Как найти площадь осевого сечения усеченного конуса

Чтобы решить данную задачу, необходимо вспомнить, что такое усеченный конус и какими свойствами он обладает. Обязательно сделайте чертеж. Это позволит определить, какую геометрическую фигуру представляет собой сечение конуса. Вполне возможно, что после этого решение задачи уже не будет представлять для вас сложности.

Инструкция

Круглый конус – тело, полученное путем вращения треугольника вокруг одного из его катетов. Прямые, исходящие из вершины конуса и пересекающие его основание, называются образующими. Если все образующие равны, то конус является прямым. В основании круглого конуса лежит круг. Перпендикуляр, опущенный на основание из вершины, является высотой конуса. У круглого прямого конуса высота совпадает с его осью. Ось – это прямая, соединяющая вершину с центром основания. Если горизонтальная секущая плоскость кругового конуса параллельна основанию, то его верхнее основание представляет собой круг.

Поскольку в условии задачи не оговорено, какой именно конус дается в данном случае, можно сделать вывод, что это круглый прямой усеченный конус, горизонтальное сечение которого параллельно основанию. Его осевое сечение, т.е. вертикальная плоскость, которая проходит через ось круглого усеченного конуса, представляет собой равнобочную трапецию. Все осевые сечения круглого прямого конуса равны между собой. Следовательно, чтобы найти площадь осевого сечения, требуется найти площадь трапеции, основаниями которой являются диаметры оснований усеченного конуса, а боковые стороны – его образующие. Высота усеченного конуса является одновременно высотой трапеции.

Площадь трапеции определяется по формуле:S = ½(a+b) h, где S – площадь трапеции;a – величина нижнего основания трапеции;b – величина ее верхнего основания;h – высота трапеции.

Поскольку в условии не оговорено, какие именно величины даны, можно считать, что диаметры обеих оснований и высота усеченного конуса известны: AD = d1 – диаметр нижнего основания усеченного конуса;BC = d2 – диаметр его верхнего основания; EH = h1 – высота конуса.Таким образом, площадь осевого сечения усеченного конуса определяется: S1 = ½ (d1+d2) h1

Источники:

площадь усеченного конуса

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Круглый конус в геометрии является симметричной пространственной фигурой, имеющей ось вращения. Одной из важных его характеристик является площадь сечения осевого. В данной статье приведем формулу площади сечения осевого конуса прямого с круглым основанием и усеченного.

О какой фигуре будет идти речь?

Круглый конус — это фигура, которую можно получить следующим образом. Необходимо взять треугольник с углом прямым и его вокруг одного из катетов вращать. Тогда получится показанная ниже объемная фигура.

Отрезок AC на рисунке называется радиусом основания, который «рисует» при вращении с центром в точке A круг. Катет AB — это высота конуса. Очевидно, что отрезок AB перпендикулярен основанию и является частью оси вращения фигуры. Точка B — это высота рассматриваемой фигуры. Отрезок BE называется образующей, или генератрисой конуса. Совокупность всех генератрис образует боковую поверхность конуса. Она является конической. Ограничивающая основание окружность называется направляющей, или директрисой конуса.

Поскольку генератриса, радиус и высота являются гипотенузой и катетами рассмотренного прямоугольного треугольника, то для них можно записать формулу:

g² = r² + h²

Здесь g — генератриса, r — радиус, h — высота.

Осевое сечение конуса и его площадь

Чтобы записать для конуса формулу площади сечения осевого, сначала следует познакомиться с самим сечением. Оно получается так: нужно взять секущую плоскость, расположить ее параллельно оси конуса. Затем необходимо разрезать конус плоскостью на две одинаковые части таким образом, чтобы в плоскость сечения попала вершина фигуры.

Несложно себе представить, что в результате описанной операции получится равнобедренный треугольник. Равные стороны треугольника будут такие же, как длины генератрис. А третья сторона будет равна диаметру основания.

