Как найти площадь основания правильного тетраэдра - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Вычисление площади правильной треугольной пирамиды

Определение

Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) — это многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник со сторонами a и боковыми гранями в виде равнобедренных треугольников с основанием a и сторонами b.

Треугольник

Площадь поверхности такой фигуры складывается из площадей основания многогранника и трех боковых граней. В записи на математический язык это выглядит так:

((1);S=S_{осн}+3times S_{бок})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Нахождение площади основания пирамиды

Поскольку правильный тетраэдр основан на треугольнике, для определения площади основания рассматриваемого многогранника воспользуемся формулой нахождения площади треугольника:

(S=frac12ah)

Значение переменных: a — длина стороны равностороннего треугольника, h — его высота.

Далее произведем подстановку формулы вычисления высоты правильного треугольника и получим искомое выражение:

((2);S_{осн}=frac{sqrt3}4a^2)

Вычисление площади боковых граней и полной поверхности

Боковые грани правильной треугольной пирамиды представлены тремя равнобедренными треугольниками. Выведем формулу расчета площади каждого из них из классического способа вычисления площади треугольника:

(S=frac12ah)

Здесь переменная a обозначает основание треугольника, h — его высоту.

Теперь выполним подстановку выражения, с помощью которого находится высота треугольника с одинаковыми бедрами, и получим уравнение определения площади равнобедренного треугольника:

((3);S_{бок}=frac{asqrt{b^2-frac{a^2}4}}2)

В этом случае b — это боковые ребра треугольника, равные между собой.

Подставим в выражение (1) формулы (2) и (3) и получим уравнение, с помощью которого рассчитывается площадь полной поверхности правильного тетраэдра:

(S=frac{sqrt3}4a^2+frac32times asqrt{b^2-frac{a^2}4})

Примеры задач с решением

Задача

Дано

Правильный тетраэдр MABC с вершиной М. Высота основания AK=3 см.

∠MAB=∠MAC=∠MBA=∠MBC=∠MAB=∠MCA=∠MCB=45°. Необходимо вычислить площадь пирамиды MABC.

Задача

Решение

В основании правильного тетраэдра лежит равносторонний треугольник с известной длиной высоты. Применим свойство правильного треугольника, состоящее в следующем:

(h=frac{sqrt3}2a)

Преобразуем данное выражение так, чтобы вывести формулу стороны a:

(a=frac h{frac{sqrt3}2})

Теперь найдем a:

(a=frac3{frac{sqrt3}2}=frac{3times2}{sqrt3}=frac6{sqrt3})

Подставим полученное выражение в формулу нахождения площади основания правильного многогранника с тремя боковыми гранями:

(S_{осн}=frac{sqrt3}4timesleft(frac6{sqrt3}right)^2=frac{sqrt3}4timesfrac{6^2}{sqrt3^2}=frac{36sqrt3}{4times3}=3sqrt3)

Далее необходимо найти площадь боковых граней тетраэдра. Для этого произведем вычисление высоты MK. Так как угол между гранью и основанием пирамиды равен 45°, то ∠OKM=45°, следовательно:

(frac{OK}{MK}=cosleft(45^circright)=frac{sqrt2}2)

По свойству правильного треугольника, отрезок OK равен радиусу вписанной в ΔABC окружности.

Найдем ее по соответствующей формуле:

(OK=r=frac{sqrt3}6a=frac{sqrt3}6timesfrac6{sqrt3}=frac{6sqrt3}{6sqrt3}=1)

Подставим найденную величину в отношение ОК к МК:

(frac{OK}{MK}=frac{sqrt2}2)

(frac1{MK}=frac{sqrt2}2)

Из данной пропорции выведем выражение, по которому можно определить длину высоты MK:

(MK=frac2{sqrt2})

Теперь, когда известны основание и высота равнобедренного треугольника, составляющего боковую грань пирамиды MABC, подставим значения в классическую формулу нахождения площади треугольника:

(S_{бок}=frac12ah=frac12timesfrac6{sqrt3}timesfrac2{sqrt2}=frac{1times6times2}{2timessqrt3timessqrt2}=frac{12}{2sqrt6}=frac6{sqrt6})

Суммируем площадь основания и боковых граней пирамиды:

(S_{MABC}=3sqrt3+3times6sqrt6=3sqrt3+18sqrt6)

Ответ, выраженный в квадратных сантиметрах: (3sqrt3+18sqrt6;(см^2))

Источник

В данной публикации мы рассмотрим определение и разновидности тетраэдра, а также формулы для расчета площади его поверхности (одной грани и полной) и объема. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение тетраэдра
Виды тетраэдра
Формулы площади и объема правильного тетраэдра

Определение тетраэдра

Тетраэдр – это разновидность пирамиды; четырехгранник, гранями которого являются треугольники.

Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Каждая грань фигуры может быть ее основанием.

Развертка тетраэдра на примере правильной фигуры представлена ниже:

Основные элементы и свойства тетраэдра (к нему применимы свойства правильной пирамиды) мы рассмотрели в отдельной публикации.

