Как найти площадь плоскости через координаты

Вычисление площади поверхности

Вычисление площади поверхности
  1. Услуги проектирования
  2. Двойной интеграл
  3. Вычисление площади поверхности

Вычисление площади поверхности

Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность $sigma $, однозначно проектирующаяся в область $mathbf < textit < D >> $ на плоскости $mathbf < textit < Оху >> $. Пусть эта поверхность задаётся уравнением $sigma :;z=f(x,y),;(x,y)in D$. Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром $mathbf < textit < x >> ^ < 2 >+mathbf < textit < y >> ^ < 2 >$ = 2$mathbf < textit < ax >> $ из сферы $mathbf < textit < x >> ^ < 2 >+mathbf < textit < y >> ^ < 2 >+mathbf < textit < z >> ^ < 2 >$ = 4$mathbf < textit < a >> ^ < 2 >$ .

Решение:

Область $mathbf < textit < D >> $ — сдвинутый на $mathbf < textit < а >> $ единиц по оси $mathbf < textit < Ох >> $ круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей $mathbf < textit < Оху >> $ и $mathbf < textit < Охz >> $:

Вычислить площадь cферы радиуса (a.)

Решение:

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид $ < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >= < a^2 >> ;; < text < или >;;z = sqrt < < a^2 >- < x^2 >- < y^2 >> . > $

Очевидно, область интегрирования (R) представляет собой круг с таким же радиусом (a,) расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле $ < S_ < largefrac < 1 > < 2 >normalsize > > = iintlimits_R < sqrt < 1 + < < left( < frac < < partial z >> < < partial x >> >right) > ^2 > + < < left( < frac < < partial z >> < < partial y >> >right) > ^2 > > dxdy > .$

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна $S = 2 < S_ < largefrac < 1 > < 2 >normalsize > > = 4pi < a^2 >.$

Далее:

Вычисление площадей плоских областей

Определение двойного интеграла

Специальные векторные поля

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

Вычисление объёмов

Определение криволинейного интеграла второго рода

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Поверхностный интеграл второго рода и его свойства

Критерий полноты <формулировка>. Лемма о нелинейной функции

Частные случаи векторных полей

Критерий полноты <формулировка>. Лемма о немонотонной функции

Вычисление двойного интеграла

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Огравление $Rightarrow $

Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x , y , и z , которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства, можно определить уравнением A x + B y + C z + D = 0 . В свою очередь, любое уравнение A x + B y + C z + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A , B , C , D – некоторые действительные числа, и числа A , B , C не равны одновременно нулю.

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

  1. Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 . Допустим, задана некоторая плоскость и точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n → = ( A , B , C ) . Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат O x y z задает уравнение A x + B y + C z + D = 0 .

Возьмем произвольную точку заданной плоскости M ( x , y , z ) .В таком случае векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

n → , M 0 M → = A x — x 0 + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = A x + B y + C z — ( A x 0 + B y 0 + C z 0 )

Примем D = — ( A x 0 + B y 0 + C z 0 ) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: A x + B y + C z + D = 0 . Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

  1. Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства. Докажем это.

В теореме также указано, что действительные числа А , B , C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C z + D = 0 , т.е. верным будет равенство A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 . Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Получим уравнение вида

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 , и оно эквивалентно уравнению A x + B y + C z + D = 0 . Докажем, что уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 задает некоторую плоскость.

Уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 . Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 множество точек M ( x , y , z ) задает плоскость, у которой нормальный вектор n → = ( A , B , C ) . При этом плоскость проходит через точку M ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Иначе говоря, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение A x + B y + C z + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

Уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , где λ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением A x + B y + C z + D = 0 , поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 ( при конкретных значениях чисел A , B , C , D ). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 , и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением A x + B y + C z + D = 0 в том случае, когда подставив координаты точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) в уравнение A x + B y + C z + D = 0 , мы получим тождество.

Заданы точки M 0 ( 1 , — 1 , — 3 ) и N 0 ( 0 , 2 , — 8 ) и плоскость, определяемая уравнением 2 x + 3 y — z — 2 = 0 . Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

Решение

Подставим координаты точки М 0 в исходной уравнение плоскости:

2 · 1 + 3 · ( — 1 ) — ( — 3 ) — 2 = 0 ⇔ 0 = 0

Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M 0 ( 1 , — 1 , — 3 ) принадлежит заданной плоскости.

Аналогично проверим точку N 0 . Подставим ее координаты в исходное уравнение:

2 · 0 + 3 · 2 — ( — 8 ) — 2 = 0 ⇔ 12 = 0

Равенство неверно. Таким, образом, точка N 0 ( 0 , 2 , — 8 ) не принадлежит заданной плоскости.

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной плоскости; точка N 0 – не принадлежит.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n → = ( A , B , C ) — нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением A x + B y + C z + D = 0 . Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

В прямоугольной системе координат задана плоскость 2 x + 3 y — z + 5 = 0 . Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

Решение

Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x , y , z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n → исходной плоскости имеет координаты 2 , 3 , — 1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

λ · n → = λ · 2 , λ · 3 , — λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Ответ: λ · 2 , λ · 3 , — λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n → = ( A , B , C ) является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором n → = ( A , B , C ) будет выглядеть так: A x + B y + C z + D = 0 . По условию задачи точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство: A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 , получим уравнение вида A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0 . Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( A , B , C ) .

Возможно получить это уравнение другим способом.

Очевидным фактом является то, что все точки М ( x , y , z ) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0

Задана точка М 0 ( — 1 , 2 , — 3 ) , через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n → = ( 3 , 7 , — 5 ) . Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

  1. Исходные условия позволяют получить следующие данные:

x 0 = — 1 , y 0 = 2 , z 0 = — 3 , A = 3 , B = 7 , C = — 5

Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0

3 ( x — ( — 1 ) ) + 7 ( y — 2 ) — 5 ( z — ( — 3 ) ) = 0 ⇔ 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

  1. Допустим, М ( x , y , z ) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M 0 M → по координатам точек начала и конца:

M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) = ( x + 1 , y — 2 , z + 3 )

Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

n → , M 0 M → = 0 ⇔ 3 ( x + 1 ) + 7 ( y — 2 ) — 5 ( z + 3 ) = 0 ⇔ ⇔ 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

Ответ: 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа А , B , C , D отличны от нуля, общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 называют полным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

  1. В случае, когда D = 0 , мы получаем общее неполное уравнение плоскости: A x + B y + C z + D = 0 ⇔ A x + B y + C z = 0

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О ( 0 , 0 , 0 ) , то придем к тождеству:

A · 0 + B · 0 + C · 0 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

  1. Если А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: B y + C z + D = 0 , или A x + C z + D = 0 , или A x + B y + D = 0 . Такие плоскости параллельны координатным осям О x , O y , O z соответственно. Когда D = 0 , плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей B y + C z + D = 0 , A x + C z + D = 0 и A x + B y + D = 0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям O y z , O x z , O z y соответственно.

  1. При А = 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 получим общие неполные уравнения плоскостей: C z + D = 0 ⇔ z + D C = 0 ⇔ z = — D C ⇔ z = λ , λ ∈ R или B y + D = 0 ⇔ y + D B = 0 ⇔ y = — D B ⇔ y = λ , λ ∈ R или A x + D = 0 ⇔ x + D A = 0 ⇔ x = — D A ⇔ x = λ , λ ∈ R соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям O x y , O x z , O y z соответственно и проходят через точки 0 , 0 , — D C , 0 , — D B , 0 и — D A , 0 , 0 соответственно. При D = 0 уравнения самих координатных плоскостей O x y , O x z , O y z выглядят так: z = 0 , y = 0 , x = 0

Задана плоскость, параллельная координатной плоскости O y z и проходящая через точку М 0 ( 7 , — 2 , 3 ) . Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

Р​​ешение

У​​​​​словием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z , а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости A x + D = 0 , A ≠ 0 ⇔ x + D A = 0 . Поскольку точка M 0 ( 7 , — 2 , 3 ) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости x + D A = 0 , иначе говоря, должно быть верным равенство 7 + D A = 0 . Преобразуем: D A = — 7 , тогда требуемое уравнение имеет вид: x — 7 = 0 .

Задачу возможно решить еще одним способом.

Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости O y z . Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости O y z : i → = ( 1 , 0 , 0 ) . Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0 ⇔ ⇔ 1 · ( x — 7 ) + 0 · ( y + 2 ) + 0 · ( z — 3 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 7 = 0

Ответ: x — 7 = 0

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости O x y и проходящая через начало координат и точку М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) .

Решение

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости O x y определяется общим неполным уравнением плоскости A x + B y + D = 0 ( А ≠ 0 , В ≠ 0 ) . Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D = 0 и уравнение плоскости принимает вид A x + B y = 0 ⇔ x + B A y = 0 .

Найдем значение B A . В исходных данных фигурирует точка М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) , координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: — 3 + B A · 1 = 0 , откуда определяем B A = 3 .

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x + 3 y = 0 .

Площади поверхностей геометрических тел — определение и примеры с решением

Содержание:

Площади поверхностей геометрических тел:

Под площадью поверхности многогранника мы понимаем сумму площадей всех его граней. Как же определить площадь поверхности тела, не являющегося многогранником? На практике это делают так. Разбивают поверхность на такие части, которые уже мало отличаются от плоских. Тогда находят площади этих частей, как будто они являются плоскими. Сумма полученных площадей является приближенной площадью поверхности. Например, площадь крыши здания определяется как сумма площадей кусков листового металла. Еще лучше это видно на примере Земли. Приблизительно она имеет форму шара. Но площади небольших ее участков измеряют так, как будто эти участки являются плоскими. Более того, под площадью поверхности тела будем понимать предел площадей полных поверхностей описанных около него многогранников. При этом должно выполняться условие, при котором все точки поверхности этих многогранников становятся сколь угодно близкими к поверхности данного тела. Для конкретных тел вращения понятие описанного многогранника будет уточнено.

Понятие площади поверхности

Рассмотрим периметры

Применим данные соотношения к обоснованию формулы для площади боковой поверхности цилиндра.

При вычислении объема цилиндра были использованы правильные вписанные в него призмы. Найдем при помощи в чем-то аналогичных рассуждений площадь боковой поверхности цилиндра.

Опишем около данного цилиндра радиуса R и высоты h правильную n-угольную призму (рис. 220).

Площадь боковой поверхности призмы равна

где — периметр основания призмы.

При неограниченном возрастании n получим:

так как периметры оснований призмы стремятся к длине окружности основания цилиндра, то есть к

Учитывая, что сумма площадей двух оснований призмы стремится к , получаем, что площадь полной поверхности цилиндра равна . Но сумма площадей двух оснований цилиндра равна . Поэтому найденную величину S принимают за площадь боковой поверхности цилиндра.

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле

где R — радиус цилиндра, h — его высота.

Заметим, что эта формула аналогична соответствующей формуле площади боковой поверхности прямой призмы

За площадь полной поверхности цилиндра принимается сумма площадей боковой поверхности и двух оснований:

Если боковую поверхность цилиндра радиуса R и высоты h разрезать по образующей АВ и развернуть на плоскость, то в результате получим прямоугольник который называется разверткой боковой поверхности цилиндра (рис. 221).

Очевидно, что сторона этого прямоугольника есть развертка окружности основания цилиндра, следовательно, . Сторона АВ равна образующей цилиндра, то есть АВ = h. Значит, площадь развертки боковой поверхности цилиндра равна . Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки.

Пример:

Параллельно оси цилиндра на расстоянии d от нее проведена плоскость, отсекающая от основания дугу . Диагональ полученного сечения наклонена к плоскости основания под углом а. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

Пусть дан цилиндр, в основаниях которого лежат равные круги с центрами — ось цилиндра. Рассмотрим плоскость, параллельную . Сечение цилиндра данной плоскостью представляет собой прямоугольник (рис. 222).

Пусть хорда АВ отсекает от окружности основания дугу . Тогда, по определению, . Так как образующие цилиндра перпендикулярны основаниям, . Значит, АВ — проекция на плоскость АОВ, тогда угол между и плоскостью АОВ равен углу . По условию .

В равнобедренном треугольнике проведем медиану ОК. Тогда O Так как то по признаку перпендикулярных плоскостей. Но тогда по свойству перпендикулярных плоскостей. Значит, ОК — расстояние между точкой О и плоскостью . Учитывая, что , по определению расстояния между параллельными прямой и плоскостью получаем, что ОК равно расстоянию между и плоскостью . По условию OK = d. Из прямоугольного треугольника АКО

имеем:

откуда Из прямоугольного треугольника

Итак,

В случае, когда

Аналогично предыдущему, и в этом случае получаем тот же результат для площади боковой поверхности.

Ответ:

Площадь поверхности конуса и усеченного конуса

Связь между цилиндрами и призмами полностью аналогична связи между конусами и пирамидами. В частности, это касается формул для площадей их боковых поверхностей.

Опишем около данного конуса с радиусом основания R и образующей I правильную л-угольную пирамиду (рис. 223). Площадь ее боковой поверхности равна

где — периметр основания пирамиды, — апофема.

При неограниченном возрастании n получим:

так как периметры оснований пирамиды стремятся к длине окружности основания конуса, а апофемы равны I.

Учитывая, что площадь основания пирамиды стремится к , получаем, что площадь полной поверхности конуса равна . Но площадь основания конуса равна . Поэтому найденную величину S принимают за площадь боковой поверхности конуса. Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле

где R — радиус основания, I — образующая.

За площадь полной поверхности конуса принимается сумма площадей его основания и боковой поверхности:

Если боковую поверхность конуса разрезать по образующей РА и развернуть на плоскость, то в результате получим круговой сектор который называется разверткой боковой поверхности конуса (рис. 224).

Очевидно, что радиус сектора развертки равен образующей конуса I, а длина дуги — длине окружности основания конуса, то есть . Учитывая, что площадь соответствующего круга равна , получаем: , значит, Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна площади ее развертки.

Учитывая формулу для площади боковой поверхности конуса, нетрудно найти площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Рассмотрим усеченный конус, полученный при пересечении конуса с вершиной Р некоторой секущей плоскостью (рис. 225).

Пусть — образующая усеченного конуса точки — центры большего и меньшего оснований с радиусами R и г соответственно. Тогда площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей двух конусов:

Из подобия треугольников

следует, что

Тогда получаем

Таким образом,

Итак, мы получили формулу для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса: , где R и г — радиусы оснований усеченного конуса, I — его образующая.

Отсюда ясно, что площадь полной поверхности усеченного конуса равна

Такой же результат можно было бы получить, если найти площадь развертки боковой поверхности усеченного конуса или использовать правильные усеченные пирамиды, описанные около него. Попробуйте дать соответствующие определения и провести необходимые рассуждения самостоятельно.

Связь между площадями поверхностей и объемами

При рассмотрении объемов и площадей поверхностей цилиндра и конуса мы видели, что существует тесная взаимосвязь между этими фигурами и призмами и пирамидами соответственно. Оказывается, что и сфера (шар), вписанная в многогранник, связана с величиной его объема.

Определение:

Сфера (шар) называется вписанной в выпуклый многогранник, если она касается каждой его грани.

При этом многогранник называется описанным около данной сферы (рис. 226).

Рассмотрим, например, сферу, вписанную в тетраэдр (рис. 227).

Плоскости, содержащие грани тетраэдра, являются касательными к вписанной сфере, а точки касания лежат в гранях тетраэдра. Заметим, что по доказанному в п. 14.2 радиусы вписанной сферы, проведенные в точку касания с поверхностью многогранника, перпендикулярны плоскостям граней этого многогранника.

Для описанных многоугольников на плоскости было доказано, что их площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. Аналогичное свойство связывает объем описанного многогранника и площадь его поверхности.

Теорема (о связи площади поверхности и объема описанного многогранника)

Объем описанного многогранника вычисляется по формуле

где — площадь полной поверхности многогранника, г — радиус вписанной сферы.

Соединим центр вписанной сферы О со всеми вершинами многогранника (рис. 228). Получим n пирамид, основаниями которых являются грани многогранника, вершины совпадают с точкой О, высоты равны г. Тогда объем многогранника, по аксиоме, равен сумме объемов этих пирамид. Используя формулу объема пирамиды, найдем объем данного многогранника:

где — площади граней многогранника.

Оказывается, что в любой тетраэдр можно вписать сферу, и только одну. Но не каждый выпуклый многогранник обладает этим свойством.

Рассматривают также сферы, описанные около многогранника.

Определение:

Сфера называется описанной около многогранника, если все его вершины лежат на сфере.

При этом многогранник называется вписанным в сферу (рис. 229).

Также считается, что соответствующий шар описан около многогранника.

Около любого тетраэдра можно описать единственную сферу, но не каждый многогранник обладает соответствующим свойством.

Площадь сферы

Применим полученную связь для объемов и площадей поверхностей описанных многогранников к выводу формулы площади сферы.

Опишем около сферы радиуса R выпуклый многогранник (рис. 230).

Пусть S’ — площадь полной поверхности данного многогранника, а любые две точки одной грани удалены друг от друга меньше чем на е. Тогда объем многогранника равен. Рассмотрим расстояние от центра сферы О до любой вершины многогранника, например А1 (рис. 231).

По неравенству треугольника где О’ — точка касания. Отсюда следует, что все вершины данного многогранника лежат внутри шара с центром О и радиусом .

Итак, объем V данного многогранника больше объема шара радиуса R и меньше объема шара радиуса , то есть

Отсюда получаем

Если неограниченно уменьшать размеры граней многогранника, то есть при е, стремящемся к нулю, левая и правая части последнего неравенства будут стремиться к , а многогранник все плотнее примыкать к сфере. Поэтому полученную величину для предела S’ принимают за площадь сферы.

Итак, площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле

Доказанная формула означает, что площадь сферы равна четырем площадям ее большого круга (рис. 232).

Исходя из аналогичных рассуждений, можно получить формулу для площади сферической части шарового сегмента с высотой Н:

Оказывается, что эта формула справедлива и для площади сферической поверхности шарового слоя (пояса):

где Н — высота слоя (пояса).

Справочный материал

Формулы объемов и площадей поверхностей геометрических тел

Историческая справка

Многие формулы для вычисления объемов многогранников были известны уже в Древнем Египте. В так называемом Московском папирусе, созданном около 4000 лет назад, вероятно, впервые в истории вычисляется объем усеченной пирамиды. Но четкие доказательства большинства формул для объемов появились позднее, в работах древнегреческих ученых.

Так, доказательства формул для объемов конуса и пирамиды связаны с именами Демокрита из Абдеры (ок. 460-370 гг. до н. э.) и Евдокса Книдского (ок. 408-355 гг. до н. э.). На основании их идей выдающийся математик и механик Архимед (287-212 гг. до н. э.) вычислил объем шара, нашел формулы для площадей поверхностей цилиндра, конуса, сферьГг

Дальнейшее развитие методы, предложенные Архимедом, получили благодаря трудам средневекового итальянского монаха и математика Бонавентуры Кавальери (1598-1647). В своей книге «Геометрия неделимых» он сформулировал принцип сравнения объемов, при котором используются площади сечений. Его рассуждения стали основой интегральных методов вычисления объемов, разработанных Исааком Ньютоном (1642 (1643)-1727) и Готфридом Вильгельмом фон Лейбницем (1646-1716). Во многих учебниках по геометрии объем пирамиды находится с помощью * чертовой лестницы» — варианта древнегреческого метода вычерпывания, предложенного французским математиком А. М. Лежандром (1752-1833).

На II Международном конгрессе математиков, который состоялся в 1900 году в Париже, Давид Гильберт сформулировал, в частности, такую проблему: верно ли, что любые два равновеликих многогранника являются равносоставленными? Уже через год отрицательный ответ на этот вопрос был обоснован учеником Гильберта Максом Деном (1878-1952). Другое доказательство этого факта предложил в 1903 году известный геометр В. Ф. Каган, который в начале XX века вел плодотворную научную и просветительскую деятельность в Одессе. В частности, из работ Дена и Кагана следует, что доказательство формулы объема пирамиды невозможно без применения пределов.

Весомый вклад в развитие теории площадей поверхностей внесли немецкие математики XIX века. Так, в 1890 году Карл Герман Аман-дус Шварц (1843-1921) построил пример последовательности многогранных поверхностей, вписанных в боковую поверхность цилиндра («сапог Шварца»). Уменьшение их граней не приводит к приближению суммы площадей этих граней к площади боковой поверхности цилиндра. Это стало толчком к созданию выдающимся немецким математиком и физиком Германом Минков-ским (1864-1909) современной теории площадей поверхностей, в которой последние связаны с объемом слоя около данной поверхности.

Учитывая огромный вклад Архимеда в развитие математики, в частности теории объемов и площадей поверхностей, именно его изобразили на Филдсовской медали — самой почетной в мире награде для молодых математиков. В 1990 году ею был награжден Владимир Дрин-фельд (род. в 1954 г.), который учился и некоторое время работал в Харькове. Вот так юные таланты, успешно изучающие геометрию в школе, становятся в дальнейшем всемирно известными учеными.

Уравнения фигур в пространстве

Напомним, что уравнением фигуры F на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры F и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей фигуре F. Так же определяют и уравнение фигуры в пространстве; но, в отличие от плоскости, где уравнение фигуры содержит две переменные х и у, в пространстве уравнение фигуры является уравнением с тремя переменными х, у и z.

Выведем уравнение плоскости, прямой и сферы в пространстве. Для получения уравнения плоскости рассмотрим в прямоугольной системе координат плоскость а (рис. 233) и определим свойство, с помощью которого можно описать принадлежность произвольной точки данной плоскости. Пусть ненулевой вектор перпендикулярен а (то есть принадлежит прямой, перпендикулярной данной плоскости,— такой вектор называют вектором нормали или нормалью к плоскости а), а точка принадлежит данной плоскости.

Так как , то вектор га перпендикулярен любому вектору плоскости а. Поэтому если — произвольная точка плоскости а, то , то есть . Более того, если векторы перпендикулярны, то, поскольку плоскость, проходящая через точку М0 перпендикулярно вектору , единственна, имеем , то есть . Таким образом, уравнение — критерий принадлежности точки М плоскости а. На основании этого векторного критерия выведем уравнение плоскости в пространстве.

Теорема (уравнение плоскости в пространстве)

В прямоугольной системе координат уравнение плоскости имеет вид , где А, В, С и D — некоторые числа, причем числа А, В и С одновременно не равны нулю.

Запишем в координатной форме векторное равенство , где — вектор нормали к данной плоскости, — фиксированная точка плоскости, M(x;y;z) — произвольная точка плоскости. Имеем

Следовательно,

После раскрытия скобок и приведения подобных членов это уравнение примет вид:

Обозначив числовое выражение в скобках через D, получим искомое уравнение, в котором числа А, В и С одновременно не равны нулю, так как .

Покажем теперь, что любое уравнение вида Ах + Ву +Cz+D = 0 задает в пространстве плоскость. Действительно, пусть — одно из решений данного уравнения. Тогда . Вычитая это равенство из данного, получим Так как это уравнение является координатной записью векторного равенства , то оно является уравнением плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Обратим внимание на то, что в доказательстве теоремы приведен способ составления уравнения плоскости по данным координатам произвольной точки плоскости и вектора нормали.

Пример:

Напишите уравнение плоскости, которая перпендикулярна отрезку MN и проходит через его середину, если М<-1;2;3), N(5;-4;-1).

Решение:

Найдем координаты точки О — середины отрезка MN:

Значит, О (2; -1; l). Так как данная плоскость перпендикулярна отрезку MN, то вектор — вектор нормали к данной плоскости. Поэтому искомое уравнение имеет вид: .

И наконец, так как данная плоскость проходит через точку О(2;-l;l), то, подставив координаты этой точки в уравнение, получим:

Таким образом, уравнение искомое.

Ответ:

Заметим, что правильным ответом в данной задаче является также любое уравнение, полученное из приведенного умножением обеих частей на число, отличное от нуля.

Значения коэффициентов А, В, С и D в уравнении плоскости определяют особенности расположения плоскости в системе координат. В частности:

  • если , уравнение плоскости примет вид Ax+By+Cz = 0; очевидно, что такая плоскость проходит через начало координат (рис. 234, а);
  • если один из коэффициентов А, В и С равен нулю, a , плоскость параллельна одной из координатных осей: например, при условии А = 0 вектор нормали перпендикулярен оси Ох, а плоскость By + Cz + D = Q параллельна оси Ох (рис. 234, б)
  • если два из коэффициентов А, В и С равны нулю, а , плоскость параллельна одной из координатных плоскостей: например, при условиях А = 0 и В-О вектор нормали перпендикулярен плоскости Оху, а плоскость Cz+D = 0 параллельна плоскости Оху (рис. 234, в);
  • если два из коэффициентов А, В и С равны нулю и D = 0, плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей: например, при условиях и В = С = D = 0 уравнение плоскости имеет вид Ах = О, или х= 0, то есть является уравнением плоскости Оуz (рис. 234, г).

Предлагаем вам самостоятельно составить полную таблицу частных случаев расположения плоскости Ax + By+Cz+D = 0 в прямоугольной системе координат в зависимости от значений коэффициентов А, В, С и D.

Пример: (о расстоянии от точки до плоскости)

Расстояние от точки до плоскости а, заданной уравнением Ax + By + Cz+D = О, вычисляется по формуле

Докажите.

Решение:

Если , то по уравнению плоскости , откуда = 0.

Если , то проведем перпендикуляр КМ к плоскости a, .

Тогда , поэтому , то есть . Так как , то , откуда

Таким образом,

Рассмотрим теперь возможность описания прямой в пространстве с помощью уравнений.

Пусть в пространстве дана прямая k (рис. 235). Выберем ненулевой вектор , параллельный данной прямой или принадлежащий ей (такой вектор называют направляющим вектором прямой k), и зафиксируем точку , принадлежащую данной прямой. Тогда произвольная точка пространства М (х; у; z) будет принадлежать прямой k в том и только в том случае, когда векторы коллинеарны, то есть существует число t такое, что

Представим это векторное равенство в координатной форме. Если ни одна из координат направляющего вектора не равна нулю, из данного равенства можно выразить t и приравнять полученные результаты:

Эти равенства называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Пример:

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-3;2) и В(-l;0;l).

Решение:

Так как точки А и В принадлежат данной прямой, то — направляющий вектор прямой АВ. Таким образом, подставив вместо координаты точки А, получим уравнение прямой АВ:

Ответ:

Заметим, что ответ в этой задаче может иметь и другой вид: так, в числителях дробей можно использовать координаты точки В, а как направляющий вектор рассматривать любой ненулевой вектор, коллинеарный (например, вектор ).

Вообще, если прямая в пространстве задана двумя точками , то — направляющий вектор прямой, а в случае, если соответствующие координаты данных точек не совпадают, канонические уравнения прямой имеют вид

С помощью уравнений удобно исследовать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Рассмотрим прямые направляющими векторами соответственно. Определение угла между данными прямыми связано с определением угла между их направляющими векторами. Действительно, пусть ф — угол между прямыми . Так как по определению , а угол между векторами может быть больше 90°, то либо равен углу ср (рис. 236, а), либо дополняет его до 180° (рис. 236, б).

Так как cos(l80°-ф) = -coscp, имеем , то есть

Отсюда, в частности, следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых :

Кроме того, прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны, то есть существует число t такое, что , или, при условии отсутствия у векторов р и q нулевых координат,

Проанализируем теперь отдельные случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве. Очевидно, что если —вектор нормали к плоскости а, то все ненулевые векторы, коллинеарные л, также являются векторами нормали к плоскости а. Из этого следует, что две плоскости, заданные уравнениями :

  • совпадают, если существует число t такое, что , или, если числа ненулевые
  • параллельны, если существует число t такое, что , или, если координаты ненулевые, (на практике это означает, что уравнения данных плоскостей можно привести к виду Ax+By+Cz+D1= 0 и Ax+By+Cz+D2=0, где ).

В остальных случаях данные плоскости пересекаются, причем угол между ними связан с углом между векторами нормалей и . Предлагаем вам самостоятельно обосновать формулу для определения угла между плоскостями :

В частности, необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей выражается равенством .

Заметим также, что прямая в пространстве может быть описана как линия пересечения двух плоскостей, то есть системой уравнений

где векторы не коллинеарны.

Пример:

Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М(4;2;3) и параллельна плоскости x-y + 2z-S = 0.

Решение:

Так как искомая плоскость параллельна данной, то вектор нормали к данной плоскости является также вектором нормали к искомой плоскости. Значит, искомое уравнение имеет вид . Так как точка М принадлежит искомой плоскости, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, то есть 4-2 + 2-3 + 2) = 0, D = -8. Следовательно, уравнение x-y+2z-8=0 искомое.

Аналогично уравнению окружности на плоскости, в пространственной декартовой системе координат можно вывести уравнение сферы с заданным центром и радиусом.

Теорема (уравнение сферы)

В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром в точке имеет вид Доказательство

Пусть — произвольная точка сферы радиуса R с центром (рис. 237). Расстояние между точками О и М вычисляется по формуле

Так как OM=R, то есть ОМ 2 = R 2 , то координаты точки М удовлетворяют уравнению . Если же точка М не является точкой сферы, то , значит, координаты точки М не удовлетворяют данному уравнению.

Сфера радиуса R с центром в начале координат задается уравнением вида

Заметим, что фигуры в пространстве, как и на плоскости, могут задаваться не только уравнениями, но и неравенствами. Например, шар радиуса R с центром в точке задается неравенством (убедитесь в этом самостоятельно).

Пример:

Напишите уравнение сферы с центром А (2;-8; 16), которая проходит через начало координат.

Решение:

Так как данная сфера проходит через точку 0(0;0;0), то отрезок АО является ее радиусом. Значит,

Таким образом, искомое уравнение имеет вид:

Ответ:

Доказательство формулы объема прямоугольного параллелепипеда

Теорема (формула объема прямоугольного параллелепипеда)

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений:

где — измерения параллелепипеда.

Докажем сначала, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как длины их высот.

Пусть — два прямоугольных параллелепипеда с равными основаниями и объемами соответственно. Совместим данные параллелепипеды. Для этого достаточно совместить их основания. Теперь рассмотрим объемы параллелепипедов (рис. 238). Для определенности будем считать, что . Разобьем ребро на n равных отрезков. Пусть на отрезке лежит m точек деления. Тогда:

проведем через точки деления параллельные основанию ABCD (рис. 239). Они разобьют параллелепипед на n равных параллелепипедов. Каждый из них имеет объем . Очевидно, что параллелепиппед содержит в себе объединение m параллелепипедов и сам содержится в объединении параллелепипедов.

Таким образом, откуда или

Сравнивая выражения (1) и (2), видим, что оба отношения находятся между , то есть отличаются не больше чем на Докажем методом от противного, что эти отношения равны.

Допустим, что это не так, то есть Тогда найдется такое натуральное число n, что Отсюда Из полученного противоречия следует, что то есть объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как длины их высот.

Рассмотрим теперь прямоугольные параллелепипеды с измерениями объемы которых равны V, соответственно (рис. 240).

По аксиоме объема V3 =1. По доказанному Перемножив эти отношения, получим: V = abc.

* Выберем , например, , где — целая часть дроби .

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Многоугольник
  • Площадь многоугольника
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар
  • Четырехугольник
  • Площади фигур в геометрии

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/obschee-uravnenie-ploskosti/

http://www.evkova.org/ploschadi-poverhnostej-geometricheskih-tel

Источник

Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Напомним, что мы назвали криволинейной трапецией фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком функции y=f(x). В этом пункте выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Теорема 3. Если функция y=f(x) неотрицательна на отрезке [a;b] и непрерывна на нем, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причем ее площадь S выражается формулой

{ S= intlimits_{a}^{b} f(x),dx,.}

(4)

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции y=f(x). Как было показано в пункте 2 такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для нее внешние и внутренние ступенчатые фигуры (см. рис. 26).

Тогда, с одной стороны, имеем:

sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_kleqslant Sleqslant sum_{k=0}^{n-1} M_kDelta x_k,,

где sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_k — площадь внутренней ступенчатой фигуры, sum_{k=0}^{n-1}M_kDelta x_k —площадь внешней ступенчатой фигуры, m_k=min_{xin [x_k;x_{k+1}]}f(x) и M_k=max_{xin[x_k;x_{k+1}]}f(x). С другой стороны, по определению интеграла можно записать:

sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_kleqslant intlimits_{a}^{b} f(x),dxleqslant sum_{k=0}^{n-1}M_kDelta x_k,.

Таким образом, числа S и intlimits_{a}^{b} f(x),dx разделяют одни и те же числовые множества: Biggl{,sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_k,Biggr}, Biggl{,sum_{k=0}^{n-1}M_kDelta x_k,Biggr}. Но, как было показано при изучении определенного интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому S=intlimits_{a}^{b} f(x),dx. Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции y=f_1(x), сверху графиком функции y=f_2(x), а слева и справа прямыми x=a,~x=b (рис. 30), то ее площадь выражается формулой

S= intlimits_{a}^{b}bigl[f_2(x)-f_1(x)bigr]dx,.

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями dx и высотами f(x).

Площадь фигуры между двумя графиками функций

Пусть теперь функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на нем только неположительные значения. Выразим с помощью определенного интеграла площадь соответствующей криволинейной трапеции F.

Рассмотрим фигуру Phi, симметричную фигуре F относительно оси Ox. Эта фигура (рис. 31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x), которая на [a;b] принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше

Интегрирование знакопеременной функции

S(Phi)= intlimits_{a}^{b} bigl(-f(x)bigr)dx. Но S(Phi)=S(F).

Значит,

S(F)= intlimits_{a}^{b} bigl(-f(x)bigr)dx= -intlimits_{a}^{b} f(x),dx,.

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл intlimits_{a}^{b} f(x),dx дает значение площади криволинейной трапеции F с точностью до знака. Если же функция f меняет знак на отрезке [a;b] в конечном числе точек, то значение интеграла intlimits_{a}^{b} f(x),dx дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции y=f(x), отрезками оси Ox и, быть может, отрезками, параллельными оси Oy (рис. 32).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=e^x, осью абсцисс и прямыми x=1,~x=2 (рис. 33).

Решение. Имеем: S= intlimits_{1}^{2} e^x,dx= Bigl.{e^x}Bigr|_{1}^{2}= e^2-e= e(e-1) (кв. ед.).

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы y^2=4x и отрезком прямой x=2 (рис. 34).

Решение. Из рисунка видно, что трапеция, площадь которой нужно найти, расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно, искомая площадь равна

S= 2int_{0}^{2}2sqrt{x},dx= left.{frac{4x^{3/2}}{3/2}}right|_{0}^{2}= frac{8}{3}cdot 2^{3/2}= frac{16}{3}sqrt{2},.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y^2=9x,~ y=3x (рис. 35).

Решение. Искомая площадь равна разности площадей криволинейного треугольника OAB и прямоугольного треугольника OAB:

S= intlimits_{0}^{1} sqrt{9x},dx- intlimits_{0}^{1} 3x,dx= left.{3cdot frac{x^{3/2}}{3/2}}right|_{0}^{1}- left.{3cdot frac{x^2}{2} }right|_{0}^{1}= 2-frac{3}{2}= frac{1}{2},.

Площадь фигуры, ограниченной кривой, осью абсцисс и двумя прямыми

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой a(y^2-x^2)+x^3=0.

Решение. Из уравнения кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси Ox. Следовательно, можно сначала вычислить половину искомой площади (рис. 36). Рекомендуем читателю подробно исследовать и построить данную кривую.

Площадь фигуры, ограниченной петлёй кривой

Записав уравнение кривой в виде y^2=frac{x^2}{a}(a-x), найдем точки пересечения ее с осью Ox, положив y=0colon, x_1=0,~ x_2=a. Учитывая сказанное, найдем площадь половины петли:

frac{1}{2}S= frac{1}{sqrt{a}} intlimits_{0}^{a} xsqrt{a-x},dx,.

Воспользовавшись формулой из таблицы при a=-1,~ b=a, получим:

intlimits_{0}^{a} xsqrt{a-x},dx= left.{frac{2(-3x-2a)sqrt{(a-x)^3}}{15}}right|_{0}^{a}= frac{4}{15},a^{5/2},.

Значит, окончательно имеем:

frac{1}{2}S= frac{1}{sqrt{a}}cdot frac{4}{15},a^{5/2}= frac{4}{15},a^2quad Leftrightarrowquad S=frac{8}{15},a^2,.

Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически

Пусть кривая y=f(x),~ f(x)geqslant0,~ aleqslant xleqslant b задана в параметрической форме

begin{cases}x=varphi(t),\ y=psi(t),end{cases} alpha leqslant tleqslant b,,

где функция x=varphi(t) монотонна на отрезке [alpha;beta], причем varphi(alpha)=a, varphi(beta)=b, и имеет на этом отрезке непрерывную производную. Так как y=f(x)= fbigl(varphi(t)bigr)= psi(t), то по формуле замены переменной под знаком определенного интеграла получаем:

S= intlimits_{a}^{b} f(x),dx= intlimits_{alpha}^{beta} fbigl(varphi(t)bigr) varphi'(t),dt= intlimits_{alpha}^{beta} psi(t) varphi'(t),dt,.

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

S= intlimits_{alpha}^{beta} psi(t)varphi'(t),dt,.

(5)

Пример 5. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрически begin{cases} x=acos{t},,\ y=bsin{t},,end{cases} 0leqslant tleqslant 2pi,.

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение. Выберем ту часть эллипса (рис. 37), которая расположена в первом квадранте. Точке A(a;0) соответствует значение t=0, а точке B(0;b) — значение t=frac{pi}{2}. Поэтому

begin{aligned} S&= 4intlimits_{0}^{a}y,dx= -4intlimits_{0}^{pi/2}bsin{t}cdot(-asin{t}),dt= 4abintlimits_{0}^{pi/2} sin^2t,dt=\ &= 2abintlimits_{0}^{pi/2} bigl(1-cos2tbigr),dt= left.{2ab!left(t- frac{1}{2}sin2t right)}right|_{0}^{pi/2}= pi,ab,. end{aligned}

Площадь фигуры, заданной в полярных координатах

Вычислить площадь сектора, ограниченного лучами ell и m, выходящими из точки O, и непрерывной кривой Gamma (рис. 38). Выберем полярную систему координат, полюсом которой является точка O. Пусть rho=rho(varphi) — полярное уравнение кривой Gamma, а varphi_0 и Phi — углы между полярной осью и лучами ell и m соответственно. При этом пусть функция rho(varphi) непрерывна на [varphi_0;Phi].

Разобьем данный сектор на n частей лучами

varphi_0&lt; varphi_1&lt; varphi_2&lt; ldots&lt; varphi_k&lt; varphi_{k+1}&lt; ldots&lt; varphi_n= Phi

и рассмотрим k-й частичный сектор [varphi_k; varphi_{k+1}] (рис. 39). Пусть r_k — наименьшее значение функции rho(varphi) в [varphi_k; varphi_{k+1}], a R_k — наибольшее значение функции в этом отрезке.

Площадь в полярных координатах и разбиение сектора на n частей

Построим два круговых сектора с радиусами r_k и R_k. Обозначим через Deltavarphi_k величину угла рассматриваемого частичного сектора. Тогда площадь частичного криволинейного сектора будет заключена между площадями вписанного и описанного частичных круговых секторов

frac{1}{2}cdot r_k^2cdot Deltavarphi_k leqslant S_kleqslant frac{1}{2}cdot R_k^2cdot Deltavarphi_k,.

Построим аналогичным образом внутренние и внешние круговые секторы для всех частичных криволинейных секторов. Объединяя их, получим внутреннюю и внешнюю фигуры.

Площадь внутренней фигуры, состоящей из круговых секторов, равна frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 Deltavarphi_k, а площадь внешней фигуры равна — frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 Deltavarphi_k. Эти выражения являются нижней и верхней суммами Дарбу s_P и S_P для интеграла frac{1}{2} intlimits_{varphi_0}^{Phi} rho^2(varphi),dvarphi. Так как функция rho(varphi) непрерывна, то непрерывна, а потому и интегрируема функция rho^2(varphi). Поэтому для любого varepsilon найдется такое разбиение P отрезка [varphi_0,Phi], что S_P-s_P&lt;varepsilon. Из теоремы 2 пункта 2 следует, что заданный криволинейный сектор квадрируем. При этом для его площади S выполняются неравенства

Площадь, ограниченная одним лепестком полярной розы

frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 Deltavarphi_kleqslant Sleqslant frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 Deltavarphi_k,.

(6)

В то же время по определению определенного интеграла

frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 Deltavarphi_kleqslant frac{1}{2} intlimits_{varphi_0}^{Phi} rho^2(varphi),dvarphi leqslant frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 Deltavarphi_k,.

(7)

В силу единственности разделяющего числа из неравенств (6) и (7) следует, что

S= frac{1}{2} intlimits_{varphi_0}^{Phi} rho^2(varphi),dvarphi,.

(8)

Пример 6. Вычислить площадь, ограниченную одним лепестком розы rho=asin2varphi (рис. 40).

Решение. Значениям varphi=0 и varphi=frac{pi}{2} соответствует rho=0 Поэтому

S= frac{1}{2} intlimits_{0}^{pi/2} a^2sin^22varphi,dvarphi= frac{a^2}{2} intlimits_{0}^{pi/2} frac{1-cos4varphi}{2},dvarphi= left.{frac{a^2}{4}! left(varphi- frac{1}{4}sin4varphiright)}right|_{0}^{pi/2}= frac{a^2}{4}cdot frac{pi}{2}= frac{pi}{2},a^2,.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Вычисление площади поверхности

Пример 1

Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность $sigma $, однозначно проектирующаяся в область $mathbf { textit { D } } $ на плоскости $mathbf { textit { Оху } } $. Пусть эта поверхность задаётся уравнением $sigma :;z=f(x,y),;(x,y)in D$. Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

vychislenie-ploshchadi-poverkhnosti-0

$ s(sigma )=iintlimits_D { sqrt { 1+left( { frac { partial f } { partial x } }right)^2+left( { frac { partial f } { partial y } }right)^2 } dxdy } . $

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром $mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } $ = 2$mathbf { textit { ax } } $ из сферы $mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } +mathbf { textit { z } } ^ { 2 } $ = 4$mathbf { textit { a } } ^ { 2 } $ .

vychislenie-ploshchadi-poverkhnosti-1

Решение:

На рисунке изображён верхний из этих лепестков. Уравнение поверхности $z=sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } ,$ вычисляем производные $frac { partial z } { partial x } =-frac { x } { sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } , quad frac { partial z } { partial y } =-frac { y } { sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } ,$ и $s(sigma )=iintlimits_D { sqrt { 1+frac { x^2+y^2 } { 4a^2-x^2-y^2 } dxdy } } =2aiintlimits_D { frac { dxdy } { sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } } $.

Область $mathbf { textit { D } } $ — сдвинутый на $mathbf { textit { а } } $ единиц по оси $mathbf { textit { Ох } } $ круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей $mathbf { textit { Оху } } $ и $mathbf { textit { Охz } } $:

$s(sigma )=4cdot 2aiintlimits_ { D_ { r,varphi } } { frac { rdrdvarphi } { sqrt { 4a^2-r^2 } } } =8aintlimits_0^ { pi /2 } { dvarphi intlimits_0^ { 2acos varphi } { left( { 4a^2-r^2 }right)^ { -1/2 } rdr } } =-8aintlimits_0^ { pi /2 } { dvarphi left. { left( { 4a^2-r^2 }right)^ { 1/2 } }right|_0^ { 2acos varphi } } = \ =8aintlimits_0^ { pi /2 } { left[ { 2a-2asqrt { 1-cos ^2varphi } }right]dvarphi } =16a^2left. { left( { varphi +cos varphi }right) }right|_0^ { pi /2 } =16a^2left( { pi /2-1 }right)$.

Пример 2

Вычислить площадь cферы радиуса (a.)

Решение:

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид $ { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } = { a^2 } } ;; { text { или } ;;z = sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } . } $

vychislenie-ploshchadi-poverkhnosti-2

Очевидно, область интегрирования (R) представляет собой круг с таким же радиусом (a,) расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле $ { S_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = iintlimits_R { sqrt { 1 + { { left( { frac { { partial z } } { { partial x } } }right) } ^2 } + { { left( { frac { { partial z } } { { partial y } } }right) } ^2 } } dxdy } .$

Найдем частные производные. $ { frac { { partial z } } { { partial x } } } = { frac { partial } { { partial x } } sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } } = { frac { { — { 2 } x } } { { { 2 } sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } } } } = { — frac { x } { z } , } $ $ { frac { { partial z } } { { partial y } } } = { frac { partial } { { partial y } } sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } } = { frac { { — { 2 } y } } { { { 2 } sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } } } } = { — frac { y } { z } . } $

Подставляя найденные производные, получаем $ { { S_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = iintlimits_R { sqrt { 1 + { { left( { frac { { partial z } } { { partial x } } }right) } ^2 } + { { left( { frac { { partial z } } { { partial y } } }right) } ^2 } } dxdy } } = { iintlimits_R { sqrt { 1 + frac { { { x^2 } } } { { { z^2 } } } + frac { { { y^2 } } } { { { z^2 } } } } dxdy } } = { iintlimits_R { sqrt { frac { { { z^2 } + { x^2 } + { y^2 } } } { { { z^2 } } } } dxdy } } = { iintlimits_R { frac { a } { z } dxdy } . } $

Преобразуем двойной интеграл в полярные координаты. $ { { S_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = iintlimits_R { frac { a } { z } dxdy } } = { intlimits_0^ { 2pi } { intlimits_0^a { frac { a } { { sqrt { { a^2 } — { r^2 } } } } rdrdtheta } } } = { aintlimits_0^ { 2pi } { dtheta } intlimits_0^a { frac { { rdr } } { { sqrt { { a^2 } — { r^2 } } } } } } = { — 2pi aintlimits_0^a { frac { { dleft( { { a^2 } — { r^2 } }right) } } { { 2sqrt { { a^2 } — { r^2 } } } } } } = { — 2pi aleft. { left( { sqrt { { a^2 } — { r^2 } } }right) }right|_ { r = 0 } ^a } = { — 2pi aleft( { 0 — a }right) = 2pi { a^2 } . } $

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна $S = 2 { S_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = 4pi { a^2 } .$

Источник

Площадь по заданным координатам.

Как найти (вычислить) площадь фигуры (треугольник, четырехугольник, трапеция, многоугольник и др.) по координатам?

Какие есть формулы и методы, позволяющие находить площадь через координаты?

бонус за лучший ответ (выдан): 5 кредитов

Для вычисления площади простого многоугольника с любым количеством вершин, представленных в виде списка координат, при последовательном обходе которых, не образуются пересекающиеся линии, применяется формула Гаусса, иначе называемая «формулой землемера», «формулой геодезиста», «формулой шнурования», «алгоритмом шнурования», а так же «методом треугольников».

Суть метода заключается в построении треугольников, состоящих из сторон многоугольника и лучей проведённых из начала координат к вершинам многоугольника, и сложении площадей треугольников, включающих внутреннюю часть многоугольника с вычитанием площадей треугольников, расположенных снаружи.

Площадь, вычисленная по приведенной формуле, будет иметь отрицательное значение при обходе фигуры по часовой стрелке и положительное при обходе против часовой стрелки.

Фигура многоугольника может иметь произвольную геометрию. Например:

Список координат многоугольника представлен в виде массива: (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),…(xn, yn).

Для многоугольника на первом рисунке он задан точками: (3,4), (5,11), (12,8), (9,5), (5,6). Его площадь будет равна:

Существует также метод трапеций, основанный на сложении и вычитании площадей трапеций, образованных каждой из сторон многоугольника, её проекцией на ось абсциссы и перпендикулярами, опущенных из вершин на абсциссу. При обходе вершин по часовой стрелке учитывается величина координаты вершин. Если первая вершина меньше второй, то площадь трапеции прибавляется, если нет, то отнимается.

Для многоугольника ABCDE на левом нижнем рисунке существует 5 трапеций : ABJH, CBJF, CDIF, EDIG и EAHG.

Так как X1<X2, X3<X4 и X5<X1, то площади трапеций ABJH, CDIF и EAHG складываются, а X3>X4 и X4<X5, следовательно, площади трапеций CBJF и EDIG вычитаются:

S = S(ABJH) – S(CBJF) + S(CDIF) – S(EDIG) + S(EAHG)

Площади трапеций рассчитываются по формуле;

Sтрапеции = 1/2 *((a+b))*h,

где a, b – основания трапеции,

h – высота трапеции.

Значения a, b и h вычисляются по координатам.

В декартовых координатах круг может быть представлен двумя точками: центр А и любая точка В, лежащая на окружности. Для расчета площади круга необходимо вычислить его радиус по формуле:

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

Ксарф­акс
[156K]

5 лет назад 

Площадь фигуры по координатам вершин

Если известны координаты всех вершин, то площадь заданной геометрической фигуры (треугольника, прямоугольника, трапеции, ромба и т.д) можно найти по стандартным формулам. Но предварительно нужно найти длину сторон, диагоналей и т.п. (всё зависит от фигуры) с помощью формулы нахождения длины отрезка по заданным координатам.

Эта формула выглядит следующим образом:

Здесь:

AB — отрезок,

точка A имеет координаты (x1, y1),

точка B имеет координаты (x2, y2).

Рассмотрим несколько примеров.

1) Треугольник ABC имеет координаты A(2,3); B(6,7); C(5,0). Его площадь можно найти по формуле Герона:

Здесь:

S — площадь треугольника,

a, b, c — стороны,

p — полупериметр, который равен половине суммы сторон a, b и c.

Найдём, чему равны стороны треугольника по формуле нахождения длины отрезка по координатам:

AB = √(4² + 4²) = √32 ≈ 5,66.

AC = √(3² + (-3)²) = √18 ≈ 4,24.

BC = √((-1)² + (-7)²) = √50 ≈ 7,07.

Полупериметр треугольника будет равен (5,66 + 4,24 + 7,07) / 2 ≈ 16,97 / 2 ≈ 8,49.

Отсюда площадь треугольника ABC ≈ √(8,49 * 2,83 * 4,25 * 1,42) ≈ √145 ≈ 12,04.

2) Ромб ABCD имеет координаты A(1,2); B(3,4); C(5,2); D(3,0). Площадь можно найти через диагонали:

Здесь:

S — площадь ромба,

d1 и d2 — диагонали.

Таким образом, нам нужно найти диагонали AC и BD.

AC = √(4² + 0) = √16 = 4.

BD = √(0 + (-4)²) = √16 = 4.

Отсюда площадь ромба ABCD = 0,5 * 4 * 4 = 8.

3) Трапеция ABCD имеет координаты A(1,1); B(3,4); C(5,4); D(6,1). Стандартная формула площади трапеции такая:

Здесь:

S — площадь трапеции,

a и b — основания,

h — высота.

Высота трапеции (пусть это будет BE) — это перпендикуляр, который был опущен из вершины трапеции (из точки B) на её основание (в нашем случае это AD).

Определим координаты её отрезка:

  • координаты первой точки совпадают с точкой B, это (3,4).
  • координаты 2 точки (точка E) будут (3,1) — так как абсцисса совпадает с абсциссой точки B, а ордината совпадает с ординатой точек A и D.

Высота трапеции BE = √(0 + (-3)²) = √9 = 3.

Теперь посчитаем длину оснований:

BC = √(2² + 0) = √4 = 2.

AD = √(5² + 0) = √25 = 5.

Таким образом, площадь трапеции ABCD = 3 * 0,5 * (2 + 5) = 10,5.

Степа­н-16
[34.5K]

6 лет назад 

Первоначально нужно вычислить длины сторон. В этом здесь будет основная задача. Получив стороны, вычисляем площади по стандартным формулам.

Самый простой случай — для прямоугольника, когда его стороны параллельны осям координат. Тогда одна сторона будет равна разнице абсцисс, вторая ординат.

Треугольник. Допустим, основание параллельно оси абсцисс. Вычисляем его длину, как разницу абсцисс. Далее нужно найти высоту. Она будет равна разнице ординат третьей вершины и ординаты любой из вершин основания. Затем — площадь по формуле: половина произведения основания на высоту.

И т.д.

Если же стороны фигуры не параллельны осям, то находить длины сторон придется уже более сложными расчетами. Допустим, прямоугольник. Первую сторону будем искать, как если бы она была гипотенузой в составе прямоугольного треугольника. Каждая сторона будет равна квадратному корню из суммы квадратов абсцисс и ординат концов отрезков стороны.

Так и для любой фигуры. Вначале определяем длины сторон как гипотенузу треугольника. После чего применяем стандартные формулы площадей.

Элени­я
[445K]

3 года назад 

Рассчитать площадь какой угодно геометрической фигуры, зная координаты, не составляет сложности. Каждая из точек, соответствующая вершинам искомой фигуры, будь это треугольник, четырех- или многоугольник, имеет определенную координату, а значит у нее есть значение, через которое можно рассчитать площадь.

Координаты, как найти на графике, чтобы узнать площадь фигуры? Проецируем на оси абсцисс и ординат прямые, проведя перпендикуляр из каждой точки. Полученные значения будут исходной величиной. Каждая из сторон фигуры — это разница двух точек на горизонтальную и вертикальную оси. Разница между значениями означает длину стороны фигуры. А зная все стороны и их значение, по формуле находим площадь.

найти площадь фигуры на графике

Пример 1. Ищем площадь треугольника.

найти площадь фигуры на графике

Мы видим два отрезка зеленого цвета AB и BC, которые образуют стороны равнобедренного треугольника, а основание есть отрезок на оси абсцисс AC.

Даны значения: AC основание в промежутке от «-4» до «+4», то есть длина основания равна восьми.

Будет лучше, если посчитать площадь этого треугольника, как сумму из образовавших его двух треугольников, которые являются прямыми, ABO и BOC, совпадающие прямым углом с координатой «0» на графике.

Известна длина каждй из сторон, образующих прямой угол (AO или OC) х = 4 — 0 = 4 и y = 2 — 0 = 2 (BO).

Зная длину двух сторон, образующих прямой угол (AO и BO), находим длину основания (AB или BC). Тогда уже знаем все длины каждой из сторон обоих прямых треугольников. Остается только найти площадь по формуле:

площадь фигуры на графике

Зная площадь каждого из прямых треугольников, умножаем на два, получаем сумму заштрихованного треугольника на графике ABC.

И еще математически можно записать решение следующим образом, исходя из того, что имеем изначально следующую систему неравенств:

найти площадь фигуры на графике

площадь фигуры на графике

Пример 2.

площадь фигуры на графике

Пример 3. Есть парабола, ищем площадь фигуры, ограниченную кривой параболы. Чтобы посчитать, используем интеграл.

площадь фигуры на графике через интеграл

Бекки Шарп
[71.2K]

3 года назад 

Рассмотрим простой случай, где буквально на пальцах можно посчитать площадь через обычную формулу, а затем применим к этой задаче формулу Гаусса.

У нас есть трапеция, у которой известны координаты вершин. (3:2) (5:2) (9:6) (6:6). Мы знаем, что площадь трапеции равна сумме оснований, деленной на 2 и умноженной на высоту.

S = (a+b)/2 х h Считаем площадь: S = (3+2):2х4 = 10. Ответ — 10.

А теперь по теореме Гаусса.

Не смотря на страшный вид, формула очень простая. В квадратных скобках мы перемножаем абсциссу первой точки с ординатой второй, прибавляем абсциссу второй, умноженную на ординату третьей и так идем по кругу фигуры. Далее вычитаем ординату первой умноженную на абсциссу второй и т.д. В квадратных скобках у нас может получиться отрицательное число.

S= 0,5 х [3х6+6х6+9х2+5х2 — 2х6-6х9-6х5-2х3] = 10

Таким образом можно найти площадь любой сложной фигуры, зная ее координаты.

dydyS­acha
[10.8K]

6 лет назад 

Можно взять милиметровку и нанести точки с заданными координатами, согласно осей абсцис и ординат. Соединить эти точки между собой и замерить длины образовавшихся сторон, а с помощью формулы по определению площади образовавшейся фигуры узнать её значение подставив данные в эту формулу.

Алиса в Стран­е
[364K]

3 года назад 

Существует специальная формула, называемая формулой Гаусса, она и позволит нам определить искомую площадь по координатам. Вот как эта формула выглядит:

Формула выглядит немного устрашающе, но давайте попробуем в ней разобраться. У нас есть многоугольник и есть его координаты, подсчитать n — количество сторон многоугольника несложно, а дальше просто нужно подставлять значения в эту формулу, нужно только быть внимательным и не перепутать какие координаты куда надо писать.

Давайте теперь приведем пример нахождения такой площади через формулу Гаусса. Допустим, у нас есть вот такой пятиугольник:

Координаты его пяти вершин, как мы видим: (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6).

Теперь нам остается только очень внимательно подставить эти координаты в нашу формулу, n = 5, координаты известны, вот что у нас получится:

Когда разбираешься в этой формуле, понимаешь, насколько она проста и даже легко запоминается, несмотря на то, что сначала кажется очень сложной.

dusel­ldorf
[4.3K]

5 лет назад 

Для вычисления площади геометрической фигуры по координатам ее вершин, нужно воспользоваться формулой Гаусса, иногда ее называют формулой землемера или формулой геодезиста, так как она применяется геодезистами для определения площади земельного участка, например, при межевании:

где

А — площадь многоугольника с заданными координатам его вершин,

n — количество сторон многоугольника,

(xi, yi) — координаты вершин многоугольника,

i = 1, 2,…, n — номер вершины многоугольника.

Барха­тные лапки
[382K]

3 года назад 

Находим площадь вот такого несложного четырехугольника. Координаты его вершин нам известны. Применяем формулу Гаусса, которая выглядит так:

S (площадь) = 0,5 [6х4 +9х7 + 10х6 + 7х3 — 3х9 — 4х10 — 7х7 — 6х6] = 8 (квадратных единиц)

Как видим если применять при решении формулу Гаусса то решить такую задачку несложно.

Не вижу здесь серьезных проблем. Мы, как я понял, имеем готовые точки координат, которые нужно проставить на координатной плоскости. Далее, соединяя эти точки, получаем фигуру, как в примере вопроса — квадрат, треугольник и т.п.

Теперь вычисляем площадь любой из полученных фигур по формуле ей соответствующей.

Знаете ответ?
Источник

14.1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах

Пусть
функция

задана на отрезке

.

Рассмотрим
множество точек

,

которое
можно истолковать как криволинейную
трапецию

.

Необходимо найти
площадь этой криволинейной трапеции.

Исходя
из определения определенного интеграла
и его геометрического смысла, в том
случае, когда

площадь криволинейной трапеции равна

П
р и м е р. Найдите
площадь фигуры, ограниченной линиями

Р
е ш е н и е.
Построим фигуру, ограниченную указанными
линиями.

Площадь заданной
фигуры вычислим по формуле (1)

Пусть
функции

и

заданы на отрезке

.
Рассмотрим множество точек

,

которое
можно истолковать как фигуру

.

Площадь
фигуры

можно рассматривать как разность
площадей

криволинейной
трапеции

и криволинейной трапеции


.

14.2. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах

Пусть
положение любой точки на плоскости
однозначно определяется двумя числами

,
где


.

Пусть

неотрицательная, непрерывная на отрезке

функция,

.

Рассмотрим множество
точек


,

которое
можно истолковать как криволинейный
треугольник

Для вычисления
площади криволинейного треугольника
разобьём этот треугольник на элементарные
криволинейные треугольники.

Элементарные
криволинейные треугольники заменим
прямоугольными треугольниками.

Высоты
этих треугольников положим равными

,

а
основания соответственно –

.

Площадь

-го
элементарного треугольник очевидно
будет равна


.

Площадь
криволинейного треугольника

будет приближённо равна


.
(1)

Выражение
(1) можно рассматривать как интегральную
сумму для функции

на отрезке

.

Введём
обозначение

.

– это мелкость

разбиения


.

Тогда площадь
криволинейного треугольника

получим
при переходе в выражении (1) к пределу
при


=
.
(2)

Итак, площадь
плоской фигуры в полярной системе
координат равна


.

П
р и м е р. Вычислите
площадь
фигуры, ограниченной кривой (кардиоидой)


.

Р
е ш е н и е. Изобразим
график кардиоиды


Как
видим, кардиоида представляет собой
линию, симметричную относительно оси

.

Поэтому

П 15. Вычисление длины кривой

Пусть
кривая

задана параметрически


,

.

Разобьем
отрезок

на

частей точками

.

Обозначим
через

соответствующие точки на кривой

.
Соединим эти точки прямыми.

Полученную
при этом ломанную

называют ломанной, вписанной в кривую

.

Длину
элементарного звена

равна

Длина
ломанной

в таком случае будет равна


.
(1)

Обозначим
через

.
Тогда длину кривой

получим, перейдя в выражении (1) к пределу
при


.
(2)

Итак,
длина кривой

согласно выражению (2) определяется
формулой


.
(3)

Длина
пространственной кривой

,
заданной параметрически


,

,

будет равна


.

Если плоская
кривая задана в явном виде


,


,

то параметрические
уравнения кривой

можно в этом случае
представить в виде


,


,

.

В результате
выражении (3) получается в виде


.

П
р и м е р.
Найти длину
кривой, заданной
параметрически
.

Р
е ш е н и е. Построим
график заданной кривой

Так
как кривая симметрична относительно
координатных осей, то достаточно найти

.

Поэтому длина
кривой будет равна



.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

    01.06.2015869.38 Кб130Guided Grammar III-IV.doc

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти расстояние от линзы до объекта
  • Как исправить уксусный борщ
  • Как пройти задание найдите следы кэйдзиро
  • Как найти фото с инета или нет
  • Как найти кубический дециметр равен