3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Параллелограмм и его свойства
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).
Свойства параллелограмма:
(blacktriangleright) Противоположные стороны попарно равны;
(blacktriangleright) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
(blacktriangleright) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ).
Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:
(blacktriangleright) если противоположные стороны попарно равны;
(blacktriangleright) если две стороны равны и параллельны;
(blacktriangleright) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;
(blacktriangleright) если противоположные углы попарно равны.
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.
Задание
1
#1783
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Периметр параллелограмма равен (100), его большая сторона равна (32). Найдите меньшую сторону параллелограмма.
Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то его периметр равен удвоенной сумме его непараллельных сторон, тогда сумма большей и меньшей сторон равна (100 : 2 = 50), значит, меньшая сторона параллелограмма равна (50 — 32 = 18).
Ответ: 18
Задание
2
#1784
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Периметр параллелограмма равен (15). При этом одна сторона этого параллелограмма на (5) больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть (BC = AB +
5), тогда периметр параллелограмма (ABCD) равен (AB + BC + CD + AD =
AB + AB + 5 + AB + AB + 5 = 4cdot AB + 10 = 15), откуда находим (AB
= 1,25). Тогда меньшая сторона параллелограмма равна (1,25).
Ответ: 1,25
Задание
3
#273
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В параллелограмме (ABCD): (BE) – высота, (BE = ED = 5). Площадь параллелограмма (ABCD) равна 35. Найдите длину (AE).
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда (35 = BE cdot AD = 5cdot(5 + AE)), откуда находим (AE = 2).
Ответ: 2
Задание
4
#1785
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Из точки (C) параллелограмма (ABCD) опустили перпендикуляр на продолжение стороны (AD) за точку (D). Этот перпендикуляр пересёк прямую (AD) в точке (E), причём (CE = DE). Найдите (angle B) параллелограмма (ABCD). Ответ дайте в градусах.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle EDC = angle DCE). Так как (angle DEC = 90^{circ}), а сумма углов треугольника равна (180^{circ}), то (angle EDC =
45^{circ}), тогда (angle ADC = 180^{circ} — 45^{circ} =
135^{circ}). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle B = angle ADC = 135^{circ}).
Ответ: 135
Задание
5
#1686
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Диагональ (BD) параллелограмма (ABCD) перпендикулярна стороне (DC) и равна (4). Найдите площадь параллелограмма (ABCD), если (AD=5).
По теореме Пифагора находим: (AB^2=AD^2 — BD^2 = 25 — 16 = 9) (Rightarrow) (AB = 3). (S_{ABCD} = 4cdot3 = 12).
Ответ: 12
Задание
6
#1685
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В параллелограмме (ABCD): (P_{triangle AOB} = 
, (P_{triangle AOD} = 9), а сумма смежных сторон равна (7). Найдите произведение этих сторон параллелограмма (ABCD).
(P_{triangle AOB} = AO + OB + AB), (P_{triangle AOD} = AO + OD + AD), (BO = OD) (Rightarrow) (P_{triangle AOD} — P_{triangle AOB} = AD — AB = 1), но (AD + AB = 7) (Rightarrow) (AD = 4), (AB = 3) (Rightarrow) (ADcdot AB = 12).
Ответ: 12
Задание
7
#3617
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Стороны параллелограмма равны (9) и (15). Высота, опущенная на первую сторону, равна (10). Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь (S=9cdot 10), с другой стороны, (S=15cdot h), где (h) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, [9cdot 10=15cdot hquadLeftrightarrowquad h=6]
Ответ: 6
Задачи из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью аттестационного экзамена у выпускников средней школы. Теме «Параллелограмм и его свойства» в ЕГЭ традиционно отводится сразу несколько заданий. Они могут требовать от школьника как краткого, так и развернутого ответа с построением чертежа. Поэтому если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на вычисление площадей параллелограмма или его сторон и углов, то вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.
