Периметр и площадь треугольника
Периметр
Периметр любого треугольника равен сумме длин трёх его сторон. Общая формула для нахождения периметра треугольников:
где P — это периметр треугольника, a, b и c — его стороны.
Периметр равнобедренного треугольника можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину боковой стороны на 2 и прибавив к произведению длину основания. Общая формула для нахождения периметра равнобедренных треугольников будет выглядеть так:
где P — это периметр равнобедренного треугольника, a — любая из боковых сторон, b — основание.
Периметр равностороннего треугольника можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину любой его стороны на 3. Общая формула для нахождения периметра равносторонних треугольников будет выглядеть так:
где P — это периметр равностороннего треугольника, a — любая из его сторон.
Площадь
Для измерения площади треугольника можно сравнить его с параллелограммом. Рассмотрим треугольник ABC:
Если взять равный ему треугольник и приставить его так, чтобы получился параллелограмм, то получится параллелограмм с той же высотой и основанием, что и у данного треугольника:
В данном случае общая сторона сложенных вместе треугольников является диагональю образованного параллелограмма. Из свойства параллелограммов известно, что диагональ всегда делит параллелограмм на два равных треугольника, значит площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма.
Так как площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, то площадь треугольника будет равна половине этого произведения. Значит для ΔABC площадь будет равна
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник:
Два равных прямоугольных треугольника можно сложить в прямоугольник, если прислонить их друг к другу гипотенузой. Так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то площадь данного треугольника равна:
Из это можно сделать вывод, что площадь любого прямоугольного треугольника равна произведению катетов, разделённому на 2.
Из данных примеров можно сделать вывод, что площадь любого треугольника равна произведению длин основания и высоты, опущенной на основание, разделённому на 2.
Общая формула площади треугольника:
где S — это площадь треугольника, a — его основание, ha — высота, опущенная на основание a.
Формулы определения периметра, площади и сторон треугольника
Треугольник — это элементарная геометрическая фигура, содержащая минимально возможное количество составляющих — три.
Точки соприкосновения сторон являются вершинами его углов, обозначаются заглавными латинскими символами A; B и C. Отрезки между вершинами являются сторонами или гранями треугольника и обозначаются названиями этих вершин: AB; BC; CA или прописной буквой противолежащего угла (вершины): AB=c; BC=a; CA=b.
Периметр равен длине всех сторон фигуры, у треугольника он равен сумме трех сторон:
Высота треугольника — это перпендикуляр от прямой, на которой лежит основание, до одноименной вершины, обозначается h.
Площадь составляет величину поверхности, заключенной внутри фигуры, обозначается S. Произведение основания на высоту дает значение площади. Ее можно определить и по формуле Герона:
Из этого видео вы узнаете, как найти площадь треугольника.
Классификация треугольников
Треугольник состоит из сторон и углов, сумма его углов всегда равна 180 градусов: A+B+C=180°.
- Равноугольный: все вершины равны 60°, будет и равносторонним.
- Равнобедренный: при равенстве двух граней углы на основании равны.
- Разноугольный: все вершины разные, ребра у него тоже разные.
- Прямоугольный: один угол равен 90°, примыкающие грани называются катеты, противолежащая — гипотенуза. Бывает равнобедренным (катеты равны) или разноугольным (катеты разные).
- Тупоугольный: один угол больше 90°. Может быть равнобедренным или разноугольным.
Описание
Чтобы описать любой треугольник, достаточно указать:
- Одну сторону и прилегающие к ней углы.
- Две стороны и угол между ними.
- Три стороны.
Данных из любого пункта достаточно для построения заданной фигуры и вычисления всех ее параметров, используя теорему косинусов:
Подставляя известные значения, получим уравнение, решив которое узнаем неизвестные величины.
Cos90°=0, поэтому для прямоугольного треугольника c*c=a*a+b*b, где a и b — катеты, c — гипотенуза, сторона, лежащая напротив прямого угла.
Примеры
Известно, что одна грань равна 9 см и прилегающие углы по 60 градусов. Тогда из того, что сумма углов всегда равна 180°, получаем: 180=60+60+x; x=180—120=60. Все три вершины по 60°, значит, все стороны равны. Периметр составляет P=9+9+9=27 см, полупериметр p=13,5 см. Чтобы найти высоту, нужно опустить перпендикуляр из вершины на основание, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 9 см, катетом 4,5 см и катетом неизвестной длины, равным искомой высоте: 9*9—4,5*4,5=60,75=h 2 .
