды.

4. Радиус сферы , проведенный в точку касания сферы и плоскости ………………. ……………………..к касательной плоскости.

5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку …………………….

6. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу , причем ее центр лежит на ……………… .…….пирамиды.

Плоскость перпендикулярная диаметру шара, делит его части 3см и 9см. Найдите объем шара ?

Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара ?

Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара, равного 20см ?

Объем шара радиуса R равен V . Найдите : объем шара радиуса : а) 2 R б) 0,5 R

Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60см, а радиус шара-75см.

БЫСТРО И КРАТКО НАПИШИТЕ ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ:

Сколько сфер можно провести:

а) через одну и ту же окружность;

б) через окружность и точку, не принадлежащую её плоскости?

2. Сколько сфер можно провести через четыре точки, являющиеся вершинами:

б) равнобедренной трапеции;

3. Верно ли, что через любые две точки сферы проходит один большой круг?

4. Через какие две точки сферы можно провести несколько окружностей большого круга?

5. Как должны быть расположены две равные окружности, чтобы через них могла пройти сфера того же радиуса?

Иметь общий центр

Вписать в текст недостающие по смыслу слова.

Любая диаметральная плоскость шара является его ………………… симметрии.

2. Осевое сечение сферы есть………………..

3. Центр шара , описанного около правильной пирамиды , лежит на …………………. пирамиды.

5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку …………………….

6. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу , причем ее центр лежит на ……………… .…….пирамиды.

Тестовая самостоятельная работа ур.52

Уровень1 Вариант 1

1.На расстоянии 12 см от центра шара проведено сечение, радиус которого равен 9см. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера радиуса 3см имеет цент в точке О (4;-2;1). Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости ОХУ. Найдите объем шара, ограниченного данной сферой.

Уровень 1 Вариант 2

1.Через точку, лежащую на сфере, проведено сечение радиуса 3см под углом 60° к радиусу сферы, проведенному в данную точку. Найдите площадь сферы и объем шара.

2. Сфера радиуса 3 имеет центр в точке О (-2;5;3). Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости ОХ Z . Найдите площадь данной сферы.

Тестовая самостоятельная работа ур.52

Уровень2 Вариант 1

1.На расстоянии 2√7см от центра шара проведено сечение. Хорда этого сечения, равна 4см, стягивая угол 90°. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера с центром в точке О (2;1;-2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно оси абцисс. Найдите объем шара, ограниченного полученной сферой.

Уровень2 Вариант 2

1.На расстоянии 4см от центра шара проведено сечении. Хорда, удаленная от центра этого сечения на √5см, стягивая угол 120°. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера с центром в точке О (-1;-2;2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости Z =1. Найдите площадь сферы.

Диаметр шара ½ дм. Вычислите объём шара и площадь сферы.

2. Волейбольный мяч имеет радиус 12 дм. Какой объём воздуха содержится в мяче?

Радиус шара ¾ дм. Вычислите объём шара и площадь сферы.

2. Футбольный мяч имеет диаметр 30 дм. Какой объём воздуха содержится в мяче?

Записать формулы площади сферы, объема шара и его частей.
Решить задачи:

Записать формулы площади сферы, объема шара и его частей.
Решить задачи:

№ 1. Объем шара равен 36Псм³. Найдите площадь сферы, ограничивающей данный шар.

№ 2. В шаре радиуса 15см проведено сечение, площадь которого равна 81см². Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

№ 3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара.

№ 1. Площадь поверхности шара равна 144П см². Найдите объем данного шара.

№ 2. На расстоянии 9м от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24П см. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

№ 3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3. S=4πR², S=4π3²=36π. Ответ: 3,36π. Дано: шар; S=64π см² Найти : R, V Решение: S=4πR², 64π=4πR², = R=4 V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3. Ответ: 4,256π/3. 3. Дано: шаровой сегмент, r осн.=60 см, Rшара=75 см. Найти: Vшарового сегмента. Решение: V=πh²(R-⅓h) О ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45 h= ОС-ОС ₁ =75-45=30 V=π·30²·(75-⅓·30)=58500π. Ответ: 58500π. » width=»640″

Решение задач с самопроверкой.

Дано: шар; V=113,04 см³,

Решение: V=4πR³/3, = 113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3.

Дано: шар; S=64π см²

Решение: S=4πR², 64π=4πR², = R=4

3. Дано: шаровой сегмент, r осн.=60 см, Rшара=75 см.

Найти: Vшарового сегмента.

Решение: V=πh²(R-⅓h) О ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45

h= ОС-ОС ₁ =75-45=30 V=π·30²·(75-⅓·30)=58500π.

Отрази свое настроение смайликом.

Возьмите смайлик соответствующий Вашему настроению на конец урока и, уходя прикрепите его на доске с магнитной основой.

Повторить формулы объемов шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора. №723, №724, №755

Повторить формулы объемов шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора. №723, №724, №755

Литература и интернет ресурсы

Учебник по геометрии 10-11 класс Атанасян Л.С., 2008 год

Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 11 класс

Осевое сечение сферы есть окружность

19.1. Определения шара, сферы и их элементов

С шаром и сферой мы уже знакомы. Напомним их определения.

Определение. Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не большем данного R ( R > 0). Данная точка называется центром шара, а данное расстояние R — радиусом шара .

Определение. Сферой называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, равном данному R. Данные точка и расстояние R называются соответственно центром и радиусом сферы.

На рисунке 193 изображён шар с центром О и радиусом R = OА.

Из определений шара и сферы следует, что шар с центром О и радиусом R является объединением двух множеств точек: 1) множества точек M пространства, для которых OM (они называются внутренними точками шара и образуют его внутренность); 2) множества всех М, для которых ОМ = R (эти точки являются граничными точками шара, а их объединение составляет границу шара, которая называется шаровой поверхностью и является сферой c центром О и радиусом R ) .

Радиусом шара называют также всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара . Концы любого диаметра шара называются диаметрально nротивоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара ( сферы ) . На рисунке 193 отрезки ОА, ОВ, ON, OS — радиусы шара; отрезки АВ , NS — диаметры шара; A и B — диаметрально противоположные точки шара. Из определения диаметра шара следует, что он равен удвоенному радиусу шара.