Формула площади осевого сечения конуса (фото см. выше) не отличается сложностью. Она соответствует формуле расчета этой величины для описанного треугольника. Поскольку у треугольника площадь равна произведению основания на высоту, которое следует поделить пополам, то искомое равенство для осевого сечения примет вид:

S = h*r

Эта формула говорит о том, что S в два раза больше площади прямоугольного треугольника, вращением которого был получен конус.

Усеченный конус и его осевое сечение

Усеченный конус получается из обычного при помощи секущей плоскости, которая параллельна его основанию. Полученная при этом фигура под плоскостью будет усеченным конусом. Он показан на рисунке.

Помимо боковой поверхности, эта фигура состоит из двух оснований, которые представляют собой большой и малый круги. Обозначим их радиусы как r₁ и r₂. Расстояние между основаниями называется высотой, обозначим ее буквой h.

Осевое сечение рассматриваемого конуса будет четырехугольником, две стороны которого являются образующими. А две другие стороны будут параллельны друг другу и равны 2*r₁ и 2*r₂соответственно. Этот четырехугольник будет равнобедренной трапецией, которая показана на рисунке ниже.

Этот факт позволяет использовать выражение для трапеции, чтобы записать формулу площади сечения усеченного осевого конуса . Она примет вид:

S = (2*r₁ + 2*r₂)/2*h = h*(r₁ + r₂)

То есть площадь S равна произведению суммы радиусов оснований усеченного конуса на его высоту.

Для решения геометрических задач также может потребоваться формула связи между генератрисой фигуры и ее параметрами r₁, r₂и h. Соответствующее выражение приобретает вид:

g² = h² + (r₁ — r₂)²

Получить ее достаточно просто самостоятельно, если рассмотреть прямоугольный треугольник внутри конуса, построенный на сторонах g, h и (r₁ — r₂).

Задача на определение площади сечения осевого конуса усеченного

Покажем, как находить площадь осевого сечения на примере усеченного конуса.

Известно, что высота указанной фигуры составляет 10 см. Также известно, что для конуса осевого сечения площадь равна разности площадей оснований. Зная, что диаметры оснований отличаются ровно в два раза, необходимо найти площадь этого сечения по оси.

В соответствии с условием задачи можно записать два уравнения:

r₁ = 2*r₂;

h*(r₁ + r₂) = pi*(r₁² — r₂²)

Значение высоты известно из условия. Таким образом, мы имеем 2 равенства и 2 неизвестные величины. Решаем эту систему:

h*(2*r₂ + r₂) = pi*((2*r₂) ² — r₂²) =>

3*pi*r₂² — 3*h*r₂ = 0

Мы получили неполное квадратное уравнение, которое следует решить относительно переменной r₂. Уравнение имеет 2 корня, но решение r₂ = 0 не является физическим, поэтому запишем только одно единственное значение для малого радиуса:

r₂ = h/pi

Тогда большой радиус r₁ будет равен:

r₁ = 2*h/pi

Подставляя эти равенства в формулу площади осевого сечения конуса, получаем:

S = h*(r₁ + r₂) = 3*h²/pi

Подставляем численное значение h и записываем ответ: S ≈ 95,54 см².

Источник

ВИДЕОУРОК

Рассмотрим произвольный
конус и проведем плоскость, параллельную основанию конуса. Эта плоскость пересекает
конус по кругу и разбивает конус на две части. Одна из этих частей будет
конусом, а другую называют усечённым конусом.

Усечённым конусом
называется часть конуса, которая лежит между его основанием и секущей плоскостью,
параллельной основанию.

Основаниями усечённого
конуса называются основание
полного конуса, из которого получен усечённый, и часть секущей плоскости, ограниченная
конической поверхностью (круг).

Образующей усечённого
конуса называется
часть образующей полного конуса, заключённая между основаниями усечённого
конуса.

Высотой усечённого
конуса называется расстояние
между его основаниями.

