Как найти площадь основания фигур - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

In geometry, the bottom of a three-dimensional object is called a base – if the top of the solid is parallel to the bottom it is also called a base. Since bases occupy a single plane, they have only two dimensions. You can find the area of a base by using the formula for the area of that shape.

Square Bases

Cubes and square pyramids have bases that are square-shaped. The area of a square is equal to the length of one of its sides multiplied by itself, or squared. The formula is A = s². For example, to find the area of a base of a cube with 5-inch sides: A = 5 inches x 5 inches = 25 square inches

Rectangular Bases

Some rectangular solids and pyramids have rectangular bases. The area of a rectangle is equal to its length, l, multiplied by its width, w: A = l x w. Given a pyramid whose base is 10 inches long and 15 inches wide, find area as follows: A = 10 inches x 15 inches = 150 square inches.

Circular Bases

The bases of cylinders and cones are circular. The area of a circle is equal to the circle’s radius, r, squared then multiplied by a constant called pi: A = pi x r². Pi always has the same value, approximately 3.14. While pi technically has an endless number of decimal places, 3.14 is a good enough estimation for simple calculations. For example, given a cylinder with a radius of 2 inches, you can find the base’s area as follows: A = 3.14 x 2 inches x 2 inches = 12.56 square inches.

Triangular Bases

A triangular prism has a triangular base. Finding a triangle’s area requires two known quantities: base, labeled b, and height, labeled h. Base is the length of one of the triangle’s sides, height is the distance from that side to the opposite corner of the triangle. The area of the triangle is equal to half of the base times the height: A = b x h x 1/2 You could find the area of a triangle with base length of 4 inches and height of 3 inches as follows: A = 4 inches x 3 inches x 1/2 = 6 square inches.

Источник

Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Куб		диагональ
Параллелепипед	$V=S_text{OCH}h, h -$ высота
Прямоугольный параллелепипед		$d=sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Призма	$V=S_text{OCH}h$	$S = 2S_text{OCH}+$
Пирамида	$V=frac{1}{3}S_text{OCH}h$	$S = S_text{OCH}+$

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Задача 1.Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение:

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.

Разберем задачи, где требуется найти площадь поверхности многогранника.

Мы рассмотрим призмы и пирамиды. Начнем с призмы.

Площадь полной поверхности призмы можно найти как сумму площадей всех ее граней. А это площади верхнего и нижнего оснований плюс площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей боковых граней, которые являются прямоугольниками. Она равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.

Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Многогранник на рисунке – это прямая призма с высотой 12.

$P_text{OCH}=8+6+6+2+2+4=28.$

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

(больший квадрат), (маленький прямоугольник), $S_text{OCH}=36+8=44$

Подставим все данные в формулу: и найдем площадь поверхности многогранника:

Ответ: 424.

Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Перевернем многогранник так, чтобы получилась прямая призма с высотой 1.
Площадь поверхности этой призмы находится по формуле:

$P_text{OCH}=4+5+2+1+2+4=18.$

Найдем площадь основания. Для этого разделим его на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого:

(большой прямоугольник), $S_text{OCH}=16+2=18$ (маленький прямоугольник).

Найдем площадь полной поверхности:

Ответ: 54

Задача 4.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Покажем еще один способ решения задачи.

Посмотрим, как получился такой многогранник. Можно сказать, что к «кирпичику», то есть прямоугольному параллелепипеду со сторонами 4, 1 и 3, сверху приклеен «кубик», все стороны которого равны 1.

И значит, площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей поверхностей прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4,1,3 и
куба со стороной 1, без удвоенной площади квадрата со стороной 1:

Почему мы вычитаем удвоенную площадь квадрата? Представьте себе, что нам надо покрасить это объемное тело. Мы красим все грани параллелепипеда, кроме квадрата на верхней его грани, где на него поставлен кубик. И у куба мы покрасим все грани, кроме этого квадрата.

Ответ: 42

Задача 5. . Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Пусть АВ = 5 см, ВС = 3 см, тогда $angle{ABC}=120^{circ}$

Из по теореме косинусов найдем ребро АС:

$AC^2=AB^2+BC^2-2cdot ABcdot BC cdot cos120^{circ}$

$AC^2=25+9-2cdot5cdot3cdotleft(-frac{1}{2}right)=47, ~AC = 7$

Отрезок АС – большая сторона , следовательно, большая боковая грань призмы.

