Как найти площадь параллелепипеда с векторами - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Объем параллелепипеда, построенного на векторах онлайн

Объём параллелепипеда равен смешанному произведению векторов на которых он построен:

Поскольку смешанное произведение векторов, может быть отрицательным числом, а объём геометрического тела — всегда число положительное, то при вычислении объёма параллелепипеда, построенного на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Таким образом, для того, чтобы вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах, нужно найти смешанное произведение данных векторов, и полученный результат взять по модулю.

Наш онлайн калькулятор, найдет площадь параллелепипеда с описанием подробного хода решения на русском языке.

Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов

Задача:

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA₁(-3,-2,5).
Найти:

Решение:

а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA₁). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.

(AB AD AA₁)

4	3	0
2	1	2
-3	-2	5

20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16

-12

Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
V_{ABCDA₁B₁C₁D₁}=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. S_ABCD= |[AB AD]|.

[AB AD]

i	j	k
4	3	0
2	1	2

6i — 8j — 2k

Теперь найдём модуль этого вектора:

S_ABCD= \|[AB AD]\|=√	(36+64+4)	=2√(26).

[AD AA₁]

i	j	k
2	1	2
-3	-2	5

9i — 16j — k

S_ADD₁A₁= |[AD AA₁]|=√(81+256+1)=13√2.

в) Что бы найти длину высоты, проведенной из вершины A₁ на грань ABCD, используем формулу для нахождения объема параллелепипеда V=h S_ABCD. С этой формулы видим:

V
S_ABCD

12
2√(26)

6
√(26)

3√(26)
13

г) Косинус угла λ₁, между ребром AB и диагональю B₁D будем высчитывать с помощью скалярного произведения векторов

cos(λ₁)

(AB B₁D)
\|AB\| * \|B₁D\|

Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B₁D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
B₁D = B₁A₁ + A₁A + AD = — AB — AA₁ + AD₁ = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B₁D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B₁D:
|AB|=√(16+9+0)=5, |B₁D|=√(1+0+9)=√(10).
Найдём скалярное произведение векторов AB и B₁D, (AB B₁D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:

cos(λ₁)

4
5√(10)

2√(10)
25

д) Что бы найти cos(λ₂), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD₁A₁ мы можем взять вектор [AD AA₁], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.

cos(λ₂)

69 + (-8)(-16) + (-2)*(-1)
2√(26) * 13√(2)

46√(13)
169

Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD₁A₁.

Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и разберем пример решения задачи для закрепления материала.

Формула вычисления площади

Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:

Формула получена следующим образом:

Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
- два основания: со сторонами a и b;
- четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).

Пример задачи

Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.

Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см 2 .

источники:

http://matemonline.com/primeru/zada4a-na-vektor/

Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример

Источник

Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координат, основывается на использовании скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

Если параллелограмм задан в пространстве координатами своих вершин, то для вычисления его площади нужно найти координаты двух векторов, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, а затем модуль их векторного произведения. Аналогично вычисляется площадь треугольника, равная половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен как на смежных сторонах.

Пример 4.2. Пусть три вершины треугольника заданы своими координатами: A(4;4;4), B(1; 2; 3), C(3; —1;2).

Для определения площади ΔABC с помощью (4.10) найдем координаты векторов AB и AC: AB = {1 — 4; 2 — 4; 3 — 4} = { — 3; —2; —1}, —1 = {3 — 4; —1 — 4; 2 — 4} = { — 1; —5; —2}.

Затем по (3.2) вычислим их векторное произведение:

Модуль этого векторного произведения равен |AB×AC| = √((—1)² + (—5)² + 13²) = √195, и следовательно, S ΔABC = |AB×AC|/2 = √195/2 #

Для вычисления объема параллелепипеда, заданного координатами своих вершин, нужно найти координаты трех векторов, соответствующих смежным ребрам, а затем вычислить модуль смешанного произведения этих векторов. Через смешанное произведение вычисляется и объем произвольной треугольной пирамиды SABC (см. пример 3.2), поскольку он равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах AB, AC и AS. Таким образом, объем этой пирамиды равен VSABC = |ABACAS|/6.

Пример 4.3. Найдем объем V пирамиды SABC, заданной координатами своих вершин: A(2; —1;1), B(5; 5; 4), C(3; 2; —1), S(4;1;3).

Используя (4.10), вычисляем координаты векторов, направленных по ребрам пирамиды: AB = {5 — 2; 5 — (—1);4 — 1} = {3; 6; 3}, AC = {3 — 2; 2 — (—1); —1 — 1} = {1;3; —2},= AS {4 — 2;1 — (—1); 3 — 1} = {2;2;2}, и определяем объем с помощью смешанного произведения найденных векторов:

Источник

Векторным
произведениемвектора a на вектор b
называется вектор c, длина которого
численно равна площади параллелограмма
построенного на векторах a и b,
перпендикулярный к плоскости этих
векторов и направленный так, чтоб
наименьшее вращение от a к b вокруг
вектора c осуществлялось против часовой
стрелки, если смотреть с конца вектора
c (рис. 1).

рис. 1

Формулы
вычисления векторного произведения
векторов

Векторное
произведениедвух векторов a = {a_x;
a_y; a_z} и b = {b_x; b_y;
b_z} в декартовой системе координат
— это вектор, значение которого можно
вычислить, используя следующие формулы:

a × b =	i	j	k	= i(a_yb_z — a_zb_y) — j(a_xb_z — a_zb_x) + k(a_xb_y — a_yb_x)
a_x	a_y	a_z
b_x	b_y	b_z

a × b = {a_yb_z— a_zb_y; a_zb_x— a_xb_z;
a_xb_y— a_yb_x}

Свойства
векторного произведения векторов

Геометрический смысл векторного
произведения.

Модуль векторного произведения двух
векторов a и b равен площади параллелограмма
построенного на этих векторах:

S_парал= a × b]

Геометрический смысл векторного
произведения.

Площадь треугольника построенного на
векторах a и b равна половине модуля
векторного произведения этих векторов:

SΔ =	1	\|a × b\|
2

Векторное произведения двух не нулевых
векторов a и b равно нулю тогда и только
тогда, когда вектора
коллинеарны.
Вектор c, равный векторному произведению
не нулевых векторов a и b, перпендикулярен
этим векторам.
a × b = -b × a
(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c

14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.

Смешанным
произведением
некомпланарныхвекторов,взятых в данном порядке, называетсяобъём параллелепипеда, построенного
на данных векторах, снабжённый знаком
«+», если базисправый,
и знаком «–», если базислевый.

1.
Смешанное
произведение не меняется при циклической
перестановке его сомножителей (не
меняется ни объем параллелепипеда, ни
ориентация его ребер):
.

2.
Смешанное
произведение не меняетсязнаков
векторного и скалярного умножения:,
поэтому смешанное произведение записывают.

3.
Смешанное
произведение меняет свой знак при
перемене любых двух вектор-сомножителей:
,.

4.
Смешанное
произведение ненулевых векторов
,иравно
нулю тогда и только тогда, когда они
компланарны:,, –
компланарны.

Доказательство.
Предположим, что векторы
,и–
не компланарны. Тогда можно построить
параллелепипед имеющий объем,
т.е.,
но это противоречит условию, согласно
которого,.
Следовательно, векторы,и–
компланарны.

Обратно,
пусть
,и–
компланарны. Тогда вектори
перпендикулярен плоскости, в которой
находятся векторы,и,
значит, он перпендикулярен любому
вектору, лежащему в этой плоскости,
напримерЭто
значит, что .

Смешанное
произведение векторов, заданных своими
проекциями в декартовой системе
координат.

Пусть
векторы заданы своими разложениями по
ортам в декартовой системе координат:

,
и.

Найдем
их смешанное произведение, используя
выражения в координатах для векторного
и скалярного произведений:

Итак,

Приложения
смешанного произведения:

1.
Определение
взаимной ориентации векторов в
пространстве.

Если
,и–
правая тройка, еслилевая.

2.
Установление
компланарности векторов:

( 
(,, –
компланарны).

3.
Определение
объема параллелепипеда и треугольной
пирамиды (тетраэдра):

,
.

Пример.
Компланарны ли векторы
,и,
если .

Решение.
Вычислим смешанное произведение
векторов:

векторы
,ине
компланарны.

Пример.
Доказать, что векторы
,икомпланарны.

Решение.
Рассмотрим матрицу, составленную из
координат векторов
,и

,
т. к. определитель матрицы равен нулю,
то векторы линейно зависимы, следовательно
они компланарны.

Пример.
Вычислить объем тетраэдра с вершинами
в точках
и
его высоту, опущенную из вершинына
грань,
если

Решение.
Найдем координаты векторов:

,
,.

Вычислим
объем:

Поскольку
объем тетраэдра
,
то высота.

Вычислим
площадь основания тетраэдра

Итак,
высота
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Свойства смешанного произведения
Выражение смешанного произведения через координаты
Некоторые приложения смешанного произведения
- Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
- Установление компланарности векторов
- Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
- Свойства смешанного произведения

Определение смешанного произведения, его геометрический смысл:

Рассмотрим произведение векторов , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения . Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы и вектор (см. рис. 22).

Имеем: , где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах , для правой тройки векторов и для левой, где H высота параллелепипеда. Получаем:

где V — объем параллелепипеда, образованного векторами .

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Свойства смешанного произведения

1.Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е. .

Действительно, Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов — одной ориентации.

Следовательно, . Это позволяет записывать смешанное произведение векторов . в виде без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е.

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Если — компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом . Но так как , то получили бы, что . Это противоречит условию: .

Обратно, пусть векторы — компланарны. Тогда вектор будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы, и, следовательно, . Поэтому , т. е. .

Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы векторы Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

Полученную формулу можно записать короче:

так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки. Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Некоторые приложения смешанного произведения

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

Определение взаимной ориентации векторов основано на следующих соображениях. Если , то — правая тройка; если , то — левая тройка.

Установление компланарности векторов

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю :

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах вычисляется как , а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

Пример:

Вершинами пирамиды служат точки A(1; 2;3), B(0; -1; 1), С(2;5;2) и D(3;0; -2). Найти объем пирамиды.

Решение:

Находим векторы :

Находим :

Следовательно,

Определение смешанного произведения, его геометрический смысл

Рассмотрим произведение векторов , и , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения . Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы , , и вектор (см. рис. 22).

Имеем: , , где — площадь параллелограмма, построенного на векторах и , для правой тройки векторов и для левой, где — высота параллелепипеда. Получаем: , т. е. , где — объем параллелепипеда, образованного векторами , и .

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. .

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е. .

Действительно, и . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов , , и , , — одной ориентации.

Следовательно, . Это позволяет записывать смешанное произведение векторов в виде без знаков векторного, скалярного умножения.

3.Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. .

4. Смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Если , то , , — компланарны.

Обратно, пусть векторы , , — компланарны. Тогда вектор будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы , , , и, следовательно, . Поэтому , т. е. .