Покажем, что шар — тело вращения. Для этого рассмотрим полукруг F с центром О и радиусом R (рис. 194, а ). При вращении полукруга F вокруг прямой, содержащей его диаметр NS, образуется некоторое тело F 1 (рис. 194, б ). Так как вращение вокруг прямой — движение и точка О принадлежит оси l вращения, то каждая точка тела F 1 удалена от точки O на расстояние, не большее R (движение сохраняет расстояния между точками). Это означает, что тело F 1 есть шар с центром О и радиусом R. Кроме того, при вращении границы полукруга — полуокружности — вокруг прямой l образуется сфера. Прямая, содержащая любой диаметр шара, может быть рассмотрена как ось вращения. Следовательно, сечением шара плоскостью, перпендикулярной его оси вращения l и пересекающей шар, является круг, а сечением сферы такой плоскостью — окружность этого круга; центр круга (окружности) есть точка пересечения секущей плоскости с осью l.

Плоскость, проходящая через центр шара (сферы), называется диаметральной плоскостью шара ( сферы ) . Сечением шара диаметральной плоскостью является круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом, а его окружность — большой окружностью ; большая окружность является пересечением сферы и её диаметральной плоскости.

19.2. Изображение сферы

Рассмотрим сферу, диаметр NS которой проведён вертикально (рис. 195, а ). Большая окружность, по которой сферу пересекает диаметральная плоскость, перпендикулярная диаметру (оси) NS, называется экватором , а точки N и S — полюсами сферы . Окружность, ограничивающая круг — изображение сферы, — называется абрисом или очерковой линией .

Типичная ошибка (!) при изображении сферы (рис. 195, б ) в том, что, изображая её экватор эллипсом, полюсы изображают расположенными на абрисе.

Для верного и наглядного изображения сферы вспомним, как в курсе черчения изображают фигуру на комплексном двухкартинном чертеже (эпюре) посредством ортогонального её проектирования на две взаимно перпендикулярные плоскости, одну из которых называют фронтальной (обозначают V ) , а другую — профильной (обозначают W ) плоскостями проекций.

Сферу расположим так, чтобы её ось N ′ S ′ была параллельна профильной ( W ), но не параллельна фронтальной ( V ) плоскостям проекций. Тогда ортогональные проекции сферы на плоскости V и W имеют вид, изображённый на рисунке 196. На нём: равные круги — проекции сферы на плоскости V и W ; отрезки A 1 B 1 и N 1 S 1 — профильные проекции соответственно экватора и оси сферы; точки N, S — фронтальные проекции полюсов (строятся с помощью линий связи); точки А, В — фронтальные проекции концов диаметра экватора, параллельного фронтальной плоскости (строятся с помощью линий связи); отрезок CD — фронтальная проекция диаметра C ′ D ′ сферы, перпендикулярного профильной плоскости; эллипс с осями АВ и CD — фронтальная проекция экватора. При таком расположении относительно плоскостей проекций сфера изображается так, как показано на рисунках 195, a ; 196, a.

Обратите внимание! Полюсы N и S не лежат на абрисе, и экватор изображается эллипсом. При этом положение полюсов N и S и положение вершин А и В эллипса-экватора взаимосвязаны.

Действительно, из равенства △ ОBF = △ ЕNО (см. рис. 196, а ) следует: OВ = EN, BF = NO. Это означает: а) если изображены полюсы N и S сферы, то вершины А и В эллипса — изображения экватора определяются из равенств OВ = ОА = NE, где NE || OD ; б) если изображён экватор (т. е. дана малая ось AB эллипса-экватора), то положение полюсов N и S определяется из равенств ON = OS = BF, где BF || OD.

На рисунке 197, а — верное и наглядное изображение сферы, на рисунке 197, б — изображение сферы верное (почему?), но не наглядное; на рисунке 197, в — неверное изображение (почему?).

 ЗАДАЧА (3.106). Найти в пространстве множество вершин всех прямых углов, опирающихся на данный отрезок АВ.

Решени е. Если ∠ АМВ = 90 ° , то точка М принадлежит окружности с диаметром АВ (рис. 198, a ).

Проведём произвольную плоскость α , содержащую отрезок АВ. В этой плоскости множество всех точек М, из которых отрезок AB виден под прямым углом, есть окружность, для которой отрезок AB — диаметр. Точки А и В этому множеству точек не принадлежат. (Почему?) Таким образом, искомое множество вершин прямых углов, опирающихся на отрезок AB , есть сфера с диаметром AB . Точки А и В этому множеству точек-вершин не принадлежат.

19.3. Уравнение сферы

Составим уравнение сферы с центром А ( a ; b ; с ) и радиусом R в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz.

Пусть М ( x ; у ; z ) — любая точка этой сферы (рис. 199). Тогда MA = R или MA 2 = R 2 . Учитывая, что MA 2 = ( x – a ) 2 + ( у – b ) 2 + ( z – c ) 2 , получаем искомое уравнение cферы

( x – a ) 2 + ( у – b ) 2 + ( z – c ) 2 = R 2 .

Если начало системы координат совпадает с центром A сферы, то a = b = c = 0 , а сфера в такой системе координат имеет уравнение

x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .

Из полученных уравнений следует, что сфера — поверхность второго порядка.

Так как для любой точки М ( х ; у ; z ) шара с центром А ( a ; b ; с ) и радиусом R выполняется МА ⩽ R, то этот шар может быть задан неравенством

( x – a ) 2 + ( у – b ) 2 + ( z – c ) 2 ⩽ R 2 .

При этом для всех внутренних точек М шара выполняется условие МА 2 R 2 , т. е.

( х – a ) 2 + ( у – b ) 2 + ( z – c ) 2 R 2 ,

для точек М шаровой поверхности — условие

т. е. ( х – a ) 2 + ( у – b ) 2 + ( z – c ) 2 = R 2 ,

для точек М вне шара — условие

т. е. ( х – a ) 2 + ( у – b ) 2 + ( z – c ) 2 > R 2 .

19.4. Пересечение шара и сферы с плоскостью

Рассмотрим подробнее вопрос о пересечении шара и сферы с плоскостью. Имеет место следующая теорема.

Теорема 30 (о пересечении шара и сферы с плоскостью ) . 1) Если расстояние от центра шара до данной плоскости меньше радиуса шара, то пересечением шара с плоскостью является круг. Центром этого круга является основание перпендикуляра, проведённого из центра шара на плоскость, или сам центр шара, если плоскость проходит через этот центр. Пересечением сферы с плоскостью является окружность указанного круга. Радиус r сечения в этом случае равен r = , где R — радиус шара, a d — расстояние от центра шара до плоскости сечения. 2) Если расстояние от центра шара до данной плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей его сферой только одну общую точку. 3) Если расстояние от центра шара до данной плоскости больше радиуса, то плоскость не имеет с шаром общих точек.

Доказательств о. Пусть точка О — центр шара, R — его радиус; α — данная плоскость, точка A — основание перпендикуляра, проведённого из центра O на плоскость α . Обозначим ρ ( О ; α ) = | ОА | = d — расстояние от центра шара до плоскости α .

Рассмотрим каждый из случаев взаимного расположения шара и данной плоскости α .

1) ρ ( O ; α ) = d R и плоскость α не проходит через центр О шара (рис. 200). Докажем, что пересечение шара и плоскости есть круг с центром А и радиусом r = . Для этого достаточно убедиться, что любая точка пересечения шара и плоскости α есть точка круга с центром А и радиусом r = и, обратно, любая точка этого круга есть точка указанного пересечения.

Действительно, пусть М — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости α (см. рис. 200). В прямоугольном треугольнике AOM по теореме Пифагора ОM 2 = ОА 2 + АМ 2 , откуда AM = . Так как точка М принадлежит шару, то ОМ ⩽ R, тогда OM 2 – OA 2 ⩽ R 2 – d 2 , поэтому АМ ⩽ . Это означает, что точка М сечения шара плоскостью α находится от точки А на расстоянии, не большем , следовательно, она принадлежит кругу с центром А и радиусом .

Обратно, пусть М — произвольная точка плоскости α , принадлежащая кругу с центром А и радиусом r = . В прямоугольном треугольнике AOM по теореме Пифагора OM 2 = ОA 2 + AM 2 . Так как AM ⩽ r , то OM 2 ⩽ OA 2 + r 2 = d 2 + R 2 – d 2 = R 2 , откуда OM ⩽ R . Значит, точка М принадлежит данному шару. Учитывая, что точка М принадлежит и плоскости α , приходим к выводу: точка M принадлежит пересечению данного шара и плоскости α .

Если неравенства, которые использовались в предыдущем доказательстве, заменить равенствами, то, рассуждая аналогично, можно доказать, что при d R пересечением сферы и плоскости является окружность с центром А и радиусом r = . Проделайте это самостоятельно.

Если плоскость α проходит через центр O шара, то d = 0, значит, r = R, т. е. сечением шара такой плоскостью является большой круг, а сечением сферы — большая окружность (см. рис. 200).

2) ρ ( O ; α ) = d = OA = R (рис. 201).

Так как ОА = ρ ( O ; α ) = R, то точка А, являющаяся основанием перпендикуляра из центра О шара на плоскость α , принадлежит шаровой поверхности, ограничивающей данный шар.

Пусть M — произвольная точка плоскости α , отличная от точки A (см. рис. 201). Тогда длины наклонной ОМ и перпендикуляра OA, проведённых из точки О к плоскости α , удовлетворяют неравенству OM > ОА = R. Значит, точка М не принадлежит шару. Следовательно, плоскость α имеет только одну общую точку с шаром — точку А.

3) ρ ( О ; α ) = ОА = d > R (рис. 202). Для любой точки М плоскости α выполняется (почему?) ОМ ⩾ d > R. Это означает, что на плоскости α нет точек шара. Теорема доказана. ▼

 ЗАДАЧА (3.161). Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная к нему плоскость. Радиус шара равен R. Найти: а) площадь получившегося сечения; б) площади боковой и полной поверхностей конуса, основанием которого служит получившееся сечение шара, а вершиной — центр шара; в) площади боковой и полной поверхностей правильной треугольной пирамиды, вписанной в этот конус.

Решени е. а) Пусть точка O — центр шара, OD — его радиус, точка С — середина радиуса OD ; α — секущая плоскость, проходящая через точку С перпендикулярно OD.

Рассмотрим сечение шара диаметральной плоскостью, проходящей через его радиус OD. Этим сечением является большой круг с центром О и радиусом R (рис. 203); АВ — диаметр круга — сечения данного шара плоскостью α .

Так как АВ ⟂ OD и точка С — середина радиуса OD, то отрезок AB равен стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R, значит, АВ = R , откуда

АС = r = , где r — радиус сечения шара плоскостью α . Тогда площадь этого сечения равна π r 2 = .

б) Найдём площадь поверхности конуса с вершиной О и радиусом основания r = .

Образующая ОЕ конуса (рис. 204) равна радиусу R данного шара. Поэтому площадь боковой поверхности этого конуса равна

π r • R = π • • R = ,

а площадь его полной поверхности — + = π R 2 • (2 + ).

в) Найдём площадь поверхности правильной треугольной пирамиды OEFK, вписанной в конус, радиус основания которого СK = r = , боковое ребро OE пирамиды равно радиусу R данного шара (см. рис. 204).

Так как △ ЕFK — правильный, вписанный в окружность радиуса r = , то сторона этого треугольника равна r , т. е. EF = . Тогда S △ EFK = = .

Площадь боковой поверхности пирамиды равна 3 S △ EOF = EF • ОН, где OH — апофема пирамиды. В прямоугольном треугольнике OHF находим

ОН = = = .

Тогда EF • OH = — площадь боковой поверхности пирамиды.

Следовательно, площадь полной поверхности пирамиды равна

+ = R 2 ( + ).

Ответ: a) ; б) π R 2 (2 + ); в) ; R 2 ( + ).

19.5. Плоскость, касательная к сфере и шару

Из теоремы 30 следует, что плоскость может иметь со сферой (с шаром) только одну общую точку.

Определение. Плоскость, имеющая только одну общую точку со сферой (с шаром), называется касательной плоскостью к сфере (шару), а их единственная общая точка называется точкой касания (рис. 205).

Также говорят, что плоскость касается сферы (шара) .

Любая прямая, лежащая в касательной плоскости к сфере и проходящая через точку их касания, называется касательной прямой к сфере ; эта прямая имеет со сферой единственную общую точку — точку касания, и радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной прямой.

Заметим, что если прямая a касается сферы в точке М , то эта прямая касается в точке М той окружности большого круга, которая является сечением сферы и диаметральной плоскости, проходящей через прямую a.

Справедливо и обратное: если прямая a касается окружности большого круга сферы в точке М , то эта прямая касается в точке М самой сферы.

Более того, так как прямая a, касающаяся сферы в точке М , имеет со сферой лишь одну общую точку — точку М , то эта прямая касается любой окружности, по которой пересекаются данная сфера и любая (не только диаметральная) плоскость, проходящая через прямую a. А поскольку радиус, проведённый в точку касания прямой и окружности, перпендикулярен касательной прямой, то центры всех этих окружностей — полученных сечений сферы — лежат в плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно касательной прямой a. При этом, если точка О — центр данной сферы радиуса R , точка А — центр окружности радиуса r , по которой пересекает сферу одна (любая) из плоскостей, проходящих через касательную в точке М прямую к данной сфере, ϕ — величина угла между этой секущей плоскостью и проходящей через точку М диаметральной плоскостью данной сферы, то справедливо равенство r = R • cos ϕ ( △ ОАМ — прямоугольный, так как отрезок ОА перпендикулярен секущей плоскости (почему?)).

Для плоскости, касательной к сфере, справедливы теоремы, аналогичные теоремам о прямой, касательной к окружности на плоскости.

Теорема 31. Если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательств о. Пусть дана сфера с центром O и радиусом R. Рассмотрим плоскость α , касающуюся данной сферы в точке M (см. рис. 205) и докажем, что ОM ⟂ α .

Предположим, что радиус ОM — не перпендикуляр, а наклонная к плоскости α . Значит, расстояние от центра сферы до плоскости α , равное длине перпендикуляра, проведённого из центра О на плоскость α , меньше радиуса. Тогда по теореме 30 плоскость α пересекает сферу по окружности. Но по условию теоремы плоскость α касается сферы и имеет с ней единственную общую точку M. Пришли к противоречию, которое и доказывает, что OM ⟂ α . Теорема доказана. ▼

Справедлива обратная теорема.

Теорема 32. Если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она касается сферы.

Доказательств о. Пусть плоскость α проходит через точку M сферы и перпендикулярна радиусу ОM (см. рис. 205). Значит, расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу ОM. Тогда по теореме 30 плоскость α и сфера имеют единственную общую точку M, следовательно, плоскость α касается сферы (в точке M ). Теорема доказана. ▼

Так как сечение шара плоскостью есть круг, то можно доказать, что для шара выполняются следующие метрические соотношения:

— диаметр шара, делящий его хорду пополам, перпендикулярен этой хорде;

— отрезки всех касательных прямых, проведённых к шару из одной расположенной вне шара точки, равны между собой (они образуют поверхность конуса с вершиной в данной точке, а точки касания этих прямых — окружность основания этого конуса);

— произведение длин отрезков хорд шара, проходящих через одну и ту же внутреннюю точку шара, есть величина постоянная (равная R 2 – a 2 , где R — радиус шара, a — расстояние от центра шара до данной точки);

— если из одной и той же точки вне шара проведены к нему секущая и касательная, то произведение длины отрезка всей секущей на длину отрезка её внешней части равно квадрату длины отрезка касательной (и равно a 2 – R 2 , где R — радиус шара, a — расстояние от центра шара до данной точки).

19.6. Вписанные и описанные шары и сферы

Определение. Шар называется вписанным в цилиндр, если основания и каждая образующая цилиндра касаются шара (рис. 206).

Цилиндр в таком случае называется описанным около шара. В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда он равносторонний.

Определение. Шар называется описанным около цилиндра, если основания цилиндра служат сечениями шара (рис. 207).

Цилиндр при этом называют вписанным в шар. Около любого цилиндра можно описать шар. Центром шара служит середина оси цилиндра, а радиус шара равен радиусу круга, описанного около осевого сечения цилиндра.

Определение. Шар называется описанным около конуса, если основание конуса — сечение шара, а вершина конуса принадлежит поверхности шара (рис. 208).

Конус при этом называют вписанным в шар.

Центр шара, описанного около конуса, совпадает с центром круга, описанного около осевого сечения конуса, а радиус шара равен радиусу этого круга.

Определение. Шар называется вписанным в конус, если основание и все образующие конуса касаются шара.

Конус при этом называют описанным около шара (рис. 209). Центр вписанного в конус шара совпадает с центром круга, вписанного в осевое сечение конуса, а радиус шара равен радиусу этого круга.

Определение. Шар называется вписанным в многогранник, если он касается всех граней многогранника.

Многогранник в таком случае называют описанным около шара (рис. 210).

Не во всякий многогранник можно вписать шар. Например, вписать шар можно в любую треугольную или правильную пирамиду. А в прямую призму, в основании которой лежит прямоугольник, не являющийся квадратом, шар вписать нельзя.

При нахождении радиуса r вписанного в многогранник шара (если таковой существует) удобно пользоваться соотношением

V многогр = • r • S полн. поверх .

Шар называется вписанным в двугранный угол, если он касается его граней. Центр вписанного в двугранный угол шара лежит на биссекторной плоскости этого двугранного угла. При этом для радиуса r шара, вписанного в двугранный угол, величины α этого угла и расстояния m от центра шара до ребра двугранного угла справедлива формула: r = m • sin . Этой формулой часто пользуются при решении задач.

Шар называется вписанным в многогранный угол, если он касается всех граней многогранного угла. При решении задач, в которых рассматриваются вписанные в многогранный угол шары, удобно пользоваться соотношением: r = m • sin , где r — радиус шара, вписанного в многогранный угол, m — расстояние от центра шара до ребра многогранного угла, α — величина двугранного угла при этом ребре.

Если все плоские углы трёхгранного угла равны по 60 ° , то расстояние от вершины угла до центра вписанного в этот угол шара радиуса r равно 3 r ; если все плоские углы трёхгранного угла прямые, то расстояние от вершины угла до центра вписанного в этот угол шара радиуса r равно r . Эти соотношения часто используют при решении задач, в которых рассматриваются те или иные комбинации шаров с правильными тетраэдрами или прямоугольными параллелепипедами.

Определение. Шар называется описанным около многогранника, если все вершины многогранника принадлежат поверхности шара (рис. 211) . Многогранник при этом называют вписанным в шар.

Не около всякого многогранника можно описать шар. Например, около любой правильной или любой треугольной пирамиды шар описать можно, а около четырёхугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом, шар описать нельзя (около ромба нельзя описать окружность). Более того, нельзя описать шар около любой наклонной призмы.

Вообще, для того чтобы около многогранника можно было описать шар, необходимо, чтобы около любой его грани можно было описать круг. При этом центр описанного шара может лежать как внутри многогранника, так и вне его или на его поверхности (даже на ребре многогранника), и проектируется в центр описанного около любой грани круга. Кроме того, перпендикуляр, опущенный из центра описанного около многогранника шара на ребро многогранника, делит это ребро (как хорду шара) пополам.

Мы уже говорили о пирамидах, все рёбра которых одинаково наклонены к основанию. Около таких пирамид всегда можно описать шар, центр которого лежит на луче, содержащем высоту пирамиды.

Высота h пирамиды, радиус R к описанного около основания пирамиды круга и радиус R описанного около этой пирамиды шара связаны соотношением:

( R – h ) 2 + = R 2 .

Приведём формулы для вычисления радиусов вписанных и описанных шаров для правильных многогранников с ребром a.

В задачах иногда ещё рассматривают шары, касающиеся всех рёбер данного многогранника. Для куба, например, такой шар существует и его радиус равен , где a — ребро куба.

19.7. Площади поверхностей шара и его частей

Часть шара, заключённая между секущей плоскостью и одной из двух частей его сферической поверхности, называется шаровым сегментом (рис. 212 и 214). Поверхность шарового сегмента называется сегментной поверхностью : она представляет собой часть шаровой поверхности, отсекаемую какой-нибудь плоскостью. Круг АВ, по которому плоскость пересекает шар, называется основанием шарового сегмента, а окружность этого круга — основанием сегментной поверхности. Отрезок ОС радиуса, перпендикулярного секущей плоскости, называется высотой шарового сегмента ( сегментной поверхности ) .

Часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями, называется шаровым слоем (см. рис. 212, 214). Поверхность шарового слоя называется шаровым поясом. Шаровой пояс — часть шаровой поверхности, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. Перпендикуляр, проведённый из точки одного основания к плоскости другого, называется высотой шарового слоя ( шарового пояса ).

Сегментную поверхность и шаровой пояс можно рассматривать как поверхности вращения: в то время, как при вращении полуокружности CAA 1 D (см. рис. 212) вокруг диаметра CD образуется шаровая поверхность (сфера), при вращении дуги СА этой полуокружности вокруг того же диаметра образуется сегментная поверхность, а при вращении дуги AA 1 — шаровой пояс.

Тело, образованное при вращении кругового сектора с углом ϕ ( ϕ ° ) вокруг прямой, которая содержит диаметр круга, не имеющий с круговым сектором общих внутренних точек, называется шаровым сектором .

Из этого определения следует, что поверхность шарового сектора состоит из сегментной поверхности и боковой поверхности конуса (рис. 213, а , б ) или из поверхности шарового пояса и боковых поверхностей двух конусов (рис. 213, в, г ).

На рисунке 214 изображены различные элементы шара и сферы (шаровой сектор имеет простейший вид).

Рассмотрим вопрос о вычислении площадей сферы, сегментной поверхности, шарового пояса и шарового сектора.

а) Площадь сферы. Пусть ABCDEF — правильная ломаная линия, вписанная в данную полуокружность; a — длина её апофемы (рис. 215). При вращении полуокружности вокруг её диаметра AF образуется сфера, а при вращении ломаной ABCDEF вокруг этого же диаметра AF образуется некоторая поверхность Ф .

За площадь сферы, образованной вращением полуокружности вокруг её диаметра, принимают предел, к которому стремится площадь поверхности Ф, образованной вращением вокруг того же диаметра правильной n- звенной ломаной линии, вписанной в полуокружность, при n → + ∞ ( число сторон неограниченно возрастает ).

Поверхность Ф является объединением поверхностей, образованных вращением звеньев ломаной линии, вписанной в полуокружность, вокруг её диаметра. Этими поверхностями являются боковые поверхности либо конуса (для первого и последнего звеньев ломаной), либо цилиндра (для звеньев, параллельных оси вращения; их может и не быть), либо усечённого конуса (для всех остальных звеньев ломаной).

При вычислении площадей получившихся поверхностей воспользуемся следствиями из теорем 26, 27, 29. Площадь S i ( i = 1, 2, . n ) поверхности, образованной вращением любого звена, равна произведению 2 π , расстояния b i от середины звена до центра сферы и длины m i проекции этого звена на ось вращения, т. е. S i вращ = 2 π • b i • m i .

Так как ломаная — правильная, то все b i равны апофеме a n данной n- звенной ломаной, а m 1 + m 2 + m 3 + . + m n = 2 R и S 1 + S 2 + S 3 + . + S n = 4 π • a n • R . Причём a n = , где p n — периметр данной ломаной. Поскольку ограниченная переменная величина при n → + ∞ становится бесконечно малой, то при n → ∞ апофема a n стремится к радиусу R полуокружности.

Следовательно, предел площади поверхности Ф при n → ∞ равен 4 π R • R = 4 π R 2 . Этот предел и принимается за величину площади сферы радиуса R :

S сферы = 4 π R 2 .

б) Площади сегментной поверхности и шарового пояса. Если правильная ломаная вписана не в полуокружность, а в некоторую её часть, например в дугу AD (см. рис. 215), при вращении которой образуется сегментная поверхность, то рассуждения, аналогичные предыдущим, приводят к выводу:

S сегм. поверх = 2 π Rh ,

где h — высота сферического сегмента.

Если же ломаная вписана в дугу ВЕ (см. рис. 215), при вращении которой образуется шаровой пояс, то получим:

S шар. пояса = 2 π Rh ,

где h — высота шарового пояса.

Проделайте эти рассуждения самостоятельно.

в) Площадь поверхности шарового сектора. Эта площадь может быть получена как сумма площадей поверхности сферического сегмента и боковой поверхности одного конуса (см. рис. 213, а, б ) или как сумма площадей поверхности сферического слоя и боковых поверхностей двух конусов (см. рис. 213, в, г ).

Рассмотрим частный случай (см. рис. 213, а, б ). Если R — радиус сферы, h — высота шарового сегмента, то площадь боковой поверхности конуса с вершиной в центре сферы, образующей R , и радиусом основания (докажите это) равна π R , а площадь сегментной поверхности равна 2 π Rh. Значит, для площади шарового сектора справедлива формула

S шар. сект = π R (2 h + ) .

 ЗАДАЧА (3.418). Основанием треугольной пирамиды SABC является равносторонний треугольник АВС , сторона которого равна 4. Известно также, что AS = BS = , a SC = 3. Найти площадь сферы, описанной около этой пирамиды.

Решени е. Решим эту задачу двумя методами.

Первый метод ( геометрич е ски й). Пусть точка О — центр сферы, описанной около данной пирамиды; D — точка пересечения медиан правильного △ АВС ; точка Е — середина отрезка АВ (рис. 216).

Центр О сферы равноудалён от всех вершин △ АBС, поэтому принадлежит прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости АВС.

Так как точка Е — середина отрезка АВ, то SE ⟂ АВ ( AS = BS ) и СЕ ⟂ АВ ( △ АВС — правильный). Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости AB ⟂ ( CSE ) , поэтому ( CSE ) ⟂ ( ABC ) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей). Это означает, что прямая OD, а следовательно, и точка О — центр сферы — лежат в плоскости CSE.

Точка D является центром окружности, описанной около △ АВС. (По этой окружности плоскость АВС пересекает сферу, описанную около данной пирамиды.) Если L — точка пересечения прямой СЕ и упомянутой окружности, то CL — её диаметр. Найдём длину диаметра CL.

В правильном △ AВС имеем: CE = = 2 ; CD = СЕ = . Тогда CL = 2 CD = .

Далее △ BSE ( ∠ BES = 90 ° ): SE 2 = SB 2 – BE 2 = 19 – 4 = 15 (по теореме Пифагора); △ SEC (по теореме косинусов):

cos C = = = ;

△ SLC (по теореме косинусов):

SL 2 = SC 2 + CL 2 – 2 SC • CL • cos C = ⇒ SL = .

Плоскость CSL проходит через центр О сферы, следовательно, пересекает сферу по большой окружности, которая описана около △ CSL. Значит, радиус R этой окружности равен радиусу сферы, описанной около данной пирамиды. Найдём длину радиуса R.

В треугольнике CSL имеем = 2 R. Так как в этом треугольнике cos C = , то sin C = = . Тогда R = = : = .

Находим площадь Q сферы:

Q = 4 π R 2 = 4 π • = π .

Второй метод ( коо р динатны й). Введём в пространстве декартову прямоугольную систему координат так, чтобы её начало совпадало с вершиной А данной пирамиды, направление оси абсцисс — с направлением луча АС, ось аппликат была перпендикулярна плоскости основания АВС пирамиды (рис. 217).

В этой системе координат вершины основания пирамиды имеют координаты: А (0; 0; 0), B (2; 2 ; 0), C (4; 0; 0).

Обозначив через х, у, z координаты вершины S пирамиды, найдём их из условий: AS = BS = , CS = 3 .

AS 2 = x 2 + y 2 + z 2 = 19,
ВS 2 = ( x – 2) 2 + ( y – 2 ) 2 + z 2 = 19,
C S 2 = ( x – 4) 2 + y 2 + z 2 = 9.

Решая систему уравнений

x 2 + y 2 + z 2 = 19, ( x – 2) 2 + ( y – 2 ) 2 + z 2 = 19, ( x – 4) 2 + y 2 + z 2 = 9,

находим: х = , у = , z = .

Таким образом, вершина S имеет следующие координаты:

S .

Пусть центр O сферы имеет координаты a, b, с, а её радиус равен R. Так как сфера описана около пирамиды SABC, то OA 2 = OB 2 = OC 2 = OS 2 = R 2 . Это соотношение в координатном виде равносильно системе уравнений

a 2 + b 2 + c 2 = R 2 , ( a – 2) 2 + ( b – 2 ) 2 + c 2 = R 2 , + + = R 2 , ( a – 4) 2 + b 2 + c 2 = R 2 .

Вычитая из первого уравнения четвёртое, получаем a = 2, после чего, вычитая из первого уравнения второе, получаем b = .

После вычитания третьего уравнения системы из первого её уравнения получаем:

= 0.

Подставив в это уравнение вместо a и b найденные их значения, получаем с = . Отсюда: R 2 = a 2 + b 2 + c 2 = 4 + + = . Тогда искомая площадь Q сферы равна:

Q = 4 π R 2 = π .

Ответ: π (кв. ед.).

