Как найти площадь параллелограмма 8 класс геометрия - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.

Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.

Высота (BE), проведённая между длинными сторонами, короче высоты (BF), проведённой между короткими сторонами.

Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: (BE = BF).

Площадь произвольного параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.

Проведём высоты из двух вершин (B) и (C) к стороне (AD) .

Прямоугольные треугольники (ABE) и (DCF) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).

Параллелограмм (ABCD) и прямоугольник (EBCF) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:

SABCD=SABE+SEBCD;SEBCF=SEBCD+SDCF.

Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:

SEBCF=BE⋅BC;SABCD=BE⋅BC=BE⋅AD.

Если обозначить сторону через (a), высоту — через (h), то:

Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

SABCD=4⋅SABO=4⋅BO⋅AO2=2⋅BO⋅AO

Формула определения площади ромба:

Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.

Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:

Площадь произвольного треугольника

Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Sтреуг=aha2

, где (h) — высота (на рисунке — (BE)), проведённая к стороне (a) (на рисунке — (AD)).

Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.

Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.

SΔ=pp−ap−bp−c;p=a+b+c2

— формула Герона, где (a), (b) и (c) — стороны треугольника, (p) — полупериметр треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника

Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:

S=a⋅b2, где (a) и (b) — катеты.

Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.

Пример:

1. вычислим площадь треугольника со сторонами (17) см, (39) см, (44) см.

Решение:

p=17+39+442=50;SΔ=50⋅50−17⋅50−39⋅50−44=50⋅33⋅11⋅6==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3=5⋅2⋅3⋅11=330см2.

Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители:

a⋅a=a

Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.

Пример:

2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны (15) см, (13) см, (4) см.

Решение:

используем две формулы вычисления площади:

SΔ=aha2

SΔ=pp−ap−bp−c

Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому (a =) (15) см.

SΔ=pp−ap−bp−c=16⋅1⋅3⋅12=24см2

15⋅h2=24⋅215⋅h=48;h=4815=3,2(см).

Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.

Пример:

3. дан параллелограмм со сторонами (17) см и (39) см, длина диагонали равна (44) см. Вычислим площадь параллелограмма.

Решение:

диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:

Sпараллелограмма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2)

Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.

Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.

Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.

SABCD=SABD+SDBC;SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==AD+BC⋅BE2.

Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через (a) и (b), высоту через (h), то:

Обрати внимание!

Важные следствия:

1. если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.

2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.

3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.

Источник

Как найти площадь параллелограмма — три основных формулы

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Эта статья на еще одну математическую тему. Мы расскажем, как правильно посчитать площадь параллелограмма. Эту тему подробно изучают только в 8-м классе. И это говорит, что она не такая простая.

Но для начала давайте все-таки напомним, какая фигура называется параллелограммом.

Параллелограмм – это разновидность четырехугольников, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.

Классический параллелограмм выглядит вот так:

Впервые об этой фигуре подробно написал древнегреческий математик Евклид в своем известном произведении «Начала». Он же рассказал и о двух частных случаях параллелограмма, которые нам сегодня хорошо известны.

Это и прямоугольник, у которого противоположные стороны не только параллельны друг другу, но и пересекаются под прямым углом. И квадрат, у которого помимо параллельности противоположных сторон, все стороны еще и равны между собой.

И наконец, не лишним будет вспомнить, что подразумевается под термином «площадь».

Площадь геометрической фигуры – это размер плоскости, которая находится внутри сторон фигуры.

Ну а теперь объединим эти два понятия и расскажем, как надо считать площадь параллелограмма.

Формулы для расчета площади параллелограмма

Есть три основных формулы для вычисления площади параллелограмма:

если известна длина стороны и высота, проведенная к ней;
если известны длины сторон и углы между ними;
если известны длины диагоналей и угол между ними.

Теперь о каждом из этих способов подробнее.

Как найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота

Возьмем для примера такой параллелограмм:

В нем указаны две высоты – BE и BF. Напомню, что высота — это отрезок, который опускается из вершины на противоположную сторону под прямым углом.

В данном случае площадь считается весьма просто. Надо всего лишь перемножить длину высоты и длину стороны, к которой она проведена.

И то же самое касается, если знать длины стороны DC и высоты BF. Тогда для вычисления площади достаточно их перемножить.

Кстати, у этой формулы есть весьма интересное доказательство. Так как у параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, то можно взять треугольник ABE и переставить его к стороне CD. Вот так это будет выглядеть:

В результате мы получим прямоугольник, у которого нам известны длины обеих сторон (высота параллелограмма превратилась в одну из сторон). А как известно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Формула площади параллелограмма, если известны стороны и угол

Площадь параллелограмма можно посчитать, если известны длины обеих его сторон и величина острого угла между ними.

Собственно, этот способ вытекает из предыдущего, Просто по исходным данным нужно вычислить высоту параллелограмма, а уже потом по ней посчитать площадь.

Согласно тригонометрии, синус острого угла в прямоугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. В нашем примере таким катетом является высота, а гипотенузой сторона «а». И получается:

Соответственно, чтобы посчитать значение высоты надо:

И наша конечная формула для расчета площади будет выглядеть следующим образом:

Как найти площадь параллелограмма через диагонали

Этот способ используется крайне редко, но знать его все равно нужно. Во всяком случае, на экзаменах у школьников такие примеры вполне могут встретиться.

В данном случае для вывода формулы используются весьма непростые математические вычисления. И мы не будем ими вас загружать. А просто покажем конечный результат:

Соответственно, здесь d1 и d2 – длины диагоналей, а y – острый угол между ними.

Вот и все, что мы хотели рассказать о вычислении площади параллелограмма.

Источник

Урок 10. Площадь параллелограмма

Выведем формулу для вычисления площади параллелограмма.
Докажем, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Одну из сторон параллелограмма будем условно называть основанием. Перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, назовем высотой параллелограмма.

Дано:
ABCD – параллелограмм с площадью S.
AD – основание, BH и CE – высоты.
Доказать:
S = AD ∙ BH
Доказательство:
S_ABCE = S_ABCD + S_CDE или S_ABCE = S_BCEH + S_ABH
Треугольники CDE и ABH равны по гипотенузе и острому углу, значит
S_CDE = S_ABH, следовательно S_ABCD = S_BCEH
S = BC ∙ BH = AD ∙ BH
В общем виде формула для вычисления площади параллелограмма имеет вид S_{параллелограмма} = ah

Ромб также является параллелограммом, поэтому площадь ромба также можно найти, перемножив основание на высоту, проведенную к этому основанию.

S_ABCD = BC ∙ AK = ah

Источник

{S = a cdot h}

Найти площадь параллелограмма

На этой странице вы можете рассчитать площадь параллелограмма с помощью калькулятора по трем формулам. Просто введите известные вам данные — основание, высоту, стороны, диагонали и углы между ними и получите ответ.

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Содержание:

калькулятор площади параллелограмма
формула площади параллелограмма через сторону и высоту
формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними
формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
примеры задач

Формула площади параллелограмма через сторону и высоту

{S = a cdot h}

a — сторона параллелограмма

h — высота параллелограмма

Формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними

{S=a cdot b cdot sin(alpha)}

a, b — стороны параллелограмма

α — угол между сторонами a и b

Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2 cdot sin(alpha)}

d₁, d₂ — диагонали параллелограмма

α — угол между диагоналями

Примеры задач на нахождение площади параллелограмма

Задача 1

Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 9 см и 12 см, а угол между ними 60 градусов.

Решение

Для решения задачи нам подойдет вторая формула, так как из условия нам известны стороны параллелограмма и угол между ними. Подставим значения в формулу и произведем расчет.

S = a cdot b cdot sin(alpha) = 9 cdot 12 cdot sin(60) = 108 cdot sin(60) = 108 cdot 0.866 approx 93.53074 : см^2

Ответ: 108 cdot 0.866 approx 93.53074 : см^2

Мы можем проверить ответ с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 см и 12 см, а угол между ними равен 30 градусов.

Решение

Задача похожа на предыдущую, поэтому ее решение будет выглядеть аналогично.

S = a cdot b cdot sin(alpha) = 8 cdot 12 cdot sin(30) = 96 cdot sin(30) = 96 cdot 0.5 = 48 : см^2

Ответ: 48 см²

И снова проверить ответ нам поможет калькулятор .

Задача 3

Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 12 см, а высота проведенная к ней 8 см.

Решение

В этом случае нам известны сторона параллелограмма и высота, поэтому воспользуемся первой формулой.

S = a cdot h = 12 cdot 8 = 96 : см^2

Ответ: 96 см²

И снова проверить ответ нам поможет калькулятор .

Источник

На этом уроке мы выясним, как найти площадь
параллелограмма. Но прежде следует сказать, что высотой параллелограмма,
проведённой к стороне, называется перпендикуляр, проведённый из любой точки
противолежащей стороны к прямой, содержащей эту сторону.

Например, в параллелограмме ABCD каждый из перпендикуляров АЕ, МN и BК, проведённых соответственно из точек А, М и B к прямой, содержащей сторону CD, является высотой параллелограмма, проведённой к этой стороне.

Перпендикуляры АF и ОP, проведенные
соответственно из точек А и О к прямой, содержащей, сторону BC, являются высотами этого параллелограмма,
проведёнными к стороне BC.

А теперь давайте докажем, что площадь параллелограмма
равна произведению длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Доказательство.

Пусть –
параллелограмм.

Докажем, что .

–
прямоугольник.

Докажем, что .

Рассмотрим прямоугольные и
.

как
противолеж. стороны .

как соотв. при и секущей .

по
гипотенузе и острому углу.

Значит, .

Следовательно, .

тогда .

как
противолеж. стороны ,

следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Теперь для закрепления материала решим несколько
задач.

Задача. Длина стороны
параллелограмма равна см, а высота, проведённая к этой стороне, меньше её насм.
Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

см.

–
высота.

(см).

(см²).

Ответ: см².

Задача. В параллелограмме сторона
см,
сторона см,
а .
Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

Проведём из вершины А высоту АЕ.

Треугольник АЕD является прямоугольным.

–
прямоугольный.

Так как ,

(см).

(см²).

Ответ: см².

Задача. Высоты,
проведённые к сторонам и
параллелограмма
,
равны см
и см
соответственно. Найдите длину стороны ,
если см.

Решение.

Пусть ABCD – данный параллелограмм. CE – высота, проведённая к стороне AD и равная 3 сантиметрам. CK – высота, проведённая к стороне AB и равная 2 сантиметрам.

Найдём площадь данного параллелограмма.

(см²).

(см).

Ответ: см.

Задача. Длина стороны параллелограмма
равнасм,
а его периметр равен 32 см. Найдите высоту, проведённую к стороне ,
если высота ,
проведённая к стороне ,
равна 3 см.

Решение.

(см).

3 (см²).

(см).

Ответ: см.

На этом уроке мы с вами выяснили, что называют высотой
параллелограмма, а также как находить площадь параллелограмма.

Источник