Сечение усечённого
конуса плоскостью, которая проходит через его ось, называют осевым сечением усечённого
конуса.

Осевое сечение усечённого
конуса – равнобедренная трапеция, основания которой – диаметры оснований
конуса, боковые стороны – образующие усечённого конуса, высота этой трапеции равна
высоте усечённого конуса.

Боковая и полная поверхность усечённого
конуса.

В качестве величины
боковой поверхности усечённого конуса принимается граница, к которому стремится
величина боковой поверхности правильной вписанной (или описанной) в него
усечённой пирамиды при неограниченном увеличении числа её боковых граней.

Боковая поверхность
усечённого конуса равна произведению суммы длин окружностей оснований на
половину образующей.

S_бок =
πL(R + r),

где R и r – радиусы оснований усечённого конуса, а L – длина
образующей.

Чтобы найти площадь
полной поверхности усечённого конуса необходимо к площади его боковой поверхности
прибавить площади двух его оснований.

Полная поверхность
усечённого конуса равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

S_полн =
πL(R + r) + πR² + πr².

Боковая поверхность усечённого
конуса равна произведению высоты тела на длину окружности, радиус которого будет
перпендикуляр, опущенный с середины образующей на высоту тела.

Боковая поверхность усечённого конуса равна

S_бок = 2π × ОА × О₁О₂.

Развёртка усечённого конуса.

Если поверхность усечённого
конуса разрезать по образующей и окружностям оснований и развернуть так, чтобы
боковая поверхность с основаниями лежали в одной плоскости, то на плоскости получим
фигуру, называемую развёрткой усечённого конуса.

ЗАДАЧА:

Найдите боковую поверхность усечённого конуса, если его образующая
наклонена к плоскости основания под углом
60°,
а площадь осевого сечения равна S.

РЕШЕНИЕ:

Пусть дан усечённый конус
СА с площадью осевого
сечения

S и ∠ ABO
= 60°.

Найти боковую поверхность S_x усечённого конуса.

В равнобедренной трапеции
ВАDС из вершины А на основание
СВ опустим АМ ⊥
СВ. Обозначим

АВ
= L, ОВ = R, О₁А
= r.

В прямоугольном ∆ АМВ из условия
∠ МАВ
= 30°, поэтому

По условию задачи площадь осевого сечения

(R + r)H = S,

или

Умножив обе две части равенства на число π, получим

Учитывая, что боковая поверхность усечённого конуса

S_x = πL(R + r),

находим

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Образующая усечённого конуса равна 2а и наклонена к основанию под углом 60°. Радиус одного основания в два раза больше радиуса
второго основания. Найдите каждый из радиусов.

РЕШЕНИЕ:

Пусть образующая усечённого конуса АВ = 2а,
а угол наклона образующей к плоскости основания конуса ∠ ВАО₁ = 60°.

Учитывая, что

АО₁ =
2ВО,

опустим из точки В на плоскость нижнего основания перпендикуляр

ВК ⊥ АО₁ тогда

ВО = КО₁ = АК.

З ∆ АВК АК = АВ cos∠ ВАК

АК = 2а cos
60° = а.

Тогда

АК = КО₁ = ВО = а,
АО₁ = 2а.

ОТВЕТ: а, 2а.

Задания к уроку 14

Задание 1
Задание 2
Задание 3

Другие уроки:

Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве
Урок 2. Прямая призма
Урок 3. Наклонная призма
Урок 4. Правильная призма
Урок 5. Параллелепипед
Урок 6. Прямругольный параллелепипед
Урок 7. Куб
Урок 8. Пирамида
Урок 9. Правильная пирамида
Урок 10. Усечённая пирамида
Урок 11. Цилиндр
Урок 12. Вписанная и описанная призмы
Урок 13. Конус
Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды
Урок 16. Сфера и шар
Урок 17. Комбинация тел

Источник