19.8. Объёмы шара и его частей

Рассмотрим фигуру, образованную вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 2 R вокруг прямой, проходящей через вершину прямого угла параллельно гипотенузе (рис. 218, а ). Объём этой фигуры равен разности объёма цилиндра с высотой 2 R , радиусом основания R и удвоенного объёма конуса высоты R , радиуса основания R :

V = π • R 2 • 2 R – 2 • π • R 2 • R = π • R 3 . (*)

Шар радиуса R (рис. 218, б ) и образованную выше фигуру вращения расположим между двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми равно 2 R . Шар при этом будет касаться каждой из данных плоскостей, а фигуру вращения расположим так, чтобы её ось вращения была перпендикулярна этим плоскостям (см. рис. 218). (Плоскость, которая содержит верхнее основание цилиндра и касается сферы в точке N , на рисунке не изображена.)

Будем пересекать наши фигуры плоскостями, параллельными данным плоскостям и удалёнными от центра шара на расстояние x (0 ⩽ x ⩽ R ).

При х = 0 площади сечений обеих фигур равны π • R 2 ; при х = R площади сечений равны нулю. В остальных случаях площадь сечения шара равна π • ( ) 2 = π • ( R 2 – x 2 ), а площадь сечения другой фигуры (ею является кольцо) равна π • R 2 – π • x 2 . Следовательно, площади равноудалённых от центра шара сечений рассматриваемых фигур равны (относятся, как 1 : 1). Поэтому на основании принципа Кавальери равны и объёмы этих тел. Тогда на основании (*):

V шара = • π • R 3 ,

гдe R — радиус шара.

Для получения объёма шарового сегмента высоты h рассмотрим предыдущую ситуацию для R – h ⩽ x ⩽ R (при h R ) (рис. 218, 219). Применяя принцип Кавальери, получим: объём шарового сегмента равен разности объёма цилиндра высоты h и радиуса основания R и объёма усечённого конуса высоты h и радиусов оснований R и R – h , т. е.

V = π • h • R 2 – π • h • ( R 2 + R • ( R – h ) + ( R – h ) 2 ) =
= π • h 2 • (3 R – h ) .

При h > R объём шарового сегмента можно найти как разность объёма шара и объёма шарового сегмента высоты 2 R – h (рис. 220): V = π • R 3 – • π • (2 R – h ) 2 • (3 R – (2 R – h )) = π • h 2 (3 R – h ) , т. е. получаем ту же самую формулу. Подставляя в эту формулу h = R , получим V = π • R 2 (3 R – R ) = π • R 3 , что соответствует объёму полушара.

Мы показали, что в шаре радиуса R объём любого шарового сегмента высоты h может быть вычислен по формуле:

V шар. сегм = π • h 2 • (3 R – h ) ,

или в другом виде

V шар. сегм = π • h 2 • .

источники:

http://multiurok.ru/files/gieomietriia-11-klass-zachiet-po-tiemie-obiem-shar.html

http://reader.lecta.rosuchebnik.ru/demo/8285/data/chapter20.xhtml

Источник

3.1.
Радиус основания конуса равен R,
образующая наклонена к плоскости
основания под углом .
В конусе через вершину под углом 
к его высоте проведена плоскость. Найдите
площадь полученного сечения.

3.2.
Площади
оснований усеченного конуса равны 81
см²
и 225
см²,
образующая относится к высоте как 5 : 4.
Найдите площадь осевого сечения.

3.3.
Диагонали
осевого сечения усеченного конуса
взаимно перпендикулярны. Площадь осевого
сечения равна 324 см².
Найдите площади оснований конуса, зная,
что радиус одного основания на 2 см
больше другого.

3.4.
Дана трапеция ABCD,
у которой AD
= 15 см, BC
= 9 см, AB
= CD
= 5 см. Трапеция вращается вокруг оси,
проходящей через вершину A
и перпендикулярно AD.
Найдите площадь поверхности полученного
тела вращения.

3.5.
Прямая отсекает от сторон прямоугольного
треугольника, угол между которыми 60,
отрезки, длины которых составляют
четвертую часть длины гипотенузы, считая
от вершины этого угла. Найдите отношение
площади треугольника к площади поверхности
тела, полученного при вращении этого
треугольника вокруг прямой.

3.6.
Конус лежит на плоскости и катится по
ней, вращаясь вокруг своей неподвижной
вершины. Высота конуса равна h,
образующая – b.
Найдите площадь поверхности, описываемой
высотой конуса.

3.7.
Два конуса имеют общее основание. В
общем осевом сечении образующая одного
из конусов перпендикулярна противолежащей
образующей другого. Объем одного из них
вдвое меньше объема другого. Найдите
угол между образующей большего конуса
и плоскостью оснований конусов.

3.8.
Треугольник АВС,
у которого АВ
= 13 см, ВС
= 20 см, АС
= 21 см, вращается вокруг оси, проходящей
через вершину А
перпендикулярно АС.
Найдите объем полученного тела вращения.

3.9.
Параллелограмм вращается вокруг оси,
проходящей через вершину острого угла
перпендикулярно большей диагонали.
Найдите объем тела вращения, если стороны
параллелограмма и его большая диагональ
равны соответственно 15 см, 37 см и 44 см.

3.10.
Образующая усеченного конуса, равная
l,
наклонена к плоскости основания под
углом .
Отношение площадей оснований конуса
равно 4. Найдите объем усеченного конуса.

12.6. Шар

Шар и сфера

Сферой
называется множество всех точек
пространства, равноудаленных от данной
точки.

Данная
точка называется центром
сферы. Отрезок, соединяющий центр сферы
с любой ее точкой, называется радиусом
сферы. Хордой
называется отрезок, соединяющий две
точки сферы. Диаметром
называется хорда, проходящая через
центр сферы (рис. 12.40).

Рис.
12.40

Шаром
называется геометрическое тело,
ограниченное
сферой. Центр, радиус, хорда и диаметр
сферы называются соответственно центром,
радиусом,
хордой
и диаметром
шара (рис. 12.40).

Шар
можно рассматривать как тело, полученное
при вращении полукруга вокруг оси,
содержащей диаметр полукруга.

Сферой также
называется поверхность шара.

Плоскость,
имеющая со сферой единственную общую
точку, называется касательной плоскостью
к сфере (шару). Общая точка называется
точкой
касания
сферы (шара) и плоскости.

