Чтобы вопрос опубликовался, войди или зарегистрируйся
Восстановление пароля
Мы отправили письмо со ссылкой на смену пароля на username@mail.ru.
Если письма нет, проверь папку «Спам».
Чтобы вопрос опубликовался, войди или зарегистрируйся
Нужна регистрация на Учи.ру
«Ваш урок» теперь называется Учи.Ответы. Чтобы зайти на сайт, используй логин и пароль от Учи.ру. Если у тебя их нет, зарегистрируйся на платформе.
Площадь параллелограмма при заданной площади длинного диагонального треугольника Калькулятор
| Search | ||
| Дом | математика ↺ | |
| математика | Геометрия ↺ | |
| Геометрия | 2D геометрия ↺ | |
| 2D геометрия | Параллелограмм ↺ | |
| Параллелограмм | Площадь параллелограмма ↺ |
|
✖Площадь длинного диагонального треугольника параллелограмма – это площадь плоскости, заключенной в треугольнике, образованном длинной диагональю и парой ребер при тупом углу параллелограмма.ⓘ Площадь длинного диагонального треугольника параллелограмма [Al(Triangle)] |
+10% -10% |
|
✖Площадь параллелограмма — это общее количество плоскостей, ограниченных границей параллелограмма.ⓘ Площадь параллелограмма при заданной площади длинного диагонального треугольника [A] |
⎘ копия |
Площадь параллелограмма при заданной площади длинного диагонального треугольника Решение
ШАГ 0: Сводка предварительного расчета
ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок
Площадь длинного диагонального треугольника параллелограмма: 30 Квадратный метр —> 30 Квадратный метр Конверсия не требуется
ШАГ 2: Оцените формулу
ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода
60 Квадратный метр —> Конверсия не требуется
9 Площадь параллелограмма Калькуляторы
Площадь параллелограмма при заданной площади длинного диагонального треугольника формула
Площадь параллелограмма = 2*Площадь длинного диагонального треугольника параллелограмма
A = 2*Al(Triangle)
Что такое параллелограмм?
Параллелограмм — это особый тип четырехугольника, который имеет две пары противоположных и параллельных сторон. Прямоугольники — это особый тип параллелограмма. Углы параллелограмма также попарно равны и противоположны — одна пара равных и противоположных острых углов и одна пара равных и противоположных тупых углов.
Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции
Любовь Петровна Гаврилюк
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Площадь параллелограмма
Теорема 1
Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.
Математически это можно записать следующим образом
[S=ah]
где $a$ сторона параллелограмма, $h$ — высота, проведенная к этой стороне.
Доказательство.
Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $AD=BC=a$. Проведем высоты $DF$ и $AE$ (рис. 1).
Рисунок 1.
Очевидно, что фигура $FDAE$ — прямоугольник.
[angle BAE={90}^0-angle A, ] [angle CDF=angle D-{90}^0={180}^0-angle A-{90}^0={90}^0-angle A=angle BAE]
Следовательно, так как $CD=AB, DF=AE=h$, по $I$ признаку равенства треугольников $triangle BAE=triangle CDF$. Тогда
[S_{FDAE}=S_{ABCD}-S_{CDF}+S_{BAE}=S_{ABCD}-S_{CDF}+S_{CDF}=S_{ABCD}]
Значит по теореме о площади прямоугольника:
[S_{ABCD}=S_{FDAE}=ah]
Теорема доказана.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Теорема 2
Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.
Математически это можно записать следующим образом
[S=absinalpha ]
где $a, b$ стороны параллелограмма, $alpha $ — угол между ними.
Доказательство.
Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $BC=a, CD=b, angle C=alpha $. Проведем высоту $DF=h$ (рис. 2).
Рисунок 2.
По определению синуса, получим
[sinalpha =frac{DF}{CD}=frac{h}{b}]
Следовательно
[h=bsinalpha ]
Значит, по теореме $1$:
[S=ah=absinalpha ]
Теорема доказана.
Площадь треугольника
Теорема 3
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.
Математически это можно записать следующим образом
[S=frac{1}{2}ah]
где $a$ сторона треугольника, $h$ — высота, проведенная к этой стороне.
Доказательство.
Пусть нам дан треугольник $ABC$, у которого $AB=a$. Проведем высоту $CH=h$. Достроим его до параллелограмма $ABCD$ (рис. 3).
Рисунок 3.
Очевидно, что по $I$ признаку равенства треугольников $triangle ACB=triangle CDB$. Тогда
[S_{ABC}=frac{1}{2}S_{ABCD}]
Значит по теореме $1$:
[S_{ABC}=frac{1}{2}ah]
Теорема доказана.
«Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции» 👇
Теорема 4
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.
Математически это можно записать следующим образом
[S=frac{1}{2}absinalpha ]
где $a, b$ стороны треугольника, $alpha $ — угол между ними.
Доказательство.
Пусть нам дан треугольник $ABC$, у которого $AB=a$. Проведем высоту $CH=h$. Достроим его до параллелограмма $ABCD$ (рис. 3).
Очевидно, что по $I$ признаку равенства треугольников $triangle ACB=triangle CDB$. Тогда
[S_{ABC}=frac{1}{2}S_{ABCD}]
Значит по теореме $1$:
[S_{ABC}=frac{1}{2}absinalpha ]
Теорема доказана.
Площадь трапеции
Теорема 5
Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин его оснований, на его высоту.
Математически это можно записать следующим образом
[S=frac{1}{2}(a+b)h]
Доказательство.
Пусть нам дана трапеция $ABCK$, где $AK=a, BC=b$. Проведем в ней высоты $BM=h$ и $KP=h$, а также диагональ $BK$ (рис. 4).
Рисунок 4.
[S_{ABCK}=S_{ABK}+S_{BCK}]
По теореме $3$, получим
[S_{ABK}=frac{1}{2}AKcdot BM=frac{1}{2}ah, S_{BCK}=frac{1}{2}BCcdot KP=frac{1}{2}bh]
Тогда
[S_{ABCK}=frac{1}{2}ah+frac{1}{2}bh=frac{1}{2}(a+b)h]
Теорема доказана.
Пример задачи
Пример 1
Найти площадь равностороннего треугольника, если длина его стороны равняется $a.$
Решение.
Так как треугольник равносторонний, то все его углы равняются ${60}^0$.
Тогда, по теореме $4$, имеем
[S=frac{1}{2}acdot acdot sin{60}^0=frac{a^2sqrt{3}}{4}]
Ответ: $frac{a^2sqrt{3}}{4}$.
Заметим, что результат этой задачи можно применять при нахождении площади любого равностороннего треугольника с данной стороной.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 19.05.2023
Формулы площади треугольника
- Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты - Формула площади треугольника по трем сторонам
Формула Герона
S = √
p
(
p — a
)(
p — b
)(
p — c
)
- Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между ними. - Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
- Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
где S — площадь треугольника,
a, b, c
— длины сторон треугольника,
h
— высота треугольника,
γ
— угол между сторонами
a
и
b
,
r
— радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,
|
p = |
a + b + c |
— полупериметр треугольника. |
| 2 |
Формула площади прямоугольника
- Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон
где S — Площадь прямоугольника,
a, b
— длины сторон прямоугольника.
Формулы площади параллелограмма
- Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты. - Формула площади параллелограмма по диагоналям и углу между ними Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей, умноженному на синус угла между ними.
S = 1/2d1 · d2 · sin
γ
- Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон, умноженному на синус угла между ними.
где S — Площадь параллелограмма,
a, b
— длины сторон параллелограмма,
h
— длина высоты параллелограмма,
α
— угол между сторонами параллелограмма,
- γ — угол между диагоналями параллелограмма,
- d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма.
- Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты. - Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба. - Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
Формулы площади ромба
где S — Площадь ромба,
a
— длина стороны ромба,
h
— длина высоты ромба,
α
— угол между сторонами ромба,
d
1,
d
2 — длины диагоналей.
Формулы площади трапеции
- Формула Герона для трапеции
S = a
+
b
√( p — a
)(
p — b
)(
p — a — c
)(
p — a — d
)
4| a
—
b
|
- Формула площади трапеции по длине основ и высоте
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту
где S — Площадь трапеции,a, b
— длины основ трапеции,
c, d
— длины боковых сторон трапеции,
p
=
a
+
b
+
c
+
d
— полупериметр трапеции. 2
Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.
Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.
Высота (BE), проведённая между длинными сторонами, короче высоты (BF), проведённой между короткими сторонами.
Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: (BE = BF).
Площадь произвольного параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.
Проведём высоты из двух вершин (B) и (C) к стороне (AD) .
Прямоугольные треугольники (ABE) и (DCF) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).
Параллелограмм (ABCD) и прямоугольник (EBCF) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:
SABCD=SABE+SEBCD;SEBCF=SEBCD+SDCF.
Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:
SEBCF=BE⋅BC;SABCD=BE⋅BC=BE⋅AD.
Если обозначить сторону через (a), высоту — через (h), то:
Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
.
Формула определения площади ромба:
Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.
Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:
Площадь произвольного треугольника
Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.
, где (h) — высота (на рисунке — (BE)), проведённая к стороне (a) (на рисунке — (AD)).
Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.
Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.
SΔ=pp−ap−bp−c;p=a+b+c2
— формула Герона, где (a), (b) и (c) — стороны треугольника, (p) — полупериметр треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника
Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:
S=a⋅b2, где (a) и (b) — катеты.
Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.
Пример:
1. вычислим площадь треугольника со сторонами (17) см, (39) см, (44) см.
Решение:
p=17+39+442=50;SΔ=50⋅50−17⋅50−39⋅50−44=50⋅33⋅11⋅6==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3=5⋅2⋅3⋅11=330см2.
Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители:
a⋅a=a
.
Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.
Пример:
2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны (15) см, (13) см, (4) см.
Решение:
используем две формулы вычисления площади:
SΔ=aha2
и
SΔ=pp−ap−bp−c
.
Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому (a =) (15) см.
.
15⋅h2=24⋅215⋅h=48;h=4815=3,2(см).
Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.
Пример:
3. дан параллелограмм со сторонами (17) см и (39) см, длина диагонали равна (44) см. Вычислим площадь параллелограмма.
Решение:
диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:
.
Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.
Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.
Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.
SABCD=SABD+SDBC;SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==AD+BC⋅BE2.
Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через (a) и (b), высоту через (h), то:
Обрати внимание!
Важные следствия:
1. если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.
2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.
3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.