Как найти площадь отсеченной треугольной призмы

Здравствуйте! Очередная порция задачек с призмами, рассматриваются треугольные призмы. Объединил несколько заданий схожих по одному «признаку» – у  них через среднюю линию основания проходит сечение. Вопросы стоят о вычислении площади поверхности или объёма либо исходной призмы, либо отсечённой. Что важно здесь помнить?

Это свойство подобия фигур касающееся площади, в частности про треугольник уже речь была в одной из статей, посмотрите (п.2). Но даже, если вы вдруг забудете это, представленные задачи будут интуитивно понятны и решите вы их в одно действие.

77111. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 6, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Сказано, что плоскость проходит через среднюю линию основания, то есть через точки, которые являются серединами соседних сторон треугольника. При чём она проходит параллельно боковому ребру – это означает, что указанная плоскость также проходит через середины соответствующих соседних сторон другого основания.

Без каких-либо вычислений понятно, что площадь боковой поверхности отсечённой призмы будет в два раза меньше, чем у исходной.

Посмотрите!

Высота у призм общая. Указанная плоскость разрезает две соседние боковые грани пополам.

Рассмотрим третью грань (параллельную плоскости сечения) – её площадь поверхности также в два раза меньше, так как средняя линия треугольника в два раза меньше параллельной ей стороны треугольника.

Учитывая, что высота остаётся неизменной (общая для обеих призм),  можем сделать вывод, что площадь боковой поверхности (сумма площадей всех трёх граней) отсечённой призмы будет в два раза меньше.

Ответ: 3

76147. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 20. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Задача обратная предыдущей. Формула для площади боковой поверхности призмы:

Значит для  отсечённой призмы:

Высота у пирамид общая, поэтому площадь боковой поверхности исходной призмы  зависит от периметра.  Поскольку получившиеся треугольники в основании призмы подобны, и их соответствующие стороны относятся как 1:2, значит периметр основания исходной призмы вдвое  больше периметра основания отсечённой. 

А это означает, что и площадь боковой поверхности так же больше в 2 раза и равна 40.

Ответ: 40

27106. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Известно, что объём призмы равен произведению площади основания и высоты. Высота для указанных призм общая, значит изменение объёма зависит только от изменения площади поверхности.

Рассмотрим треугольники лежащие в основаниях призм – они подобны. Если рассматривать основание исходной призмы относительно основания отсечённой, то коэффициент подобия будет равен 2. Что это нам даёт?

Мы знаем, что пощади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, значит:

Основание отсечённой призмы в 4 раза меньше.

Таким образом, и её объём будет в 4 раза меньше, то есть 8.

Формально можно расписать так:

Ответ: 8

74745. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 7. Найдите объем исходной призмы.

 Задача обратная предыдущей. Объём призмы равен произведению площади основания на  высоту:

Высота общая, значит объём меняется в зависимости от изменения площади основания.

Треугольник лежащий в основании исходной призмы, как уже сказано, подобен треугольнику лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию.

Площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

Таким образом, площадь основания исходной призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза.

Следовательно объем исходной  призмы будет в 4 раза больше объема отсечённой призмы. Таким образом, искомый объём равен 28.

Ответ: 28

На этом всё, всего доброго!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Задача 1. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна а площадь поверхности равна

Решение: + показать

---

Задача 2. В правильной четырёхугольной призме  известно, что   Найдите угол между диагоналями   и Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

---

Задача 3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами и боковое ребро равно Найдите объем призмы.

Решение: + показать

---

Задача 4.  Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами и высота призмы равна Найдите площадь ее поверхности.

Решение: + показать

---

Задача 5. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами и Площадь ее поверхности равна . Найдите высоту призмы.

Решение: + показать

---

Задача 6.  Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в два раза?

