Как найти площадь пересечения графиков функций

Содержание:

1. Примеры с решением

Пусть требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций и . Площадь требуемой фигуры на рисунке можно найти, вычитая из площади площадь

Каждую площадь можно вычислить как определенный интеграл на заданном промежутке.

Эти суждения можно обобщить следующим образом.

Так как функции и непрерывны на отрезке и на этом отрезке выполняется условие (т.е.график функции ) расположен выше графика функции то площадь ограниченная графиками функций и прямыми можно выразить следующим выражением:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Графики функций не имеют общих точек.

Примеры с решением

Пример 1.

Найдите площадь, ограниченную графиками функций и и прямыми

Решение:

=

Графики функций пересекаются в двух точках.

Пример 2.

Найдите площадь, ограниченную графиками функций

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций.

Полученные значения являются границами определенного интеграла.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 3.

Найдите площадь, заключенную между графиками функций и

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечени графиков.

Значит, графики пересекаются в точках с абсциссами По графикам функций также видно, что площадь, которую мы должны найти, состоит из площади, ограниченной графиками на промежутке и на промежутке На промежутке выполняется условие на промежутке выполняется условие (разность функций учитываются при записи интеграла).

! Вычислите требуемую площадь при помощи интеграла

Какой результат вы получили?

Пример 4.

Члены школьного клуба юных конструкторов работают над созданием нового двигателя для автомобиля, который будет меньше засорять окружающую среду. Для нового мотора изменение количества частиц (млрд), загрязняющих атмосферу, в год можно выразить следующим образом: Количество загрязняющих частиц, выбрасывамых старым мотором имеет вид:

a) В какой год они будут выбрасывать в атмосферу одинаковое количество частиц?

b) Какова разница между количеством вредных частиц, выброшенных в атмосферу, за этот период

Решение:

а) при удовлетворяющего условию количество вредных частиц будет одинаково.

Значение не соответствует смыслу задачи. На 3-ий год новый мотор будет давать такое же количество вредных частиц, как и старый. b) Разность количества вредных частиц равна разности площадей на промежутке [0;3].

(млрд. частиц)

Пример 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и окружностью

Решение:

Сначала схематически изобразим эту площадь. Из рисунка видим

что заданные кривые ограничивают две различающиеся плоские фигуры (меньшую и большую). Каждая из этих фигур, в свою очередь, состоит из двух симметричных относительно оси частей.

Поэтому достаточно вычислить площадь верхней части каждой фигуры и затем умножить ее на два.

Найдем сначала площадь меньшей фигуры. Преобразуем уравнение окружности и определим координаты ее центра и величину радиуса.

Следовательно, центр окружности находится в точке а ее радиус Найдем точки и пересечения обеих линий, решая систему двух

уравнений

Найдем уравнение границы (части окружности) Из условия на ординаты точек границы имеем

по этой же причине уравнение нижней части границы на отрезке

По формуле (1) находим

но

— это площадь четверти окружности. Площадь всей окружности равна Второй интеграл легко вычисляется Теперь найдем искомую площадь

Теперь, чтобы найти площадь большей фигуры, необходимо из площади круга вычесть площадь меньшей фигуры:

Проверим значение первого интеграла

Обозначим

тогда при при (четвертая четверть). Поэтому

Пример 6.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

Решение:

Второе уравнение запишем так , отсюда следует, что это означает, что вся фигура (парабола) расположена левее точки она симметрична относительно оси так как при замене на уравнение не изменяется. Ветви параболы направлены влево; ее вершина находится в точке Определим точки ее пересечения с осью

Ветви второй параболы направлены также влево, а ее вершина совпадает с началом координат.

Определим точки пересечения этих кривых из решения системы

Одна точка пересечения вторая —

Изобразим эту фигуру на чертеже. Здесь проще вычислить площадь по формуле (2) т. е.

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

S(G)=∫abf(x)dx  для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b],

S(G)=-∫abf(x)dx  для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке [a;b].

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y=f(x) или x=g(y).

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y=f(x) и x=g(y).

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Рассмотрим более сложный пример.

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Площадь фигуры ограниченной линиями

Что умеет?

• Находит точки пересечения указанных кривых линий
• Умный робот определяет области, где лежат фигуры, чтобы вычислить их площади. Он делает это, находя точки, где графики пересекаются.
• Помогает находить площади под графиками, вычисляя интегралы.

Примеры кривых

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
  арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
  гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
  гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
  арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
  гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
  гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
  функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x),
  Ci(x),
  Shi(x),
  Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^2

— возведение в квадрат

x^3

— возведение в куб

x^5

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi

— число Пи

e

— основание натурального логарифма

i

— комплексное число

oo

— символ бесконечности

Вычисление площадей плоских фигур является одним из приложений определенного интеграла.