Сделать это легко и эффективно вам поможет образовательный портал «Школково». Наши опытные специалисты подготовили необходимый теоретический материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли восполнить пробелы в знаниях и легко решить задачи ЕГЭ на вычисление площадей, сторон, углов или свойства биссектрисы параллелограмма. Найти базовую информацию вы можете в разделе «Теоретическая справка».
Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Параллелограмм и его свойства», предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка заданий представлена в блоке «Каталог». Специалисты портала «Школково» регулярно дополняют и обновляют данный раздел.
Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма
| Формулы | Применение формул |
 |
 |
 |
 |
А теперь выполните задания теста:
|
Ваш ответ: |
 |
|
|
Ваш ответ: |
|
|
|
Ваш ответ: |
|
|
|
Ваш ответ: |
 |
|
|
Ваш ответ: |
 |
24
Июл 2013
Категория: 01 Геометрия
01. Параллелограмм
2013-07-24
2022-09-11
Задача 1. Сумма двух углов параллелограмма равна 
. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 2. Один угол параллелограмма больше другого на 
. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 3. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 
Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 4. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 
и 
Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 5. Периметр параллелограмма равен 
Меньшая сторона равна 
Найдите большую сторону параллелограмма.
Решение: + показать
Задача 6. Две стороны параллелограмма относятся как 
а периметр его равен 
Найдите большую сторону параллелограмма.
Решение: + показать
Задача 7. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 
Найдите его большую сторону.
Решение: + показать
Задача 8. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 9. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 
считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 
Решение: + показать
Задача 10. В параллелограмме 
высота, опущенная на сторону 
из точки 
равна 
. Найдите синус угла 
.
Решение: + показать
Задача 11. В параллелограмме 
Найдите высоту, опущенную на сторону 
Решение: + показать
Задача 12. В параллелограмме 
Найдите большую высоту параллелограмма.
Решение: + показать
Задача 13. Площадь параллелограмма равна 
две его стороны равны 
и 
Найдите большую высоту этого параллелограмма.
Решение: + показать
Задача 14. В параллелограмме 
. Найдите 
.
Решение: + показать
Задача 15. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 16. Площадь параллелограмма равна 
Точка 
— середина стороны 
. Найдите площадь трапеции 
.
Решение: + показать
Задача 17. Площадь параллелограмма равна 
Найдите площадь параллелограмма 
вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
Решение: + показать
Задача 18. Найдите диагональ 
параллелограмма , если стороны квадратных клеток равны 1.
Решение: + показать
Задача 19. Диагонали четырехугольника равны 
и 
Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Решение: + показать
Вы можете пройти тест по теме «Параллелограмм. Вычисление углов и длин».
Автор: egeMax |
комментария 2
Площадь параллелограмма
Добавлено: 17 ноября 2021 в 18:46
Геометрия — один из наиболее сложных разделов школьного курса математики. Причина такой сложности состоит в том, что для решения геометрических задач часто требуются нестандартные подходы и пространственное мышление.
При это очень мало стандартных алгоритмов, к которым привыкли школьники. Приходится думать с опорой на теоретический багаж, причем довольно простые формулы часто не приходят ученику в голову там, где должны автоматически всплывать подсказки.
Одной из таких формул является выражение для определения площади параллелограмма, о которой и пойдет речь в этой статье.
Площадь параллелограмма — сколько их?
Площадь геометрических фигур издавна интересовала людей, как прикладной объект. Уже древние египтяне были довольно хороши в соответствующих подсчетах, потому что их вынуждала окружающая действительность.
Землемеры и сборщики налогов интересовались площадями не для решения школьных задач и не для получения высокого балла на ЕГЭ. Их интерес был более приземленным:
- землемеры стремились усовершенствовать методы разметки сложных участков земли под сельскохозяйственные и строительные нужды;
- сборщики податей хотели знать, сколько должен «налогоплательщик».