Решение: + показать

---

Задача 7.  В правильной треугольной призме , все ребра которой равны найдите угол между прямыми  и . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

---

Задача 8. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными и и боковым ребром, равным

Решение: + показать

---

Задача 9. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной и острым углом Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в  и равно Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

---

Задача 10. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна а высота —

 Решение: + показать

---

Задача 11.  Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны а боковые ребра равны

Решение: + показать

---

Задача 12. В правильной шестиугольной призме   все ребра равны . Найдите расстояние между точками   и .

Решение: + показать

---

Задача 13. В правильной шестиугольной призме   все ребра равны Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

---

Задача 14. В правильной шестиугольной призме  , все ребра которой равны найдите угол между прямыми    и . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

---

Задача 15. В правильной шестиугольной призме   все ребра равны Найдите тангенс угла

Решение: + показать

---

Задача 16. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили см воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки см до отметки см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см

Решение: + показать

---

Задача 17. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает  см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение: + показать

---

Задача 18. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 26, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Решение: + показать

---

Задача 19. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен Найдите объем исходной призмы.

Решение: + показать

---

Задача 20.  Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 12. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

---

Задача 21. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами а боковые ребра равны   и наклонены к плоскости основания под углом

Решение: + показать

---

Задача 22. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно и отстоит от других боковых ребер на и Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Решение: + показать

---

Задача 23.  В правильной треугольной призме  стороны оснований равны  боковые рёбра равны Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер , и и точку

Решение: + показать

---

Задача 24. В правильной треугольной призме стороны оснований равны боковые рёбра равны Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер и

Решение: + показать

---

Задача 25.  Объём куба равен Построено сечение проходящее через середины рёбер  и и параллельное ребру Найдите объём треугольной призмы

Решение: + показать

---

Задача 26.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки   правильной треугольной призмы  площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Решение: + показать

Задача 27.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки   правильной треугольной призмы  площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Решение: + показать

---

Задача 28. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки  правильной шестиугольной призмы  площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Решение: + показать

---

Задача 29. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной шестиугольной призмы   площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Решение: + показать

---

Вы можете пройти тест «Призма»

Здесь вы найдёте: Объем правильной треугольной призмы понятие, Объем призмы треугольной формула нахождения, Площадь треугольной призмы

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Призма треугольная — определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ являются основаниями призмы.

Четырехугольники A₁B₁BA, B₁BCC₁ и A₁C₁CA являются боковыми гранями призмы.

Стороны граней являются ребрами призмы (A₁B₁, A₁C₁, C₁B₁, AA₁, CC₁, BB₁, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

 Объем призмы = площадь основания х высота

или

V=S_осн ^. h

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

или

S_бок=P_осн^.h 

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как S_бок=P_осн^.h, то получим:

S_{полн.пов.}=P_осн^.h+2S_осн

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы:

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см², то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см³ . Если площадь основания в мм², то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм³ и т. д.

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2  · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение: 

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S_осн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S₂ = S₁k² = S₁2² = 4S₁.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

При изучении стереометрии в старших классах школ рассматривают свойства фигур в пространстве. Одним из основных свойств является объем, однако иногда возникают геометрические проблемы, которые требуют вычисления площадей поверхностей фигур. В данной статье рассмотрим конкретный вопрос: по какой формуле площадь боковой поверхности треугольной призмы можно найти?

Треугольная призма

Для начала разберемся, какая фигура будет рассмотрена в статье. Призма — это такой геометрический объект, который состоит из двух одинаковых и параллельных многоугольных граней и нескольких произвольных параллелограммов, которые указанные грани соединяют между собой. Построить призму несложно. Для этого достаточно взять n-угольник плоский и параллельно самому себе перенести его в другую плоскость. В процессе переноса стороны n-угольника опишут все параллелограммы фигуры, совокупность которых образует боковую поверхность призмы. Сами же n-угольники называются ее основаниями.

Вам будет интересно:Клонирование растений: этапы, примеры, плюсы и минусы

Здесь мы не будем рассматривать все возможные виды призм, а сосредоточим свое внимание на треугольной фигуре. Несложно догадаться, что под ней понимают такую призму, n-угольные основания которой являются треугольниками. Причем треугольники могут быть самой разной формы, включая равнобедренные и равносторонние.