Теорема.
Для того чтобы плоскость была касательной
к сфере (шару), необходимо и достаточно,
чтобы эта плоскость была перпендикулярна
к радиусу сферы (шара), проведенному в
точку касания.

Для шара верны
формулы:

где S
– площадь поверхности шара (площадь
сферы); R
– радиус шара; V
– объем шара.

Шаровой сегмент
и сферический сегмент

Шаровым
сегментом
называется часть шара, отсекаемая от
него плоскостью. Круг, получившийся в
сечении, называется основанием
сегмента. Отрезок, соединяющий центр
основания сегмента с точкой поверхности
шара, перпендикулярный основанию,
называется высотой
шарового сегмента (рис. 12.41). Поверхность
сферической части шарового сегмента
называется сферическим
сегментом.

Рис.
12.41

Для шарового
сегмента верны формулы:

где S
– площадь сферической части шарового
сегмента (площадь сферического сегмента);
R
– радиус шара; h
– высота сегмента; S_полн
– площадь полной поверхности шарового
сегмента; r
– радиус основания шарового сегмента;
V
– объем шарового сегмента.

Шаровой слой и
сферический пояс

Шаровым
слоем
называется часть шара, заключенная
между двумя параллельными секущими
плоскостями. Круги, получившиеся в
сечении, называются основаниями
слоя. Расстояние между
секущими плоскостями называется высотой
слоя (рис. 12.42). Поверхность
сферической части шарового слоя
называется сферическим
поясом.

Шар, шаровой сегмент
и шаровой слой можно рассматривать как
геометрические тела вращения. При
вращении полукруга вокруг оси, содержащей
диаметр полукруга, получается шар,
соответственно при вращении частей
круга получаются части шара: шаровой
сегмент и шаровой слой.

Рис.
12.42

Для шарового
слоя верны формулы:

где S₁,
S₂
– площади оснований; R₁,
R₂
– радиусы оснований; S
– площадь сферической части шарового
слоя (площадь сферического пояса); R
– радиус шара; h
– высота; S_полн
– площадь полной поверхности; V
– объем шарового слоя.

Шаровой сектор

Шаровым
сектором
называется геометрическое тело,
полученное при вращении кругового
сектора (с углом меньше 90)
вокруг оси, содержащей один из боковых
радиусов. Дополнение такого тела до
шара также называется шаровым
сектором.
Таким образом, шаровой сектор состоит
из шарового сегмента и конуса, либо из
шарового сегмента без конуса (рис. 12.43
а, б).

а)
б)

Рис.
12.43

Для
шарового сектора верны формулы:

где S
– площадь поверхности шарового сектора;
R
– радиус шара; r
– радиус основания сегмента; h
– высота шарового сегмента; V
– объем шарового сектора.

Пример 1.Радиус шара разделили на
три равные части. Через точки деления
провели два сечения, перпендикулярные
радиусу. Найти площадь сферического
пояса, если радиус шара равен 15 см.

Решение.Сделаем рисунок (рис.
12.44).

Рис. 12.44

Для того чтобы вычислить
площадь сферического пояса, надо знать
радиус шара и высоту. Радиус шара
известен, а высоту найдем, зная, что
радиус разделен на три равные части:

Тогда площадь

Пример 2.
Шар пересечен двумя
параллельными плоскостями, проходящими
перпендикулярно диаметру и по разные
стороны от центра шара. Площади сферических
сегментов равны 42
см²
и 70
см².
Найти радиус шара, если расстояние между
плоскостями равно 6 см.

Решение.
Рассмотрим два сферических
сегмента с площадями:
гдеR – радиус
шара (сферы), h,
H –
высоты сегментов.
Получим уравнения:
иИмеем два уравнения с тремя неизвестными.
Составим еще одно уравнение. Диаметр
шара равенРешим систему:

Из двух первых уравнений системы
выражаем:

подставляем в третье уравнение
системы:
Решаем полученное уравнение:
получаем

По условию задачи подходит
значение

Пример 3.
Сечение шара плоскостью,
перпендикулярной его диаметру, делит
диаметр в отношении 1 : 2. Во сколько
раз площадь сечения меньше площади
поверхности шара?

Решение.
Сделаем рисунок (рис.
12.45).

Рассмотрим диаметральное
сечение шара: AD
– диаметр, O
– центр, OE=R
– радиус шара, BE
– радиус сечения, перпендикулярного
диаметру шара,

Выразим BE
через R:

Из 
OBE
выразим BE
через R:

Рис. 12.45

Площадь сечения
площадь поверхности шараПолучаем отношение

Следовательно, S₁
меньше
S₂
в 4,5 раза.

Пример 4.
В шаре, радиус которого
13 см, проведены два взаимно перпендикулярных
сечения на расстоянии 4 см и 12 см от
центра. Найти длину их общей хорды.

Решение.
Сделаем рисунок (рис.
12.46).

Рис. 12.46

Сечения перпендикулярны, так
как
OO₂
– расстояние и OO₁
– расстояние. Таким
образом,
и

OC –
диагональ прямоугольника OO₂CO₁
и равна

 O₁AB
– равнобедренный (O₁A = O₁B
– радиусы), тогда
перпендикуляр O₁C
является и медианой AC = CB.

Рассмотрим 
OAC:
OA –
радиус шара,
(OCAC
по теореме о трех перпендикулярах).
Находим:

Общая хорда сечений

Получаем ответ: 6 см.

Пример 5.
Площадь осевого
сечения шарового сектора в три раза
меньше площади большого круга шара.
Найти отношение объемов сектора и шара.

Решение.Сделаем рисунок (рис.
12.47).

Рис. 12.47

Рассмотрим осевое сечение
шара. Осевое сечение шарового сектора
– это круговой сектор, площадь которого
составляет
площади круга. Значит, центральный угол
равен 120,
следовательно,
Шаровой сектор можно рассматривать как
тело, полученное при вращении сектораАОВ
вокруг бокового радиуса ОВ.
Высотой данного сектора служит отрезок
СВ. Объем
сектора вычисляется по формуле
объем шара –