Как найти площадь парашюта через число пи

Вы возвращаетесь домой после крайне успешной деловой поездки. Сидя в бизнес-салоне авиалайнера и наслаждаясь бокалом шампанского, вы ведете занимательную беседу со своей соседкой, Авантикой. Она, как и вы, занимается международной торговлей и сейчас, пользуясь популярностью сари, активно расширяет семейный бизнес за счет VIP-клиентов по всему миру.

Внезапно самолет начинает потряхивать. Поскольку передние двигатели издают странные звуки, вы тянетесь к ремню безопасности. Не обращая внимания, что вам на колени выплеснулось ледяное шампанское, вы следите за тем, как один из бортпроводников безуспешно пытается связаться с кабиной пилотов. Столкновение с птицами — вот что вам удается понять из его разговора с коллегой.

Тут неизменно гудящие двигатели вдруг замолкают, и самолет начинает терять высоту. Проносясь в авиалайнере с неработающими моторами над залитыми лунным светом джунглями Юго-Восточной Азии, вы понимаете, что спасательный жилет, который хранится у вас под сиденьем, полностью бесполезен и единственное, что может спасти вам жизнь, — парашют.

Вы тут же вспоминаете о шелке, которым, как вам известно, заполнена ручная кладь вашей знакомой, торгующей сари. Удастся ли вам смастерить действующий парашют до авиакатастрофы?

Современные пассажирские самолеты — нечто удивительное. Согласно исследованиям, проведенным Северо-Западным университетом, из расчета на миллиард пассажиро-миль (Пассажиро-миля — единица измерения пассажирских перевозок (произведение количества перевезенных человек на суммарное расстояние). — Прим. пер.) на авиалайнеры приходится 0,07 смертельных случаев, в то время как на автомобили — 7,28, а на мотоциклы — колоссальные 213 смертей.

По данным статистики, вероятность погибнуть в автомобильной аварии в 100 раз выше, чем в авиакатастрофе. Между тем воздушные средства перевозки перемещаются очень быстро — со скоростью 500 узлов, или примерно 900 км/ч. Поэтому при столкновении с чем-либо (скажем, со стаей гусей) удар всегда очень силен.

Именно это и произошло в 2009 году с рейсом US Airways, летевшим по маршруту Нью-Йорк — Шарлотт — Сиэтл. По счастью, самолет был умело посажен на реку Гудзон, и все находившиеся в нем люди выжили. (Хотите узнать подробности — посмотрите фильм «Чудо на Гудзоне».)

Общее представление о парашютах появилось у людей давно — не позднее чем во времена Леонардо да Винчи. Еще в 1485 году он сделал набросок парашюта — работающего, как было доказано в июне 2000 года британским парашютистом Адрианом Николасом, который сумел воспроизвести, а затем испытать устройство.

Базовый принцип парашюта прост. Свободно падающий (в воздухе, любом другом газе или даже жидкости) объект испытывает силу сопротивления, которая по мере увеличения скорости падения возрастает, пока не становится равной гравитации — то есть весу, тянущему тело вниз. Тогда оно перестает ускоряться. Максимальная (конечная) скорость падения зависит от размеров и формы падающего объекта. У человека, парящего в воздухе животом вниз, она способна достичь 55 м/с, или 120 миль/час, и врезаться в землю с подобной скоростью — дело крайне опасное. Поскольку благодаря парашюту площадь поверхности объекта значительно увеличивается, во время падения ему приходится вытеснять гораздо больше воздуха. Сила сопротивления существенно возрастает, конечная скорость ощутимо падает: при наличии современного парашюта она становится равной 5 м/с, или 11 миль/ч, что повышает шансы на выживание.

Итак, нам необходимо уравнять вес и силу сопротивления. Вес определяется произведением массы объекта и ускорения, обусловленного гравитацией. Сила сопротивления связана с плотностью воздуха, скоростью падения, размерами и формой тела:

Не пугайтесь обилия букв в правой части уравнения. S — площадь поперечного сечения парашюта, или площадь купола парашюта, m — суммарная масса падающего объекта и парашюта, g — ускорение свободного падения, ρ — плотность воздуха, C_d — коэффициент лобового сопротивления парашюта, или мера аэродинамики парашюта, V — желаемая скорость спуска.

Прежде чем приступить к изготовлению парашюта, следует уточнить его размеры: это значит, что формулу нужно преобразовать так, чтобы суметь найти S. Для начала делим обе части формулы на ρC_dV²:

Затем, чтобы выразить S, обе части умножаем на 2:

Пора подставлять в уравнение известные значения:
m — ваша масса, выраженная в килограммах, плюс масса парашюта. Пусть она равняется 100 кг.

Величина g = 9,8 м/с². По крайней мере, на поверхности Земли.

Величину ρ принимаем за 1,2 кг/м³ — как на уровне моря. Это разумно, учитывая, что вы постараетесь выпрыгнуть из самолета как можно позднее.

C_d — хитрый коэффициент. Коэффициент лобового сопротивления чего бы то ни было вычисляется очень сложно, поэтому мы, вынужденные положиться на экспериментальную оценку, используем аэродинамические трубы или рассчитываем время падения того или иного предмета.

Парашют безупречной куполообразной формы имеет коэффициент лобового сопротивления около 1,5, объект с плоской поверхностью — около 0,75. Ваш сари-парашют, вероятно, будет обладать неким усредненным коэффициентом лобового сопротивления, поэтому есть смысл принять его значение равным 1,1.

Выбор значения V в какой-то мере остается за нами: чем оно выше, тем меньше должен быть парашют. Удар о землю со скоростью 9 м/с, или 20 миль/час, равнозначен падению примерно с четырехметровой высоты. Будет не слишком приятно, но выжить можно и, если повезет, получится обойтись без травм.

Следовательно:

Это площадь, которая нужна для расчета купола парашюта.

Площадь круга выражается через πr², и мы получаем следующую формулу:

Переиначиваем ее, чтобы определить r, для чего обе части уравнения делим на π, а из частного извлекаем квадратный корень:

Итак, чтобы получился парашют, нужно сделать из имеющейся ткани полусферу. Следовательно, вы должны определить, сколько на это уйдет сари. Площадь поверхности полусферы задается формулой 2πr², что в два раза больше площади поперечного (кругового) сечения, равного πr². Таким образом, зная, что площадь поперечного сечения составляет
18,3 м², умножаем ее на 2 и получаем: 18,3 × 2 = 36,6 м² сари-парашюта.

Длина изогнутой поверхности купола равна половине обхвата всей сферы. Он равен 2πr, значит, половина от него — πr.

Повернувшись к Авантике, вы сообщаете ей о своей идее сделать парашют из сари. Она думает, что вы помешались, однако радуется возможности отвлечься от предстоящей аварийной посадки.

По словам Авантики, длина отрезов 8 м, а ширина 1 м: это означает, что необходимо пять сари, чтобы обеспечить будущему парашюту более-менее подходящее поперечное сечение и материал необходимой площадью 40 м². Но есть ли время на шитье?

Когда объект начинает планировать вниз в неподвижном воздухе, следует учитывать подъемную силу, силу сопротивления и вес.

Не имея силы тяги (двигатели, восходящие воздушные потоки), планирующий объект начнет вынужденно терять скорость, то есть по мере движения будет снижаться. Потеря высоты зависит от коэффициента планирования, который, в свою очередь, обусловлен скоростью самолета.

Коэффициент планирования демонстрирует, какое расстояние пролетит планер, теряя метр высоты. Для авиалайнера коэффициент планирования составляет от 15 до 20: таким образом, пока самолет снижается на метр, он успевает продвинуться на 15–20 м.

Допустим, коэффициент планирования вашего авиалайнера составляет 17,5. Если бы самолет находился на высоте около 8000 м (такую высоту, кстати, способны набрать многие перелетные птицы), то прежде, чем опуститься до уровня моря, он успел бы пролететь 8000 × 17,5 = 140 км. Это может показаться значительным расстоянием, но вспомните о высокой скорости воздушных судов.