Таким образом, треугольная призма образована пятью гранями (2 треугольника и 3 параллелограмма). Фигура имеет 6 равноправных вершин и 9 ребер двух видов: ребра основания и ребра боковой поверхности. Выше показан пример такой призмы.

Виды призм треугольных

Рассматриваемая фигура является самой простой среди призм, поскольку треугольник — это основание с наименьшим возможным количеством сторон. Любая треугольная призма является выпуклой. В общем случае можно выделить три вида этой геометрической фигуры:

• наклонная;
• прямая;
• правильная.

Чтобы понимать разницу между указанными видами, следует обратить внимание на тип основания и боковых сторон. Так, если боковые стороны являются параллелограммами общей формы или ромбами, то призма однозначно будет наклонной. Если же боковые все грани образованы прямоугольниками или квадратами, то перед нами прямая призма. Последняя может быть также правильной, если все три прямоугольника являются одинаковыми. Другой критерий правильности прямой фигуры состоит в том, что у нее правильным является основание, то есть оно образовано треугольником с равными сторонами.

Далее рассмотрим формулы площади боковой поверхности треугольной призмы правильной, прямой, наклонной и отсеченной.

Наклонная призма

Речь идет о треугольной фигуре произвольного вида. Вычислить площадь боковой поверхности для нее сложнее всего, поскольку высота h фигуры (дистанция между основаниями) не совпадает с длиной бокового ребра b.

Если возникает задача определения площади поверхности (боковой) такой призмы, то поступают следующим образом: сначала делают воображаемый срез фигуры, который должен быть перпендикулярен всем боковым ребрам и граням. Затем рассчитывают периметр этого среза. В данном случае речь идет о периметре треугольника. Предположим, что он равен Psr. Площадь боковой поверхности определяется путем умножения величины Psr на сторону b, то есть имеет место следующая формула:

Sb = Psr × b

Прямая призма

Как выше было сказано, поверхность боковая этой призмы образована тремя прямоугольниками. Две стороны этих прямоугольников являются одинаковыми, они равны длине бокового ребра b, которое также является высотой h фигуры. Что касается оставшихся двух сторон, то они могут отличаться. Эти стороны являются сторонами оснований. Обозначим их символом ai, где i = 1, 2, 3. Тогда формула площади поверхности боковой прямой треугольной призмы запишется так:

Sb = b × ∑i=13ai

Многие могли заметить, что данное выражение не отличается от аналогичного для призмы наклонной, ведь сумма трех сторон ai является периметром основания. Это связано с тем, что для прямой фигуры основание является перпендикулярным боковым граням срезом.

Правильная фигура

Формула площади поверхности боковой призмы треугольной правильной является самой простой по сравнению с выражениями выше. У правильной фигуры все боковые грани являются не просто прямоугольниками (квадратами в некоторых случаях), но еще они равны между собой. Эти геометрические факты позволяют записать формулу площади поверхности боковой призмы треугольной правильной в таком виде:

Sb = 3 × a × b

Здесь a — сторона основания (треугольника). Цифра 3 появляется потому, что боковая поверхность представлена тремя равными гранями. Напомним, что в данном выражении сторона b может быть заменена высотой h.

Очевидно, если боковые стороны представляют собой квадраты, то формула для Sb запишется так:

Sb = 3 × a2

Отсеченная фигура

Такая призма образуется, если с помощью плоскости отсечь ее часть. Если секущая плоскость параллельна основаниям, то формула площади боковой поверхности треугольной призмы отсеченной примет один из записанных в предыдущих пунктах вид. Действительно, при параллельном сечении мы получим аналогичную по форме исходной призме фигуру.

Если же секущая плоскость не будет параллельна основаниям, тогда для определения площади отсеченной призмы необходимо будет проводить специальный геометрический анализ, поскольку ее боковая поверхность будет представлена неправильными четырехугольниками.

Жду ваши вопросы и мнения в комментариях