Поэтому или откуда h=5.

Ответ: 75

Теперь две задачи на площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 6. Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13, ВС = 10; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех ее боковых граней.

Проведем , тогда (по теореме о 3-х перпендикулярах), то есть DК – высота треугольника DВС.

– равнобедренный (по условию АВ = АС), то высота АК, проведенная к основанию ВС, является и медианой, то есть ВК = КС = 5.

Из прямоугольного получим:

$AK=sqrt{AB^2-BK^2}=sqrt{13^2-5^2}=sqrt{169-25}=sqrt{144}=12.$

Из прямоугольного имеем:

$DK=sqrt{DA^2+AK^2}=sqrt{9^2+12^2}=sqrt{81+144}=sqrt{225}=15.$

(по двум катетам), тогда $S_{ADB}=S_{ADC},$ следовательно

$=2S_{ADB}+S_{BDC},$ $=2cdotfrac{1}{2}cdot13cdot9+frac{1}{2}cdot10cdot15=117+75=192.$

Ответ: 192

Задача 8. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 24, боковые ребра равны 37. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Так как четырехугольная пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Площадь поверхности пирамиды равна

где р – полупериметр основания, h — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды), a – сторона основания.

Значит, полупериметр основания .

Апофему найдем по теореме Пифагора:

$h=sqrt{37^2-12^2}=sqrt{(37-12)(37+12)}=sqrt{25cdot49}=5cdot7=35$

Ответ: 2256

Как решать задачи на нахождение объема многогранника сложной формы?

Покажем два способа.

Первый способ

1.Составной многогранник достроить до полного параллелепипеда или куба.
2.Найти объем параллелепипеда.
3.Найти объем лишней части фигуры.
4.Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Второй способ.

1.Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2.Найти объем каждого параллелепипеда.
3.Сложить объемы.

Задача 9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

1) Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

2) Найдем объем параллелепипеда – для этого перемножим его длину, ширину и высоту:

3) Найдем объем лишней части, то есть маленького параллелепипеда.

Его длина равна 9 – 4 = 5, ширина 4, высота 7, тогда его объем

4) Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

Ответ: 220.

Задача 10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Объем призмы равен $V=S_{OCH}cdot h$ , а так как призма прямая, то ее боковое ребро является и высотой, то есть h=6.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник c катетами 6 и 7, тогда площадь основания

$S_{OCH}=frac{1}{2}cdot ab=frac{1}{2}cdot6cdot7=21.$

Ответ: 126

Задача 11. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд, у которого сторона в 9 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Объем призмы равен $V = S_{OCH}cdot h$

Воду перелили в другой такой же сосуд. Это значит, что другой сосуд также имеет форму правильной треугольной призмы, но все стороны основания второго сосуда в 9 раз больше, чем у первого.

Основанием второго сосуда также является правильный треугольник. Он подобен правильному треугольнику в основании первого сосуда. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Если все стороны треугольника увеличить в 9 раз, его площадь увеличится в раз. Мы получили, что площадь основания второго сосуда в 81 раз больше, чем у первого.

Объем воды не изменился, Так как высота воды h_2 должна быть в 81 раз меньше, чем h_1. Она равна (см).

Ответ: 4

Задача 12. Объем параллелепипеда Найдите объем треугольной пирамиды ABDA_1.

Решение.
Опустим из вершины A_1 высоту A_1H Н на основание ABCD.

$=S_{ABCD}cdot A_1H$

$=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H$

Диагональ основания делит его на два равных треугольника, следовательно, $S_{ABD}=frac{1}{2}S_{ABCD}.$

Имеем:

$ABDA_1=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H=frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}S_{ABCD}cdot A_1H=frac{1}{6}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=frac{1}{6}cdot21=3,5.$

Ответ: 3,5

Задача 13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а высота равна

Решение.
По формуле объема пирамиды, .

В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Его площадь равна $S_{OCH}=frac{a^2sqrt{3}}{4}.$

$S_{OCH}=frac{8^2sqrt{3}}{4}=frac{64sqrt{3}}{4}=16sqrt{3}.$

Объем пирамиды $V=frac{1}{3}cdot16sqrt{3}cdot6sqrt{3}=16cdot6=96.$

Ответ: 96

Задача 14. Через середины сторон двух соседних ребер основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем меньшей из частей, на которые эта плоскость делит призму, если объем призмы равен 32.

Решение.

По условию, призма правильная, значит, в ее основании лежит квадрат, а высота равна боковому ребру.

Пусть AD=x, тогда $S_{OCH}=x^2.$

Так как точки М и К – середины АD и DС соответственно, то $DM=DK=frac{x}{2}.$

$S_{MDK}=frac{1}{2}MDcdot DK=frac{1}{2}cdotfrac{x}{2}cdotfrac{x}{2}=frac{1}{8}x^2.$

Площадь треугольника MDK, лежащего в основании новой призмы, составляет $frac{1}{8}$ часть площади квадрата в основании исходной призмы.
Высоты обеих призм одинаковые. Согласно формуле объема призмы: $V=S_{OCH}cdot h$ , и значит, объем маленькой призмы в 8 раз меньше объема большой призмы. Он равен 32:8=4.

Ответ: 4

Докажем полезную теорему.

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство:

Плоскость перпендикулярного сечения призмы перпендикулярна к боковым ребрам, поэтому стороны перпендикулярного сечения призмы являются высотами параллелограммов.

$S=P_{perp}cdot l.$

Больше задач на формулы объема и площади поверхности здесь.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Все формулы для площадей полной и боковой поверхности тел

1. Площадь полной поверхности куба

a — сторона куба

Формула площади поверхности куба,(S):

2. Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

a, b, c — стороны параллелепипеда

Формула площади поверхности параллелепипеда, (S):

3. Найти площадь поверхности шара, сферы

R — радиус сферы

π ≈ 3.14

Формула площади поверхности шара (S):

4. Найти площадь боковой и полной поверхности цилиндра

r — радиус основания

h — высота цилиндра

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности цилиндра, (S_бок):

Формула площади всей поверхности цилиндра, (S):

5. Площадь поверхности прямого, кругового конуса

R — радиус основания конуса

H — высота

L — образующая конуса

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S_бок):

Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S_бок):

Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S):

Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S):

6. Формулы площади поверхности усеченного конуса

R — радиус нижнего основания

r — радиус верхнего основания

L — образующая усеченного конуса

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса, (S_бок):

Формула площади полной поверхности усеченного конуса, (S):

7. Площадь поверхности правильной пирамиды через апофему

L — апофема (опущенный перпендикуляр OC из вершины С, на ребро основания АВ)

P — периметр основания

S_осн — площадь основания

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (S_бок):

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды (S):

8. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

m — апофема пирамиды, отрезок OK

P — периметр нижнего основания, ABCDE

p — периметр верхнего основания, abcde

Формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды, (S):

9. Площадь поверхности шарового сегмента

R — радиус самого шара

h — высота сегмента

π ≈ 3.14

Формула площади поверхности шарового сегмента, (S):

10. Площадь поверхности шарового слоя

h — высота шарового слоя, отрезок KN

R — радиус самого шара

O — центр шара

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности шарового слоя, (S):

11. Площадь поверхности шарового сектора

R — радиус шара

r — радиус основания конуса = радиус сегмента

π ≈ 3.14

Формула площади поверхности шарового сектора, (S):

Источник

Таблицы и формулы 2

Таблицы и формулы 2

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра

V =
π R

²

h
V =
S_o h

где

— объем цилиндра,

S_o

— площадь основания цилиндра,

— радиус цилиндра,

— высота цилиндра,

π = 3.141592

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета Объем цилиндра.

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса

где

— объем конуса,

S_o

— площадь основания конуса,

— радиус основания конуса,

— высота конуса,

π = 3.141592

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема конуса.

Объем шара

шар

Объем шара равен четырем третим от его радиуса в кубе помноженого на число пи.

Формула объема шара

где

— объем шара,

— радиус шара,

π = 3.141592

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема шара.

Площадь цилиндра

Площадь боковой поверхности круглого цилиндра равна произведению периметра его основания на высоту.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности круглого цилиндра равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и удвоенной площади основания.

Формула для вычисления площади полной поверхности цилиндра

S = 2

π R h

+ 2

π R

² = 2

π R

(

R

+

h

)

где

— площадь,

— радиус цилиндра,

— высота цилиндра,

π = 3.141592

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета площади цилиндра.

Площадь конуса

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению его радиуса и образующей умноженному на число

Формула площади боковой поверхности конуса:

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания конуса и площади боковой поверхности.

Формула площади полной поверхности конуса:

S =

π R

² +

π R l

=

π R

(

R

+

l

)

где

— площадь,

— радиус основания конуса,

— образующая конуса,

π = 3.141592

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета площади конуса.

Площадь шара

шар

Формулы площади шара

Площадь поверхности шара равна четырем его радиусам в квадрате умноженным на число

π

.
Площадь поверхности шара равна квадрату его диаметра умноженного на число

π

.

где

— площадь шара,

— радиус шара,

— диаметр шара,

π = 3.141592

Смотрите также онлайн калькулятор для расчета площади шара.

Источник

Основание правильной пирамиды является правильный многоугольник – равносторонний треугольник, квадрат. Основанием пирамиды называют ту фигуру, над которой расположена вершина пирамиды.То есть это та грань пирамиды, которая не включает в себя ее вершину. Площадь основания пирамиды – это площадь этой плоской фигуры.

Площадь основания правильной пирамиды
- Площадь основания правильной треугольной пирамиды
- Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды
- Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды
Площадь основания любой пирамиды
Примеры решения задач
- Задача 1
- Задача 2
- Задача 3

Площадь основания правильной пирамиды

Правильная пирамида может быть трех видов:

треугольная,
четырехугольная,
шестиугольная.

Соответственно у правильной треугольной пирамида основание – равносторонний треугольник. У правильной четырехугольной пирамиды основание – квадрат. В основании шестиугольной правильной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Приведем формулы для нахождения площади основания пирамиды:

Площадь основания правильной треугольной пирамиды

В основании равносторонний треугольник – находим его площадь:

$displaystyle S=frac{a^2 sqrt{3}}{4}$ , где – сторона треугольника.

Основание треугольной пирамиды

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, площадь квадрата:

, где – сторона квадрата.

Основание четырехугольной пирамиды

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды

Это площадь правильного шестиугольника. Если известна сторона шестиугольника, то площадь правильного шестиугольника находится по формуле:

$displaystyle S=frac{3a^2 sqrt{3}}{2}$

Основание шестиугольной пирамиды

Площадь основания любой пирамиды

Площадь основания любой пирамиды – это площадь ее основания.

Если в основании пирамиды треугольник, то формулы для нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье “Площадь треугольника”.

В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных задачах, в основании пирамиды часто лежит треугольник, редко прямоугольник. Задачи, в которых в основании пирамиды лежит пятиугольник, семиугольник или произвольных многоугольник, практически не встречаются. Хотя их можно увидеть в олимпиадных задачах.

Теперь давайте решим несколько задач для нахождения площади основания пирамиды

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, в основании равносторонний треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: $S=frac{a^2 sqrt{3}}{4}$ . Нам дана сторона , тогда $S=frac{2^2 sqrt{3}}{4} = sqrt{3}$

Ответ:

Задача 2

Строитель решил построить здание в форме правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5 м². Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?

Решение:

Рассчитаем площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой: $S=frac{3a^2 sqrt{3}}{2}$ . Подставим в нее значение стороны . Получим: $S=frac{3 cdot 6^2 sqrt{3}}{2}=54 sqrt{3}$ м².

Теперь подсчитаем, сколько нам понадобится досок: $N=frac{54 sqrt{3}}{0,5 sqrt{3}}=108$ .

Ответ: 108 досок.

Задача 3

Основанием пирамиды является прямоугольный равнобедренный треугольник, с катетом, равным 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: иными словами – нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то один из катетов будет основанием треугольника, а другой – высотой. Определяем площадь по формуле:

$S=frac{a^2}{2}=frac{4^2}{2}=8$ .

Ответ: 8

Источник