Для того, чтобы получить площадь фигуры изображенной на рисунке, необходимо
вычислить определенный интеграл
вида:

Функции

и

как правило, известны из условия задачи, а вот абсциссы их точек пересечения

и

придется дополнительно найти. Для этого необходимо решить уравнение:

Описанным выше способом, можно также найти площадь криволинейной трапеции в случае, если графики функций

и

не пересекаются, но точки

и

заданы по условию задачи:

В этом случае криволинейная трапеция (фигура площадь которой мы вычисляем) образована графиками функций
,

и прямыми
,
.

Онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, автоматически вычислит площадь фигуры, образованной пересечением двух графиков функций.

Нахождение
площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x),
x=g(y).

В
разделе геометрический
смысл определенного интеграла мы
разобрались с нахождением площади
криволинейной трапеции G.
Вот полученные формулы:

•  для
  непрерывной и неотрицательной
  функции y=f(x) на
  отрезке[a;b],

•  для
  непрерывной и неположительной
  функции y=f(x) на
  отрезке[a;b].

Однако
при решении задач на нахождение площади
очень часто приходится иметь дело с
более сложными фигурами.

В
этой статье мы поговорим о вычислении
площади фигур, границы которых заданы
функциями в явном виде, то есть,
как y=f(x) или x=g(y),
и подробно разберем решение характерных
примеров.

Навигация
по странице.

• Формула
  для вычисления площади фигуры,
  ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).

• Примеры
  вычисления площади фигуры, ограниченной
  линиями y=f(x) или x=g(y).

Формула
для вычисления площади фигуры, ограниченной
линиями y=f(x) или x=g(y).

Теорема.

Пусть
функции  и  определены
и непрерывны на отрезке [a;b],
причем  для
любого значения x из [a;b].
Тогда площадь
фигуры G,
ограниченной линиями x=a, x=b,  и  вычисляется
по формуле .

Аналогичная
формула справедлива для площади фигуры,
ограниченной линиями y=c,y=d,  и : .

Доказательство.

Покажем
справедливость формулы для трех случаев:

В
первом случае, когда обе функции
неотрицательные, в силу свойства
аддитивности площади сумма
площади исходной фигуры G и
криволинейной трапеции  равна
площади фигуры .
Следовательно,

Поэтому, .
Последний переход возможен в силу
третьего свойства
определенного интеграла.

Аналогично,
во втором случае справедливо равенство .
Вот
графическая иллюстрация:

В
третьем случае, когда обе функции
неположительные, имеем .
Проиллюстрируем
это:

Теперь
можно переходить к общему случаю, когда
функции  и пересекают
ось Ox.

Обозначим
точки пересечения .
Эти точки разбивают отрезок [a;
b]на n частей ,
где .
Фигуру Gможно
представить объединением фигур .
Очевидно, что на своем интервале  попадает
под один из трех рассмотренных ранее
случаев, поэтому их площади находятся
как

Следовательно,

Последний
переход справедлив в силу пятого свойства
определенного интеграла.

Графическая
иллюстрация общего случая.

Таким
образом, формула  доказана.

Пришло
время перейти к решению примеров на
нахождение площади фигур, ограниченных
линиями y=f(x) и x=g(y).

К
началу страницы

Примеры
вычисления площади фигуры, ограниченной
линиямиy=f(x) или x=g(y).

Решение
каждой задачи будем начинать с построения
фигуры на плоскости. Это нам позволит
сложную фигуру представить как объединение
более простых фигур. При затруднениях
с построением обращайтесь к статьям: основные
элементарные функции, их свойства и
графики; геометрические
преобразования графиков функций и исследование
функции и построение графика.

Пример.

Вычислить
площадь фигуры, ограниченной параболой  и
прямыми , x=1, x=4.

Решение.

Построим
эти линии на плоскости.

Всюду
на отрезке [1;4] график
параболы  выше
прямой .
Поэтому, применяем полученную ранее
формулу для площади и вычисляем
определенный интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница:

Немного
усложним пример.

Пример.

Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

В
чем здесь отличие от предыдущих примеров?
Ранее у нас всегда были две прямых,
параллельных оси абсцисс, а сейчас
только одна x=7.
Сразу возникает вопрос: где взять второй
предел интегрирования? Давайте для
этого взглянем на чертеж.

Стало
понятно, что нижним пределом интегрирования
при нахождении площади фигуры является
абсцисса точки пересечения графика
прямой y=x и
полу параболы .
Эту абсциссу найдем из равенства:

Следовательно,
абсциссой точки пересечения является x=2.

Обратите
внимание.