При скорости около 250 узлов, или примерно 130 м/с, у авиалайнеров самый высокий коэффициент планирования. Чтобы определить оставшееся до аварийной посадки время, исходим из того, что время — это расстояние, деленное на скорость:

Расстояние составляет 140 000 м, скорость 130 м/с:

Получается чуть меньше 18 минут. Хватит ли их, чтобы смастерить парашют? Будем надеяться! Но как добиться нужной формы?

Большинство купольных парашютов делают из треугольных кусков ткани рипстоп (Рипстоп — тип ткани комбинированного переплетения, в структуре которой есть более прочная нить (нейлон, полиэстер). — Прим. пер.): сшитые вместе, они образуют большой круг. Под рукой ничего подходящего нет, да и время поджимает. По счастью, у Авантики есть чудо-клей для шелка, с помощью которого можно быстро и прочно склеить сари.

Но как сложить из прямоугольных отрезов ткани почти полусферический парашют?

Пожалуй, самый быстрый способ, не предполагающий склеивание по длинной стороне, — сложить сари крест-накрест, чтобы получилось что-то вроде звездочки.

Понятно, что в конце концов парашют станет напоминать десятиконечную звезду. Дело это быстрое, но из-за способа складывания купол не получается цельным. Авантика предлагает прикрыть дыры за счет еще одного, шестого, сари. Но хватит ли его? И какая площадь по-прежнему останется неохваченной?

Шесть отрезов шелка образуют звезду с 12 лучами, и это немного упрощает наши расчеты. Останавливаемся на таком варианте и, исходя из размеров и формы 1/12, определяем площадь купола.

По счастью, Авантика, которая знает толк в кройке и шитье, подсказывает, что площадь 1/12 равна 3,07 м². Умножив это значение на 12, вы вычисляете площадь купола и, словно по волшебству, получаете 36,8 м². Почти то, что и было нужно. Кто-то там наверху любит вас…

Узлы и морские мили

В обычной жизни, чтобы понять, какое расстояние вам нужно пройти пешком, пробежать или проехать, вы оперируете километрами и милями, которые предполагают передвижение по плоской поверхности.

Если же вас ожидает дальняя дорога, приходится учитывать, что Земля — это сфера, и, что бы там ни говорили плоскоземельцы, фактически вы будете перемещаться по кривой.

Морская миля определяется как одна шестидесятая градуса широты и составляет 1,852 км, или 1,15 «сухопутной» мили.

Узел — это скорость, равная одной морской миле в час. Корни этого названия — в древности: когда-то моряки, определяя скорость судна, выбрасывали за борт дощечку, привязанную к тросу, и считали, сколько узлов на тросе пройдет через руку измеряющего за полминуты. Друг от друга узлы располагались на расстоянии восьми фатомов, или морских саженей (сажень — это шесть футов).

Летчики измеряют скорость в узлах по тем же причинам, что и мореплаватели, однако в этой главе, чтобы упростить расчеты, я решил прибегнуть к привычным километрам в час.

Вытащив ремни из собранных по всему салону спасательных жилетов, вы надежно — насколько это вообще возможно — привязываете их к себе и краям парашюта. Самолет тем временем успевает снизиться: на такой высоте уже можно дышать без кислородной маски.

Вы решаете — сейчас или никогда! — и, заключив соседку Авантику в объятия, прощаетесь с ней. Та в ответ качает головой: не верит, что вы вверяете жизнь парашюту, сделанному на коленке из шелка и спасательных жилетов. Бортпроводник помогает вам пробраться к маленькому люку в нижней части фюзеляжа. Вы начинаете обратный отсчет…

_{Отрывок из книги Криса Уоринга «Формулы на все случаи жизни. Как математика помогает выходить из сложных ситуаций». М.: Издательство Альпина Паблишер, 2022.}