Виды тетраэдра

Равногранный тетраэдр – боковые грани фигуры равны, а основанием является правильный (равносторонний) треугольник.
Прямоугольный тетраэдр – угол между всеми тремя ребрами при одной вершине является прямым, т.е. равным 90°.
Правильный тетраэдр – все ребра равны, а грани, соответственно, являются равносторонними треугольниками.
Ортоцентричный тетраэдр – все высоты, проведенные из всех вершин фигуры к противолежащим граням, пересекаются в одной точке.

Формулы площади и объема правильного тетраэдра

Площадь поверхности

Объем

Источник

Основание правильной пирамиды является правильный многоугольник – равносторонний треугольник, квадрат. Основанием пирамиды называют ту фигуру, над которой расположена вершина пирамиды.То есть это та грань пирамиды, которая не включает в себя ее вершину. Площадь основания пирамиды – это площадь этой плоской фигуры.

Площадь основания правильной пирамиды
- Площадь основания правильной треугольной пирамиды
- Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды
- Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды
Площадь основания любой пирамиды
Примеры решения задач
- Задача 1
- Задача 2
- Задача 3

Площадь основания правильной пирамиды

Правильная пирамида может быть трех видов:

треугольная,
четырехугольная,
шестиугольная.

Соответственно у правильной треугольной пирамида основание – равносторонний треугольник. У правильной четырехугольной пирамиды основание – квадрат. В основании шестиугольной правильной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Приведем формулы для нахождения площади основания пирамиды:

Площадь основания правильной треугольной пирамиды

В основании равносторонний треугольник – находим его площадь:

$displaystyle S=frac{a^2 sqrt{3}}{4}$ , где – сторона треугольника.

Основание треугольной пирамиды

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, площадь квадрата:

, где – сторона квадрата.

Основание четырехугольной пирамиды

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды

Это площадь правильного шестиугольника. Если известна сторона шестиугольника, то площадь правильного шестиугольника находится по формуле:

$displaystyle S=frac{3a^2 sqrt{3}}{2}$

Основание шестиугольной пирамиды

Площадь основания любой пирамиды

Площадь основания любой пирамиды – это площадь ее основания.

Если в основании пирамиды треугольник, то формулы для нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье “Площадь треугольника”.

В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных задачах, в основании пирамиды часто лежит треугольник, редко прямоугольник. Задачи, в которых в основании пирамиды лежит пятиугольник, семиугольник или произвольных многоугольник, практически не встречаются. Хотя их можно увидеть в олимпиадных задачах.

Теперь давайте решим несколько задач для нахождения площади основания пирамиды

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, в основании равносторонний треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: $S=frac{a^2 sqrt{3}}{4}$ . Нам дана сторона , тогда $S=frac{2^2 sqrt{3}}{4} = sqrt{3}$

Ответ:

Задача 2

Строитель решил построить здание в форме правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5 м². Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?

Решение:

Рассчитаем площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой: $S=frac{3a^2 sqrt{3}}{2}$ . Подставим в нее значение стороны . Получим: $S=frac{3 cdot 6^2 sqrt{3}}{2}=54 sqrt{3}$ м².

Теперь подсчитаем, сколько нам понадобится досок: $N=frac{54 sqrt{3}}{0,5 sqrt{3}}=108$ .

Ответ: 108 досок.

Задача 3

Основанием пирамиды является прямоугольный равнобедренный треугольник, с катетом, равным 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: иными словами – нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то один из катетов будет основанием треугольника, а другой – высотой. Определяем площадь по формуле:

$S=frac{a^2}{2}=frac{4^2}{2}=8$ .

Ответ: 8

Источник

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак «√».

Теория

(теоретические сведения см. также в уроке «Правильный тетраэдр»)

Правильный тетраэдр — это правильная треугольная пирамида у которой все грани являются равносторонними треугольниками.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Основные формулы для правильного тетраэдра приведены в таблице.

Где:

S — Площадь поверхности правильного тетраэдра

V — объем

h — высота, опущенная на основание

r — радиус вписанной в тетраэдр окружности

R — радиус описанной окружности

a — длина ребра

Практические примеры

Задача.

Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3

Решение.

Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны — она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a²√3 .

Тогда

S = 3√3

Ответ: 3√3

Задача.

Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды

Решение.

Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то

AO = R = √3 / 3 a

AO = 4√3 / 3

Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM

AO² + OM² = AM²

OM² = AM² — AO²

OM² = 4² — ( 4√3 / 3 )²

OM² = 16 — 16/3

OM = √(32/3)

OM = 4√2 / √3

Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh

При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a²

V = 1/3 (√3 / 4 * 16 ) ( 4√2 / √3 )

V = 16√2 / 3

Ответ: 16√2 / 3 см

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды |

Описание курса

| Пирамида и вписанный конус

Источник

Тетраэдр – это уникальная пирамида с равносторонним треугольником в основании, которое идентично боковым граням. Таким образом, у тетраэдра всего четыре треугольные грани, которые конгруэнтны между собой – и это главное условие для правильных многогранников, ряд которых открывает тетраэдр. Площадь боковой поверхности тетраэдра будет равна трем площадям треугольников, а площадь полной поверхности тетраэдра – четырем. Для их нахождения достаточно знать всего лишь сторону треугольника:

Источник