В
нашем примере и по чертежу видно, что
линии  и y=x пересекаются
в точке(2;2) и
предыдущие вычисления кажутся излишними.
Но в других случаях все может быть не
так очевидно. Поэтому рекомендуем всегда
аналитически вычислять абсциссы и
ординаты точек пересечения линий.

Очевидно,
график функции y=x расположен
выше графика функции  на
интервале [2;7].
Применяем формулу для вычисления
площади:

Еще
усложним задание.

Пример.

Вычислить
площадь фигуры, ограниченной графиками
функций  и .

Решение.

Построим
график обратной пропорциональности  и
параболы .

Прежде
чем применять формулу для нахождения
площади фигуры, нам нужно определиться
с пределами интегрирования. Для этого
найдем абсциссы точек пересечения
линий, приравняв выражения  и .

При
отличных от нуля значениях x равенство  эквивалентно
уравнению третьей степени  с
целыми коэффициентами. Можете обратиться
к разделу решение
кубических уравнений чтобы
вспомнить алгоритм его решения.

Легко
проверить, что x=1 является
корнем этого уравнения: .

Разделив
выражение  на
двучлен x-1,
имеем:

Таким
образом, оставшиеся корни находятся из
уравнения :

Теперь
из чертежа стало видно, что фигура G заключена
выше синей и ниже красной линии на
интервале .
Таким образом, искомая площадь будет
равна

Рассмотрим
еще один характерный пример.

Пример.

Вычислить
площадь фигуры, ограниченной кривыми  и
осью абсцисс.

Решение.

Сделаем
чертеж.

 —
это обычная степенная функция с
показателем одна треть, график
функции  можно
получить из графика  отобразив
его симметрично относительно оси абсцисс
и подняв на единицу вверх.

Найдем
точки пересечения всех линий.

Ось
абсцисс имеет уравнение y=0.

Графики
функций  и y=0 пересекаются
в точке (0;0) так
как x=0 является
единственным действительным корнем
уравнения .

Графики
функций  и y=0 пересекаются
в точке (2;0),
так как x=2является
единственным корнем уравнения .

Графики
функций  и  пересекаются
в точке (1;1),
так как x=1является
единственным корнем уравнения .
Это утверждение не совсем очевидно,
но  —
функция строго возрастающая, а  —
строго убывающая, поэтому, уравнение  имеет
не более одного корня.

Как
же действовать дальше? Здесь есть
несколько вариантов.

1. Можно
   фигуру G представить
   суммой двух криволинейных трапеций.
   Первая фигура расположена выше оси
   абсцисс и ниже синей линии на отрезке ,
   вторая фигура расположена выше оси
   абсцисс и ниже красной линии на отрезке .
   Следовательно,
   искомая площадь будет равна .

2. Можно
   фигуру G представить
   разностью двух фигур. Первая фигура
   является криволинейной трапецией и
   расположена выше оси Ox и
   ниже синей линии на отрезке ,
   вторая фигура расположена выше красной
   и ниже синей линии на отрезке .
   В
   этом случае площадь представляем как .

3. А
   можно фигуру G рассматривать
   на отрезке ,
   заключенной правее синей линии и левее
   красной. Вот
   на этом варианте и остановимся.

Единственное
замечание: в этом случае для нахождения
площади придется использовать формулу
вида .
То есть, ограничивающие линии нужно
представить в виде функций от аргумента y.
Это сделать в нашем случае достаточно
легко. Разрешим уравнения  и  относительно x:

Таким
образом, искомая площадь равна

Мы
бы пришли к этому же результату и в двух
других случаях.

Можно
переходить к последнему примеру.

Пример.

Вычислить
площадь плоской фигуры, ограниченной
линиями .

Решение.

С
построением этих линий проблем возникнуть
не должно. На чертеже красной линией
изображен график функции ,
синей линией ,
а черной линией .

Определим
точки пересечения линий.

Начнем
с графиков функций  и :

Найдем
точку пересечения графиков функций  и :

Осталось
найти точку пересечения прямых  и :

Дальше
можно поступить двояко:

• Площадь
  искомой фигуры можно представить суммой
  площадей фигур, изображенных на рисунке

Тогда
площадь фигуры равна:

• Также
  можно было площадь исходной фигуры
  выразить суммой площадей, показанных
  на чертеже

Для
этого случая, перед применением формулы
для вычисления площади фигуры, разрешим
уравнения линий относительно x:

Таким
образом, площадь равна:

Как
видите, значения совпадают.

К
началу страницы

Подведем
итог.

Мы
разобрали все наиболее часто встречающиеся
случаи нахождения площади фигуры,
ограниченной явно заданными линиями.
Для этого нужно уметь строить линии на
плоскости, находить точки пересечения
линий и применять формулу для нахождения
площади, что подразумевает наличие
навыков вычисления определенных
интегралов.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #