Как найти площадь пирамиды примеры - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Определение пирамиды

Пирамида — это многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его являются треугольниками.

Онлайн-калькулятор площади поверхности пирамиды

Стоит остановиться на определении некоторых составляющих пирамиды.

У нее, как и у других многогранников, есть ребра. Они сходятся к одной точке, которая называется вершиной пирамиды. В ее основании может лежать произвольный многоугольник. Гранью называется геометрическая фигура, образованная одной из сторон основания и двумя ближайшими ребрами. В нашем случае это треугольник. Высотой пирамиды называется расстояние от плоскости, в которой лежит ее основание, до вершины многогранника. Для правильной пирамиды существует еще понятие апофемы — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к её основанию.

Виды пирамид

Существуют 3 вида пирамид:

Прямоугольная — та, у которой какое-либо ребро образует прямой угол с основанием.
Правильная — у нее основание – правильная геометрическая фигура, а вершина самого многоугольника является проекцией центра основания.
Тетраэдр — пирамида, составленная из треугольников. Причем каждый из них может быть принят за основание.

Формула площади поверхности пирамиды

Для нахождения полной площади поверхности пирамиды нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.

Самой простой является случай правильной пирамиды, поэтому нею мы и займемся. Вычислим полную площадь поверхности такой пирамиды. Площадь боковой поверхности равна:

Sбок=12⋅l⋅pS_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p

ll — апофема пирамиды;
pp — периметр основания пирамиды.

Полная площадь поверхности пирамиды:

S=Sбок+SоснS=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}

SбокS_{text{бок}} — площадь боковой поверхности пирамиды;
SоснS_{text{осн}} — площадь основания пирамиды.

Пример решения задачи.

Пример

Найти полную площадь треугольной пирамиды, если её апофема равна 8 (см.), а в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 3 (см.)

Решение

l=8l=8
a=3a=3

Найдем периметр основания. Так как в основании лежит равносторонний треугольник со стороной aa, то его периметр pp (сумма всех его сторон):

p=a+a+a=3⋅a=3⋅3=9p=a+a+a=3cdot a=3cdot 3=9

Тогда боковая площадь пирамиды:

Sбок=12⋅l⋅p=12⋅8⋅9=36S_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p=frac{1}{2}cdot 8cdot 9=36 (см. кв.)

Теперь найдем площадь основания пирамиды, то есть площадь треугольника. В нашем случае треугольник равносторонний и его площадь можно вычислить по формуле:

Sосн=3⋅a24S_{text{осн}}=frac{sqrt{3}cdot a^2}{4}

aa — сторона треугольника.

Получаем:

Sосн=3⋅a24=3⋅324≈3.9S_{text{осн}}=frac{sqrt{3}cdot a^2}{4}=frac{sqrt{3}cdot 3^2}{4}approx3.9 (см. кв.)

Полная площадь:

S=Sбок+Sосн≈36+3.9=39.9S=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}approx36+3.9=39.9 (см. кв.)

Ответ: 39.9 см. кв.

Еще один пример, немного сложнее.

Пример

Основанием пирамиды является квадрат с площадью 36 (см. кв.). Апофема многогранника в 3 раза больше стороны основания aa. Найти полную площадь поверхности данной фигуры.

Решение

Sквад=36S_{text{квад}}=36
l=3⋅al=3cdot a

Найдем сторону основания, то есть сторону квадрата. Его площадь и длина стороны связанны:

Sквад=a2S_{text{квад}}=a^2
36=a236=a^2
a=6a=6

Найдем периметр основания пирамиды (то есть, периметр квадрата):

p=a+a+a+a=4⋅a=4⋅6=24p=a+a+a+a=4cdot a=4cdot 6=24

Найдем длину апофемы:

l=3⋅a=3⋅6=18l=3cdot a=3cdot 6=18

В нашем случае:

Sквад=SоснS_{text{квад}}=S_{text{осн}}

Осталось найти только площадь боковой поверхности. По формуле:

Sбок=12⋅l⋅p=12⋅18⋅24=216S_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p=frac{1}{2}cdot 18cdot 24=216 (см. кв.)

Полная площадь:

S=Sбок+Sосн=216+36=252S=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}=216+36=252 (см. кв.)

Ответ: 252 см. кв.

Возникают трудности с тем, чтобы найти площадь поверхности пирамиды? У нас вы можете заказать контрольную работу по геометрии!

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

Формула площади правильной пирамиды
- 1. Общая формула
- 2. Площадь правильной треугольной пирамиды
- 3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Формула площади правильной пирамиды

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

S_полн. = S_бок. + S_осн.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

L (апофема) – перпендикулярная линия, опущенная из вершины пирамиды на ребро основания. Т.е. апофема пирамиды является высотой (h) ее боковой грани.

3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Основание: квадрат.


Площадь	Формула
основание	S_осн. = a²
боковая поверхность	S_бок. = 2aL

полная	S_полн. = a² + 2aL

microexcel.ru

4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Основание: правильный шестиугольник

Источник

Основание правильной пирамиды является правильный многоугольник – равносторонний треугольник, квадрат. Основанием пирамиды называют ту фигуру, над которой расположена вершина пирамиды.То есть это та грань пирамиды, которая не включает в себя ее вершину. Площадь основания пирамиды – это площадь этой плоской фигуры.

Площадь основания правильной пирамиды
- Площадь основания правильной треугольной пирамиды
- Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды
- Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды
Площадь основания любой пирамиды
Примеры решения задач
- Задача 1
- Задача 2
- Задача 3

Площадь основания правильной пирамиды

Правильная пирамида может быть трех видов:

треугольная,
четырехугольная,
шестиугольная.

Соответственно у правильной треугольной пирамида основание – равносторонний треугольник. У правильной четырехугольной пирамиды основание – квадрат. В основании шестиугольной правильной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Приведем формулы для нахождения площади основания пирамиды:

Площадь основания правильной треугольной пирамиды

В основании равносторонний треугольник – находим его площадь:

$displaystyle S=frac{a^2 sqrt{3}}{4}$ , где – сторона треугольника.

Основание треугольной пирамиды

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, площадь квадрата:

, где – сторона квадрата.

Основание четырехугольной пирамиды

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды

Это площадь правильного шестиугольника. Если известна сторона шестиугольника, то площадь правильного шестиугольника находится по формуле:

$displaystyle S=frac{3a^2 sqrt{3}}{2}$

Основание шестиугольной пирамиды

Площадь основания любой пирамиды

Площадь основания любой пирамиды – это площадь ее основания.

Если в основании пирамиды треугольник, то формулы для нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье “Площадь треугольника”.

В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных задачах, в основании пирамиды часто лежит треугольник, редко прямоугольник. Задачи, в которых в основании пирамиды лежит пятиугольник, семиугольник или произвольных многоугольник, практически не встречаются. Хотя их можно увидеть в олимпиадных задачах.

Теперь давайте решим несколько задач для нахождения площади основания пирамиды

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, в основании равносторонний треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: $S=frac{a^2 sqrt{3}}{4}$ . Нам дана сторона , тогда $S=frac{2^2 sqrt{3}}{4} = sqrt{3}$

Ответ:

Задача 2

Строитель решил построить здание в форме правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5 м². Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?

Решение:

Рассчитаем площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой: $S=frac{3a^2 sqrt{3}}{2}$ . Подставим в нее значение стороны . Получим: $S=frac{3 cdot 6^2 sqrt{3}}{2}=54 sqrt{3}$ м².

Теперь подсчитаем, сколько нам понадобится досок: $N=frac{54 sqrt{3}}{0,5 sqrt{3}}=108$ .

Ответ: 108 досок.

Задача 3

Основанием пирамиды является прямоугольный равнобедренный треугольник, с катетом, равным 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: иными словами – нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то один из катетов будет основанием треугольника, а другой – высотой. Определяем площадь по формуле:

$S=frac{a^2}{2}=frac{4^2}{2}=8$ .

Ответ: 8

Источник

Download Article

The surface area of any pyramid can be found by adding the surface area of the base to the surface area of the lateral faces. When working with regular pyramids, you can find the surface area using a formula, as long as you know how to find the area of the base of the pyramid. Since the base can be any polygon, it is helpful to know how to find the area of shapes such as pentagons and hexagons. When working with the common, regular square pyramid, however, calculating the total surface area is a simple calculation, provided you know the slant height of the pyramid and the side length of the square base.

1
2

Plug the perimeter of the base into the formula. If you aren’t given the perimeter but know the length of one edge of the base, you can calculate the perimeter by multiplying the length of one edge by the number of edges.

Advertisement
3
Plug the value of the slant height into the formula. Make sure you are using the slant height, not the perpendicular height. The problem should provide the slant height. If you don’t know the slant height, you cannot use this method.
- For example, if the slant height of a hexagonal pyramid is 12 cm, your formula will look like this: $SA={frac {24times 12}{2}}+B$ .
4

Calculate the area of the base. How you do this will depend on the shape of the base. To learn more about finding the area of a polygon, read Find the Area of Regular Polygons.

EXPERT TIP

Grace Imson is a math teacher with over 40 years of teaching experience. Grace is currently a math instructor at the City College of San Francisco and was previously in the Math Department at Saint Louis University. She has taught math at the elementary, middle, high school, and college levels. She has an MA in Education, specializing in Administration and Supervision from Saint Louis University.

Grace Imson, MA
Math Instructor, City College of San Francisco

Our Expert Agrees: The surface area of a pyramid is equal to the sum of the areas of all of the faces. First, you have to get the area of the base, then add the area of the lateral sides, which is one face times the number of sides.
5
Plug the area of the base into the formula. Make sure you substitute for the variable .
- For example, if the area of the hexagonal base is 41.57 sq. cm., your formula for surface area will now look like this: $SA={frac {24times 12}{2}}+41.57$ .
6

Multiply the perimeter of the base and the slant height of the pyramid. Then, divide by two. This will give you the lateral surface area of the pyramid.
7

Add the two values together. The sum will be the lateral surface area, plus the base surface area, providing you with the total surface area for the pyramid, in square units.

1
2
3

Square the side length of the base. This will give you the surface area of the base.
4

Multiply the side length of the base by the slant height and divide by two. Then, multiply by 4. This will give you the lateral surface area of the pyramid.
5

Add the base surface area and the lateral surface area. This will give you the total surface area of the pyramid, in square units.

Add New Question

Question

How do you find the lateral area of hexagonal pyramid, given the height and length of each side?

Use the base times height for the rectangles, and the altitude times base of the hexagonal face times three.
Question

How would you calculate the surface area of pyramid that does not have a square base?

Use the formula (p x h/2) + (B), where p is the perimeter of the base, h is the slant height of the pyramid, and B is the area of the base. Below are some articles on finding the area of a pentagon and hexagon, two common pyramid bases:

http://www.wikihow.com/Find-the-Area-of-a-Pentagon
http://www.wikihow.com/Calculate-the-Area-of-a-Hexagon
Question

How do I double the lateral surface area of a square pyramid?

One way would be to double either the length of the sides of the base or the slant height (but not both).

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Things You’ll Need

Writing utensil
Paper
Calculator (optional)
Ruler (optional)

About This Article

Article SummaryX

To find the surface area of a pyramid, start by multiplying the perimeter of the pyramid by its slant height. Then, divide that number by 2. Finally, add the number you get to the area of the pyramid’s base to find the surface area. To learn how to find the surface area of a square pyramid, scroll down!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 388,312 times.

Did this article help you?

Источник

Вычисление площади правильной треугольной пирамиды

Определение

Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) — это многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник со сторонами a и боковыми гранями в виде равнобедренных треугольников с основанием a и сторонами b.

Треугольник

Площадь поверхности такой фигуры складывается из площадей основания многогранника и трех боковых граней. В записи на математический язык это выглядит так:

((1);S=S_{осн}+3times S_{бок})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Нахождение площади основания пирамиды

Поскольку правильный тетраэдр основан на треугольнике, для определения площади основания рассматриваемого многогранника воспользуемся формулой нахождения площади треугольника:

(S=frac12ah)

Значение переменных: a — длина стороны равностороннего треугольника, h — его высота.

Далее произведем подстановку формулы вычисления высоты правильного треугольника и получим искомое выражение:

((2);S_{осн}=frac{sqrt3}4a^2)

Вычисление площади боковых граней и полной поверхности

Боковые грани правильной треугольной пирамиды представлены тремя равнобедренными треугольниками. Выведем формулу расчета площади каждого из них из классического способа вычисления площади треугольника:

(S=frac12ah)

Здесь переменная a обозначает основание треугольника, h — его высоту.

Теперь выполним подстановку выражения, с помощью которого находится высота треугольника с одинаковыми бедрами, и получим уравнение определения площади равнобедренного треугольника:

((3);S_{бок}=frac{asqrt{b^2-frac{a^2}4}}2)

В этом случае b — это боковые ребра треугольника, равные между собой.

Подставим в выражение (1) формулы (2) и (3) и получим уравнение, с помощью которого рассчитывается площадь полной поверхности правильного тетраэдра:

(S=frac{sqrt3}4a^2+frac32times asqrt{b^2-frac{a^2}4})

Примеры задач с решением

Задача

Дано

Правильный тетраэдр MABC с вершиной М. Высота основания AK=3 см.

∠MAB=∠MAC=∠MBA=∠MBC=∠MAB=∠MCA=∠MCB=45°. Необходимо вычислить площадь пирамиды MABC.

Задача

Решение

В основании правильного тетраэдра лежит равносторонний треугольник с известной длиной высоты. Применим свойство правильного треугольника, состоящее в следующем:

(h=frac{sqrt3}2a)

Преобразуем данное выражение так, чтобы вывести формулу стороны a:

(a=frac h{frac{sqrt3}2})

Теперь найдем a:

(a=frac3{frac{sqrt3}2}=frac{3times2}{sqrt3}=frac6{sqrt3})

Подставим полученное выражение в формулу нахождения площади основания правильного многогранника с тремя боковыми гранями:

(S_{осн}=frac{sqrt3}4timesleft(frac6{sqrt3}right)^2=frac{sqrt3}4timesfrac{6^2}{sqrt3^2}=frac{36sqrt3}{4times3}=3sqrt3)

Далее необходимо найти площадь боковых граней тетраэдра. Для этого произведем вычисление высоты MK. Так как угол между гранью и основанием пирамиды равен 45°, то ∠OKM=45°, следовательно:

(frac{OK}{MK}=cosleft(45^circright)=frac{sqrt2}2)

По свойству правильного треугольника, отрезок OK равен радиусу вписанной в ΔABC окружности.

Найдем ее по соответствующей формуле:

(OK=r=frac{sqrt3}6a=frac{sqrt3}6timesfrac6{sqrt3}=frac{6sqrt3}{6sqrt3}=1)

Подставим найденную величину в отношение ОК к МК:

(frac{OK}{MK}=frac{sqrt2}2)

(frac1{MK}=frac{sqrt2}2)

Из данной пропорции выведем выражение, по которому можно определить длину высоты MK:

(MK=frac2{sqrt2})

Теперь, когда известны основание и высота равнобедренного треугольника, составляющего боковую грань пирамиды MABC, подставим значения в классическую формулу нахождения площади треугольника:

(S_{бок}=frac12ah=frac12timesfrac6{sqrt3}timesfrac2{sqrt2}=frac{1times6times2}{2timessqrt3timessqrt2}=frac{12}{2sqrt6}=frac6{sqrt6})

Суммируем площадь основания и боковых граней пирамиды:

(S_{MABC}=3sqrt3+3times6sqrt6=3sqrt3+18sqrt6)

Ответ, выраженный в квадратных сантиметрах: (3sqrt3+18sqrt6;(см^2))

Источник