Как найти площадь параллелограмма под углом - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как рассчитать площадь параллелограмма

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь параллелограмма онлайн. Для расчета задайте длину основания, высоту или длины диагоналей и угол между ними.

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Через основание и высоту

Формула для нахождения площади параллелограмма через основание и высоту:

a — длина основания; h — высота.

Через основания и угол между ними

Формула для нахождения площади параллелограмма через основания и угол между ними:

a, b — длина основания; α — угол между основаниями.

Через диагонали и угол между ними

Формула для нахождения площади параллелограмма через диаганали и угол между ними:

d1, d2 — диагонали; α — угол между диагоналями.

Источник

{S = a cdot h}

Найти площадь параллелограмма

На этой странице вы можете рассчитать площадь параллелограмма с помощью калькулятора по трем формулам. Просто введите известные вам данные — основание, высоту, стороны, диагонали и углы между ними и получите ответ.

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Содержание:

калькулятор площади параллелограмма
формула площади параллелограмма через сторону и высоту
формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними
формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
примеры задач

Формула площади параллелограмма через сторону и высоту

{S = a cdot h}

a — сторона параллелограмма

h — высота параллелограмма

Формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними

{S=a cdot b cdot sin(alpha)}

a, b — стороны параллелограмма

α — угол между сторонами a и b

Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2 cdot sin(alpha)}

d₁, d₂ — диагонали параллелограмма

α — угол между диагоналями

Примеры задач на нахождение площади параллелограмма

Задача 1

Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 9 см и 12 см, а угол между ними 60 градусов.

Решение

Для решения задачи нам подойдет вторая формула, так как из условия нам известны стороны параллелограмма и угол между ними. Подставим значения в формулу и произведем расчет.

S = a cdot b cdot sin(alpha) = 9 cdot 12 cdot sin(60) = 108 cdot sin(60) = 108 cdot 0.866 approx 93.53074 : см^2

Ответ: 108 cdot 0.866 approx 93.53074 : см^2

Мы можем проверить ответ с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 см и 12 см, а угол между ними равен 30 градусов.

Решение

Задача похожа на предыдущую, поэтому ее решение будет выглядеть аналогично.

S = a cdot b cdot sin(alpha) = 8 cdot 12 cdot sin(30) = 96 cdot sin(30) = 96 cdot 0.5 = 48 : см^2

Ответ: 48 см²

И снова проверить ответ нам поможет калькулятор .

Задача 3

Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 12 см, а высота проведенная к ней 8 см.

Решение

В этом случае нам известны сторона параллелограмма и высота, поэтому воспользуемся первой формулой.

S = a cdot h = 12 cdot 8 = 96 : см^2

Ответ: 96 см²

И снова проверить ответ нам поможет калькулятор .

Источник

Площадь параллелограмма можно найти по стороне и проведённой к этой стороне высоте, по двум сторонам и углу, по диагоналям и углу между ними.

I. Площадь параллелограмма по стороне и высоте

Площадь параллелограмма равна произведению стороны параллелограмма на высоту, проведённую к этой стороне.

Формула для нахождения площади параллелограмма через сторону и высоту:

$[S = a cdot {h_a}]$

Например,площадь параллелограмма ABCD через высоту можно найти по одной из формул:

$[{S_{ABCD}} = AD cdot BF]$

или

$[{S_{ABCD}} = CD cdot BK]$

II. Площадь параллелограмма по сторонам и углу

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Формула для нахождения площади параллелограмма через стороны и угол:

Например, площадь параллелограмма ABCD

$[{S_{ABCD}} = AD cdot AB cdot sin angle BAD]$

По свойствам параллелограмма, противоположные углы параллелограмма равны:

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180º, то есть,

$[angle B = {180^o} - angle A]$

$[angle D = {180^o} - angle A]$

А так как синус тупого угла равен синусу смежного ему угла, то

$[sin angle B = sin ({180^o} - angle A) = sin angle A]$

$[sin angle D = sin ({180^o} - angle A) = sin angle A]$

Таким образом, площадь параллелограмма можно найти как произведение его двух любых не смежных сторон на синус любого угла.

III. Площадь параллелограмма по диагоналям

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Формула площади параллелограмма через диагонали:

$[S = frac{1}{2}{d_1} cdot {d_2} cdot sin varphi ]$

Например, площадь параллелограмма ABCD

$[{S_{ABCD}} = frac{1}{2}AC cdot BD cdot sin angle COD]$

А так как

$[sin angle AOD = sin ({180^o} - angle COD) = sin angle COD,]$

то в качестве угла между диагоналями можно брать любой угол — как острый, так и тупой (прямой — в ромбе и квадрате).

Источник

Как найти площадь параллелограмма — три основных формулы

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Эта статья на еще одну математическую тему. Мы расскажем, как правильно посчитать площадь параллелограмма. Эту тему подробно изучают только в 8-м классе. И это говорит, что она не такая простая.