Высота равна корню квадратному из 60,75 или 7,79422863406 см. Умножаем основание на высоту, делим пополам и получаем площадь: 7,79422863406*9/2=35,074028853 см 2 . Если находить площадь по формуле Герона через полупериметр и ребра, ответ будет одинаковый:
S=√(13,5·(13,5—9)·(13,5—9)·(13,5—9))=35,074028853 см 2 .
Следующий пример с разносторонним треугольником. Дано: AB=12 см, BC=10 см, CA=8 см. Требуется найти периметр и площадь фигуры. P=a+b+c=BC+CA+AB=10 см+8 см+12 см=30 см. Площадь находим по формуле Герона, подставляя в нее уже известные значения, учитывая, что p=0,5Р; p=15 см. S=√(p·(p—a)·(p—b)·(p—c))=√(15·(15—10)·(15—8)·(15—12))=√15·5·7·3=√1575=39,686269666 см 2 .
Рассмотрим пример, когда известны два катета прямоугольного треугольника. Допустим, они имеют значения два и четыре метра. Тогда гипотенуза будет равна корню квадратному из суммы квадратов катетов √2 2 +4 2 =4,472135955 м. Периметр 2+4+4,472135955=10,472135955. Площадь равна половине произведения катетов S=2·4=8м 2 .
Когда известны две стороны и угол между ними, остается найти только третью сторону по теореме косинусов. Пусть известные стороны составляют значения 16 и 28 метров, а угол между ними будет в 60 градусов, тогда третья сторона будет равна корню квадратному из этого выражения 16 2 +28 2 — 2·16·28·0,5, что составит значение в 24,3310501212 м. Периметр равен 16+28+24,3310501212=68,3310501212≈68,33 м. Полупериметр будет 34,165 м. Подставляя полученные значения в формулу Герона, найдем площадь S=√(34,165·(34,165—16)·(34,165—28)·(34,165—24,33))=193,982314238 м 2 .
Если известно три параметра любого треугольника — два угла и сторона или две стороны и угол между ними, то ничего особенно сложного в нахождении неизвестных параметров треугольника — периметра, площади или высоты — нет. Нужно только внимательно производить простые вычисления. Иногда можно проявить и смекалку, разбив фигуру на несколько более простых в вычислении, например, прямоугольных треугольников. В каждом конкретном случае все зависит от исходных данных. Все формулы и вычисления, приведенные выше, верны для плоских фигур; для расположенных на сферической поверхности ход вычислений будет иным.
Видео
Это видео поможет вам закрепить полученные знания.
Площадь и периметр треугольника
Треугольник это геометрическая фигура (многоугольник), ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех отрезков.
Периметр
Периметр треугольника равняется сумме всех его сторон: P = a + b + c,
где P это периметр и a, b, c – стороны треугольника.
Расчет периметра
Площадь треугольника
1. Самая простая формула для расчета площади это произведение основания и высоты треугольника, поделенное на 2: S = (a · h)/2,
где S это площдаь, a – основание, h – высота.
2. Вторая формула для расчета площади: по радиусу вписанной окружности и периметру: S = (r · P)/2 = r · p,
где r это радиус вписанной окружности, P – периметр треугольника, p – половина периметра треугольника (p = P/2)
Расчет:
3. Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними: S = a · b · sin γ)/2 = (b · c · sin α)/2 = (a · c · sin β)/2,
где a, b, c это стороны треугольника и α, β, γ – его внутренние углы.
4. Формула Герона или площадь треугольника по его трем сторонам: S = √ p · (p — a)(p — b)(p — c) ,
где a, b и c это стороны треугольника и p – половина периметра треугольника.
http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/formuly-opredeleniya-perimetra-ploshhadi-i-storon-treugolnika
Содержание:
- Формулы
- Примеры вычисления площади треугольника
Формулы
Первый способ. Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними (рис. 1).
То есть если известны длины двух сторон треугольника
$ABC$, которые равны
$a$ и
$b$, а также угол
$alpha$ между этими сторонами, то искомая площадь:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a b sin alpha$$
Второй способ. Чтобы найти площадь треугольника, нужно сторону умножить на высоту, проведенную к этой стороне (рис. 2),
и полученное произведение поделить на два. То есть если сторона треугольника
$ABC$ равна
$a$, а длина высоты, проведенной к этой стороне
— $h_{a}$, то имеет место формула:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a h_{a}$$
Третий способ. Чтобы найти площадь треугольника
$ABC$, если известны длины всех его трех сторон
$a$,
$b$ и
$c$, нужно воспользоваться формулой Герона:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
где $p=frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.
Четвертый способ. Чтобы найти площадь треугольника
$ABC$, нужно радиус
$r$ вписанной в этот треугольник окружности умножить на полупериметр
$p$ треугольника:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=r p$$
Пятый способ. Чтобы найти площадь треугольника со сторонами
$a$,
$b$ и
$c$, нужно произведение этих сторон поделить на четыре радиуса
$R$, описанной около треугольника окружности:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{a b c}{4 R}$$
Примеры вычисления площади треугольника
Пример
Задание. Найти площадь треугольника
$ABC$, если известны длины двух его сторон 3 см и 5 см
соответственно, а также угол между этими сторонами, который равен
$30^{circ}$.
Решение. Искомая площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то есть
$begin{aligned} mathrm{S}_{Delta A B C}=& frac{1}{2} a b sin alpha=frac{1}{2} cdot 3 cdot 5 cdot sin 30^{circ}=\ &=frac{15}{2} cdot frac{1}{2}=frac{15}{4}left(mathrm{cm}^{2}right) end{aligned}$
Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{15}{4}$ (см2)
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Чему равна высота треугольника
$ABC$, проведенная к стороне длины 2 см, если площадь
этого треугольника равна 6 см2 ?
Решение. Так как площадь треугольника в два раза меньше произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a h_{a}$$
то отсюда получаем, что искомая высота
$h_{a}=frac{2 mathrm{S}_{Delta A B C}}{a}=frac{2 cdot 6}{2}=6$ (см)
Ответ. $h_{a}=6$ (см)
Читать дальше: как найти площадь прямоугольного треугольника.
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Как найти площадь треугольника с прямыми углами при условии, что длина его
катета составляет 5 сантиметров, а гипотенузы – 13 сантиметров?
Длина катета (а) = 5 см.
Длина гипотенузы (с) = 13 см.
Используя теорему Пифагора, определим длину второго катета:
в² = с² -а² = 169 — 25 = 144
в = 12
Рассчитать площадь прямоугольного треугольника можно по формуле:
S = 0,5ав = 0,5*5*12 = 30
Ответ: S прямоугольного треугольника равна 30 кв.см.
Как найти площадь треугольника?
Для того чтобы вычислить площадь (S) треугольника, следует произвести
умножение длины его основания (а) на длину высоты к основанию (h), а затем
разделить полученное число пополам:
S=1/2 (а*h)
Как найти площадь треугольника при условии, что длина каждой его стороны
является известной величиной?
Если длина каждой стороны треугольника известна, то вычислить его площадь
(S) можно, используя формулу Герона:
S= √ (p * (p — a)*(p — b)*(p — c))
a,b,c – длина каждой из трех сторон;
р – полупериметр треугольника, который равен сумме длин всех сторон,
разделенной на 2.
Как найти площадь треугольника, зная 3 точки: А(1;8), В(7;8) и С(6;6)?
По условию задачи известны 3 точки, являющиеся вершинами треугольника АВС,
площадь (S) которого нужно вычислить. Это точки А(1;8), В(7;8) и С(6;6).
Две из трех известных точек расположены на прямой, которая параллельна оси
Х, ввиду того что координаты Ya и Yb одинаковы. Это точки А и В. Это
означает, что высота треугольника (h), которая опущена на сторону АВ из
вершины С (6;6), является числом, полученным в результате вычитания из
координаты Ya или Yb координаты Yc:
8-6=2.
Для того чтобы определить длину стороны АВ, нужно от координаты Xb вычесть
координату Xa:
7-1=6.
Теперь можно вычислить площадь треугольника (S):
(1/2)*AB*h = (1/2)*6*2 =6 ед.
Ответ: S = 6 ед.кв.
Как найти площадь треугольника через синус при условии, что известны две
стороны а = 3 и b = 4, а также угол γ= 30°?
Формула расчета площади треугольника (S) через синус применима в случае,
когда известны длины 2-х его сторон и угол, образованный между ними. При
этом следует воспользоваться таблицей синусов, согласно которой синус угла
в 30° = 0,5.
S = (1/2)*3*4*0,5=3.
Ответ: S треугольника = 3 см.кв.
Как найти площадь треугольника через синус, если известно, что длина одной
его стороны равна 12, другой – 16, а синус угла между ними – ¼?
Зная длины двух сторон треугольника и синус угла между ними, можно
рассчитать его площадь. Она будет равна ½ произведений длин его сторон,
умноженной на значение синуса угла между ними:
12*16*0,5*0,25=24.
Ответ: S треугольника = 24 см.кв.
Как найти площадь треугольника АВС, а также вычислить синус его угла А,
зная, что AC=BC=5;AB=6?
Площадь треугольника АВС можно рассчитать, воспользовавшись формулой
Герона:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(8*2*3*3)=√144=12 (ед.²).
Найти синус угла А можно по следующей формуле:
S=12 * АВ * АС * sin∠A
12 * 6 * 5 * sin∠A = 1215 * sin∠A = 12
sin∠A = 1215 = 0,8
Ответ: sin∠A = 0,8.
Как найти площадь треугольника через синус, если длина одной стороны равна 5
см, другой – 12 см, а синус угла, образованного между ними равен 0,2?
Для того чтобы вычислить площадь треугольника (S), зная параметры,
указанные в задаче, следует воспользоваться нижеприведенной формулой:
S= (a b sinα)/2 = (5·12·0,2)/2 =6
Ответ: S треугольника = 6 см.кв.
Как найти синус угла С в треугольнике АВС, если известно, что АВ=ВС=1 и
АС=2?
Для начала нужно убедиться в том, что заданная фигура с параметрами
АВ=ВС=1, АС=2 действительно представляет собой треугольник.
Длины двух сторон треугольника в сумме не могут быть равны или меньше
длине его третьей стороны. В данном случае:
1+1=2, то есть АВ+ВС=АС
Следует помнить, что говорить о фигуре как о треугольнике можно только в
том случае, когда сумма длин двух любых его сторон больше длины третьей
стороны.
Ответ: при заданных параметрах треугольника нет, и вычислить синус угла в
данном случае невозможно.
Как найти синус наибольшего внутреннего угла треугольника АВС, если
известно, что AB=13, BC=14, AC=15?
Сторона треугольника, которая имеет наибольшую длину, является
противоположной его наибольшему углу. В данном случае сторона АС имеет
наибольшую длину (15 см), это значит, что наибольшим углом является угол
В.
Перейдем к построению треугольника.
Нужно провести к стороне ВС высоту АН. Синусом наибольшего угла В является
отношение АН:АВ. Теперь можно вычислить высоту из площади треугольника,
рассчитанной по формуле Герона и равной 84 см:
S=ah:2
h=2S:a
h=ВН=2*84:14= 12
sin B=12:13=0,923
Ответ: sin B = 0,923.
Чему равна площадь треугольника, если две сходственные стороны подобного ему
треугольника, площадь которого 32 см.кв., равны 5 см и 10 см?
В условии говорится о том, что треугольники являются подобными. Также
приведены длины двух сходственных сторон. Эти данные можно использовать,
для того чтобы вычислить коэффициент подобия:
К = 10/5 = 2
Известно, что квадрат коэффициента подобия равен отношению площадей двух
треугольников, являющихся подобными. Это означает, что в заданном случае
площадь второго треугольника в четыре раза превышает площадь первого из
них. Зная это, можно найти площадь первого треугольника следующим образом:
32:4 = 8 см.кв.
Ответ: Площадь первого треугольника – 8 см.кв.
Чему равна площадь треугольника АВС, если он является прямоугольным, и
известно, что катеты равны 2,5 см и 4 см?
Произведение катетов прямоугольного треугольника, разделенное на два,
равно его площади. Для того чтобы дать ответ на поставленный вопрос, нужно
перемножить катеты (2,5*4=10) и разделить полученное число на 2 (10/2=5).
Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 5 см.кв.
Чему равна площадь треугольника, образовавшегося в результате разделения на
два треугольника квадрата, сторона которого равна 4 см?
Для начала нужно рассчитать площадь квадрата:
4*4 = 16 см.кв.
Теперь можно вычислить площадь одного из получившихся в результате
треугольников:
16/2 = 8 см.кв.
Ответ: Площадь треугольника равна 8 см.кв.
Дано: два подобных треугольника, длины двух сходственных сторон которых
равны 3 см и 9 см Площадь одного из треугольников – 9 см.кв. Чему равна
площадь другого треугольника?
Квадраты сходственных сторон двух подобных треугольников относятся как их
площади. Это значит, что:
(9/3)²=х/9,
где х – это площадь треугольника, которую нужно вычислить.
9=х/9,
откуда х=81см.кв.
Ответ: Площадь треугольника – 81 см.кв.
Известна площадь треугольника (208 см), основание которого было разбито
высотой на два отрезка длиной 22 см и 10 см. Чему равна площадь
треугольника, являющегося меньшим из двух образовавшихся?
Сначала нужно найти длину всего основания:
10+22 = 32 см.
Теперь можно вычислить площадь меньшего из двух треугольников:
208 / 32 * 10 = 65 см.кв.
Ответ: Площадь меньшего треугольника составляет 65 см.кв.
Чему равна площадь треугольника через синус, если две его стороны имеют
длины 3 см и 8 см, а угол между ними равен 120?
Для того чтобы рассчитать площадь треугольника, нужно найти
полупроизведение двух его сторон на синус угла, образованного между ними:
S=1/2 * 3*8*sin120=1/2*3*8*cos30=12*√3/2=6√3.
Какова формула расчета площади треугольника?
Площадь треугольника можно найти, если разделить на два число, полученное
в результате умножения высоты (h), опущенной на его основание, на длину
самого основания (а):
S=1/2*(h*a).
Как вычислить площадь треугольника по формуле 3-го класса?
В случае треугольника с прямыми углами, его площадь вычисляется по
формуле:
S=a*b/2,
где а и b – это стороны, которые прилегают к прямому углу.
Во всех остальных случаях рассчитать площадь треугольника можно следующим
образом:
S=a*h/2,
где а – сторона,
h – высота.
Какую формулу нужно использовать, чтобы вычислить площадь треугольника, зная
2 его стороны и угол, образованный между ними?
Для вычисления площади треугольника по длинам двух его сторон и
находящемуся между ними углу, нужно пользоваться формулой:
S = 1a*b*sin γ2.
Возможно ли доказать, что по формуле S= 1/2 Pr можно вычислить площадь
треугольника?
Имеется:
— треугольник АВС;
— О – центр вписанной окружности, точка пересечения биссектрис;
— Н – точка касания окружности на АВ;
— К – точка на ВС;
М – точка на АС.
Нужно провести ОА, ОВ, ОС, а также перпендикулярные радиусы в точки
касания — ОН, ОК, ОМ, ОН=ОК=ОМ=радиус=r. Площадь треугольника АВО будет
равна:
S = 1/2АВ*ОН.
Площадь ВОС рассчитывается так:
S = 1/2ВС*ОК.
Площадь АОС:
S = 1/2АС*ОМ
Площадь заданного треугольника АВС можно найти следующим образом:
S АВС = S АОВ + S ВОС + S АОС = 1/2АВ*ОН+1/2ВС*ОК+1/2АС*ОМ.
Однако ОН=ОК=ОМ=r.
Тогда S АВС = 1/2*r*(АВ+ВС+АС).
Но АВ+ВС+АС= периметр Р, что означает, что
S АВС = 1/2*Р*r.
Как вычислить площадь треугольника при помощи формулы Герона, если дано, что
его стороны равны 6 см, 8 см и 10 см?
Сначала следует произвести расчет полупериметра (р):
р=(6+8+10):2=12 см.
Далее, используя формулу Герона, можно найти площадь треугольника (S):
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(12*6*4*2)=√576=24 см.кв.
Каким образом можно доказать тот факт, что радиус окружности, которая
описана вокруг треугольника, вычисляется по формуле R=a*b*c/4S, где а,b, с –
это стороны треугольника, S — его площадь?
Высота к стороне треугольника находится по формуле b*sin(C). Отсюда можно
найти его площадь S = a*b*sin(C)/2. При этом следует принимать во внимание
теорему синусов, согласно которой c = 2*R*sin(C); или sin(C) = c/(2*R).
Тогда площадь S = a*b*c/4R. Именно это требовалось доказать.
Что представляет собой формула расчета площади треугольника ROF, в случае
если R(0;5),О(0;0),F(2;0)?
Полагаясь на координаты, можно утверждать, что точка R лежит на оси Y и
находится на расстоянии в пять единиц от начала отсчета. При этом точка F
находится на оси X, на расстоянии двух единиц от начала отсчета. Заданный
треугольник является прямоугольным. RO равна 5 единицам длины, FO – двум
единицам длины. В этом случае площадь треугольника ROF равна:
S =RO*FO/2=5*2/2=5(единиц длины)².
Как вычислить площадь треугольника, использовав формулу Герона?
Формула Герона, предназначенная для вычисления площади треугольника,
выгладит так:
S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c) ),
где а,b, с – это стороны треугольника,
р – полупериметр, рассчитываемый как Р/2.
Какова формула, по которой можно вычислить площадь треугольника, зная три
стороны и радиус описанной окружности?
Если известны длины трех сторон треугольника (а,b, с), а также радиус
описанной окружности (R), то можно рассчитать площадь треугольника (S) по
следующей формуле:
S = a*b*с/4R.
Как можно найти длину одной стороны треугольника b, используя формулу
расчета его площади S=abc/4R?
В случае необходимости выразить длину одной из сторон треугольника b из
формулы расчета его площади S=abc/4R, нужно произвести умножение всего
выражения на 4R:
S4R=abc.
После этого нужно произвести деление всего на ac:
S4R/ac=b.
Можно ли привести доказательство того, что радиус вписанной в треугольник
окружности (r), рассчитывается по формуле r =2S/a+b+c, в которой а,b, с –
это стороны треугольника, S – его площадь?
В случае соединения вершин треугольника с центром окружности, вписанной в
него, в результате произойдет его деление на 3 треугольника. Радиус в
точке касания будет выступать в роли высоты в каждом из них. Из этого
вытекает формула:
S = pr,
где р – полупериметр.
Возможно ли из формулы S=aha/2, используемой для вычисления площади
треугольника, выразить и вычислить одну из его сторон а, при условии, что
площадь равна 21 см, а высота ha – 7 см?
Ответ на поставленный вопрос выглядит следующим образом:
S=aha/2
a=2S/ha
a=2*21/7=6 см.
Ответ: Длина стороны а равна 6 см.
Какую формулу нахождения площади треугольника следует применять, когда
известно, что три катета равны 3 см, 5 см и 4 см?
Формула S=12 bа для прямоугольного треугольника с двумя катетами (а и b)
и гипотенузой с. В представленной задаче а=3 см, b=4 см, с=5 см. Согласно
таблице Пифагора с²=а²+в². В нашем случае 5²=3²+4², 25=9+16) и S=12*3*4=6
cм. кв.
Какова формула нахождения площади треугольника, длины трех сторон которого
равны 16 см, 24 см и 32 см?
Площадь треугольника можно рассчитать, применяя формулу Герона:
S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
в которой р обозначает полупериметр, вычисляемый как сумма длин всех
сторон треугольника, разделенная на 2: р=(16+24+32)/2=36.
В формуле стороны треугольника обозначены как a, b, c.
S=√36*20*12*4 = 48√15 cм.кв.
S = a*b*c/(4R) – это формула нахождения площади треугольника. В ней a, b и
с – это его стороны, а R – это радиус окружности, которая описана вокруг
данного треугольника. Каким образом можно использовать данную формулу,
чтобы найти площадь треугольника, если а = 11, b = 13, с = 20 и R = 65/6?
Сначала нужно перемножить длины всех сторон треугольника:
a*b*с = 11*13*20 = 2860.
Четыре радиуса окружности равны:
4/(65/6) = 130/3.
Из этого следует, что площадь треугольника будет равна:
S = 2860/(130/3) = 8580/130 = 66 см. кв.
Каковы формулы нахождения площади треугольника?
Существует несколько формул, которыми можно пользоваться для вычисления
площади треугольника:
1. S = 1/2*bh, в которой b – это основание фигуры, а h – проведенная к
нему высота.
2. S = 1/2*ahₐ, где а обозначает длину стороны треугольника, а hₐ —
проведенная к этой стороне высота.
3. Формула Герона: S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c) ), в которой стороны
треугольника обозначены как а,b, с. Полупериметр (Р/2) обозначен как р.
4. S=р*r, или полупериметр*радиус вписанной окружности.
5. S= 1/2*ab*sinα, где a и b – это стороны треугольника, α – угол,
образованный между ними.
6. S = (a*b*c) / 4R, в которой радиус описанной окружности обозначен R, а
стороны треугольника — а,b,с.
Прямоугольник, периметр которого равен 40 см, вписан в треугольник со
сторонами 20 см, 34 см и 42 см таким образом, что одна из его сторон лежит
на стороне треугольника, являющейся наибольшей. Чему равны стороны
треугольника?
Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:
S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c)) = √ (48*(48-20)*(48-34)*(48-42)) = 336 см. кв.
Отсюда следует, что высота, проведенная к стороне 42 рассчитывается так:
Н = 2*336/48 = 16.
Верхняя сторона прямоугольника отсекает подобный треугольник (x — сторона
II основанию 42, y — сторона II высоте H = 16), из чего следует очевидная
пропорция (16 — y)/16 = x/42, согласно которой отношение высот равно
отношению оснований. По условию x + y = 20. Решив данную систему двумя
уравнениями с двумя неизвестными, получаем следующее:
х = 84/13; y = 176/13.
Длина большей стороны треугольника равна 16 см. Число 0,4 является
разностью длин двух других его сторон. Чему равны стороны треугольника при
условии, что его периметр равен 0,38 м?
Схема решения задачи:
а (большая сторона треугольника) = 16 см.
b-с = 0,4 см., b = 0,4+с.
Периметр (Р) = 38 см.
16+0,4+с+с = 38 см.
2с = 21,6 см.
с = 21,6/2 = 10,8 см.
b = 10,8+0,4 = 11,2 см.
Каким способом можно доказать то, что два треугольника с равными сторонами
равны между собой при условии, что стороны одного из них равны стороне
другого?
Для равносторонних треугольников характерно равенство длин всех трех
сторон. Если одна его сторона равна а, то и обе другие тоже будут равны а.
Если же все стороны треугольников равны, то это равенство соблюдается по 3
признаку.
Длины двух сторон треугольника с периметром 19 см равны 6 см и 4 см. Чему
равна третья сторона данного треугольника?
Известно, что периметр треугольника является суммой длин всех его сторон и
рассчитывается по формуле:
Р = а+ b+с.
В данном случае:
19 = 6+4+с
19 = 10+с
с = 19-10 = 9 см.
Ответ: Длина третьей стороны треугольника – 9 см.
Наименьшая сторона треугольника имеет длину 5 см. Чему равны другие стороны
этого треугольника при условии, что стороны треугольника, являющегося
подобным ему, равны 8 см, 2 см и 9 см?
Сначала необходимо вычислить коэффициент подобия двух этих треугольников.
Он равен отношению сходственных сторон:
к = 5/2.
Теперь нужно рассчитать длины других сторон первого из треугольников. Одна
из них, которая является сходственной стороне второго из треугольников
длиной 8 см, рассчитывается следующим образом:
8*к = 9*5/2 = 20 см.
Еще одна сторона первого треугольника, сходственная стороне другого из
них, которая имеет длину 9 см, вычисляется так:
9*к = 9*5/2 = 22,5 см.
Три стороны треугольника имеют длины 8 см, 24 см и 22 см. Произведение длин
всех трех сторон подобного треугольника равно 66. Чему равны стороны
подобного треугольника?
Следует найти отношение этих сторон:
4/12/11.
Отношение всех сторон подобного треугольника будет таким же.
Одну из сторон подобного треугольника обозначим 4х, вторую сторону – 12х,
а третью – 11х. В результате получается следующее уравнение:
4х*12х*11х = 66
528х^3 = 66
x^3 = 66:528
x^3 = 0,125
x = корень 3-ей степени из 0,125 = 0,5.
Первая сторона треугольника = 4х = 4*0,5 = 2 см.
Вторая сторона треугольника = 12х = 12*0,5 = 6 см.
Третья сторона треугольника = 11х = 11*0,5 = 5,5 см.
Проверка: 2*6*5,5 = 66 см.
Две стороны треугольника имеют длины 6 см и 8 см. Его медиана, которая
проведена к третьей из сторон, равна √46 см. Чему равна третья сторона
треугольника?
Имеется треугольник АВС, в котором АВ = 6 см, ВС = 8 см, ВD – медиана на
АС = √46 см (2*АВ в квадрате+2*ВС в квадрате-АС в квадрате). √46 см. =
½*√(2*36+2*64-АС в квадрате), каждую часть возводим в квадрат,
4*46=72+128-АС в квадрате, АС в квадрате=16, АС=4.
Ответ: Длина третьей стороны треугольника равна 4 см.
Две из трех сторон треугольника равны 1 см и 3 см. Чему равна третья сторона
этого же треугольника?
Если предположить, что третья сторона треугольника равна 1 см, то в этом
случае не получится соблюсти неравенство 1 см+1 см = 2 см. В этом случае 3
см больше 2 см, а должно быть меньше. Если длина неизвестной стороны равна
2 см, то неравенство снова не соблюдается: 2 см+1 см = 3, тогда 3 см =3
см, чего тоже не может быть ввиду того, что одна из сторон треугольника
обязательно должна быть меньше суммы двух других его сторон. Если принять
длину третьей стороны равной 3 см, то получается 1 см+3 см = 4 см, 3<4. В этом случае неравенство выполняется. 3 см +3 см=6 см, 3<6. Неравенство снова соблюдено. Возьмем за длину третьей стороны 4 см: 3 см+1 см=4 см, 4=4. Неравенство не соблюдено. Это значит, что и последующими числами оно не будет соблюдено.
Ответ: Третья сторона треугольника равна 3 см.
Как узнать площадь треугольника, являющегося прямоугольным?
Для того чтобы рассчитать площадь треугольника (S) с прямыми углами,
следует воспользоваться приведенной ниже формулой:
S = ½* ab,
где a и b – катеты.
Как узнать площадь треугольника с прямыми углами, катеты которого равны 5 см
и 4 см?
Площадь треугольника с прямыми углами равна ½ от произведения его катетов:
S = (5*4)/2=20/2=10 см. кв.
Как узнать площадь треугольника, используя измерения и вычисления?
Для того чтобы получить возможность вычислить площадь треугольника,
необходимо произвести замеры его основания (а) и высоты (h). Тогда площадь
может быть рассчитана по следующей формуле:
S=ah/2.
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
33 279
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
- Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
- Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
- Поделите все на 4.
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
Делайте так:
- Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
- Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
- Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
- Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
- Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
- Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
- Найдите квадратный корень.
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
( 32 оценки, среднее 4.44 из 5 )
Оцените статью
ЕЖЕНЕДЕЛЬНАЯ РАССЫЛКА
Получайте самые интересные статьи по почте и подписывайтесь на наши социальные сети
ПОДПИСАТЬСЯ
Как найти площадь любого треугольника
Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.
Как найти площадь любого треугольника
Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.
Зная сторону и высоту
- Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — сторона треугольника.
- h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.
Зная две стороны и угол между ними
- Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
- Найдите синус угла между выбранными сторонами.
- Перемножьте полученные числа.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a и b — стороны треугольника.
- α — угол между сторонами a и b.
Зная три стороны (формула Герона)
- Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
- Найдите произведение полученных чисел.
- Умножьте результат на полупериметр.
- Найдите корень из полученного числа.
- S — искомая площадь треугольника.
- a, b, c — стороны треугольника.
- p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).
Зная три стороны и радиус описанной окружности
- Найдите произведение всех сторон треугольника.
- Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.
- S — искомая площадь треугольника.
- R — радиус описанной окружности.
- a, b, c — стороны треугольника.
Зная радиус вписанной окружности и полупериметр
Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.
- S — искомая площадь треугольника.
- r — радиус вписанной окружности.
- p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).
Как найти площадь прямоугольного треугольника
- Посчитайте произведение катетов треугольника.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.
Как найти площадь равнобедренного треугольника
- Умножьте основание на высоту треугольника.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
- h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.
Как найти площадь равностороннего треугольника
- Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
- Поделите результат на четыре.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.
Читайте также 🧠👨🏻🎓✍🏻
- 7 причин полюбить математику
- ТЕСТ: Помните ли вы геометрию?
- 10 хитрых головоломок со спичками для тренировки воображения
- Интересные математические факты для тех, кто хочет больше узнать о мире вокруг
- ТЕСТ: Сможете ли вы решить простые математические примеры?
Калькулятор площади треугольника онлайн подробно опишет как находить площадь любого треугольника.
Различные формулы для вычисления площади треугольников подскажут как это сделать самостоятельно или просто введите данные вашего треугольника и получите подробное решение с ответом.
Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек (вершины треугольника), не лежащих на одной прямой, соедененных тремя отрезками (стороны треугольника).
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (составляет 90 градусов).
Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а другая — основанием.
Площадь треугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.
Скачать все формулы в формате Word