Эти простые вопросы приблизили человечество к современной науке и те сложные понятия, которыми оперируют математики, до сих пор базируются на простых формулах. В этом ряду площадь параллелограмма занимает особенное место, потому что это универсальная геометрическая фигура, частными случаями которой являются:
- прямоугольник;
- квадрат;
- ромб.
Даже треугольник — просто половина параллелограмма, что делает операции с этой фигурой важной частью базовых знаний. Давайте вспомним ее основные свойства:
- противоположные стороны параллельны;
- противолежащие углы попарно равны;
- сумма прилежащих углов равна 180°;
- диагонали и средние линии пересекаются в одной точке, которая делит их пополам.
С параллелограммом связано несколько интересных формул и работа с площадями — в их числе. Этот параметр можно найти несколькими способами, которые мы подробно изучим ниже с примерами.
Площадь параллелограмма по стороне и высоте
У нас есть параллелограмм АВСD, из вершины которого на противоположную сторону опущена высота ВН, пересекающая АD под прямым углом. Площадь фигуры АВСD равна произведению стороны АD на ВН.
- S АВСD = АD x ВН.
Пример 1. Дан параллелограмм АВСD, площадью которого считается 50 см2, а сторона СD — 5 см. Найти высоту ВЕ, опущенную на сторону СD из вершины В.
Решение
Запишем выражение для нахождения площади:
- S АВСD = СD x ВЕ.
Выразим из нее ВЕ и подставим значения из условия:
- ВЕ = S АВСD / СD = 50 / 5 = 10 см.
Ответ: ВЕ = 10 см.
Площадь параллелограмма по сторонам и углу между ними
Формулировка: площадь параллелограмма равна произведению двух сторон параллелограмма на синус угла между ними.
- S АВСD = AB x AD х sin ∠BAD = AB x AD х sin ∠ABC.
Пример 2. Найти сторону ромба, если один из его углов равен 30 градусов, а S — 50 см2.
Решение
Поскольку ромб — это частный случай параллелограмма, воспользуемся соответствующей формулой:
- S АВСD = AB x AD х sin ∠BAD.
В этом уравнении нам известны данные площади и угла. Поскольку стороны ромба равны, то преобразуем выражение следующим образом:
- AB x AD = S АВСD / sin ∠BAD,
- AB2 = S АВСD / sin ∠BAD.
Подставим значения из условия:
- AB2 = 50 / sin 30°.
Значение синуса посчитаем на калькуляторе, выберем из таблицы Брадиса (для тех, кто помнит этого прекрасного человека) или из представленной в этой статье таблицы. В итоге выражение преобразуется следующим образом:
- AB2 = 50 / 0,5 = 100.
Выразим из этого выражения АВ:
- AB = √100 = 10 см.
Ответ: AB = 10 см.
Площадь параллелограмма по диагоналям и углу между ними
Формулировка: площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
- S АВСD = ½ AС x ВD х sin ∠BОС = ½ AС x ВD х sin ∠BОА
Пример 3. Дан параллелограмм АВСD, диагонали которого равны по 20 см, а угол между ними составляет 90 градусов. Найти площадь треугольника АВD.
Решение
Заметим, что площадь треугольника АВD, который образуется путем деления параллелограмма АВСD его диагональю АD составляет половину площади самого параллелограмма. Это следует из равенства треугольников АВD и АСD по трем сторонам:
- сторона АВ равна стороне СD,
- сторона ВС равна стороне АD,
- сторона ВD общая.
Запомним это и перейдем к поискам площади параллелограмма:
- S АВСD = ½ AС x ВD х sin ∠BОС.
Подставим в эту формулу значения из условия:
- S АВСD = ½ х 20 x 20 х sin 90°.
Значение синуса выберем из предыдущей таблицы:
- S АВСD = ½ х 20 x 20 х 1 = ½ х 400 = 200 см2.
Вспомним, что площадью треугольника АВD называется половина площади самого параллелограмма, то есть 100 см2. Надеемся, внимательные читатели заметили, что наш параллелограмм с равными диагоналями, пересекающимся под прямым углом — это квадрат.
Ответ: S треугольника АВD — 100 см2.
Занимайтесь на курсах ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu и получите максимум баллов на экзамене:
Эксперт по подготовке к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР
Задать вопрос
Закончил Московский физико-технический институт (Физтех) по специальности прикладная физика и математика. Магистр физико-математических наук. Преподавательский стаж более 13 лет. Соучредитель курсов ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu.
Читайте также:
Найдите площадь параллелограмма. Здравствуйте! В этой статье представлена группа заданий решение которых связанно с площадью параллелограмма. Задачи входят в состав экзамена. Рекомендую посмотреть статью в которой о площади параллелограмма (и треугольника) всё подробно расписано. При решении пригодятся формулы:
*Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.
*Площадь параллелограмма равна произведению параллелограмма на высоту проведённую к этой стороне.
Также рассматриваются задачи с ромбами. Как известно, ромб является параллелограммом и обладает его свойствами, но есть ещё и дополнительные. Нам понадобится это:
— Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Рассмотрим задачи:
27586. Найдите площадь ромба, если его стороны равны 1, а один из углов равен 1500.
Используем формулу площади параллелограмма:
Стороны равны 1, а острый угол будет равен 300:
Ответ: 0,5
27614. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.
Известно, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, также они точкой пересечения делятся пополам. Построим эскиз следующим образом и отметим на нём размеры половин диагоналей:
Получается, что ромб диагоналями разбивается на 4 равных прямоугольных треугольника с катетами 2 и 6. Можем вычислить площадь этого треугольника:
Так как все четыре треугольника образованные диагоналями равны, то
Ответ: 24
317338. Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка Е середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB.
Для того чтобы вычислить площадь трапеции достаточно понимать как определить площадь отсечённого треугольника EDC. *Далее мы из площади параллелограмма просто вычтем площадь треугольника.
Посмотрите! Сторона треугольника ED равна половине стороны параллелограмма, высота у них общая. Что это значит? А то что:
Получается, что площадь треугольника в четыре раза меньше площади параллелограмма:
Таким образом:
Ответ: 141,75
*Какую часть по площади занимает треугольник в параллелограмме можно увидеть разделив параллелограмм диагональю (он делится пополам):
Площадь треугольника ADC составляет ½ от площади параллелограмма, а площадь треугольника EDC равна половине площади ADC, то есть треугольник EDC по площади будет в 4 раза меньше.
319056. Площадь параллелограмма ABCD равна 153. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
Построим эскиз:
Нетрудно заметить, что площади треугольников 1, 2, 3 и 4 равны, так как у них есть равные стороны и синусы углов между ними приобретают равные значения.
Вычислим площадь треугольника АA′D′:
Получается, что площадь треугольника будет в восемь раз меньше. Таким образом, искомая площадь равна:
Ответ: 76,5
*Конечно же, «опытный глаз» сразу увидит, что площадь параллелограмма A′B′C′D′ в два раза меньше площади данного параллелограмма, но понимать формальное соотношение площадей фигур необходимо и важно.
**Если вы построите отрезки соединяющие середины противоположных сторон, то сразу наглядно увидите каким образом параллелограмм разбивается на равные по площади треугольники и решение будет очевидно.
319057. Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка E– середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.
Площадь треугольника ADE составляет четвёртую часть от площади параллелограмма, посмотрите вше задачу 317338. То есть SADE=176/4=44.
Ответ: 44
27585. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 и 10, а угол между ними равен 300.
Посмотреть решение
27610. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
27611. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Посмотреть решение
27612. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.
Посмотреть решение
27613. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 300.
Посмотреть решение
27615. Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ.
Посмотреть решение
27616. Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.
Посмотреть решение
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр
Делитесь информацией о сайте в социальных сетях.