Но для начала давайте все-таки напомним, какая фигура называется параллелограммом.

Параллелограмм – это разновидность четырехугольников, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.

Классический параллелограмм выглядит вот так:

Впервые об этой фигуре подробно написал древнегреческий математик Евклид в своем известном произведении «Начала». Он же рассказал и о двух частных случаях параллелограмма, которые нам сегодня хорошо известны.

Это и прямоугольник, у которого противоположные стороны не только параллельны друг другу, но и пересекаются под прямым углом. И квадрат, у которого помимо параллельности противоположных сторон, все стороны еще и равны между собой.

И наконец, не лишним будет вспомнить, что подразумевается под термином «площадь».

Площадь геометрической фигуры – это размер плоскости, которая находится внутри сторон фигуры.

Ну а теперь объединим эти два понятия и расскажем, как надо считать площадь параллелограмма.

Формулы для расчета площади параллелограмма

Есть три основных формулы для вычисления площади параллелограмма:

если известна длина стороны и высота, проведенная к ней;
если известны длины сторон и углы между ними;
если известны длины диагоналей и угол между ними.

Теперь о каждом из этих способов подробнее.

Как найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота

Возьмем для примера такой параллелограмм:

В нем указаны две высоты – BE и BF. Напомню, что высота — это отрезок, который опускается из вершины на противоположную сторону под прямым углом.

В данном случае площадь считается весьма просто. Надо всего лишь перемножить длину высоты и длину стороны, к которой она проведена.

И то же самое касается, если знать длины стороны DC и высоты BF. Тогда для вычисления площади достаточно их перемножить.

Кстати, у этой формулы есть весьма интересное доказательство. Так как у параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, то можно взять треугольник ABE и переставить его к стороне CD. Вот так это будет выглядеть:

В результате мы получим прямоугольник, у которого нам известны длины обеих сторон (высота параллелограмма превратилась в одну из сторон). А как известно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Формула площади параллелограмма, если известны стороны и угол

Площадь параллелограмма можно посчитать, если известны длины обеих его сторон и величина острого угла между ними.

Собственно, этот способ вытекает из предыдущего, Просто по исходным данным нужно вычислить высоту параллелограмма, а уже потом по ней посчитать площадь.

Согласно тригонометрии, синус острого угла в прямоугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. В нашем примере таким катетом является высота, а гипотенузой сторона «а». И получается:

Соответственно, чтобы посчитать значение высоты надо:

И наша конечная формула для расчета площади будет выглядеть следующим образом:

Как найти площадь параллелограмма через диагонали

Этот способ используется крайне редко, но знать его все равно нужно. Во всяком случае, на экзаменах у школьников такие примеры вполне могут встретиться.

В данном случае для вывода формулы используются весьма непростые математические вычисления. И мы не будем ими вас загружать. А просто покажем конечный результат:

Соответственно, здесь d1 и d2 – длины диагоналей, а y – острый угол между ними.

Вот и все, что мы хотели рассказать о вычислении площади параллелограмма.

Источник

Площадь параллелограмма

Добавлено: 17 ноября 2021 в 18:46

Площадь параллелограмма — сколько их?
- Площадь параллелограмма по стороне и высоте
- Площадь параллелограмма по сторонам и углу между ними
- Площадь параллелограмма по диагоналям и углу между ними
  - Занимайтесь на курсах ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu и получите максимум баллов на экзамене:
  - Читайте также:

Геометрия — один из наиболее сложных разделов школьного курса математики. Причина такой сложности состоит в том, что для решения геометрических задач часто требуются нестандартные подходы и пространственное мышление.

При это очень мало стандартных алгоритмов, к которым привыкли школьники. Приходится думать с опорой на теоретический багаж, причем довольно простые формулы часто не приходят ученику в голову там, где должны автоматически всплывать подсказки.

Одной из таких формул является выражение для определения площади параллелограмма, о которой и пойдет речь в этой статье.

Площадь параллелограмма — сколько их?

Площадь геометрических фигур издавна интересовала людей, как прикладной объект. Уже древние египтяне были довольно хороши в соответствующих подсчетах, потому что их вынуждала окружающая действительность.

Землемеры и сборщики налогов интересовались площадями не для решения школьных задач и не для получения высокого балла на ЕГЭ. Их интерес был более приземленным:

землемеры стремились усовершенствовать методы разметки сложных участков земли под сельскохозяйственные и строительные нужды;
сборщики податей хотели знать, сколько должен «налогоплательщик».

Эти простые вопросы приблизили человечество к современной науке и те сложные понятия, которыми оперируют математики, до сих пор базируются на простых формулах. В этом ряду площадь параллелограмма занимает особенное место, потому что это универсальная геометрическая фигура, частными случаями которой являются:

прямоугольник;
квадрат;
ромб.

Даже треугольник — просто половина параллелограмма, что делает операции с этой фигурой важной частью базовых знаний. Давайте вспомним ее основные свойства:

противоположные стороны параллельны;
противолежащие углы попарно равны;
сумма прилежащих углов равна 180°;
диагонали и средние линии пересекаются в одной точке, которая делит их пополам.

С параллелограммом связано несколько интересных формул и работа с площадями — в их числе. Этот параметр можно найти несколькими способами, которые мы подробно изучим ниже с примерами.

Площадь параллелограмма по стороне и высоте

У нас есть параллелограмм АВСD, из вершины которого на противоположную сторону опущена высота ВН, пересекающая АD под прямым углом. Площадь фигуры АВСD равна произведению стороны АD на ВН.

S _АВСD = АD x ВН.

Пример 1. Дан параллелограмм АВСD, площадью которого считается 50 см², а сторона СD — 5 см. Найти высоту ВЕ, опущенную на сторону СD из вершины В.

Решение

Запишем выражение для нахождения площади:

S _АВСD = СD x ВЕ.

Выразим из нее ВЕ и подставим значения из условия:

ВЕ = S _АВСD / СD = 50 / 5 = 10 см.

Ответ: ВЕ = 10 см.

Площадь параллелограмма по сторонам и углу между ними

Формулировка: площадь параллелограмма равна произведению двух сторон параллелограмма на синус угла между ними.

S _АВС_D= AB x AD х sin ∠BAD = AB x AD х sin ∠ABC.

Пример 2. Найти сторону ромба, если один из его углов равен 30 градусов, а S — 50 см².

Решение

Поскольку ромб — это частный случай параллелограмма, воспользуемся соответствующей формулой:

S _АВС_D= AB x AD х sin ∠BAD.

В этом уравнении нам известны данные площади и угла. Поскольку стороны ромба равны, то преобразуем выражение следующим образом:

AB x AD = S _АВС_D / sin ∠BAD,
AB² = S _АВС_D / sin ∠BAD.

Подставим значения из условия:

AB² = 50 / sin 30°.

Значение синуса посчитаем на калькуляторе, выберем из таблицы Брадиса (для тех, кто помнит этого прекрасного человека) или из представленной в этой статье таблицы. В итоге выражение преобразуется следующим образом:

AB² = 50 / 0,5 = 100.

Выразим из этого выражения АВ:

AB = √100 = 10 см.

Ответ: AB = 10 см.

Площадь параллелограмма по диагоналям и углу между ними

Формулировка: площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

S _АВСD= ½ AС x ВD х sin ∠BОС = ½ AС x ВD х sin ∠BОА

Пример 3. Дан параллелограмм АВСD, диагонали которого равны по 20 см, а угол между ними составляет 90 градусов. Найти площадь треугольника АВD.

Решение

Заметим, что площадь треугольника АВD, который образуется путем деления параллелограмма АВСD его диагональю АD составляет половину площади самого параллелограмма. Это следует из равенства треугольников АВD и АСD по трем сторонам:

сторона АВ равна стороне СD,
сторона ВС равна стороне АD,
сторона ВD общая.

Запомним это и перейдем к поискам площади параллелограмма:

S _АВСD= ½ AС x ВD х sin ∠BОС.

Подставим в эту формулу значения из условия:

S _АВСD= ½ х 20 x 20 х sin 90°.

Значение синуса выберем из предыдущей таблицы:

S _АВСD= ½ х 20 x 20 х 1 = ½ х 400 = 200 см².

Вспомним, что площадью треугольника АВD называется половина площади самого параллелограмма, то есть 100 см². Надеемся, внимательные читатели заметили, что наш параллелограмм с равными диагоналями, пересекающимся под прямым углом — это квадрат.

Ответ: S треугольника АВD — 100 см².

Занимайтесь на курсах ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu и получите максимум баллов на экзамене:

Эксперт по подготовке к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР

Задать вопрос

Закончил Московский физико-технический институт (Физтех) по специальности прикладная физика и математика. Магистр физико-математических наук. Преподавательский стаж более 13 лет. Соучредитель курсов ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu.

Как рассчитать площадь параллелограмма

Через основание и высоту

Через основания и угол между ними

Через диагонали и угол между ними

Содержание:

Формула площади параллелограмма через сторону и высоту

Формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними

Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

Примеры задач на нахождение площади параллелограмма

Формулы для расчета площади параллелограмма

Как найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота

Формула площади параллелограмма, если известны стороны и угол

Как найти площадь параллелограмма через диагонали

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма — сколько их?

Площадь параллелограмма по стороне и высоте

Площадь параллелограмма по сторонам и углу между ними

Площадь параллелограмма по диагоналям и углу между ними

Занимайтесь на курсах ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu и получите максимум баллов на экзамене:

Читайте также: